四川省凉山州2020年中考数学试题(解析版)

四川省凉山州2020年中考数学试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.（﹣1）2020等于（）

A. ﹣2020

B. 2020

C. ﹣1

D. 1

【答案】D

【解析】

【分析】

根据负数的偶次方是正数可以解答．

【详解】（﹣1）2020=1，

故选：D．

【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，知道-1的奇次方是-1，-1的偶次方是1，是常考题型．

2.如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据左视图是从物体左面看所得到的图形，分别得出四个几何体的左视图，即可解答．

【详解】解：A、圆柱的左视图是矩形，不符合题意；

B、三棱锥的左视图是等腰三角形，符合题意；

C、三棱柱的左视图是矩形，不符合题意；

D、正方体的左视图是矩形（正方形），不符合题意．

故选：B ．

【点睛】本题主要考查简单几何体的三视图；考查了学生的空间想象能力，属于基础题． 3.点()2,3A 关于x 轴对称的点的坐标是（ ） A. ()2,3-- B. ()2,3-

C. ()2,3

D. ()2,3-

【答案】B 【解析】 【分析】

利用平面直角坐标系内，对称坐标的特点即可解答. 【详解】关于x 轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数 ∴点()2,3A 关于x 轴对称的点的坐标是（2，-3） 故选B

【点睛】本题考查了平面直角坐标系内坐标的对称，注意关于x 轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数；关于y 轴对称，横坐标变相反数，纵坐标不变；关于原点对称，横、纵坐标都变相反数. 4.已知一组数据1，0，3，-1，x ，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（ ） A. -1 B. 3 C. -1和3 D. 1和3

【答案】C 【解析】 【分析】

先根据平均数的定义求出x 的值，再根据众数的定义解答即可．

【详解】解：由题意，得：10312317x ++-+++=?，解得：1x =-， 所以这组数据的众数是：﹣1和3． 故选：C ．

【点睛】本题考查了平均数和众数的定义，属于基础题型，熟练掌握二者的概念是解题关键． 5.一元二次方程x 2=2x 的解为（ ） A. x=0 B. x=2 C. x=0或x=2 D. x=0且x=2

【答案】C 【解析】

【详解】2

20,x x -=

()20,x x -=

0x =或20,x -=

10,=x 2 2.x =

故选C.

6.下列等式成立的是（ ）

A.

9=±

B.

22=

C. 11()22

--=- D. 0(tan 451)1?-=

【答案】C 【解析】 【分析】

根据二次根式、绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】

9=，故错误；

22=- ，故错误；

C.11()22

--=-，正确； D.∵tan 451110?-=-=， ∴0(tan 451)?-无意义； 故选C ．

【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知二次根式、绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值．

7.已知一次函数y =（2m +1）x +m -3的图像不经过第二象限，则m 的取值范围（ ） A. m>-

12

B. m<3

C. -

1

2

1

2

一次函数的图象不经过第二象限，即可能经过第一，三，四象限，或第一，三象限，所以要分两种情况. 【详解】当函数图象经过第一，三，四象限时，

21030

m m ??

-?＋＞＜，解得：－1

2＜m ＜3. 当函数图象经过第一，三象限时，

210

30m m ＋＞＝??

-?

，解得m ＝3. ∴－

1

2

＜m≤3. 故选D.

【点睛】一次函数的图象所在的象限由k ，b 的符号确定：①当k ＞0，b ＞0时，函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一，二，三象限；②当k ＞0，b ＜0时，函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一，三，四象限；③当k ＜0，b ＞0时，函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一，二，四象限；④当k ＜0，b ＜0时，函数y ＝kx ＋b 的图象经过第二，三，四象限.注意当b ＝0的特殊情况.

