2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高一(上)期末数学试卷

2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知A(0, −1)，B(0, 3)，则|AB →|＝（ ） A.2 B.√10 C.4 D.2√102. sin 750∘的值为（ ） A.−√32B.√32C.−12D.123. 已知幂函数f(x)的图象过点(2, 16)，则f(3)＝（ ） A.27 B.81 C.12 D.44. 已知角α的终边经过点p(−2, 4)，则sin α−cos α的值等于（ ） A.3√55 B.−3√35C.15D.−2√335. 下列函数中，即不是奇函数也不是偶函数的是（ ） A.f(x)=|x| B.f(x)=√x −1+√1−x C.f(x)=2x −2−xD.f(x)=tan x6. 将函数y ＝sin 2x 的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数y ＝f(x)的图象，则y ＝f(x)是（ ）A.y =sin (2x +π6) B.y =sin (2x +π3) C.y =sin (2x −π6) D.y =sin (2x −π3)7. 函数f(x)＝2x +log 2x −3的零点所在区间（ ） A.(0, 1) B.(1, 2)C.(2, 3)D.(3, 4)8. 函数f(x)＝x ⋅ln |x|的图象可能是( )A. B.C. D.9. 已知函数f(x)=lg(1+|x|)−11+x2，不等式f(x+2)≤f(−1)的解集是（）A.(−∞, −3]B.(−∞, −3]∪[−1, +∞)C.[−3, −1]D.[−3, +∞)10. 若2x+5y≤2−y+5−x，则有（）A.x+y≥0B.x+y≤0C.x−y≤0D.x−y≥0二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）若关于x的一元二次方程(x−2)(x−3)＝m有实数根x1，x2，且x1<x2，则下列结论中正确的说法是（）A.当m＝0时，x1＝2，x2＝3B.m>−14C.当m>0时，2<x1<x2<3D.当m>0时，x1<2<3<x2已知函数f(x)是偶函数，且f(5−x)＝f(5+x)，若g(x)＝f(x)sinπx，ℎ(x)＝f(x)cosπx，则下列说法正确的是（）A.函数y＝g(x)是偶函数B.10是函数f(x)的一个周期C.对任意的x∈R，都有g(x+5)＝g(x−5)D.函数y＝ℎ(x)的图象关于直线x＝5对称三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）已知向量a→=(12,√32),b→=(12,−√32)，则a→⋅b→=________；a→b→的夹角为________．已知cos(α+π4)=35，且α∈(0,π4)，则sinα＝________．已知函数f(x)=cos(x2+π3)，则f(x)的最小正周期是________；f(x)的对称中心是________．函数f(x)={12x,x ≤02sin (2x +5π6),0<x <π，若方程f(x)＝a 恰有三个不同的解，记为x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围是________(5π3−1,5π3) ．四．解答题：本大题共6题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知集合A ＝{x|x 2−7x +6<0}，B ＝{x|4−t <x <t}，R 为实数集． (Ⅰ)当t ＝4时，求A ∪B 及A ∩∁R B ； (Ⅱ)若A ∪B ＝A ，求实数t 的取值范围．已知向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|＝1，|a →+2b →|＝|a →−b →| （1）求a →⋅b →的值（2）求向量a →与a →−2b →夹角的余弦值已知α∈(0,π2)，β∈(π2,π)，cos 2β=−79，sin (α+β)=79． （1）求cos β的值；（2）求sin α的值．某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民．为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）．已知该扇形OAB 的半径为200米，圆心角∠AOB =60∘，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，点P 在弧AB 上，设∠POB =θ．