最新初一数学绝对值知识点与经典例题

绝对值的性质及化简

【绝对值的几何意义】一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . （距离具有非负性）

【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；

0的绝对值是0.

注意：① 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根

据性质去掉绝对值符号.

② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相

反数；0的绝对值是0.

③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.

④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负

号，绝对值是5.

【求字母a 的绝对值】 ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-

②(0)(0)a a a a a ≥?=?-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.

绝对值非负性：|a|≥0

如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =

【绝对值的其它重要性质】

（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即a a ≥，且a a ≥-；

（2）若a b =，则a b =或a b =-；

（3）ab a b =?；

a a

b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；

（5）||a|-|b|| ≤ |a ±b| ≤ |a|+|b|

a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．

a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．

【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。

【绝对值不等式】

（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解；

（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：

A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；B）利用不等式：|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。

【绝对值必考题型】

例1：已知|x－2|＋|y－3|＝0，求x+y的值。

解：由绝对值的非负性可知x－2＝ 0，y－3＝0；即：x=2，y =3；

所以x+y=5

判断必知点：①相反数等于它本身的是 0

②倒数等于它本身的是±1

③绝对值等于它本身的是非负数

【例题精讲】

（一）绝对值的非负性问题

1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0.

2. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =

【例题】若3150x y z +++++=，则x y z --= 。

总结：若干非负数之和为0， 。 【巩固】若7322102

m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋ 【巩固】先化简，再求值：ab b a ab ab b a

2)23(223222+??????---． 其中a 、b 满足0)42(132=-+++a b a .

（二）绝对值的性质

【例1】若a ＜0，则4a+7|a|等于（ ）

A ．11a

B ．-11a

C ．-3a

D ．3a

【例2】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）

A ．1，0

B ．正数

C ．非正数

D ．非负数

【例3】已知|x|=5，|y|=2，且xy ＞0，则x-y 的值等于（ ）

A ．7或-7

B ．7或3

C ．3或-3

D ．-7或-3

【例4】若1-=x x

，则x 是（ ）

A ．正数

B ．负数

C ．非负数

D ．非正数

【例5】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）

A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞a

B ．1+a ＞a ＞1-b ＞-b

C ．1+a ＞1-b ＞a ＞-b

D ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a

【例6】已知a ．b 互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（ ）

A ．2

B ．2或3

C ．4

D ．2或4

【例7】a＜0，ab＜0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（）

A．6 B．-4 C．-2a+2b+6 D．2a-2b-6

【例8】若|x+y|=y-x，则有（）

A．y＞0，x＜0 B．y＜0，x＞0

C．y＜0，x＜0 D．x=0，y≥0或y=0，x≤0

【例9】已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）

【例12】若x＜-2，则|1-|1+x||=______

若|a|=-a，则|a-1|-|a-2|= ________

【例14】若|a|+a=0，|ab|=ab ，|c|-c=0，化简：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|= ________

【例15】已知数,,a b c 的大小关系如图所示，

则下列各式：

①()0b a c ++->；②0)(>+--c b a ；③1=++c

c b b a a ；④0>-a bc ； ⑤

b c a b c b a 2-=-++--．其中正确的有 ．

（请填写番号）

【巩固】已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abc

+++的值

（三）绝对值相关化简问题（零点分段法）

零点分段法的一般步骤：找零点→分区间→定符号→去绝对值符号．

【例题】阅读下列材料并解决相关问题：

c a 0b

我们知道()()()

0000x x x x x x >??==??-

12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值）

，在有理数范围内，零点 值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况： ⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+

⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=

⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-

综上讨论，原式()()()

211312212x x x x x -+<-??=-

（1）求出2x +和4x -的零点值 （2）化简代数式24x x ++-

解：（1）|x+2|和|x-4|的零点值分别为x=-2和x=4．

（2）当x ＜-2时，|x+2|+|x-4|=-2x+2；

当-2≤x ＜4时，|x+2|+|x-4|=6； 当x ≥4时，|x+2|+|x-4|=2x-2．

【巩固】化简

1. 12x x +++

2. 12m m m +-+-的值

3. 523x x ++-．

4. (1)12-x ；

变式5.已知23++-x x 的最小值是a ，23+--x x 的最大值为b ，求b a +的值。

（四）b a -表示数轴上表示数a 、数b 的两点间的距离．

【例题】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3.

并回答下列各题：

(1) 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： .

(2) 若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离

可以表示为 .

(3) 结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 .

(4) 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 .

(5) 若1232008x x x x -+-+-+

+-的值为常数，试求x 的取值范围．

（五）、绝对值的最值问题

例题1: 1）当x 取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？

2) 当x 取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？

3) 当x 取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？

4）当x 取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？

例题2：1）当x 取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？

2)当x 取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？

3)当x 取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？

4）当x 取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？

若想很好的解决以上2个例题，我们需要知道如下知识点：、

1）非负数：0和正数，有最小值是0