8.点C 是线段AB 的中点，点D 是线段AC 的三等分点．若线段12AB cm =，则线段BD 的长为（ ） A. 10cm B. 8cm

C. 8cm 或10cm

D. 2cm 或4cm

【答案】C 【解析】 【分析】

根据题意作图，由线段之间的关系即可求解． 【详解】如图，∵点C 是线段AB 的中点， ∴AC=BC=1

2

AB=6cm 当AD=

2

3

AC=4cm 时，CD=AC-AD=2cm ∴BD=BC+CD=6+2=8cm ； 当AD=

1

3

AC=2cm 时，CD=AC-AD=4cm ∴BD=BC+CD=6+4=10cm ； 故选C ．

【点睛】此题主要考查线段之间的关系，解题的关键是熟知线段的和差关系． 9.下列命题是真命题的是（ ） A. 顶点在圆上的角叫圆周角 B. 三点确定一个圆 C. 圆的切线垂直于半径

D. 三角形的内心到三角形三边的距离相等

【答案】D

【解析】

【分析】

根据圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三角形内心的性质，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：A、顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫圆周角，故A错误；

B、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故B错误；

C、圆的切线垂直于过切点的半径，故C错误；

D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，故D正确；

故选：D．

【点睛】本题考查了判断命题的真假，圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三角形内心的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行判断．

10.如图所示，ABC

的顶点在正方形网格的格点上，则tan A的值为（）

A. 1

2

B.

2

C. 2

D. 22

【答案】A

【解析】

【分析】

如图，取格点E，连接BE，构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可；【详解】如图，取格点E，连接BE，

由题意得：90AEB =?∠，

2BE =，22=2+2=22AE ，

∴21

tan =

222

BE A AE ==． 故答案选A ．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关知识点，准确构造直角三角形，利用勾股定理求边是解题的关键．

11.如图，等边三角形ABC 和正方形ADEF 都内接于

O ，则:AD AB =（ ）

A. 22:3

B.

2:3

C.

3:2

D.

3:22

【答案】B 【解析】 【

分析】

过点O 作OM BC ⊥，ON AD ⊥，设圆的半径为r ，根据垂径定理可得△OBM 与△ODN 是直角三角形，根据三角函数值进行求解即可得到结果．

【详解】如图，过点O 作OM BC ⊥，ON AD ⊥，设圆的半径为r ，

∴△OBM 与△ODN 是直角三角形，OD OB r ==， ∵等边三角形ABC 和正方形ADEF 都内接于O ，

∴30OBM ∠=?,45ODN DON ∠=∠=?，

∴2tan 45DN OD r =?=，3cos 30BM OB r =?=， ∴22AD DN r ==，2=3BC BM r =，

∴:23r 23r ∶∶==AD AB ．

故答案选B ．

【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理知识点应用，结合等边三角形和正方形的性质，利用三角函数求解是解题的关键．

12.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有如下结论：①0abc >；②20a b +=；③320b c -<；④2am bm a b +≥+（m 为实数）．其中正确结论的个数是（ ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

【答案】D 【解析】 【分析】

由抛物线的对称轴公式即可对②进行判断；由抛物线的开口方向可判断a ，结合抛物线的对称轴可判断b ，根据抛物线与y 轴的交点可判断c ，进而可判断①；由图象可得：当x=3时，y ＞0，即9a+3b+c ＞0，结合②的结论可判断③；由于当x=1时，二次函数y 取最小值a+b+c ，即2am bm c a b c ++≥++（m 为实数），进一步即可对④进行判断，从而可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a ＞0， ∵抛物线的对称轴是直线x=1，∴12b

a

-=， ∴b ＜0，20a b +=，故②正确； ∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c ＜0， ∴0abc >，故①正确；

∵当x=3时，y ＞0，∴9a+3b+c ＞0，

∵1

2a b =-

，∴9302

b b

c -++>， 整理即得：320b c -<，故③正确； ∵当x=1时，二次函数y 取最小值a+b+c ，

∴2am bm c a b c ++≥++（m 为实数），即2am bm a b +≥+（m 为实数），故④正确． 综上，正确结论的个数有4个． 故选：D ．

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与其系数间的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.函数y =

x 的取值范围是__________．

【答案】x ≥﹣1. 【解析】 【分析】

根据二次根式有意义的条件判断即可.

