高考数学玩转压轴题专题2_11已知不等恒成立,分离参数定最值1

专题2.11 已知不等恒成立，分离参数定最值

【题型综述】

不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：①分离参数＋函数最值；②直接化为最值＋分类讨论；③缩小范围＋证明不等式；④分离函数＋数形结合。分类参数的优势在于所得函数不含参数，缺点在于函数结构复杂，一般是函数的积与商，因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，则需要多次求导，也有可能不存在最值，故需要求极限，会用到传说中的洛必达法则求极限（超出教学大纲要求）；直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的同性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。缩小参数范围优点是函数结构简单，分类范围较小，分类情况较少，难点在于寻找特殊值，并且这种解法并不流行，容易被误判。分离函数主要针对选择填空题。因为图形难以从微观层面解释清楚图像的交点以及图像的高低，这要涉及到图像的连续性以及凸凹性。还有在构作函数图像时，实际上是从特殊到一般，由特殊几点到整个函数图像，实际是一种猜测。 俗话说，形缺数时难入微。

【典例指引】

例1 己知函数()()ln x x f x e ax b e x =+-.

（1）若函数()f x 在1x =处取得极值，且1b =，求a ；

（2）若b a =-，且函数()f x 在[)1,+∞上单调递増，求a 的取值范围.

法二（直接化为最值＋分类讨论）：令()1

ln g x ax x x

=--，()22

1ax x g x x -+'=.令

()()211h x ax x x =-+≥，

①当 0a =时，1(0)h x x -+<=，所以()0g x '≤，即()g x 在[)1,+∞上单调递减.而()1110g a =-=-<，与()0g x ≥在[)1,x ∈+∞上恒成立相矛盾.

②当0a >时，则开口向上

(方案一）：Ⅰ.若 140a ?=-≤，即1

4

a ≥

时，()0h x >,即()[)0,1,g x x '>∈+∞，所以()g x 在[)1,+∞上递增，所以()()min

110g x g a ==-≥，即1a ≥.

Ⅱ.若0?>，即1

04

a <<

时，此时()110g a =-<，不合题意.

法三（缩小范围＋证明不等式）：令()1

ln g x ax x x

=--

，则()10101g a a ≥?-≥?≥. 另一方面，当1a ≥时，则有()222

111

ax x g x a x x x

-+'=-+=，令2 ()1h x ax x =-+，开口向上，对称轴110,22x a ??

=

∈ ???，故()h x 在[)1,+∞上为增函数，所以()()()100h x h a g x '≥=>?>?()g x 在[)1,+∞上为增函数，则()()110g x g a >=-≥，故

1a ≥适合题意.

例2. (2016全国新课标Ⅱ文20)己知函数()()()1ln 1f x x x a x =+--. （Ⅰ）当4a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x >，求a 的取值范围.

法二（直接化为最值）：()()()1ln 10f x x x a x =+-->在[)1,+∞恒成立，则

()1

ln x f x x a x

+'=+- (导函数为超越函数）；()221110x f x x x x -''=

-=>()1

ln 1f x x a x

'?=++-在[)1,+∞为增函数，则()()12f x f a ''≥=-（1）当20a -≥即2a ≤时，则()()20f x f x a ''≥=-≥(当且仅当

1,2x a ==时，取“=”)，故()f x 在[)1,+∞为增函数，则有()()10f x f ≥=，故()()()1ln 10f x x x a x =+-->在[)1,+∞恒成立，故2a ≤适合题意.

（2）当 20a -<即2a > 时，则()10(2)f x f a '='≥-<，且()

10a a f e e -'=+>，故()0f x '=在[)1,+∞有唯一实根0x ，则()f x 在[)01,x 为减函数，在[)0,x +∞增函数，又有()10f =，则存在[)01,x ∈+∞,使得()00f x <，故2a >不适合题意.综上，实数a 的取值范围为2a ≤.

法三（分离参数）：()()()1ln 10f x x x a x =+-->在[)1,+∞恒成立()1ln 1

x x a x +?<

-在

()

1,+∞恒成立（端点1x =自动成立），则设()()()()

21

2ln 1ln 1

1x x x x

x g x g x x x -

-+'=

?=

--，令()()21122ln 1h x x x h x x x x

'=--?=+-()2221

102ln x x h x x x x x -+=>?=--在[)1,+∞为增函数，则()(1)0h x h >=()()1ln 0()1x x g x g x x +'?>?=-在()

1,+∞为增函数，又因

()()1

1

11ln 1lim lim lim 1ln 21

x x x x x

g x x x x ++

+→→→+??

==++= ?-??

