人教版九年级数学下 二次函数教学案
人教版九年级数学下 二次函数教学案
科目____数学___ 教师________ 时间 学生
二次函数
一． 知识点梳理
*考点1：二次函数的有关概念
一般地，形如2y ax bc c =++(,,)a b c ≠是常数，a 0的函数叫做x 的二次函数。 2.考点2：二次函数地图象及几种重要形式的特点：
例题：求二次函数243y x x =-+的对称轴，以及与x 轴，y 轴的交点。
例题：用配方法将二次函数
1232
--=x x y 化成()k h x a y +-=2
的形式是 .
例题：二次函数
x x y 42
+-=的图象的顶点坐标是 ，在对称轴的右侧y 随x 的增大而
例题：已知抛物线
c bx x y ++=2
2的顶点坐标是（-2，3），则bc = .
例题：已知二次函数
()()m mx x m y --+-=3222
的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y 轴的负半轴，则m 的取值范围是 .
例题：抛物线()()312-+=x x y 的顶点坐标是( ). (A)(-1,-3); (B)(1,3); (C)(-1,8); (D)(1,-8);
例题：若二次函数
c bx ax y ++=2
的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y 轴的正半轴; 则点?
?? ??b c a P ,在（ ）
*考点3：二次函数2y ax bc c =++（0a ≠）的变化情况（增减性）
（1） 如图所示，当a>0时，对称轴左侧
（x<2b
a -），y 随着x 的增大而减
小 在对称轴的右侧（x>2b
a
-），y 随x 的增大而增大；
如图所示，当a>0时，对称轴左侧（x<2b
a
-），y 随着x 的增大而增大，在对称轴的右侧（x>2b
a
-），
y 随x 的增大而减小；
例题：抛物线y=ax 2＋bx ＋c 如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是 ． *考点4：二次函数2y ax bc c =++（0a ≠）的最值
（1）当a>0时，抛物线2y ax bc c =++有最低点，函数有最小值，当x ＝2b
a
-
时，y 最小＝2
44ac b
a
-。
（2）当a<0时，抛物线2y ax bc c =++有最高点，函数有最大值，当x ＝2b
a
-
时，y 最大＝2
44ac b
a
-。
*考点5：二次函数图象平移规律
任何抛物线2y ax bc c =++可以由抛物线2y ax =经过平移得到，具体方法如下图：
注意：平移后抛物线开口方向，开口大小补变（a 不变）；平移时“上加下减”“左加右减”。
例题：抛物线3422
++=x x y 由抛物线
1622+-=x x y 向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到。
例题：若二次函数y=2x 2的图象向下平移 3个单位，向右平移4个单位，得到的
抛物线的关系式为_______________.
*考点6：求二次函数的解析式
用待定系数法求出二次函数解析式，要以根据给定点的特点选择合适的方法来求解。
一般地，在给定条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时，可设顶点式
2()y a x h k =-+；在说给条件中已知抛物线与x 轴两焦点坐标或已知抛物线与x
轴一交点坐标与对称轴，可通过设交点式为1()(2)y a x x x x =-?-来求解；在作给的三个条件式任意三点（或任意三对x ，y 的值）可设一般式为2y ax bc c =++，然后组成三元一次方程组求解。
例题：抛物线2y ax bc c =++，顶点为（2，3），且与x 轴的两个交点的距离为6，求抛物线的解析式。
例题：已知2y 2x =的图象是抛物线，若抛物线不动，把x 轴，y 轴分别向上，向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式为_______________。 例题：抛物线
c
bx ax y ++=2中，已知a ：b ：c=l ：2：3，最小值为6，则此抛
物线的解析式为___________ *考点7：二次函数的应用
在一些实际问题中，如物体运动规律，销售问题，利润问题，几何图形变化问题等，抽象出二次函数的数学模型，再利用函数的规律解决这些实际问题。 例题：你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m ，手距地面均为lm ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离lm 、2.5m 处．绳子在甩到最高处时刚好通过丙、丁的头顶．已知学生丙的身高是1.5m ，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如图所示）( )
A.1.5m
B.1.625m
C.1.66m
D.1.67m
二. 练习
1. 抛物线22y (1)31m x x m =-++-过原点，求m 。
2. 已知点M （－2，5），N （4，5）在抛物线2y ax bc c =++上，则抛物线的对称轴为__________________。
3. 求二次函数2y 105x x =+-的最小值_________________。
4. 已知二次函数2y ax bc c =++（0a ≠）的图象如下，有下列5个结论：（1）abc>0；（2）b
a+b>m(am+b)(1m ≠的实数)。其中正确的是：______________________.
