北师大版初三数学下册将军饮马问题导学案

中考最值专题复习

将军饮马问题

平面几何中涉及最值问题的相关定理或公理有：① 线段公理：两点之间，线段最短. 并由此得到三角形三边关系； ② 垂线段的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短. 在一些“线段和最值”的问题中，通过翻折运动，把一些线段进行转化即可应用 ①、② 的基本图形，并求得最值，这类问题一般被称之为“将军饮马”问题。模型提炼

(一)两定点在一条直线两侧

例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A 到城堡B ，途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？

(二)两定点在一条直线同侧

例2.如图：一位将军骑马从城堡A 到城堡B ，途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？

变式：已知：P 、Q 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，你能在BC 上确定一点R ，使△PQR 的周长最短吗？

城堡 A

城堡

(三)一定点在两相交直线内部

例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地OM吃草，再牵马去河边ON喝水，最后回到驻地A，

问：这位将军怎样走路程最短？

变式1：已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q

和R，使△PQR的周长最短吗？

变式2：已知∠MON中有一点A,求在OM、ON上分别找一个点B、C,

使得AB+BC最短。

( 四）两定点在两相交直线内部

如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。

草地河

基础练习

一次函数与最值问题

已知点A(1，2)与点B(3，5),试分别求出满足下列条件的点的坐标：

（1）在y轴上找一点D，使得△ABD周长最小；

（2）在直线x=4上找一点E，使得AE+BE的值最小；

中考链接：

二次函数与最值问题

（2013?广东）已知二次函数y= x ﹣2mx+ ㎡ ﹣1

（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式；

（2）如图，当m=2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；

（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC+PD 最短？

若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．

（2012山西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x +2x+3与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求直线AC 的解析式及B ．D 两点的坐标；

（2）点P 是x 轴上一个动点，过P 作直线l ∥AC 交抛物线于点Q ，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以点A ．P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）请在直线AC 上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出M 点的坐标．

北师大版初三数学复习计划

北师大版初三数学复习计划 Prepared on 21 November 2021

九年级数学中考备考复习计划一、复习的整体思路初三数学总复习，通常分三个阶段。第一阶段：全面复习基础知识，夯实“三基”。通过第一阶段的复习，使学生系统的掌握基础知识，基本技能和基本方法，形成清晰的知识网络和稳定的知识框架。第二阶段：综合运用知识，强化能力培养。第二阶段的复习既不是知识的复习，更不是知识的压缩，而是一个知识总综合、巩固、完善、提高的过程。即注重知识的整合，又注重查缺补漏，力求使各部分知识成为一个有机的整体。实现基础知识重点化、重点知识网络化、网络知识题型化、题型设计生活化。在这一阶段要以数学思想方法为主线，学生的综合训练为主题，克服重复，突出重点。在数学应用方面，注意数学知识与生活的联系，穿插专题复习，培养学生渗透题型生活化的意识，以此提高学生对阅读理解题的审题能力。第三阶段：考前模拟，建立自信。此阶段注重提高学生的整体能力，包括知识的深化巩固，能力的培养提高，解体的技巧和方法，运算速度和准确率等方法，要注意及时评价，及时反馈。二、复习的整体策略和方法整体策略为以课本为主，紧扣教材，注重基础知识，基本技能和基本方法的训练和落实，决不放弃课本。

整体方法为：以小题组训练为主，强化落实，力求一课一练，一张一测，注重反馈和评价，不断总结。三、复习课时安排第一阶段：按照初中数学知识体系，整体可划分为“数与式、方程(组)与不等式(组)、函数与函数图像、图形初步、三角形、四边形、圆、对称旋转、三角函数、统计与概率”共10个单元。具体时间可划分及课时安排如下：

新北师大九年级数学下册知识点总结

新北师大九年级数学下册知识点总结 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】

新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 2.正弦．．：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ; 3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边 A A ∠=cos ;

图1 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。二．特殊角的三角函数值三．三角函数的计算 1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． 2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． 3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。 4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．． )。用字母i 表示，即A l h i tan == 5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。 6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．．．。如图4，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。 7.同角的三角函数间的关系： 30 o 45 o 60 o sin α cos α tan α 1 图2 h i=h:l l B