，故实数a 的取值范围为2a ≤ 法四（缩小范围）：()()()1ln 10f x x x a x =+-->在[)1,+∞恒成立，且()10f =，则存在1m >，使得()f x 在[]1,m 上为增函数()1

ln 0x f x x a x

+'?=+-≥在[]1,m 上恒成立，令()110 2x f a '=?≥?≤.

又当2a ≤时，()221110x f x x x x -''=

-=>()1

ln 1f x x a x

'?=++-在[)1,+∞为增函数，则()()120f x f a ''≥=-≥(当且仅当(当且仅当1,2x a ==时，取“=”)，故()f x 在[)1,+∞为

增函数，则有()()10f x f ≥=，故()()()1ln 10f x x x a x =+-->在[)1,+∞恒成立，故2a ≤适合题意.

综上，实数a 的取值范围为2a ≤.

点评：当端点刚好适合题意时，则分离参数法一般会用到传说中的洛必达法则，缩小范围则可利用端点值导数符号来求出参数范围。这两种转化方式都有超出教学大纲要求的嫌疑。 2.(重庆市2015届一诊理20)已知曲线()()2

1ln f x a x b x =-+在点()()1,1f 处的切线的斜率

为1；

（1）若函数()f x 在[)2,+∞上为减函数，求a 的取值范围； （2）当[)1,x ∈+∞时，不等式()1f x x ≤-恒成立，求a 的取值范围.

当1

2

1

a

>时，()

g x在

1

1,

2

a

??

?

???上单减，

1

,

2a

??

+∞

?

??

上单增，而

11

110

g ln

a a

??

++>

?

?

?

=

?

??

?

?

，矛盾；综上，0

a≤.

法二（分离参数）()

()2

1ln

10

1

x x

f x x a

x

--

-+≤?≤

-

在()

1,+∞上恒成立（端点1

x=自动成立）

设()

()

()

()

23

1

2ln

1ln

11

x x

x x x

g x g x

x x

-+

--

'

=?=

--

，令

()12ln

h x x x

x

=-+?()

()2

22

1

12

10

x

h x

x x x

-

'=--+=-<

()12ln

h x x x

x

?=-+在[)

1,+∞上为减函数，则()()()

10

h x h g x

'

<=?<0?()

g x在()

1,+∞

上为减函数，又因()

()2

1ln1

lim lim lim0

2

1

x x x

x x

g x

x

x

→+∞→+∞→+∞

--

===

-

，故实数a的取值范围为0

a≤

（2）若102a <≤

时，则121a >，故()g x 在11,2a ??????上单减，1,2a ??+∞ ???

上单增，而11110g ln a a ??

++> ???=???

? ?，矛盾；

综上，实数a 的取值范围为0a ≤

点评：（1)在端点处恰好适合题意，分离参数所得函数却在x →+∞时得到下确界，值得留意.

（2）缩小范围所得参数范围不一定恰好具有充分性，则需要分类讨论，这时可以减少分类的层级数，缩短解题步骤。

（3）构造反例，寻找合适的特殊值，具有很强的技巧性。因函数()()2

11ln g x a x x x =--++分解为二次函数与对数函数之和，故构造特殊值的反例时可以分别考虑二次函数与对数函数的零点，对数函数的零点为1x =，而二次函数的零点为1x =及11x a =

+，又知当1

02

a <≤

时，零点111x a =

+>，故易得11110g ln a a ??

++> ???=???

? ?，从而导出矛盾。 【扩展链接】

洛必达法则简介：

法则1 若函数()f x 和()g x 满足下列条件：（1) ()lim 0x a

f x →=及()lim 0x a

g x →=；（2）在点a

的去心邻域内，()f x 与()g x 可导，且()0g x '≠；（3）()

()

lim

x a

f x l

g x →'='，那么()()

()

()

lim

lim

x a

x a

f x f x l

g x g x →→'=='.

法则2 若函数()f x 和()g x 满足下列条件：（1) ()lim 0x f x →∞

=及()lim 0x g x →∞

=；（2）0A ?>，

()f x 和()g x 在(),A -∞与(),A +∞上可导，且()0g x '≠；（3）()

()

lim

x f x l g x →∞

'='，那么()()

()

()

lim

lim

x x f x f x l g x g x →∞

→∞

'=='. 法则3 若函数()f x 和()g x 满足下列条件：（1) ()lim 0x a

f x →=及()lim 0x a

g x →=；（2）在点a

的去心邻域内，()f x 与()g x 可导且()0g x '≠；（3）()

()

lim

x a

f x l

g x →'='，那么()()

()

()

lim

lim

x a

x a

f x f x l

g x g x →→'=='. 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

①将上面公式中的,x a x →→∞换成,,,x x x a x a +-→+∞→-∞→→洛必达法则也成立。

②洛必达法则可处理000,,0,1,,0,0∞∞

?∞∞∞-∞∞

型。

③在着手求极限以前，首先要检查是否满足000,,0,1,,0,0∞∞

?∞∞∞-∞∞型定式，否则滥用洛

必达法则会

出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

④若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

【同步训练】

1．已知函数()ln x a f x e x -=+.

