(专题精选)初中数学圆的单元汇编附答案

（专题精选）初中数学圆的单元汇编附答案

一、选择题

1．一个圆锥的底面半径是5，高为12，则这个圆锥的全面积是（ ）

A ．60π

B ．65π

C ．85π

D ．90π

【答案】D

【解析】

【分析】

根据勾股定理求出圆锥侧面母线长，再根据圆锥的全面积=底面积+侧面积求出答案.

【详解】

∵圆锥的底面半径是5，高为12， ∴侧面母线长为2251213+=，

∵圆锥的侧面积=51365ππ??=，

圆锥的底面积=2525ππ?=，

∴圆锥的全面积=652590πππ+=，

故选：D.

【点睛】

此题考查圆锥的全面积，圆锥侧面母线长与底面圆的半径、圆锥的高的关系，熟记计算公式是解题的关键.

2．如图，在平行四边形ABCD 中，BD ⊥AD ，以BD 为直径作圆，交于AB 于E ，交CD 于F ，若BD=12，AD ：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（ ）

A ．123

B ．1536π-π

C ．30312π-

D ．48336π-π

【答案】C

【解析】

【分析】 易得AD 长，利用相应的三角函数可求得∠ABD 的度数，进而求得∠EOD 的度数，那么一个阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形DOE -S △BOE ，算出后乘2即可．

【详解】

连接OE ，OF ．

∵BD=12，AD ：AB=1：2，

∴AD=43 ，AB=83，∠ABD=30°，

∴S △ABD =33,S 扇形=603616,633933602

OEB S ππ?==?=V

∵两个阴影的面积相等，

∴阴影面积=()224369330312ππ?--=- .

故选：C

【点睛】

本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积．

3．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°.AC=8，BC=3，点D 是BC 边上动点，连接AD 交以CD 为直径的圆于点E ，则线段BE 长度的最小值为( )

A ．1

B ．32

C ．3

D ．52

【答案】A

【解析】

【分析】 根据直径所对的圆周角为直角可知∠CED=90°，则∠AEC=90°，设以AC 为直径的圆的圆心为O ，若BE 最短，则OB 最短，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得

OE=

12

AC=4，在Rt △OBC 中，根据勾股定理可求得OB=5，即可得解. 【详解】

解：连接CE ，

∵E 点在以CD 为直径的圆上，

∴∠CED=90°，

∴∠AEC=180°-∠CED=90°，

∴E 点也在以AC 为直径的圆上，

设以AC 为直径的圆的圆心为O ，若BE 最短，则OB 最短，

∵AC=8， ∴OC=12

AC=4， ∵BC=3，∠ACB=90°，

∴OB=22

OC BC

+=5，

∵OE=OC=4，

∴BE=OB-OE=5-4=1.

故选A.

【点睛】

本题考查了直径所对的圆周角为直角，直角三角形的性质和勾股定理.

4．如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是（）

A．圆形铁片的半径是4cm B．四边形AOBC为正方形

C．弧AB的长度为4πcm D．扇形OAB的面积是4πcm2

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】

解：由题意得：BC，AC分别是⊙O的切线，B，A为切点，

∴OA⊥CA，OB⊥BC，

又∵∠C=90°，OA=OB，

∴四边形AOBC是正方形，

∴OA=AC=4，故A，B正确；

∴?AB的长度为：904

180

π

?

=2π，故C错误；

S扇形OAB=

2

904

360

π?

=4π，故D正确．

故选C．

【点睛】

本题考查切线的性质；正方形的判定与性质；弧长的计算；扇形面积的计算．5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=22，则?AB的长是（）

A．πB．3

2

πC．2πD．

1

2

π

【答案】A

【解析】

【分析】连接OA、OB，求出∠AOB=90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．

【详解】连接OA、OB，

∵正方形ABCD内接于⊙O，

∴AB=BC=DC=AD，

∴????

AB BC CD DA

===，

∴∠AOB=1

4

×360°=90°，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2，解得：AO=2，

∴?AB的长为902 180

π′

=π，

故选A．

【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键．

6．如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）

A．4.5 B．4 C．3 D．2

【答案】B

【解析】

【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB 的长．

【详解】连接AI、BI，

∵点I为△ABC的内心，

∴AI平分∠CAB，

∴∠CAI=∠BAI，

由平移得：AC∥DI，

∴∠CAI=∠AID，

∴∠BAI=∠AID，

∴AD=DI，

同理可得：BE=EI，

∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，

即图中阴影部分的周长为4，

故选B．

【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．

7．已知某圆锥的底面半径为3 cm，母线长5 cm，则它的侧面展开图的面积为（）A．30 cm2B．15 cm2C．30π cm2D．15π cm2

【答案】D

【解析】

试题解析：根据圆锥的侧面展开图的面积计算公式得：

π＝15π

S＝RL

故选D.

