格与布尔代数试题
2.标准化题目
《离散数学》题库选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？()(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P(4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q(5) ⌝(P→Q)=>P(6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？(4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！(6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T（2）是，F（3）不是（4）是，T（5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1)只有在生病时，我才不去学校(2) 若我生病，则我不去学校(3)当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P↔（4）QP→⌝P⌝Q→⌝（2）QP⌝→（3）Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ∀x∃y(x+y=0) (2) ∃y∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x∃y (xy=y)()(2) ∃x∀y(x+y=y)()(3) ∃x∀y(x+y=x) ()(4) ∀x∃y(y=2x)()答：（1）F（2）F（3）F（4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数(3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
离散数学第6章 格与布尔代数
6-1 格的概念
5）下面证明 a∧b=aa∨b=b 若a∧b=a 则 a∨b=(a∧b)∨b=b 反之，若a∨b=b 则 a∧b=a∧(a∨b)=a
b用a∨b代替(∵两式中b是相互独立的) ∴a∨(a∧(a∨b))=a 即 a∨a=a. (2)格的等价定理：〈A，∨，∧〉代数系统，∨.∧满足交换性， 结合性，吸收性，则A上存在偏序关系≤，使〈A，≤〉是一个格
从格可引出代数系统〈A，∨，∧〉； 而从满足三个条件的〈A，∨，∧〉也可导出格〈A，≤〉 证明见书：（格中⑻⑼⑾三个性质很重要，决定了格）
(11) 要证 a≤a∨(a∧b) 第一式显然成立
a∨(a∧b)≤a
a≤a
a∧b≤a
∴a∨(a∧b) ≤a
∴a=a∨(a∧b)
6-1 格的概念
6、格的等价原理：格〈A，≤〉 (1)引理6-1.1：〈A，∨，∧〉代数系统，若∨, ∧满足吸收性，
则∨, ∧满足幂等性 证：a,b∈A. a∨(a∧b)=a a∧(a∨b)=a.
第六章 格与布尔代数
格论是近代数学的一个重要分支，由它所引出的布尔 代数在计算机科学中有很多直接应用。
格的概念 分配格 有补格 布尔代数 布尔表达式
6-1 格的概念
1、回忆偏序集〈A，≤〉，≤偏序关系：满足自反性，反对称性， 传递性。有限集合上的偏序集可用哈斯图来表示：
COV (A) {a,c, b,c, c, d, d,e, d, f }
∧也易求得 ∴ A，∨，∧〉是格〈A，|〉 诱导的代数系统
6-1 格的概念
09-格与布尔代数-8.2
第三节 子布尔代数、积布尔代数、布尔代数同态
定义：给定布尔代数<B, , *, ’ , 0, 1>，≠T B
2015年6月6日星期六
若T对 、* 和 ’ 是封闭的，且：0, 1 T
称<T, , *, ’ , 0, 1>是<B, , *, ’ , 0, 1>的子布尔代 数 显然：<{0, 1}, , *, ’ , 0, 1>和<B, , *, ’ , 0, 1> 都是<B, , *, ’ , 0, 1>的(平凡)子布尔代数
则：<f(B),∨,∧, , f(0), f(1)>是布尔代数 （证明参见教材P170 —— 利用布尔代数的定义证明）
布尔代数同态
结论：
2015年6月6日星期六
若 f 是从布尔代数<B, , *, ’ , 0, 1>到格<S,∨,∧>的 格同态映射，且f是满射的，
则：<S,∨,∧>是布尔代数
并且可以用基本公式来定义布尔代数
布尔代数的定义 从这4个定律，可以推出所有布尔代数的公式
有兴趣的同学可以参阅 R. L. 古德斯坦因 著的
对于a, b B ， 有 定义：设<B, , *, ’ >是一个代数结构，其中：
2015年6月6日星期六
和 * 是B上的二元运算，’ 是B上的一元运算，且 0, 1 B
例9.15：设Bn是由0和1形成的n元组集合，且
2015年6月6日星期六
