2019小学数学解题思路大全

小学数学解题思路大全

1.想平均数

例如，美国小学数学奥林匹克，第三次(1982年1月)题3：求三个连续自然数，使第一个和第三个之和等于118。( ) 由于三个数是连续自然数，所以第一个和第三个数的平均数是第二个数，即118÷2＝59。另两个数是58和60。

2.想中间数

判断方法：

3.接近某数法

两个分数与1的差大的分数小；被减数不变，减数越大差数越小。

例2 下面的正确排列是( )。

只有(B)正确。

4.拆数

例如，99999992＋19999999的和是( )。

原式＝9999999×9999999＋19999999

＝9999999×(10000000—1)＋

(10000000＋9999999)

＝99999990000000—9999999＋

10000000＋9999999

＝100000000000000

5.插数

就是把两个分数的分子、分母各扩大2倍，使原来分子和分母都“相挨”

这种方法简便，一次成功，正确率高，所填分数的分子分母又最小。

6.奇偶数法

基本关系：

奇数±奇数=偶数

奇数±偶数=奇数

偶数±偶数=偶数

奇数×奇数=奇数。奇数的任何次方，幂是奇数。

奇数×偶数=偶数。n(n＋1)必是偶数，因为n和(n＋1)

必为一奇一偶。

偶数×偶数=偶数。偶数的任何次方，幂是偶数。

在整除的前提下：

奇数÷奇数=奇数

偶数÷偶数=偶数

偶数÷奇数=偶数

例1 30个饺子五碗装，装单不装双( )。

因为奇数×奇数=奇数，故无解。

例2 两个连续偶数的和是82，这两个数是( )。(1)相邻的两偶数相差2。由和差问题解依次为

(82—2)÷2＝40，40＋2＝42。

(2)相邻的两个自然数相差1。82÷2—1=40，40＋2=42。或者41＋1=42。

例3 1＋3＋5＋……＋25＝( )。

由“从1开始的连续奇数的和，等于所有奇数个数的平方”。知

例4 用质数的和表示，23＝( )＋( )。

奇数＝奇数＋偶数，质数中只有2是偶数。23—2＝21是合数。此题无解。

只有与2的差是质数的奇数。才能表示为两个质数的和，这类奇数是无限的。例如：

5＝2＋3，39＝2＋37，……

例5 有六个六位数：

(1)987654；(2)987653；(3)987652；

(4)987651；(5)987650；(6)987649。

从中选出两个，使这两个数的乘积能被6整除，有( )种选法。

(1)和(4)的各位数字和分别是39和36，都能被3整除，前者又能被2整除。偶数×奇数＝偶数，能被2和3整除的数就能被6整除。有七种选法：

(1)和(2)；(1)和(3)；(1)和(4)；(1)和(5)；

(1)和(6)；(4)和(3)；(4)和(5)。

例6 1989年“从小爱数学”邀请赛试题：三个不同的最简真分数的分子都是质数，分母都是小于20的合数，要使这三个分数的和尽可能大，这三个分数是____、____、____。

要使其和最大，则每个数应是同分母的真分数中最大的真分数。分子应依次是20以内的最大的质数，分母是分子加1的偶数。即

例7 已知三个连续自然数的最小公倍数是360。这三个数是____、____、____。

三个连续自然数只能有：

A.奇数、偶数、奇数；

B.偶数、奇数、偶数。

这两种可能。

若是情况A，则一定是两两互质，最小公倍数是它们的乘积。由360＝23×32×5知两两互质的数只能是8、9、5。但它们不是连续的。

情况B中，最大及最小数都是偶数，2是其最大公约数，三个数的乘积是它们最小公倍数的2倍。360×2=24×32×5。

所求数是23＝8，32＝9，2×5＝10。

7.由合数想

例1 能被十个最小自然数整除的最小四位数是( )。

这个合数，一定是三个合数和一个质数的乘积。例2 1989×20002000—2000×

19891989＝( )

合数的20002000和19891989，有相同的质因数。

原式＝1989×(2000×10001)

－2000×(1989×10001)＝0。

例3 第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题第一试7题：在下面的算式中，所有分母都是四位数。请在每个