【详解】由于二次根式需要有意义,则x +1≥0,x ≥﹣1. 故答案为x ≥﹣1.

【点睛】本题考查二次根式有意义的条件,关键在于牢记基础知识. 14.因式分解：32a ab -=_______________. 【答案】a(a+b)(a-b). 【解析】

分析：本题考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式. 解析：原式= a(a+b)(a-b). 故答案为a(a+b)(a-b).

15.如图，ABCD ?的对角线AC 、BD 相交于点O ，//OE AB 交AD 于点E ，若OA=1，AOE ?的周长等于5，则ABCD ?的周长等于__________．

【答案】16 【解析】 【分析】

根据已知可得E 为AD 的中点，OE 是△ABD 的中位线，据此可求得AB ，根据OA=1，AOE ?的周长等于5，可求得具体的结果．

【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，AC 、BD 是对角线， ∴O 为BD 和AC 的中点， 又∵//OE AB ， ∴OE

AB ，2AB OE =，E 为AD 的中点，

又∵OA=1，AOE ?的周长等于5， ∴AE+OE=4， ∴()2248AD AB AE OE +

=+=?=，

∴ABCD ?的周长=()22816AD AB +=?=．

故答案为16．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，结合三角形中位线定理判定是解题的关键． 16.如图，点C 、D 分别是半圆AOB 上的三等分点，若阴影部分的面3

2

π，则半圆的半径OA 的长为__________．

【答案】3. 【解析】 【分析】

如图，连接,,,OC OD CD 证明//,CD AB 再证明32

OCD S S π=阴影扇形=，从而可以列方程求解半径． 【详解】解：如图，连接,,,OC OD CD 点C 、D 分别是半圆AOB 上的三等分点，

60,AOC COD DOB ∴∠=∠=∠=?

,OC OD =

COD ∴为等边三角形， 60,OCD ∴∠=? ,AOC DCO ∴∠=∠ //,CD AB ∴

,COD

BCD

S

S

∴=

32

OCD S S π

∴=阴影扇形=

， 2603,3602

OA ππ?∴=

解得：3,OA = （负根舍去）， 故答案为：3.

【点睛】本题考查的圆的基本性质，弧，弦，圆心角之间的关系，平行线的判定与性质，扇形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．

17.如图，矩形OABC 的面积为3，对角线OB 与双曲线(0,0)k

y k x x

=

>>相交于点D ，且:53OB OD =：，

则k的值为__________．

【答案】27 25

【解析】

【分析】

过D作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，设D的坐标是（x，y），根据矩形的性质和平行线分线段成比例定

理求出DM＝3

5

AB，DN＝

3

5

BC，代入矩形的面积即可求出答案．

【详解】过D作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，设D的坐标是（x，y），

则DM＝y，DN＝x，

∵OB：OD＝5：3，四边形是OABC矩形，

∴∠BAO＝90°，

∵DM⊥OA，

∴DM∥BA，

∴△ODM∽△OBA，

∴

3

5 DM OD

AB OB

==，

∴DM＝3

5 AB，

同理DN＝3

5 BC，

∵四边形OABC的面积为3，∴AB×BC＝3，

∴DM×DN ＝xy ＝35AB×35BC ＝9

25×3＝2725

，

即k ＝xy ＝

27

25． 故答案为：27

25

．

【点睛】本题主要考查对矩形的性质，平行线分线段成比例定理，用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点的理解和掌握，能推出DM ＝

35AB 和DN ＝3

5

BC 是解此题的关键． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

18.解方程：221

123

x x x ---=-

【答案】2

7

x = 【解析】 【分析】

去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解． 【详解】解：221

123

x x x ---

=-

()()6326221x x x --=-- 636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x =

2

7

x =

【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x ＝a 形式转化．

19.