北师大版初三数学知识点总结

北师大版初三数学上册知识点汇总第一章证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：2 22c b a =+（注意区分斜边与直角边） ②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示， AO=BO=CO ） ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 (如图2所示，OD=OE=OF) 第二章一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。 ※把02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。 ※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= （注意在找ab c 时须先把方程化为一般形式） A C B O 图1 图2 O A C B D E F

北师大版初三下册数学知识点总结

第一章直角三角形边的关系 ※一. 正切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边 A A A ∠∠= tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 ※二. 正弦．．：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边 A A ∠= sin ; ※三. 余弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边 A A ∠= cos ; ※余切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边的邻边 A A A ∠∠= cot ; ※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。（通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则 ①)90cos(sin A A ∠-?=； )90sin(cos A A ∠-?= ②)90cot(tan A A ∠-?=； )90tan(cot A A ∠-?= ※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． ※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．

中考数学必会几何模型：将军饮马模型

将军饮马模型 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现．模型1：直线与两定点模型作法结论 l B A 当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线 l 上找一点P ，使P A ＋PB 最小． l P A B 连接AB 交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点． P A ＋PB 的最小值为AB l A B 当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得P A ＋PB 最小． l P B' A B 作点B 关于直线l 的对称点B '，连接AB '交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点． P A ＋PB 的最小值为AB ' l A B 当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线 l 上找一点P ，使得PA PB -最大． l P A B 连接AB 并延长交直线l 于点 P ，点P 即为所求作的点． PA PB -的最大值为 AB l A B 当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线 l 上找一点P ，使得PA PB -最大． l B' A B P 作点B 关于直线I 的对称点B '，连接AB '并延长交直线l 于点 P ，点P 即为所求作的点． PA PB -的最大值为 AB '

l A B 当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小． l P A B 连接AB ，作AB 的垂直平分线交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点． PA PB -的最小值为0 模型实例例1：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，则PD ＋PE 最小值是． E B C A D P 解答：如图所示，∵点B 与点D 关于AC 对称， ∴当点P 为BE 与AC 的交点时，PD ＋PE 最小，且线段BE 的长． ∵正方形ABCD 的面积为12，∴其边长为23∵△ABE 为等边三角形，∴BE ＝AB ＝23PD ＋PE 的最小值为3 例2：如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，∠BCD ＝15°，P 为CD 上的动点，则PA PB - 的最大值是多少？ D P P A' B 解答：

北师大版九年级数学上册知识点总结

九（上）数学知识点答案第一章证明（一） 1、你能证明它吗？（1）三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、（2）等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。（4）含30度的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。（3）直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 3、线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 4、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。（2）三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（3）如何用尺规作图法作出角平分线

将军饮马

将军饮马问题——线段和最短一．六大模型 1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小 4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的周长最小。 5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小 6. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小

D B C A A N 二、常见题目 Part1、三角形 1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE = 2，求EM+EC 的最小值 2．如图，在锐角△ABC 中，AB = 42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____． 3．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，则这个最小值

M B D A D A Part2、正方形 1．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为_________。即在直线AC 上求一点N ，使DN+MN 最小 2．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为（） A ．23 B ．2 6 C ．3 D ． 6 3．在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）. 4．如图，四边形ABCD 是正方形， AB = 10cm ，E 为边BC 的中点，P 为BD 上的一个动点，求PC+PE 的最小值；

北师大版九年级数学知识点汇总

北师大版九年级数学 , 知识点汇总第一章特殊平行四边形一、平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、性质：（1）平行四边形的对边平行且相等。（2）平行四边形的对角相等，邻角互补。）

（3）平行四边形的对角线互相平分，两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形。（4）平行四边形是中心对称图形。 3、判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4、面积：S平行四边形=底ⅹ高二、菱形 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。《 2、性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质。（2）菱形的四条边都相等。（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。（4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。 3、判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。（3）四条边都相等的四边形是菱形。 4、面积：S菱形=底ⅹ高；S菱形=对角线乘积的一半三、矩形 1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。、 2、性质：（1）矩形具有平行四边形的所有性质。（2）矩形的四个角都是直角。（3）矩形的对角线相等且互相平分，两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形。（4）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（5）矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。 3、判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。（2）对角线相等的平行四边形是矩形。（3）有三个角是直角的四边形是矩形。 4、面积：S矩形=底ⅹ高