8．已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作?PQ，交射线OB于点D，连接CD；

（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交?PQ于点M，N；（3）连接OM，MN．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）

A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20°C．MN∥CD D．MN=3CD

【答案】D

【解析】

【分析】

由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．【详解】

解：由作图知CM=CD=DN，

∴∠COM=∠COD，故A选项正确；

∵OM=ON=MN，

∴△OMN是等边三角形，

∴∠MON=60°，

∵CM=CD=DN，

∴∠MOA=∠AOB=∠BON=1

3

∠MON=20°，故B选项正确；

∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°，∴∠OCD=∠OCM=80°，

∴∠MCD=160°，

又∠CMN=12

∠AON=20°， ∴∠MCD+∠CMN=180°， ∴MN ∥CD ，故C 选项正确；

∵MC+CD+DN ＞MN ，且CM=CD=DN ，

∴3CD ＞MN ，故D 选项错误；

故选：D ．

【点睛】

本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．

9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，BC=3，AC=4，则sin ∠ABD 的值是（ ）

A ．43

B ．34

C ．35

D ．45

【答案】D

【解析】

【分析】

由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC ，再根据勾股定理求得AB=5，即可求sin ∠ABD 的值．

【详解】

∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，

∴弧AC=弧AD ，

∴∠ABD=∠ABC ．

根据勾股定理求得AB=5，

∴sin ∠ABD=sin ∠ABC=

45． 故选D ．

【点睛】

此题综合考查了垂径定理以及圆周角定理的推论，熟悉锐角三角函数的概念．

10．如图，在ABC ?中，5AB =，3AC =，4BC =，将ABC ?绕一逆时针方向旋转40?得到ADE ?，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为( )

A ．1463π-

B ．33π+

C ．3338π-

D ．259

π 【答案】D

【解析】

【分析】 由旋转的性质可得△ACB ≌△AED ，∠DAB=40°，可得AD=AB=5，S △ACB =S △AED ，根据图形可得S 阴影=S △AED +S 扇形ADB -S △ACB =S 扇形ADB ，再根据扇形面积公式可求阴影部分面积．

【详解】

∵将△ABC 绕A 逆时针方向旋转40°得到△ADE ，

∴△ACB ≌△AED ，∠DAB=40°，

∴AD=AB=5，S △ACB =S △AED ，

∵S 阴影=S △AED +S 扇形ADB -S △ACB =S 扇形ADB ，

∴S 阴影=

4025360π?=259π， 故选D.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，扇形面积公式，熟练掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等.

11．如图，O e 中，若66OA BC AOB ⊥∠=o 、，则ADC ∠的度数为（ ）

A ．33°

B ．56°

C ．57°

D ．66°

【答案】A

【解析】

【分析】 根据垂径定理可得??AC

AB =，根据圆周角定理即可得答案． 【详解】

∵OA ⊥BC ，

∴??AC

AB =，

∵∠AOB=66°，∠AOB 和∠ADC 分别是?AB

和?AC 所对的圆心角和圆周角， ∴∠ADC=12

∠AOB=33°， 故选：A ．

【点睛】 本题考查垂径定理及圆周角定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；熟练掌握相关定理是解题关键．

12．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，对角线10AC =，O e 内切于ABC ?，则图中阴影部分的面积是（ ）

A ．24π-

B ．242π-

C ．243π-

D ．244π-

【答案】D

【解析】

【分析】 先根据勾股定理求出BC ，连接OA 、OB 、OC 、过点O 作OH ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，设O e 的半径为r ，利用面积法求出r=2，再利用三角形ABC 的面积减去圆O 的面积得到阴影的面积．

【详解】

∵四边形ABCD 是矩形，

∴∠B=90°，

∵6AB =，10AC =，

∴BC=8，

连接OA 、OB 、OC 、过点O 作OH ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，

设O e 的半径为r ，

∵O e 内切于ABC ?，

∴OH=OE=OF=r ，

∵11()22ABC S AB BC AB AC BC r =

?=++?V ， ∴1168(6108)22

r ??=++?， 解得r=2，

∴O e 的半径为2，

∴2168-2

224-4ABC O S S S ππ=-=

???=V e 阴影， 故选：D ．

【点睛】

此题考查矩形的性质，勾股定理，三角形内切圆的定义，阴影面积的求法，添加合适的辅助线是解题的关键．

13．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，OC 交⊙O 于点D ，若∠ABD ＝24°，则∠C 的度数是（ ）

A ．48°

B ．42°

C ．34°

D ．24°

【答案】B

【解析】

【分析】 根据切线的性质求出∠OAC ，结合∠C ＝42°求出∠AOC ，根据等腰三角形性质求出∠B ＝∠BDO ，根据三角形外角性质求出即可．

【详解】

解：∵∠ABD ＝24°，

∴∠AOC ＝48°，

∵AC 是⊙O 的切线，

∴∠OAC ＝90°，

∴∠AOC +∠C ＝90°，

∴∠C ＝90°﹣48°＝42°，

故选：B ．

【点睛】

考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，解此题的关键是求出∠AOC 的度数，题目比较好，难度适中．

14．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A＝68°，则∠OBC的大小是( )

A．22°B．26°C．32°D．68°

【答案】A

【解析】

试题分析：根据同弧所对的圆心角等于圆周角度数的两倍，则∠BOC=2∠A=136°，则根据三角形内角和定理可得：∠OBC+∠OCB=44°，根据OB=OC可得：∠OBC=∠OCB=22°.