方格里各填入一个数，使等式成立。

由式右的分子为1，知式左的两个分数相加的和可约分。若是同分母分数相加约分后，式右的分母不可是四位数，只能是异分母。

从分析合数1988入手：

(1)1988＝4×7×71。1988是4的倍数，如果式左两个分数的分子之和为4，则可约成分子是1的最简分数。

(2)由4×7=28，28＋43＝71，知

例4 最大公约数是1，两两均不互质，且大于50而小于100的三个数是( )、( )、( )。

解答此题，需综合应用合数、质数、互质数、质因数、公有质因数、最大公约数等概念。取三个两两互质的数，且它们两两之积大于50、小于100，得五组解：

7、8、9得56、63、72；

7、8、11得56、77、88；

7、9、10得63、70、90；

7、9、11得63、77、99；

8、9、11得72、88、99。

所取三数之间相互互质，其两两之积的三个数定无公有的质因数，最大公约数是1；每组的三个数都是两两的积，其两两之间必有相同的质因数。

8.由质因数想

例1 649被某数除，所得的商与除数相同，余数比除数少1，余数是( )。

因为649＋1=650=2×52×13=25×26，

而649=25×26—1

=25×(25＋1)－1

=25×25+24，

即649÷25＝25余数是24。

例2 三姐妹的年龄依次大3岁，其积是1620，其和是( )。

1620＝22×34×5

=32×(22×3)×(3×5)

＝9×12×15，

9＋12＋15＝36。

例3 A、B、C、D是四个由小到大的自然数，其积是585，要使其和最小各是( )。

由585＝3×3×5×13，知

A＝1，B＝5，C＝9，D＝13。

例4 四个自然数的积是144，这四个数可组成比例式()。

144＝24×32＝(2×6)×(3×4)。

由比例的基本性质，知

2∶3＝4∶6，2∶4＝3∶6，

6∶3＝4∶2，3∶2＝6∶4。

例5 把14、30、33、35、39、75、143、169分成两组，每组四个数，使它们的乘积相等( )，( )。

14＝2×7 39＝3×13

30＝2×3×5 75＝3×5×5

33＝3×11 143＝11×13

35＝5×7 169＝13×13

将相同质因数分属两组，配平于两个积中。

14×33×75×169＝2×32×52×7×11×132，

30×35×39×143＝2×32×52×7×11×132。

例6 从1到30的自然数中，能被2、3、5整除的各有( )、( )、( )个。不能被其中任意一个整除的有( )个。

30＝2×3×5。

前三个空应依次填：3×5＝15，

2×5＝10，2×3＝6。

1～30中有十个质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。去掉前三个加上1。最后空为8。

例7 715×972×975×( )，要使其积的最后四个数字都是0，括号内最小应填什么数？

乘积后面每含一个0，其乘数中必含质因数2和5各一个。

715＝5×11×13，972＝22×35，975＝3×52。

这些数中共含三个“5”、两个“2”，构成四对2和5，需补足两个“2”和一个“5”。

应填2×2×5＝20。

例8 四个连续自然数的积是5040，这四个数是( )、( )、( )、( )。

5040＝24×32×5×7

＝7×23×32×(2×5)，

所求为7、8、9、10。

( )。

105＝3×5×7，

512＝23×23×23。

例10 长、宽、高之比是3∶2∶5的长方体体积为1920cm3，长宽高各是( )、( )、( )cm。

1920＝27×3×5

＝(22×3)×23×(22×5)。

应填12、8、20。

9.巧用最大公约数

例1 224、292、377、496分别被( )除，余数都相同。

292－224＝68 377—224＝153 496—224＝272即后三个数，分别被第一个数除商为1，余数是68、153、272。

(68，153，272)＝17，

224÷17＝13……3。

四个数分别被17除，余数都是3。

例2 在一块边长为104m、240m、152m的三角形地周围栽树，株距相等，各角栽1棵。最少可栽( )棵。

株距相等，是各边长的公约数。株数最少，株距必最大，应为最大公约数。

(104，240，152)＝8

(104＋240＋152)÷8＝62(棵)

例3 把长144cm、宽48cm、高32cm的长方体，锯成尽可能大的同样大小的正方体。正方体的棱长( )cm，个数( )。

(144，48，32)＝16(cm)