5. 根据下列表格中二次函数2y ax bc c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程20(0)ax bx c a a b c ++=≠，，，为常数的一个解x 的取值范围是（ ） x
6.17
6.18 6.19 6.20 2y ax bc c =++
-0.03 -0.01 0.02 0.04
A ．6 6. 已知函数2y 22x x =－－的图象如下，根据其中提供的信息，可求得使y 1≥成立的x 的取值范围是______________。 7. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。 （1） 求平均每天的销售量y （箱）于销售价格x （元/箱）之间的函数关系； （2） 求该批发商平均每天的销售利润w （元）与销售价格x （元/箱）之间的函 数关系式； （3） 当每箱苹果的销售价格为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多 少？ 8. 请选择一组你喜欢的a ，b ，c 的值，使二次函数2y ax bc c =++（a ≠0）的图象同时满足一下条件：（1）开口向下；（2）当x<2时，y 随x 的增大而增大；当x>2时，y 随x 的增大而减小。这样的二次函数解析式可以是_________________________________ 9. 如图，点O 是坐标原点，点A （n ，0）是x 轴上一个动点（n<0）。以AO 为一边作举行AOBC ，使OB=2OA ，点C 在第二象限，将矩形AOBC 绕点A 逆时针旋转90的矩形AGDE 。过点A 的直线y ＝kx ＋m （k ≠0）交y 轴于点F ，FB=FA 。抛物线2y ax bc c =++过点E ，F ，G 且和直线AF 交于点H ，过点H 作x 轴的垂线，垂足为点M 。 （1） 求k 的值； （2） 点A 的位置改变时， AMH 的面积和矩形AOBC 的面积比是否变化？说 明你的理由。 10.东方专卖店专销某种品牌的计算机，进价12元/只，售价20元/只。为了促销，专卖店决定凡是买10只以上的，每多买一只，每只的售价就降低0.10元，，但是最低价为16元/只。 （1） 求顾客一次至少买多少只，才能以最低价购买？ （2） 写出当一次购买x 只时（x>10），利润（元）与购买量x （只）之间 的函数关系式； 有一天，一位顾客买了46只，另一位顾客买了50只，专卖店发现卖50只反而比卖46只赚的钱少，为了使每次卖的多赚钱也多，在其他条件不变的情况下，最低价16元/只至少要提高多少？为什么？ 11.如图，抛物线2y ax bc c =++与x 轴交于点B （1，0），C （-3，0），且过点A （3，6）。 （1） 求a ，b ，c 的值； （2） 设此抛物线的顶点为P ，对称轴与线段AC 相交于点Q ，连接CP ，PB ， BQ ，试求四边形PBQC 的面积。 作业： 一、填空题： 1.用配方法将二次函数 1232 --=x x y 化成()k h x a y +-=2 的形式是 . 2. 二次函数 x x y 42 +-=的图象的顶点坐标是 ，在对称轴的右侧y 随x 的增大而 3．．已知抛物线c bx x y ++=2 2的顶点坐标是（-2，3），则bc = . 4．. 已知二次函数 m x x y +-=62 的最小值是1,那么m 的值是 . 5. 已知二次函数 ()()m mx x m y --+-=3222的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y 轴的负半轴，则m 的取值范围 是 . 6. 若抛物线 () 415232 2---+=x m m x y 的顶点在y 轴上, 则 m 的值是 7．抛物线y=ax 2＋bx ＋c 如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是 ． 8．抛物线3422 ++=x x y 由抛物线1622+-=x x y 向 平移 个单位，再向 平 移 个单位得到。 二、选择题： 9．若直线y=ax+b 不经过一、三象限，则抛物线 c bx ax y ++=2 （ ）. (A)开口向上，对称轴是y 轴; (B) 开口向下，对称轴是y 轴; (C)开口向上, 对称轴是直线x=1; (D) 开口向下，对称轴是直线x=-1; 10． 