化简求值：2(23)(23)(2)4(3)x x x x +--+++，其中x =【答案】231x -，5 【解析】 【分析】

利用平方差公式，完全平方公式和去括号的法则对原式进行展开化简，然后将x 代入求值即可．

【详解】原式=22(49)(44)412x x x x --++++ =224944412x x x x ----++ =231x -

将2x =代入得3×

2-1=5． 【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式和去括号，掌握运算法则是解题关键．

20.如图，△ABC 是一块锐角三角形的材料，边BC ＝120mm ，高AD ＝80mm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少mm ．

【答案】48mm 【解析】 【分析】

设正方形的边长为x ，表示出AI 的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．

【详解】设正方形的边长为x mm ， 则AI ＝AD ﹣x ＝80﹣x ， ∵EFHG 是正方形， ∴EF ∥GH ， ∴△AEF ∽△ABC ，

∴

EF AI

BC AD =, 即8012080

x x -=， 解得x ＝48 mm ，

∴这个正方形零件的边长是48mm ．

【点睛】本题主要考查了相似三角形判定与性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

21.某校团委在“五·四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，广三批对全校20个班的作品进行评比在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如下两幅不完整的统计图，

（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为；

（2）补全条形统计图；

（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品两个不同班级的概率．

【答案】（1）24；150°（2）见解析（3）13 15

【解析】

【分析】

（1）根据B班的作品数量及占比即可求出第一批所抽取的4个班共征集的作品件数，再求出C班的作品数量，求出其占比即可得到扇形的圆心角的度数；

（2）根据C班的作品数量即可补全统计图；

（3）根据题意画出树状图，根据概率公式即可求解．

【详解】（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品为6÷25%=24套，

∴C班的作品数量为24-4-6-4=10套，

故C班的扇形的圆心角的度数为150°

故答案为24；150°；

（2）∵C班的作品数量为10套，

故补全条形统计图如下：

（3）依题意可得到树状图：

∴P （抽取的作品在两个不同班级）=

26133015

=． 【点睛】本题考查了统计调查与概率的求解，解题的关键是熟知利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图．

22.如图，AB 是半圆AOB 的直径，C 是半圆上的一点，AD 平分BAC ∠交半圆于点D ，过点D 作DH AC ⊥与AC 的延长线交于点H ．

（1）求证：DH 是半圆切线； （2）若25DH =，5

sin BAC ∠= 【答案】（1）见详解；（2）12 【解析】 【分析】

（1）连接OD ，先证明OD ∥AH ，然后根据DH ⊥AH ，可得OD ⊥DH ，即可证明； （2）过点O 作OE ⊥AH 于E ，由（1）知，四边形ODHE 是矩形，可得OE=DH=5

在Rt△AOE中，根据sin∠BAC=

5

3

，sin∠BAC=

OE

OA

，可得AO=

sin

OE

BAC

∠

=25×

5

=6，即可求出

直径．

【详解】（1）连接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AD平分BAC

，

∴∠CAD=∠OAD，

∴∠CAD=∠ODA，

∴OD∥AH，

∵DH⊥AH，

∴OD⊥DH，

∴DH是半圆的切线；

（2）过点O作OE⊥AH于E，由（1）知，四边形ODHE是矩形，

∴OE=DH=25

在Rt△AOE中，

∵sin∠5

sin∠BAC=

OE

OA

，

∴AO=

sin OE

BAC

∠

=5×

5

，

∴AB=2OA=12，

∴半圆的直径长为12．

【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，矩形的性质和判定，解直角三角形，灵活运用所学知识点是解题关键．

23.关于x的不等式组23(3)1 32

4

x x

x

x

a

<-+

?

?

?+

>+

??

有四个整数解，则a的取值范围是________________.