a = <a1, a2, …, an>，b = <b1, b2, …, bn> 0n = <0, 0, …, 0> ， 1n = <1, 1, …, 1> 对任意 a, b Bn，定义： a b = < a1∨b1, a2∨b2 , …, an∨bn > a * b = < a1∧b1, a2∧b2 , …, an∧bn > a’ = < a1, a2, …, an> < Bn,∨,∧, , F, T>是布尔代数（开关代数）
离散数学12格和布尔代数
第十二章 格和布尔代数12.1 设c b a ,,是格),( A 中的元素，求证：如果b a ，则)()(c a b c b a ∨∧∧∨证明因为b a ，且)(c a a ∨ ，所以)(c a b a ∨∧ 。
又因为b c b ∧，且c a c c b ∨∧ ，所以)(c a b c b ∨∧∧ 。
即)(c a b ∨∧是a 和c b ∧的上界，从而有：)()(c a b c b a ∨∧∧∨ 。
12.2 设c b a ,,是格),( A 中的元素，求证： （1）)()()(c a b a c b a ∨∧∨∧∨ （2）)( )()(c b a c a b a ∨∧∧∨∧ (1)证明因为c a a b a a ∨∨ ,，所以)()(c a b a a ∨∧∨ 。
又因为b a b c b ∨∧ ，且c a c c b ∨∧ ，所以)()(c a b a c b ∨∧∨∧ 。
即)()(c a b a ∨∧∨是a 和c b ∧的上界。
所以，)()()(c a b a c b a ∨∧∨∧∨ 。
（2）证明因为a b a ∧，a c a ∧，则有a c a b a )()(∧∨∧。
又因为b b a ∧，有c b b b a ∨∧ ，同理c b c a ∨∧ 。
从而有c b c a b a ∨∧∨∧ )()(。
即)()(c a b a ∧∨∧是a 和c b ∨的下界。
因此，)( )()(c b a c a b a ∨∧∧∨∧ 。
10.3 设),,(∧∨A 是一个代数系统，其中∨和∧是满足吸收律的二元运算，证明：∨和∧也满足等幂律。
证明因为∨和∧是满足吸收律，所以a b a a =∨∧)(，a b a a =∧∨)(。
于是有：)((b a a a a a ∧∨∧=∧)(c a a ∨∧= （其中b a c ∧=） a =同理可证，a a a =∨。
故∨和∧也满足等幂律。
10.4 证明：一个格是可分配的，当且仅当对于这个格中的任意元素a ，b 和c ，有)()(c b a c b a ∧∨∧∨证明（1）必要性因为a c a ∧和c b c b ∧∧ ，所以)()()(c b a c b c a ∧∨∧∨∧ 。
应用离散数学代数结构格和布尔代数题库试卷习题及答案
§4.7 格和布尔代数习题4.71．确定具有如图4.4所示哈斯图的偏序集是否为格。
图4.4 习题1的图解图(a)不是格，图(b)是格，图(c)是格。
2．证明每个有限格都有一个最小元素和一个最大元素。
证明：用反证法，假设某有限格中没有最大元素，只有极大元，则这几个极大元之间没有上确界，与格的定义矛盾，从而有限格中都有最大元素。
同理可证明有最小元素。
3．给出一个无限格的例子，使得（1）既没有最小元素也没有最大元素。
（2）有最小元素但没有最大元素。
（3）有最大元素但没有最小元素。
（4）有最小元素也有最大元素。
解：（1）对于偏序集<R，≤>，既没有最小元素也没有最大元素。
（2）对于偏序集<N，≤>，有最小元素0，但没有最大元素。
（3）对于偏序集<Z-，≤>，有最大元素-1，但没有最小元素。
（4）对于偏序集<[1,2]，≤>，有最大元素2，有最小元素1。
4．给出一个有限格的例子，其中至少1个元素有多于1个的补元，且至少1个元素没有补元。
解如下哈斯图所示的偏序集是一个格，元素e有补元a和d，元素a有补元e和d，元素d有补元a和e，但元素b和c都没有补元。
1bd5．设是有界格，证明：（1）若≥2，则中不存在以自身为补元的元素。
（2）若≥3，且是链（全序集），则不是有补格。
证明：（1） 用反证法，假设L 中存在一个元素a 以自身为补元，所以a -1=a.据有界格的定义，则a ⨁a =a =1，a ⨂a =a =0显然，二者矛盾。
因此若≥2，则中不存在以自身为补元的元素。
（2） 用反证法，假设L 是有补格，则L 中每个元素都是有补元的。
若a 和b 是补格， 则需要满足a ⨁b =1，a ⨂b =0，但是a,b 间不一定可以比较，也就是说不一定是全序集，与条件矛盾。
6．格是分配格吗？试分析之。
解：不是分配格，例如有三个数，c|a,b 与c,a 都不具有整除关系，但是，但，不满足分配律，所以不是分配格。
(优选)第篇格与布尔代数
第2式证明由对偶原理从上式直接可得。
定理15-1.6 设<A, >是一个格,那么，对于任意的 a,bA, 都有：
ab(a∧b)=a(a∨b)=b
ab(a∧b)证明思路：
(1)先证 ab (a∧b)=a
由ab和a a ，根据定理15-1.2得 a a∧b
又根据a∧b的定义， 有
a∧b a
由二元关系的反对称性得 ：
（优选）第篇格与布尔代数