(1)若矩形MNPQ 是正方形，求tan θ的值；(2)为方便市民观赏绿地景观，从P 点处向OA ，OB 修建两条观赏通道PS 和PT （宽度不计），使PS ⊥OA ，PT ⊥OB ，其中PT 依PN 而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS +PT 最长，试问：此时点P 应在何处？说明你的理由．已知向量a →=(2sin (ωx +π4)，−√3)，b →=（sin (ωx +π4)，cos (2ωx)）(ω>0)，函数(x)=a →⋅b →−1，f(x)的最小正周期为π． （1）求f(x)的单调增区间；（2）方程f(x)−2n +1＝0；在[0, 7π12]上有且只有一个解，求实数n 的取值范围；（3）是否存在实数m 满足对任意x 1∈[−1, 1]，都存在x 2∈R ，使得4x 1+4−x 1+m(2x 1−2−x 1)+1>f(x 2)成立．若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．已知f(e x )＝ax 2−x ，a ∈R ． （1）求f(x)的解析式；（2）求x ∈(0, 1]时，f(x)的值域；（3）设a >0，若ℎ(x)＝[f(x)+1−a]•log x e 对任意的x 1，x 2∈[e −3, e −1]，总有|ℎ(x 1)−ℎ(x 2)|≤a +13恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】A5.【答案】B6.【答案】D7.【答案】B8.【答案】D9.【答案】C10.【答案】B二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）【答案】A,B,D【答案】B,C,D三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）【答案】−12,2π3【答案】 √210【答案】4π,(2kπ+π3, 0)，k ∈Z 【答案】 (5π3−1, 5π3)．四．解答题：本大题共6题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【答案】A ∪B ＝{x|0<x <6}，A ∩∁R B ＝{x|4≤x <6}， （2）由A ∪B ＝A ，得：B ⊆A ，①当4−t ≥t 即t ≤2时，B ＝⌀，满足题意， ②B ≠⌀时，由B ⊆A 得：{4−t <t4−t ≥1t ≤6 ，解得：2<t ≤3， 综合①②得：实数t 的取值范围为：t ≤3， 故答案为：t ≤3 【答案】∵ 向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|＝1，|a →+2b →|＝|a →−b →| ∴ |a →+2b →|2＝|a →−b →|2，即(a →+2b →)2＝(a →−b →)2，即|a →|2+4a →⋅b →+4|b →|2＝|a →|2−2a →⋅b →+|b →|2， 故6a →⋅b →+3＝0， 解得：a →⋅b →=−12；|a →−2b →|2=|a →|2−4a →⋅b →+4|b →|2＝7， ∴ |a →−2b →|=√7a →⋅(a →−2b →)=a →2−2a →⋅b →=2 设向量a →与a →−2b →夹角为θ，则cos θ=a →⋅(a →−2b →)|a →|⋅|a →−2b →|=2√77． 【答案】∵ cos 2β=1+cos 2β2=1+(−79)2=19⋯又∵ β∈(π2,π)，∴ cos β=−13⋯由（1）知：sin β=√1−cos 2β=√1−(−13)2=2√23⋯由α∈(0,π2)、β∈(π2,π)得(α+β)∈(π2,3π2)cos (α+β)=−√1−sin 2(α+β)=−√1−(79)2=−4√29⋯sin α＝sin (α+β−β)＝sin (α+β)cos β−cos (α+β)sin β =79×(−13)−(−4√29)×2√23=13⋯ 【答案】解：(1)在Rt △PON 中，PN =200sin θ，ON =200cos θ， 在Rt △OQM 中，QM =PN =200sin θ， OM =QMtan 60=√3=200√3sin θ3， 所以MN =ON −OM =200cos θ−200√3sin θ3，因为矩形MNPQ 是正方形，∴ MN =PN ， 所以200cos θ−200√3sin θ3=200sin θ，所以(200+200√33)sin θ=200cos θ， 所以tan θ=1+√33=3+√3=3−√32．(2)因为∠POM =θ，所以∠POQ =60∘−θ，∴ PS +PT =200sin θ+200sin (60∘−θ) =200(sin θ+√32cos θ−12sin θ)=200(12sin θ+√32cos θ)=200sin (θ+60∘)，0∘<θ<60∘． 