【答案】-

11

4

≤a＜-

5

2

【解析】

【分析】

解不等式组求得不等式组的解集，根据不等式组有四个整数解，进而求出a的范围．

【详解】

()

2331

32

4

x x

x

x a

①

②

?<-+

?

?+

>+

??

解不等式①得，x＞8；

解不等式②得，x＜2-4a；

∴不等式组的解集为8＜x＜2-4a.

∵不等式组有4个整数解，

∴12＜2-4a≤13，

∴-

11

4

≤a＜-

5

2

24.如图，矩形ABCD中，AD=12，AB=8，E是AB上一点，且EB=3，F是BC上一动点，若将EBF

?沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距为．

【答案】10.

【解析】

【分析】

ED PD利用三角形三边之间的关系得到PD最短时P的位置，如图2利用勾股定理计算ED，如图1，连接,,

从而可得答案．

ED PD

【详解】解：如图1，连接,,

+＞ED，

则EP PD

EP BE

==定值，

3

∴当P落在ED上时，PD最短，

图1

如图2，连接ED，

由勾股定理得：2213,

ED AE AD

=+=

∴=-=-=

13310.

PD ED PE

即PD的最小值为：10.

故答案为：10.

图2

【点睛】本题考查的是矩形的性质，考查利用轴对称求线段的最小值问题，同时考查了勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．

?边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时25.如图，点P、Q分别是等边ABC

从点A、点B出发．

（1）如图1，连接AQ 、CP 求证：ABQ CAP ???

（2）如图1，当点P 、Q 分别在AB 、BC 边上运动时，AQ 、CP 相交于点M ，QMC ∠的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数

（3）如图2，当点P 、Q 在AB 、BC 的延长线上运动时，直线AQ 、CP 相交于M ，QMC ∠的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）不变；60°；（3）不变；120°． 【解析】 【分析】

（1）根据点P 、点Q 以相同的速度，同时从点A 、点B 出发，可得BQ=AP ，结合等边三角形的性质证全等即可；

（2）由（1）中全等可得∠CPA=∠AQB ，再由三角形内角和定理即可求得∠AMP 的度数，再根据对顶角相等可得QMC ∠的度数；

（3）先证出CBP ACQ ?△△，可得∠Q=∠P ，再由对顶角相等，进而得出∠QMC=∠CBP=120°． 【详解】解：（1）证明：∵三角形ABC 为等边三角形， ∴AB=AC ，∠ABC=∠CAB=60°，

∵点P 、点Q 以相同的速度，同时从点A 、点B 出发， ∴BQ=AP ，

在△ABQ 与△CAB 中，

AB AC ABC CAB BQ AP =??

∠=∠??=?

∴()ABQ CAP SAS ???．

（2）角度不变，60°，理由如下： ∵ABQ CAP ??? ∴∠CPA=∠AQB ， 在△AMP 中，

∠AMP=180°-（∠MAP+∠CPA ）=180°-（∠MAP+∠AQB ）=∠ABC=60°， ∴∠QMC=∠AMP=60°，

故∠QMC 的度数不变，度数为60°． （3）角度不变，120°，理由如下： 当点P 、Q 在AB 、BC 的延长线上运动时， 有AP=BQ ，∴BP=CQ ∵∠ABC=∠BCA=60°， ∴∠CBP=∠ACQ=120°，

BC AC CBP ACQ BP CQ =??

∠=∠??=?

∴()CBP ACQ SAS ?△△ ∴∠Q=∠P ， ∵∠QCM=∠BCP ， ∴∠QMC=∠CBP=120°，

故∠QMC 的度数不变，度数为120°．

【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，灵活运用等边三角形的性质证全等是解题的关键． 26.如图，已知直线5l y x =-+：

（1）当反比例函数(0,0)k

y k x x

=

>>的图象与直线l 在第一象限内至少有一个交点时，求k 的取值范围