通常用a∨b 表示{a,b}的上确界,用a∧b 表示{a， b}的下确界,∨和∧分别称为保联(join)和保交(meet) 运算。由于对任何a，b，a∨b及a∧b都是A 中确定 的成员，因此 ∨,∧均为A上的运算。
例3 设S={a,b} ， (S) ={, {a},{b},{a,b}} 由格< (S), >诱导的代数系统为< (S),∨,∧> 。 其中∨为集合的并运算和∧为集合的交运算。
a∧b = a
(2) 再证 (a∧b)=a ab
设a∧b=a，则a =a∧bb ，这就证明了
(a∧b)=a ab
综合(1)和(2)得： ab(a∧b)
定理15-1.7 设<A, >是一个格,那么，对于任意的
a,b,cA, 都有： aca∨(b∧c) (a∨b)∧c
证明思路： (1)先证 ac a∨(b∧c) (a∨b)∧c 根据定理15-1.6有 ac (a∨c)=c 根据定理15-1.5有a∨(b∧c)(a∨b)∧(a∨c)
可以证明，若<A,>是格，则<A,R>也是格。 称R是的逆关系。记为。
格对偶原理可以叙述为：设P是对任意格都真的命题， 如果在命题P中把换成 ，∨换成∧，∧换成∨，就
地六章-格和布尔代数(1)
定义6.7 集合 L 中的偏序关系 R 与其逆关系 R1，称为互 相对偶的两个关系。 对任意 x, y∈L，xR1y yRx。 6.1.1 节例 6.4 中的 关系即为蕴涵关系 的逆关系。 因此，对任意 P, Q∈S， (P Q) (Q P)
【例6.7】设 n 是一个正整数，Sn 是 n 的所有因数的集合， 两个正整数的最大公因数 ，最小公倍数 可看作是 Sn 上两个代数运算，于是，(Sn, , ) 是一个格。
定理6.1 关于格的两种定义（以对应一个代数格；任意一个代 数格也都可以对应一个偏序格。
定义中没有要求 , 运算满足等幂律，实际上由 , 满足吸收律即可推出它们一定满足等幂律。任取 L 中元素
a，由 , 满足吸收律知
a(aa)＝a
a(aa)＝a
故
aa＝a(a(aa))
aa＝a(a(aa))
又由 , 满足吸收律知，上面两式的等式右端都等于 a。
因此，
aa＝a
aa＝a
即定义 6.3 中的 , 运算亦满足等幂律。
【例6.4】设 S 是所有的命题集合，定义 “” 关系如下： A B 当且仅当 B 蕴涵 A
则 (S, ) 是一个格。对 A, B∈S， sup{A, B}＝A∧B∈S inf{A, B}＝A∨B∈S
定义6.2 若格 L 的一个子集 M≠Ф 对于运算 和 封闭， 则 M 称作子格。
例如：a 是格 L 的一个固定元素，则使 X≥a(或 X≤a) 的 L 中元素 X 的集合，显然是一个子格。若 a≥b，则使 a≥X≥b 的 L 中元素 X 的集合是一个子格，这样的子格 叫作一个闭区间(商)，记作 M(a,b)。
例如，S6＝{1, 2, 3, 6}， S24＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}。
6.3格与布尔代数
格的性质(续)
6)、保序性：如果b≤c，那么a∧b≤a∧c a ∨ b≤a∨c 7)、分配不等式: •
a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c); a∧(b∨c)≥(a∧b)∨(a∧c); 8)、模不等式： a≤b a∨(b∧c) ≤b∧(a∨c)
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证明： (a∨b)∨c=a∨(b∨c)
先证： (a∨b)∨c ≤ a∨(b∨c) ∵ a ≤ a∨(b∨c) b ≤ b∨c ≤a∨(b∨c) ∴a∨b≤ a∨(b∨c) 又：c ≤ a∨(b∨c) 从而， (a∨b)∨c ≤ a∨(b∨c) 同理有 a∨(b∨c) ≤(a∨b)∨c ， 由偏序的反传递性知，(a∨b)∨c=a∨(b∨c)
5的补元是2和3。
例：在<S24,|> 中
24 12 6 4 2 1 S24 8
最大元为24,最小元为1, 1和24互为补元, 3和8互为补元，
3
2,4,6,12均不存在补元。
例：
1 在如上图有界格中0和1互为补 a b c d 元而 a,b,c,d的补元均有三个， 譬如，a的补元是b，c，d。 0 1 a c 0 b 在下图中的有界格中，0和1互 为补元， 但a,b,c均不存在补元。
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代数格
定义10：设L是一个非空集合，∧，∨是L中的两 个二元运算，两个运算还满足a,b,c∈L (1)交换律 (2)结合律 a∧b=b∧a，a∨b=b∨a； (a∧b)∧c= a∧(b∧c)， (a∨b)∨c=a∨ (b∨c); (3)吸收律 a∧(b∨c)= a, a∨(b∧c)= a
例1：
记作(L,≤,1,0)或记(L,∧,0,0,1)
例:(Sn,|)是格,则其是有界格,其中最大元是n,最小元 是1,因x∈Sn,1|x,x|n。