考点：圆周角的计算

15．如图，点A、B、C、D、E、F等分⊙O，分别以点B、D、F为圆心，AF的长为半径画弧，形成美丽的“三叶轮”图案．已知⊙O的半径为1，那么“三叶轮”图案的面积为（）

A．π33

B．π

33

C

33

π+

D

33

π-

【答案】B

【解析】

【分析】

连接OA、OB、AB，作OH⊥AB于H，根据正多边形的中心角的求法求出∠AOB，根据扇形面积公式计算．

【详解】

连接OA、OB、AB，作OH⊥AB于H，

∵点A 、B 、C 、D 、E 、F 是⊙O 的等分点，

∴∠AOB=60°，又OA=OB ，

∴△AOB 是等边三角形，

∴AB=OB=1，∠ABO=60°，

∴OH=2211()2-=3， ∴“三叶轮”图案的面积=（2601360π??-12×1×3）×6=π-33， 故选B ．

【点睛】

本题考查的是正多边形和圆、扇形面积的计算，掌握正多边形的中心角的求法、扇形面积公式是解题的关键．

16．如图，已知⊙O 的半径是4，点A,B,C 在⊙O 上，若四边形OABC 为菱形，则图中阴影部分面积为（ ）

A ．8833π-

B ．16833π-

C ．16433π-

D ．8433

π-【答案】B

【解析】

【分析】 连接OB 和AC 交于点D ，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC 的长及∠AOC 的度数，然后求出菱形ABCO 及扇形AOC 的面积，则由S 扇形AOC -S 菱形ABCO 可得答案．

【详解】

连接OB 和AC 交于点D ，如图所示：

∵圆的半径为4，

OB=OA=OC=4，

又四边形OABC是菱形，

∴OB⊥AC，OD=1

2

OB=2，

在Rt△COD中利用勾股定理可知：22

4223,243

AC CD

-===

∵sin∠COD=

3 CD

OC

=

∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，

∴S菱形ABCO=11

44383 22

OB AC

?=??=

∴S扇形=

2 120416

3603

π

π

??

=,

则图中阴影部分面积为S扇形AOC-S菱形ABCO=16

83 3

π-.

故选B.【点睛】

考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面积=1

2

a?b（a、b是两条

对角线的长度）；扇形的面积=

2 360 n r π

.

17．若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（）

A．4 B．2 C．23D．43

【答案】A

【解析】

试题分析：正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的半径等于4，则正六边形的边长是4．故选A．

考点：正多边形和圆．

18．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=86°，则∠BCD的度数是（）

A．86°B．94°C．107°D．137°

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

解：∵∠BOD=86°，

∴∠BAD=86°÷2=43°，

∵∠BAD+∠BCD=180°，

∴∠BCD=180°-43°=137°，

即∠BCD的度数是137°．

故选D．

【点睛】

本题考查圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．

19．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形(如图1)，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形. 图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图.

图1图2

有如下四个结论：

①勒洛三角形是中心对称图形

②图1中，点A到BC上任意一点的距离都相等

③图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等

④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，会发生上下抖动

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A．①②B．②③C．②④D．③④

【答案】B

【解析】

【分析】

逐一对选项进行分析即可.

【详解】

①勒洛三角形不是中心对称图形，故①错误；

②图1中，点A到BC上任意一点的距离都相等，故②正确；

③图2中，设圆的半径为r

∴勒洛三角形的周长=

120

32

180

r

r

π

π?=

g g

圆的周长为2r

π

∴勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故③正确；

④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故④错误

故选B

【点睛】

本题主要考查中心对称图形，弧长公式等，掌握中心对称图形和弧长公式是解题的关键. 20．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D在BA的延长线上，CD与⊙O交于另一点E，DE=OB=2，∠D=20°，则弧BC的长度为（）

A．2

3

πB．

1

3

πC．

4

3

πD．

4

9

π

【答案】A

【解析】

【分析】

连接OE、OC，如图，根据等腰三角形的性质得到∠D=∠EOD=20°，根据外角的性质得到∠CEO=∠D+∠EOD=40°，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠CEO=40°，根据外角的性质得到∠BOC=∠C+∠D=60°，根据求弧长的公式得到结论.

【详解】

解：连接OE、OC，如图，

∵DE=OB=OE，

∴∠D=∠EOD=20°，

∴∠CEO=∠D+∠EOD=40°，∵OE=OC，

∴∠C=∠CEO=40°，

∴∠BOC=∠C+∠D=60°，

∴?BC的长度=

2

60?2

360

π?

=

2

3

π，

故选A.【点睛】

本题考查了弧长公式：l=

??

180

n R

π

（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），还考查

了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键．