所以θ+60∘=90∘，即θ=30∘时，PS +PT 最大，此时P 是AB ̂的中点． 【答案】函数f(x)=a →⋅b →−1＝2sin 2(ωx +π4)−√3cos (2ωx)−1 ＝sin (2ωx)−√3cos (2ωx)＝2sin (2ωx −π3)∵ f(x)的最小正周期为π，ω>0，∴ 2π2ω=π，∴ ω＝1． 那么f(x)的解析式f(x)＝2sin (2x −π3)令2kπ−π2≤2x −π3≤π2+2kπ，k ∈Z ，得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12∴ f(x)的单调增区间为[kπ−π12, kπ+5π12]，k ∈Z ． 方程f(x)−2n +1＝0在[0, 7π12]上有且只有一个解， 转化为函数y ＝f(x)+1与函数y ＝2n 只有一个交点． ∵ x 在[0, 7π12]上，∴ −π3≤(2x −π3)≤5π6那么函数y ＝f(x)+1＝2sin (2x −π3)+1的值域为[1−√3, 3]， 结合图象可知，函数y ＝f(x)+1与函数y ＝2n 只有一个交点． 那么1−√3≤2n <1或2n ＝3， 可得1−√32≤n <12或n =32．由（1）可知f(x)＝2sin (2x −π3)∴ f(x 2)min ＝−2．实数m 满足对任意x 1∈[−1, 1]，都存在x 2∈R ， 使得4x 1+4−x 1+m(2x 1−2−x 1)+1>f(x 2)成立． 即4x 1+4−x 1+m(2x 1−2−x 1)+1>−2成立 令y =4x 1+4−x 1+m(2x 1−2−x 1)+1设2x 1−2−x 1=t ，那么4x 1+4−x 1=(2x 1−2−x 1)2+2＝t 2+2 ∵ x 1∈[−1, 1]， ∴ t ∈[−32, 32]，可得t 2+mt +5>0在t ∈[−32, 32]上成立．令g(t)＝t 2+mt +5>0， 其对称轴t =−m2 ∵ t ∈[−32, 32]上，∴ ①当−m2≤−32时，即m ≥3时，g(t)min ＝g(−32)=294−3m 2>0，解得3≤m <296；②当−32<−m 2<32，即−3<m <3时，g(t)min ＝g(−m2)=5−m 24>0，解得−3<m <3；③当32≤−m2，即m ≤−3时，g(t)min ＝g(32)=294+3m 2>0>0，解得−296<m ≤−3；综上可得，存在m ，可知m 的取值范围是(−296, 296)．【答案】设e x ＝t ，则x ＝ln t >0，所以f(t)＝a(ln t)2−ln t 所以f(x)＝a(ln x)2−ln x(x >0)；设ln x ＝m(m ≤0)，则f(x)＝g(m)＝am 2−m当a ＝0时，f(x)＝g(m)＝−m ，g(m)的值域为[0, +∞) 当a ≠0时，f(x)=g(m)=am 2−m =a(m −12a)2−14a(m ≤0)若a >0，12a >0，g(m)的值域为[0, +∞)若a <0，12a <0，g(m)在(−∞,12a ]上单调递增，在[12a ,0]上单调递减，g(m)的值域为(−∞,−14a]⋯综上，当a ≥0时f(x)的值域为[0, +∞) 当a <0时f(x)的值域为(−∞,−14a]；因为ℎ(x)=a ln x −1+(1−a)ln x对任意x 1,x 2∈[e −3,e −1]总有|ℎ(x 1)−ℎ(x 2)|≤a +13所以ℎ(x)在[e −3, e −1]满足ℎ(x)max −ℎ(x)min ≤a +13⋯ 设ln x ＝s(s ∈[−3, −1])，则ℎ(x)=r(s)=as +1−a s−1，s ∈[−3, −1]当1−a <0即a >1时r(s)在区间[−3, −1]单调递增所以r(−1)−r(−3)≤a +13，即−2−(−83a −43)≤a +13，所以a ≤35（舍）当a ＝1时，r(s)＝s −1，不符合题意 当0<a <1时，则ℎ(x)=r(s)=as +1−a s−1=a(s +1−a as)−1，s ∈[−3, −1]若√1−a a≤1即12≤a <1时，r(s)在区间[−3, −1]单调递增所以r(−1)−r(−3)≤a +13，则12≤a ≤35 若1<√1−a a<3即110<a <12时r(s)在[−3,−√1−a a]递增，在[−√1−a a,−1]递减所以{r(−√1−aa )−r(−3)≤a +13r(−√1−a a )−r(−1)≤a +13 ，得110<a <12若√1−a a≥3即0<a ≤110时r(s)在区间[−3, −1]单调递减所以r(−3)−r(−1)≤a +13，即−83a −43+2≤a +13，得111≤a <110⋯综上所述：111≤a ≤35．。