抽象代数基础第一章1.7 有限群
抽象代数基础第一章1.6 群的同构与同态
授课时间第12次课
授课章节
1.6群的同构与同态
任课教师
及职称
xx教授
教学方法
与手段
讲授法、板书
课时安排
4
使用教材和
主要参考书
《抽象代数基础》 唐忠明 编 高等教育出版社 2006，4
《近世代数》 杨子胥 编 高等教育出版社 2000，5
教学目的与要求：
掌握群的同构定理和同态定理
（2）若H是G的正规子群且 ，则
证明：（1）易知HN是G的子群，又由于N是G的正规子群，自然有N也是HN的正规子群，因而有商群 。令
则f是一个群同态。易知f是满同态，又 ，由同态基本定理有 。
（2）令 ，若aN=bN，则 ，而 ，所以 ，即 ，因而g的定义是合理的，易见g是一个满同态且 ，所以有同态基本定理，
《 抽象代数基础 》教案
复习思考题、作业题：
课本P28 1、4、6、9、10
下次课预习要点
有限群
实施情况及教学效果分析
学院审核意见
学院负责人签字
年月日
（1）如果H是G的子群，则f（H）是 的子群
（2）如果 是 的子群，则 是G的子群；如果 是 的正规子群，则 也是G的正规子群。
8、定理3设f是群G到 的一个满同态，如果H是G的正规子群，则f（H）是 的正规子群。
9、定理4（群的同态基本定理）设f是群G到 的一个满同态，则
证明：令
由于，若 则 ，于是 ，而 ，所以 ，因而 的定义是合理的，显然 是满射。
教学重点，难点：
Cayley定理；群的同态基本定理
教学内容：
1.6群的同构与同态
1、定义1设 和 是两个群，f是G到 上的一个一一对应，如果对 都有
抽象代数群的定义课件
群的量子表示
量子表示的定义
将群中的元素映射到量子态，形 成一个量子群。量子表示是群表 示的一种形式，可以用于研究群 的量子性质和结构。
量子表示的优点
19世纪中叶，数学家开始系统地研究群论，并发现了群的许多重要性质和定理。
20世纪初，群论得到了进一步的发展和应用，特别是在物理、化学和计算机科学等 领域。
现代群论已经发展成为一个非常广泛的数学领域，包括了许多分支和应用，如有限 群、无限群、李群、拓扑群等。
群论的现代研究
现代群论的研究涉及到许多领域，如 几何学、代数学、物理学和计算机科 学等。
运算结果仍属于这个集合。
群的基本性 质
群是一个封闭的代数结构，即其二元 运算满足封闭性。
群中存在一个特殊的元素，通常记为 $e$或$I$，称为单位元，满足对于任 意群元素$a$，有$e cdot a = a cdot e = a$。
群中的运算满足结合律，即对于任意 三个群元素$a, b, c$，有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
量子表示可以描述更复杂的量子 现象和量子系统，能够更好地揭 示群的本质和内在规律。此外， 量子表示还可以通过计算机编程 实现，方便进行大规模的计算和 研究。
量子表示的应用
量子表示在量子计算、量子信息、 量子物理等领域都有广泛的应用。 例如，在量子计算中，各种量子 算法可以用量子态来表示，而在 量子通信中，各种量子态也可以 用量子态来表示。
现代群论的研究还涉及到许多实际应 用，如密码学、计算机图形学和量子 计算等。
数学中的抽象代数与有限域
数学中的抽象代数与有限域一、抽象代数基础1.1 集合论基础：集合、元素、集合运算（并集、交集、补集）、集合的性质（互异性、无序性、确定性）。
1.2 代数结构：群、环、域、域扩张。
1.3 群论：群的定义、性质、生成群、群同态、群同构、循环群、交换群、拉格朗日定理、西罗定理。
1.4 环论：环的定义、性质、交换环、整环、域、域的扩张。
1.5 域论：域的定义、性质、域的扩张、伽罗瓦理论、有限域、多项式环。
二、有限域及其应用2.1 有限域的定义：有限域是一种具有加法和乘法运算的代数结构，其元素个数为有限个，且满足交换律、结合律、分配律。
2.2 有限域的性质：有限域的元素个数为素数的幂，有限域的子域为有限个，有限域的乘法群为循环群。
2.3 有限域的表示：多项式表示、二进制表示。
2.4 有限域的扩张：有限域的扩张是通过添加元素来实现的，扩张过程中保持原有运算规律。
2.5 伽罗瓦理论：伽罗瓦理论是研究域扩张性质的理论，核心概念是域的自同构和域的子域。
2.6 有限域的应用：密码学、编码理论、计算机科学、信息安全。
三、抽象代数在中小学数学中的应用3.1 整数：整数是加法和减法的代数结构，满足群性质。
3.2 分数：分数是整数的扩张，通过域的扩张实现。
3.3 多项式：多项式是代数表达式，可以通过域的扩张来定义。
3.4 方程：方程是通过代数结构来描述的数学问题，解方程的过程涉及到群、环、域等概念。