北师大版初中数学知识点总结

初中数学知识点总结第一章实数考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如 32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； …等；（4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数：实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数：如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a 的平方根记做“a ± ”。 2、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 0≥a 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 ==a a 2 a （a ≥0） ==a a 2 -a （a <0）；注意a 的双重非负性：

轴对称将军饮马问题

将军饮马问题教案教学设计【教材分析】本节内容的地位与作用最短路径问题是中考热点问题之一，本课是在初二上学期，学生学完了轴对称、勾股定理、位置与坐标、一次函数等章节后以课本上数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．主要是运用数形结合和思想，综合轴对称、线段的性质和勾股定理以及一些常见的轴对称图形的性质解决线段之和最短问题，该问题的解决为我们提供了一种解题的思路和线索，触类旁通，由此产生了一系列问题的解题思路。使学生在操作活动的过程中感受知识的自然呈现，体验数学的神秘与乐趣。【学情分析】从我平时教学反映出学生不重视学习方法，不注意归纳总结，不会思考，更不善于思考，只懂得机械的重复做题，浪费的大量的时间和精力，再加上来自社会、家长和老师的压力较大，学生学的辛苦，毫无快乐可言．而家长对我们教学的质量的要求较高，不但要学习成绩好，还要孩子学的轻松，玩的高兴．所以想通过本节课引导学生学会学习，学会思考，从而使其感受到学习的快乐，提高学习的兴趣，避免死做题，读死书，以达到“教”是为可不教的目的．我班为平行班，代表了年级的平均水平，学生基础尚可，自觉性较强，学习努力，所以本节课设计为一堂学法研究课，旨在让学生学会思考，感受学习的快乐，体验成功．教学目标：【知识技能】 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． 2.能利用轴对称变换解决日常生活中的实际问题。【过程与方法】．培养学生的探究、归纳、分析、解决问题的能力。【情感与态度】进一步培养好奇心和探究心理，更进一步体会到数学知识在生活中重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 难点：在实际题目中会运用最短路径模型灵活解决问题。【教学关键】运用好数形结合的思想，特别是从轴对称和线段的性质入手，获得求线段之和最短问题的直观形象，以便准确理解本节课的内容。【教学策略】利用教学资源，通过创设具有启发性的、学生感兴趣的、有助自主学习和探索的问题情境，使学生在活动丰富、思维积极的状态中进行探究学习，组织好合作学习，并对合作过程进行引导，使学生朝着有利于知识建构的方向发展。

北师大版数学九年级下册：综合测试题

D C B A 30° 45° E D C B A o 北师大版九年级数学下册检测试题一、选择题（每小题3分，共30分） 1.在△ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边.则有（） A.b ＝a tan A B.b ＝c sin A C.a ＝c cos B D.C ＝a sin A 2.如图，已知AB 是⊙O 的直径，?BC ＝?CD ＝?DE ，∠BOC ＝40°，那么∠AOE ＝（） A.40° B. 60° C.60° D.120° 3.如图2，已知BD 是⊙O 的直径，⊙O 的弦AC ⊥BD 于点E ，若∠AOD=60°，则∠DBC 的度数为（） A.30° B.40° C.50° D.60° 4.如图4，在直角坐标系中，圆O 的半径为1 2y x =-+与圆O 的位置关系是（）Ａ．相离Ｂ．相交Ｃ．相切Ｄ．以上三种情形都有可能 5.二次函数y=ax 2+bx+c 与一次函数y=ax+c ，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（） A ． B ． C ． D ． 6.如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（） A.200米 3米 3 3+1)米 7.如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB ＝30°，则sin ∠AOB 的值是（） A. 1 2 B.22 C.32 D. 33 8.已知点A (1，y 1)，B (－2，y 2)，C (－2，y 3)在函数y ＝12x 2－1 2 的图像上.则y 1、y 2、y 3的大小关系是（） A.y 1＜y 2＜y 3 B.y 1＞y 2＞y 3 C.y 1＞y 3＞y 2 D.y 3＞y 1＞y 9.如图，点A ，B 的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线m x a y +-=2 )(顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点横坐标最小值为3-，则点D 的横坐标最大值为( ) A ．－3 B ．1 C ．5 D ．8 E D B C A O C B A O O 1 1 1- 1- y x 图4