10.巧用最小公倍数

例1 一个数，用12除余10，用16除余10，用20除缺10。这个数是( )。

把“一个数用20除缺10”，也理解成用20除余10。[12，16，20]＝240。

所求的数是240＋10＝250。

例2 某数加上1后除以7余3，而减去1后除以14余1。该数最小值( )。

由条件一知，这个数除以7余2；由条件二知、这个数除以14余2。所以这个数应是7和14的最小公倍数加2。

14＋2＝16

例3 某班学生不足50人，敖老师组织学生做三次不同游戏。第一次每组4人，第二次每组6人，第三次每组8人，都正好分完没余下。该班有学生( )人，每次各分( )组、( )组、( )组。

［4，6，8］＝24

因限定这个数接近50，应是24×2＝48(人)。48分别除以4、6、8得组数12、8、6。

例4 一篓杏。十个十个地数最后缺一个；九个九个地数，数到最后也缺一个；八个八个地数，七个七个地数……到二个二个地数，一样数到最后总是缺一个。这篓杏至少有多少个？

因为十个十个地数到二个二个地数都缺一个，如果加上一个就没有缺数了。那么正好是2到10各数的公倍数，所以题意是求比2到10九个数的最小公倍数少1的数。求2、3、4、5、6、7、89、10的最小公倍数，因大数是小数的倍数，所以2、3、4、5不用求，只求6、7、8、9、10的最小公倍数即可。

2、3、4、……、10九个数的最小公倍数是

2×3×1×7×4×3×5＝2520。这篓杏有2520—1＝2519(个)。

11.想倍数

例1 四个数的和为45，第一个数加2，第二个数减2，第三个数乘2，第四个数除以2，其结果都相同。这四个数是( )。

第一个数加2，第二个数减2的结果都等于第三个数的2倍，所以第一、二个数的和是第三个数的4倍。而第四个数的一半与第三个数的2倍相等，故第四个数是第三个数的4倍。四个数的和是第三个数的9倍。

第三个数是45÷9＝5。

其它数为5×2—2＝8，5×2＋2＝12，5×4＝20。

依次为8，12，5，20。

12.分数法

例如，乙数除甲数商3余8，如果甲数扩大5倍后，商正好是19。甲数是( )。

此题可表述为：甲数比乙数的3倍多8，且是乙数的19/5，求甲数。

也可这样想：根据“不完全商的变化”规律，假设乙数也同时扩大5倍，商不变，余数也扩大5倍，即8×5＝40。

这40实际上是乙数的19倍与乙数15(5×3)倍的差，乙

数是40÷(19—15)＝10。

甲数：10×3＋8＝38。

再如，一项工程，由甲独做12天可以完成。甲做了3天后另有任务而调走。余下的乙独做15天完成。乙单独完成这项工程要()天。

由一般分数应用题想：

若从特殊分数应用题的“工程问题”考虑，则算式为

13.由三数和求

例如，在右图六角星的○里，分别填上一个数，使每条边上四个数的和相等。

可这样想：

填右下角○中的数

则6＋2＋7－5－1

＝15－6＝9。

事实上，此题所求数均为所对边中间两数之和。

14.由个位数想

例1下面乘法算式中，每个汉字代表一个不同的自然数，这些汉字分别代表( )。

例2 有1、2、3、4四张数字卡片，每次取两张组成两位数，其中是偶数的( )。

要使所组成的两位数是偶数，个位上只能是2或4。任取一个作个位，有两种取法。

个位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的三个数字中取，组成三个两位数。即

12、32、42、14、24、34。

15.纵观位数

例如，美国小学数学奥林匹克，第五次(1981年3月)题1：在右边的加法算式中，相同字母表示相同的数字，不同字母表示不同的数字。由于结果是两位数，所以H应小于3；又由于H是偶数，故H＝2。这样E只可能是3或8，而8将使结果为三位数，故E＝3。

23＋23＋23＋23＝92

17.想定义

对一个名词或者一个术语的意义的说明，叫做定义。

把概念用文字或语言表达出来，叫做给这个概念下定

义。定义有两个任务：

(1)把被定义的对象同其它一切对象区别开；

(2)揭示出被定义的对象的本质属性。

解这类题的关键在于对照定义分析判断对象，是否违反了定义的本质属性。

例1 判断下列两题说法的正误。

(1)能被2除尽的一定是偶数。( )