抛物线()()312-+=x x y 的顶点坐标是( ). (A)(-1,-3); (B)(1,3); (C)(-1,8); (D)(1,-8); 11． 若二次函数 c bx ax y ++=2 的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y 轴的正半轴; 则点? ?? ??b c a P ,在（ ）. (A) 第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限; 12．已知直线y=x+m 与抛物线2 x y =相交于两点，则实数m 的取值范围是( ). (A) m ﹥41- ; (B)m ﹤41- ; (C)m ﹥41; (D) m ﹤41. 13．若一条抛物线 c bx ax y ++=2 的顶点在第二象限，交于y 轴的正半轴，与x 轴有两 个交点，则下列结论正确的是（ ）. (A)a ﹥0,bc ﹥0; (B)a ﹤0,bc ﹤0; (C) a ﹤0, bc ﹥0; (D) a ﹥0, bc ﹤0 14． 抛物线 232 +-=x x y 不经过（ ）. (A) 第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限 15．已知a ＜－1，点（a －1，y 1）、（a ，y 2）、（a ＋1，y 3）都在函数y=x 2的图象上，则（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 1＜y 3＜y 2 C ．y 3＜y 2＜y 1 D ．y 2＜y 1＜y 3 16．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的 （ ） 17．如图，坐标系中抛物线是函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象，则下列式子能成立的是（ ） A ．abc ＞0 B ．a ＋b ＋c ＜0 C ．b ＜a ＋c D ．2c ＜3b 18．关于抛物线y=x 2－2mx ＋m 2＋2m －1说法正确的个数是（ ） ①当m ＞1时,与y 轴的交点在X 轴的上方 ②不论m 取任 何实数，抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足表达式y=2x －1． ③当x ＜m 时,y 随x 的增大而增大 ④当1≤x ≤m-1时y 有最大值,最大值为m 2 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 三、解答下列各题： 19. 已知抛物线()8122 ++-=x y ,①求抛物线与y 轴的交点坐标;②求抛物线与 x 轴的两个交点间的距离. 20.已知抛物线 c bx ax y ++=2 (a ≠0) 经过(0,1)和(2,-3) 两点. ①如果抛物线开口向下，对称轴在y 轴的左侧，求a 的取值范围; ②若对称轴为x=-1. 求抛物线的解析式. 21.围猪圈三间（它的平面图为大小相等的三个长方形），一面利用旧墙，其它各墙（包括中间隔墙）都是木料，已知现有木料可围24米长的墙，试求每间猪圈的长与宽各是多少时总面积最大，并求最大面积. 22．已知抛物线 k x x y +-=42 的顶点A 在直线y=-4x-1上，设抛物线与 x 轴交于B,C 两点.①求抛物线的顶点坐标;②求△ABC 的面积（用准确值表示）. 23.如图，已知二次函数y=1 2 x 2＋bx ＋c ，图象过A （－3，6），并与x 轴交于B （－1，0）和点C ，顶点为P ． （1）求这个二次函数表达式； （2）设D 为线段OC 上的一点，且满足∠DPC=∠BAC ，求D 点坐标． 24.如图，A 、B 是直线ι上的两点，AB=4cm ， 过ι外一点C 作CD ∥ι，射线BC 与ι所成的锐角∠1=60°，线段BC=2cm ，动点P 、Q 分别从B 、C 同时出发，P 以每秒1cm 的速度，沿由B 向C 的方向运动；Q 以每秒2cm 的速度，沿由C 向D 的方向运动．设P 、Q 运动的时间为t 秒，当t ＞2时，PA 交CD 于E ． （1）用含t 的代数式分别表示CE 和QE 的长； （2）求△APQ 的面积S 与t 的函数表达式； （3）当QE 恰好平分△APQ 的面积时，QE 的长是多少厘米？