初中数学之将军饮马的6种模型(培优)

初中数学之将军饮马的六种常见模型将军饮马问题——线段和最短一．六大模型 1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。 2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。 3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△P AB的周长最小 4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形P AQB的周长最小。

5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小 6. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小二、常见题目类型一、三角形 1．如图，在等边△ABC中，AB= 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，AE=2，求EM+EC 的最小值解：∵点C关于直线AD的对称点是点B， ∴连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小，过点B作BH⊥AC于点H，则EH = AH–AE = 3–2 = 1， BH= 在直角△BHE中，BE

2．如图，在锐角△ABC中，AB =BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．解：作点B关于AD的对称点B'，过点B'作B'E⊥AB于点E，交AD于点F，则线段B'E长就是BM＋ＭＮ的最小值在等腰Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 4 3．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值解：作AB关于AC的对称线段AB'，过点B'作B'N⊥AB，垂足为N，交AC于点M，则B'N= MB'+MN = MB+MN. B'N的长就是MB+MN的最小值，则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2， ∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。∴AN = 1，在直角△AB'N中，根据勾股定理B'N 类型二、正方形 1．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小。解：故作点D关于AC的对称点B，连接BM，交AC于点N。则DN＋MN＝BN＋MN＝BM。线段BM的长就是DN＋MN的最小值。在直角△BCM中，CM＝6，BC＝8，则BM＝10。故DN＋ＭＮ的最小值是10

北师大版九年级下册数学期末试卷

北师大版九年级下册数学期末试卷一．选择题（共10小题） 1．下列式子错误的是（） A．cos40°=sin50°B．tan15°?tan75°=1C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30° 2．一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（） A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10° B．C．AC=1.2tan10°米D．AB=米 3．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，AC=1，那么∠A的正切tanA等于（）A．B．2 C． D． 4．函数y=k（x﹣k）与y=kx2，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（） A．B．C．D． 5．若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（） A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4 6．若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（） A．x 1=﹣3，x 2 =﹣1 B．x 1 =1，x 2 =3 C．x 1 =﹣1，x 2 =3 D．x 1 =﹣3，x 2 =1 7．如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（）

A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 8．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CAB=40°，则∠ABD 与∠AOD 分别等于（） A ．40°，80° B ．50°，100° C ．50°，80° D ．40°，100° 9．已知⊙O 的半径OD 垂直于弦AB ，交AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，若AB=8，CD=2，则△BCE 的面积为（） A ．12 B ．15 C ．16 D ．18 10．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①b ＜0；②c ＞0；③a+c ＜b ；④b 2﹣4ac ＞0，其中正确的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二．填空题（共10小题） 11．在△ABC 中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA 的值是． 12．在将Rt △ABC 中，∠A=90°，∠C ：∠B=1：2，则sinB= ． 13．已知cos α=，则的值等于． 14．已知抛物线y=ax 2﹣3x+c （a ≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c ﹣1= ． 15．若二次函数y=2x 2﹣4x ﹣1的图象与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，则+ 的值为． 16．已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线上，点N 在直线y=﹣x+3上，设点M 坐标为（a ，b ），则y=﹣abx 2+（a+b ）x 的顶点坐标为． 17．若⊙O 的直径为2，OP=2，则点P 与⊙O 的位置关系是：点P 在⊙O ．

北师大版初三数学知识点总结

北师大版初三数学知识点总结 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-

北师大版初三数学上册知识点汇总第一章证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30o ，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o 的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：222c b a =+（注意区分斜边与直角边） ②在直角三角形中，如有一个内角等于30o ，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示，AO=BO=CO ） ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 (如图2所示，OD=OE=OF) 第二章一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。 ※把02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。 ※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2=+m x 的形式> A C B O 图1 图2 O A C B D E F