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一、选择题（每小题2分，共30分）
1、N 是自然数集，≤是小于等于关系，则≤><,N 是（C ）。
)(A 有界格 )(B 有补格
)(C 分配格 )(D 有补分配格
2、在有界格中，若只有一个元素有补元，则补元（C ）。
)(A 必唯一 )(B 不唯一
)(C 不一定唯一 )(D 可能唯一
3、下面是一些偏序集的哈斯图，判断哪一个为格（C ）
f
g c e
a
e c
d f d
e b c
a e
b A B C D
4、以下为4个格对应的哈斯图，（ D ）是分配格。
A B C D
5、只含有有限个元素的格称为有限格，有限格必是（ D ）
)(A 分配格 )(B 有补格
)(C 布尔格 )(D 有界格 6、设≤><,L 是一条链，其中3≥L ，则≤><,L （ C ）
)(A 不是格 )(B 是有补格
)(C 是分配格 )(D 是布尔格
7、设A 为一个集合，⊆><),(A P 为有补格，)(A P 中每个元素的补元（ A ）
)(A 存在且唯一 )(B 不存在
)(C 存在但不唯一 )(D 可能存在
8、设≤><,A 是一个有界格，若它也是有补格，只要满足（ B ）
)(A 每个元素都有一个补元 )(B 每个元素都至少有一个补元
)(C 每个元素都无补元 )(D 每个元素都有多个补元
9、如下哈斯图（ C ）表示的关系构成有补格。
A B C
D
10、如图给出的哈斯图表示的格中（ B ）元素无补元。
a
b
d
f g
)(A a )(B c
)(C e )(D f
11、设格>≤<>≤<21,,B A 和如图所示，它们的运算分别为⊗⊕∧∨，
和,。
令8421)(,)(,)(,)(x d f x c f x b f x a f ====，则f （ B ）
)(A 是格同态映射 )(B 不是格同态映射
)(C 是格同构映射 )(D 是自同态映射
12、有限布尔代数的元素的个数必定等于（ C ）
)(A n 2 )(B 2n
)(C n 2 )(D n 4
13、在布尔格≤><,A 中有3个原子321,,a a a 则=1a （ B ）
)(A 32a a ∧ )(B 32a a ∨
)(C 32a a ∧ )(D 32a a ∨
14、在布尔格≤><,A 中，}2105|{的正因子的整数倍且是是X X A =，|为整除关系。
则30的补元为（ C ）
)(A 15 )(B 30
)(C 35 )(D 70
15、设>≤<>≤<21,,B A 和是两个格，的双射到是B A f ，则对任意的A b a ∈,，有)()(21b f a f b a ≤⇔≤是格同构的（ C ）
)(A 必要条件 )(B 充分条件
)(C 充要条件 )(D 既不充分也不必要
二、由下列集合L 构成的偏序集≤><,L ，其中≤定义为：对于1n ，2n ,L ∈1n ≤2n 当且仅当1n 是2n 的因子。
问其中哪几个偏序集是格（说明理由）。
（共6分） a)、}12,6,4,3,2,1{=L
b)、}14,12,8,6,4,3,2,1{=L
c)、}12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1{=L
三、图中为格L 所对应的哈斯图。
（共10分）
1
0c a
（1）0,,,d b a 的补元是否存在？如存在请给出。
（2）L 是否是有补格？说明理由。
（3）L 是否是分配格？说明理由。
四、n S 是由正整数n 的所有因子构成的集合，n m |表示n m 整除。
对于格><|,30D （共10分）
（1）、证明><|,30D 是布尔格。
（2）、作出其对应偏序集的哈斯图。
（3）、找出30D 的所有原子。
五、给定布尔代数>⌝∧∨<,,},1,0{中的布尔表达式如下所示，将其化简。
(共6分)
)
()()()()()()(z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x ∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧六、设)()()(),,,(4324213214321x x x x x x x x x x x x x E ∧∧∨∧∧∨∧∧=是布尔代数>∧∨<,,},1,0{上的一个表达式。
试写出),,,(4321x x x x E 的析取范式和合取范式。
（共10分） 七、设>∧∨<,,,L 是一个布尔代数，如果在L 上定义二元运算⊕为：
)()(b a b a b a ∧∨∧=⊕
证明：>⊕<,L 是一个阿贝尔群。
（共10分） 八、设>∧∨<,,,B 是一个布尔代数，如果在B 上的两个二元运算ο和+定义为：
=+b a )()(b a b a ∧∨∧；b a b a ∧=ο
证明：>+<ο,,B 是以1为么元的环。
（共10分）
九、>∧∨<,,,B 是布尔代数，B b a ∈∀,，求证：b a =当且仅当0)()(=∧∨∧b a b a 。
（共8分）。