能被2整除的数，称偶数。“整除”是对自然数而言，“除尽”除包含“整除”外，所得数还可是有限小数。故“一定是偶数”不对。

例2 316( )801≈316万

6( )8630000≈7亿

由“四舍五入”的意义知，前题只能填小于5的整数4、3、2、1、0；后题为等于或大于5而小于或等于9的数6、7、8、9。

例3 用24cm的铝丝所围成的长方形，面积的变化趋势是( )。

如果a＝11，那么b＝1，则S＝11；

如果a＝8，那么b＝4，则S＝32；

……

如果a＝6，那么b＝6，则S＝36。

显然，长与宽的和一定时，其长度越接近面积越大。最大面积是围成的正方形。

例4 4∶( )＝3∶( )

由“比例的意义”和“比例的基本性质”知，在某个( )中任意填个不为0的数，再算出另一个( )中应填的数。

例5 哪组中的比，可组成比例( )。

(A)10∶12和35∶42

(B)20∶10和60∶20

(1)从定义出发，比值入手。

所以10∶12＝35∶42。

(2)化简比入手。

10∶12＝5∶6 35∶42＝5∶6

所以10∶12＝35∶42。

(3)假设(A)正确，因为10×42＝12×35，假设成立。

例6 表示分解质因数的式子是( )。

(A)18＝2×9 (B)108＝2×2×27

(C)36＝2×2×3×3 (D)24＝2×2×3

分解出的因数要全部是质数，其连乘积等于被分解的合

数。(C)正确。

例7 一些概念判断题和原概念相比往往只有一字之差，记不准确，易失误。如：

乘积为1的两个数叫做倒数。“叫做”应是“互为”。

有公约数1的两个数叫互质数。应是“只”有公约数1

例8 (多解题)下面图形( )是轴对称图形。

(1)正方形；(2)长方形；(3)梯形；

(4)等腰三角形；(5)等边三角形；

(6)圆形；(7)平行四边行。

根据“轴对称图形”的定义，正确答案为(1)、(2)、(4)、(5)、(6)。

18.想定理

已知证明具有正确性，可以作为原则或规律的命题或公式称定理。

例1 五边形的内角和是( )度；一个多边形的每个内角都是120°，它的边数是( )，对角线条数是( )。

根据定理：“对凸多边形来说，n边形的内角和等于(n—2)·180°。

五边形的内角和为：

(5—2)×180°＝540°。

设边数为n，则

(n－2)· 180°＝n·120°，

n(180°－120°)＝360°，n＝6。

这个六边形，对角线的条数为：

例2 一个三角形三个内角的度数比是2∶1∶1。这个三角形是( )(多解题)。

(1)锐角三角形；(2)钝角三角形；(3)直角三角形；(4)等腰三角形；(5)等边三角形。

根据“三角形内角和定理”，每份数为180°÷(2＋1＋1)＝45°，三内角分别为45°、45°、90°。应选择(3)、(4)。

把新分数，看作

由分比定理：

设未约的新分子为x，因为“分子与分母加上同一个数，分数值变了、但分母与分子的差是不变的”，这个差是9—5。

加上的数是8—5＝3。

设这个“和倍问题”中的甲数为a，乙数为b。

a＝44－32＝12。

例5 两个数的最大公约数是5，最小公倍数是120。这两个数是( )、( )。

定理：两个数的最小公倍数，等于这两个数的乘积除以它们的最大公约数。

证明：

设(a，b)＝M，

则a＝M·P1，b＝M·P2，(P1，P2)＝1，

[a，b]＝[M·P1，M·P2]＝M·P1·P2，

所以a·b＝［a，b］·(a，b)＝120×5＝600。

由题意知a和b的最小数是5，将600分成10×60、15×40、20×30。

符合题意的是5、120；15、40。

若从“最大公约数与最小公倍数的求法”想，120÷5＝24是最后两个互质数的乘积。把其分解成所有可能的两个互质数相乘的形式：

24＝1×24 24＝3×8

每式中的每一个因数，分别乘最大公约数得到的一组数，即为一个答案。

本定理中，如果a—b＝c，c＜b，且b÷c＝d，那么［a，b］＝ad。

证明：

因为b÷c＝d，a—b＝c，

所以b＝cd，a—cd＝c，a＝c(1＋d)，

c是a、b的公约数。

又因为(d，1＋d)＝1，

所以(a，b)＝c，

19.想定律

［定律］是科学上对某种客观规律的概括，反映事物在一定条件下发生一定变化过程的必然关系。数学中，具有某种规律性的结论叫做定律。

例1 “从小爱数学”邀请赛试题：比较下面两个积的大小A( )B。

A＝987654321×123456789，

B＝987654322×123456788。