初中数学将军饮马问题的六种常见题型汇总

第 6 页共 10 页初中数学将军饮马问题的六种常见模型将军饮马问题——线段和最短一．六大模型 1. 如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。 2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。 3.如图，点P 是∠ MON 内的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使△P AB 的周长最小 4.如图，点P ， Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使四边形P AQB 的周长最小。 5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小

第 6 页共 10 页 6. .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小二、常见题目【1】、三角形 1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，AE =2，求EM +EC 的最小值解： ∵点C 关于直线AD 的对称点是点B ， ∴连接BE ，交AD 于点M ，则ME +MD 最小，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1， BH =22BC CH -=2263-=33 在直角△BHE 中，BE =22BH EH - =22(33)1+=27 2．如图，在锐角△ABC 中，AB =42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是____．解：作点B 关于AD 的对称点B '，过点B '作B 'E ⊥AB 于点E ，交AD 于点F ，则线段B 'E 长就是BM ＋ＭＮ的最小值在等腰Rt △AEB '中，根据勾股定理得到，B 'E = 4

(完整版)新北师大九年级数学下册知识点总结

新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章直角三角形边的关系一?锐角三角函数 1. 正切：定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的对边与邻边的比叫做/A 的正切，记作 tanA , ① tanA 是一个完整的符号，它表示/A 的正切，记号里习惯省去角的符号“/”； ② tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中/A 的对边与邻边的比； ③ tanA 不表示"tan ”乘以"A ”； ④ 初中阶段，我们只学习直角三角形中，/A 是锐角的正切； ⑤ tanA 的值越大，梯子越陡，ZA 越大；ZA 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 2. 正弦：定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的对边与斜边的比叫做/A 的正弦，记作sinA ，即sin A A 的对边 ................................... """■ 斜边 3. 余弦：定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的邻边与斜边的比叫做/A 的余弦，记作cosA ，即cosA A 的邻边 .............................. ■■■■■ 斜边之变化三?三角函数的计算 1. 仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角 2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大 < sin a< 1， 0< cos a< 1。 4. 坡度：如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 i tan A l 5. 方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角...。如图3，OA OB OC 的方位角分别为 45 °、135 °、225 °。 6. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的水平角，叫做方向角.。如图4，OA 、即 tanA A 的对边 A 的邻边锐角A 的正弦、余弦和正切都是/A 的三角函数当锐角 A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随 30 o 45 o 60 o sin a 1 亞矗 2 2 2 cos a 旦返 1 2 2 2 tan a 迴 3 1 3. 规律：禾U 用特殊角的三角函数值表，可以看岀, （1）当角度在0 °?90°间变化时，正弦值、正切（或减小）而减小（或增大）。（2）0 （或坡比）。用字母i 表示，即二?特殊角的三角函数值图2

北师大版初中数学知识体系知识讲解

初中数学知识体系D-1 第一章数式与平面直角坐标系 1、数：实数、数轴、相反数、倒数、绝对值、科学记数、近似数、有效数字、平方根、立方根、实数的混合运算 2、整式：列代数式、单项式、多项式、去括号、合并同类项、平方差公式、完全平方公式、因式分解、、非负的三种情况（绝对值、平方、平方根）、整式的混合运算 3、分式：分式的意义、约分和通分、分式的混合运算 4、幂：同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方、零指数幂、负数指数幂、大小比较 5、二次根式：二次根式的意义、二次根式的的性质、二次根式的混合运算 6、平面直角坐标系：象限、点到坐标轴的距离第二章方程与不等式

1、一元一次方程：等量关系、解一元一次方程的步骤(去括号、去分母、移项、合并同类项) 2、二元一次方程组：解二元一次方程组的步骤、代入消元法、加减消元法、整体消元法 3、一元二次方程：根的判别式、根与系数关系、直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 4、分式方程：解题步骤（提公因式、公式法、十字相乘、分组分解）、增根、验根 5、不等式：不等式的基本性质、不等式组的解集、不等式中字母的取值范围第三章函数 1、函数：变量关系、函数自变量的取值范围、函数表示方法、分段函数、画函数图像 2、一次函数：一般形式、正比例函数、待定系数法、图像和性质、平移 3、二次函数：一般形式、常见表达式、