（1）若1a =，求证：当1x >时，()21f x x >-；

（2）若存在0x e ≥，使()02ln f x x <，求实数a 的取值范围. 【思路引导】

(1)由题意对函数求导，然后构造函数()1

ln 21x g x e x x -=+-+，结合函数的性质即可证得

题中的结论；

(2)结合题意构造函数()ln x

e h x x

=，结合其导函数的性质可得实数a 的取值范围是a e >.

设h （x ）=x

e lnx （x ≥e ），则h ’（x ）=x 2e 1lnx ln x x -（）

u =lnx -1x ，u ’ =2111

0u lnx x x x

+=-＞，在[e ，+∞）递增。 x =e 时，u =1-1

e

＞0，所以u ＞0在[e ,+00）恒成立，

h ’（x ）＞0，在[e ,+00）恒成立，所以h （x ）[e ,+∞）递增 x ≥e ，时h （x ）min =h （e ）=e e

需e a ＞e e

?a ＞e

2．已知()2

x

f x e ax =-， ()

g x 是()f x 的导函数．

（Ⅰ）求()g x 的极值；

（Ⅱ）若()1f x x ≥+在0x ≥时恒成立，求实数a 的取值范围． 【思路引导】

（Ⅰ）求函数f （x ）的导数g （x ）,再对g(x)进行求导g’(x),即可求出()g x 的极值；（Ⅱ）讨论12a ≤

以及1

2

a >时，对应函数f （x ）的单调性，求出满足()1f x x ≥+在0x ≥时恒成立时a 的取值范围．

【详细解析】

当1

2

a >

时，由1x e x >+（0x ≠）可得1x e x ->-（0x ≠）. ()()()()

'12112x x x x x h x e a e e e e a --<-+-=--，

故当()()

0,ln 2x a ∈时， ()'0h x <，

于是当()()

0,ln 2x a ∈时， ()()00h x h <=， ()1f x x ≥+不成立. 综上， a 的取值范围为1,2

??-∞ ??

?

．

3．已知函数()()1ln (0)a

f x x a x a x

=+

+-<． （Ⅰ）若2a =-，求曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）设函数()a

g x x

=．若对于任意(]1,x e ∈，都有()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围．

【思路引导】

(Ⅰ) 求出()'f x ，可得切线斜率()10f '=，根据点斜式可得切线方程；（Ⅱ）讨论三种情况，分别令()'0f x >得增区间， ()'0f x <得减区间； （Ⅲ）对于任意(]

1,x e ∈，都有

()()f x g x >成立等价于1ln x a x -->

恒成立，利用导数研究函数()ln x F x x

-=的单调性，求出其最大值，进而可得结果. 【详细解析】

（3）当1a -=，即1a =-时， ()()2

222

1210x x x f x x x -='-+=≥在()0,+∞上恒成立，

所以函数()f x 的增区间为()0,+∞，无减区间. 综上所述：

当10a -<<时，函数()f x 的增区间为()0,a -， ()1,+∞，减区间为(),1a -； 当1a <-时，函数()f x 的增区间为()0,1， (),a -+∞，减区间为()1,a -； 当1a =-时，函数()f x 的增区间为()0,+∞，无减区间. （Ⅲ）因为对于任意(]

1,x e ∈，都有()()f x g x >成立， 则()1ln 0x a x +->，等价于1ln x

a x

-->. 令()ln x

F x x

-=

，则当(]1,x e ∈时， ()max 1a F x ->. ()()

2

1ln ln x

F x x '-=

.

因为当(]1,e x ∈时， ()0F x '≥，所以()F x 在[]

1,e 上单调递增. 所以()()max F x F e e ==-. 所以1a e >-. 所以10e a -<<. 4．已知函数，.

(Ⅰ)当时，求证：过点有三条直线与曲线

相切；

(Ⅱ)当

时，

，求实数的取值范围.

【思路引导】

(1)，设直线与曲线相切，其切点为，求出切线方程，且切线过点，可得，判断方程有三个不的根，则结论易得；

(2) 易得当时，，设，则，

设，则，分、两种情况讨论函数的单调性并求出最小值，即可得出结论；

法二：

(1)同法一得，设，求导判断函数的单调性，判断函数的零点个数，即可得出结论；

(2)同法一.

【详细解析】

(Ⅱ)当时，，即当时，

当时，，

设，则，

设，则.

(1)当时，，从而(当且仅当时，等号成立)

在上单调递增，

又当时，，从而当时，，

在上单调递减，又，

从而当时，，即

于是当时，，

在上单调递增，又，

从而当时，，即

于是当时，

，

综合得的取值范围为

.