顶点坐标及其意义、图像与性质、平移 4、反比例函数：一般形式、图像与性质、k的意义 5、三角函数：正弦、余弦、正切、特殊角的三角函数值、锐角三角函数的性质、等角代换法、参数法、构造法第四章平面与空间几何 1、几何基础：点、线、面、体、角、展开图、欧拉公式、平移、轴对称、中心对称、三视图、平行投影与中心投影、尺规作图、几何证明 2、三角形：四线、边角关系、等腰三角形、等边三角形、勾股定理、全等三角形的性质、全等三角形的判定条件、倍长中线法、截长补短法、比例的基本性质、合比与等比性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定 3、平行四边形：平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定、中点四边形

将军饮马的六种模型

第 1 页共 10 页将军饮马的六种常见模型将军饮马问题——线段和最短一．六大模型 1.如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。 2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。 3.如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使△P AB 的周长最小 4.如图，点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使四边形P AQB 的周长最小。 5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小

6. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小二、常见题目 Part1、三角形 1．如图，在等边△ABC中，AB= 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，AE=2，求EM+EC 的最小值解：∵点C关于直线AD的对称点是点B， ∴连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小，过点B作BH⊥AC于点H，则EH = AH–AE = 3–2 = 1， BH = 22 BC CH -=22 63 -=33 在直角△BHE中，BE = 22 BH EH - =22 (33)1 +=27 2．如图，在锐角△ABC中，AB =42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．解：作点B关于AD的对称点B'，过点B'作B'E⊥AB于点E，交AD于点F，则线段B'E长就是BM ＋ＭＮ的最小值在等腰Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 4 第 2 页共10 页

北师大版九年级数学下册全套教案

乂务教育基础课程初中教学资料 -- 第一章直角三角形的边角关系 § 1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）学习目标： 1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2. 能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.学习重点：........ .... 1. 从现实情境中探索直角三角形的边角关系 2. 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系学习难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 学习方法：引导一探索法. 学习过程：一、生活中的数学问题： 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 2、生活问题数学化： ⑴如图：梯子 AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？哪个更陡？你是怎样判断的？ B 2m C F 2.5m D ≡EL-?P 二组第三组二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt △ AB I Cl和Rt△ AB2C2有什么关系？ ⑵B I C l和BC L有什么关系？ AC1 AC 2 ⑶如果改变B2在梯子上的位置（如B3C3）呢？ ⑷由此你得出什么结论？三、例题：例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡 A C3C2 C]例2、在△ ABC中，∠ C=90°, BC=12cm AB=20cm 求tanA 和tan B 的值. E'l Sm R

1: 1.5的斜坡AD,求DB 的长.（结果保留根号）五、课后练习: 1、在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 ,AB=3,BC=1,则 tanA= _______ 2、在厶 ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,贝U tanA= ________ . 3、在厶 ABC 中,AB=AC=3,BC=4,则 tanC= ________ 四、随堂练习： 1如图，△ ABC 是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出 tanC 吗? 2、如图，某人从山脚下的点 A 走了 200m 后到达山顶的点 B,已知点B 到山脚的垂直距离为 55m 求山的坡度?（结 3、若某人沿坡度i = 3: 4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高 ____________ 米. 4、菱形的两条对角线分别是 16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为 tan θ = ______ . 5、如图，Rt △ ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡 AB 的长为12 m ,它的坡角为45 ,为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为 4、在 Rt △ ABC 中，∠C 是直角，∠A ∠ B ∠C 的对边分别是 a 、b 、c,且 a=24,c= 25, 求 tanA 、tanB 的值. 5、若三角形三边的比是 25:24:7,求最小角的正切值 5 6、如图，在菱形ABCc 中,AE ⊥BC 于E,EC=1,tanB= ,求菱形的边长和四 12 边形AECD 勺周长.