当变化时，

变化情况如下表：

x

7,12??-∞- ? ???

7

12

- 77,1212??- ? ???

7

12

7,12??+∞ ? ???

()g x '

+

-

+

()g x

极大值

287

1312

+

极小值

287

1312

-

+

恰有三个根，

故过点

有三条直线与曲线相切.

(Ⅱ)同解法一.

5．已知函数（）.

（1）当曲线在点处的切线的斜率大于时，求函数的单调区间；

（2）若对恒成立，求的取值范围.（提示：）

【思路引导】

(1)考查函数的定义域，且，由，得.分类讨论：当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递减区间为.

(2)构造新函数，令，，

则，，分类讨论：

①当时，可得.

②当时，.

综上所述，.

【详细解析】

②当时，令，得.

当时，，单调递增；当时，，单调递减.

所以当时，取得最大值.

故只需，即，

化简得，

令，得（）.

令（），则，

令，，

所以在上单调递增，又，，所以，，所以在上单调递减，在上递增，

而，，所以上恒有，

即当时，

.

综上所述，

.

6．已知函数()e (0)ax

f x bx a =+<在点()()

0,0f 处的切线方程为51y x =+,且

()()1112f f ='+.

(Ⅰ)求函数()y f x =的极值；

(Ⅱ)若()2

3f x x >+在[]

1,x m ∈上恒成立，求正整数m 的最大值.

【思路引导】

(Ⅰ)由函数的解析式可得()e

6x

f x x -=+，结合导函数与极值的关系可得

()()ln6ln6e 6ln666ln6f x f =-=-=-极小值，无极大值.

(Ⅱ)由题意结合恒成立的条件可得正整数m 的最大值是5. 【详细解析】

()'0g x <.∴()y g x =在区间[]

01,x 上递增，在区间()0,x m 上递减， 又∵()()()1

2

3

1e 20,2e 50,3e 60,g g g ---=+>=+>=+>

()()()4564e 50,5e 20,6e 30.g g g ---=+>=+>=-<

∴当15x ≤≤时，恒有()0g x >；当6x ≥时，恒有()0g x <； ∴使命题成立的正整数m 的最大值为5.

7．已知函数()2

1

x a f x x -=

+， ()3

g x x kx =-，其中a ， R k ∈. （1）若()f x 的一个极值点为1

2

，求()f x 的单调区间与极小值；

（2）当0a =时， []

10,2x ?∈， []21,2x ∈， ()()12f x g x ≠，且()g x 在[]

1,2上有极值，求k 的取值范围. 【思路引导】 （1）求导,由题意102f ??

= ??

'?,可得34a =-,下来按照求函数的单调区间与极值的一般步骤求解即可;

（2）当0a =时， ()21x f x x =+，求导,酒红色的单调性可得()()max

1

12

f x f ∴==,进而得到()10,2

f x ??

∈????

.

又()2

3g x x k ='-， []1,2x ∈，分类讨论,可得3k ≤或12k ≥时， ()g x 在[]

1,2上无极

值.

若312k <<，通过讨论()g x 的单调性，可得()min

g x g = 32

12=>，或(){}max max 82,1g x k k =-- 0<，可得k 的取值范围.

【详细解析】

()f x ∴的单调递增区间为12,2??

- ??

?

，单调递减区间为(),2-∞， 1,2

??+∞ ???

.

()f x ∴的极小值为()1

24

f -=-.

8．已知函数()()sin cos 0f x x x x x =-≥. (1)求函数()f x 的图象在π,12??

???

处的切线方程； (2)若任意()0,x ∞∈+，不等式()3

f x ax <恒成立，求实数a 的取值范围；

(3)设()π

2

d m f x x =?

， ()()()2

64πm

g x f x x =

-，

证明： ][2111111333n g g g ????

??????+++< ?

?

?????????

??????

【思路引导】

(1) 求导,易得结果为ππ122y x ??

=

-+ ???

; (2) 原不等

式

等价

于

3sin cos 0

x x x ax --≤,令()3sin cos g x x x x ax =--,

()()

sin 3g x x x ax =-',

令

()()sin 3,cos 3h x x ax h x x a =='--,分13a ≤-, 13a ≥,11

33

a -<<三种情况讨论函数

的单调性,则可得结论;

(3) 利用定积分求出m 的值,由(2)知,当13a =

时, ()31

3

f x x ≤,则()

g x x ≤, 令()()ln 1x x x μ=+-, 0x >,求导并判断函数()u x 的单调性,求出()()00u x u <=, 即

()ln 1x x +<在()0,∞+上恒成立, 令111

ln 1333

n n n x ??=

+< ???得,则结论易得. 【详细解析】