3.5 线性代数：线性代数中的向量空间、线性映射与抽象代数中的域、群、环等概念密切相关。
四、抽象代数与实际生活的联系4.1 密码学：抽象代数中的群、环、域等概念在密码学中具有重要意义，如哈希函数、公钥加密等。
4.2 计算机科学：抽象代数在计算机科学中有着广泛应用，如数据结构、算法、编程语言等。
4.3 信息安全：抽象代数在信息安全领域中发挥着重要作用，如数字签名、身份认证等。
4.4 编码理论：抽象代数中的有限域在编码理论中具有重要意义，如错误检测、纠正码等。
简单的抽象代数基本知识2
2，环的又一定义 代数系统[R;+,*],其中+和*为定义在R上的二元 运算,满足下述条件, (1) [R;+]为Abel群 (2) [R;*]为半群 (3) +，*满足分配律: a*(b+c)=(a*b)+(a*c), (b+c)*a=(b*a)+(c*a) 则称[R;+,*]为环。
域f上的所有多项式在多项式加法和乘法下作成一个有幺元的交换环记为fx称为域f多项式运算department这个域称为二元域应用在电话电报电视传真计算机中数据传输打印机vcd机cd机纠错码上以及卫星图片的传输等
编 码 理 论 基 础
哈尔滨工程大学理学院 信息与计算科学系 林 锰
Department of Mathematics, College of Sciences
第一章 简介抽象代数基本知识
1 2 3 授课预计 (6学时) 群的相关概念 环的相关概念 域及域上多项式
§2.2 环 的 相 关 概 念 一, 环的定义及相关内容 1，定义：设R是一个非空集合，其中有“+” “·” 两种二元代数运算，R叫做一个环，如果 1) a+b=b+a， 2) a+（b+c）=（a+b）+c， 3) G中有一个元素0，适合a+0=a， 4) 对于G中任意a,有-a,适合a+（-a）=0， 5) a·（b·c）=（a·b）·c， 6) a·（b+c）=a·b+a·c，（a+b) ·c=a·c+b·c。
则集合：
(a + I ) ⊗ (b + I ) = a ⋅ b + I
抽象代数与群论
抽象代数与群论抽象代数是数学中的一个分支，它研究的是代数结构。
而群论则是抽象代数中的一个重要概念和研究领域。
本文将探讨抽象代数与群论的基本概念、性质和应用。
一、引言抽象代数起源于19世纪，是由德国数学家Galois引领的研究领域。
它的研究对象是代数结构，而这个结构可以通过一组符号和符号间的运算来描述。
二、群的定义和性质群是抽象代数中的一种代数结构，它包含了一个集合和一个二元运算，满足四个基本性质：封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。
根据群运算的性质，我们可以得出一系列有用的结论和定理，比如乘法交换律、唯一逆元等。
三、群的分类与子群群可以根据其性质进行分类，常见的分类包括有限群和无限群、阿贝尔群和非阿贝尔群等。
同时，群还可以根据其子集的性质来定义子群，子群是原群的一个子集，在同一运算下构成一个群。
四、同态与同构同态是群论中的重要概念，它描述了两个群间的映射关系。
同态可以保持群运算的结构，即保持群元素的乘法关系。
而同构是一种更为特殊的同态映射，它不仅保持群的结构，还保持群元素之间的一一对应关系。
五、应用领域抽象代数与群论在各个领域都有广泛的应用。
在数论中，群论被用来研究模运算和同余关系。
在几何学中，群论提供了一种描述对称性和变换的方法。
在密码学中，群论被应用于数据加密和解密算法的设计。
六、结论抽象代数与群论是数学中重要的研究领域，它们通过对代数结构和群的定义、性质以及应用的研究，为数学学科的发展和其他科学领域的应用提供了基础和支持。
深入理解和应用抽象代数与群论的理论，将有助于我们更好地理解和解决实际问题。
写完了，请问还有其他的问题吗？。
抽象代数基础第一章1.7 有限群
课本P32 1、4、6
下次课预习要点
环的概念
实施情况及教学效果分析
学院审核意见
学院负责人签字
年月日
《 抽象代数基础 》教案
授课时间第16次课
授课章节
1.7有限群
任课教师
及职称
xx教授
教学方法
与手段
讲授法、板书
课时安排
4
使用教材和
主要参考书
《抽象代数基础》 唐忠明 编 高等教育出版社 2006，4
《近世代数》 杨子胥 编 高等教育出版社 2000，5
教学目的与要求：
掌握有限群中的Lagrange定理，正规化子，共轭关系，共轭类，Sylow定理
设G是群，在G上定义关系 ：
则 是G的一个等关系，称之为共轭关系，共轭关系所决定的类称为是共轭类。
6、引理1设G是有限群，C为G的中心，则 ，其中 是对所有不属于C的共轭类的代表元求和。
7、定理2设G是阶为n的有限群，p为素数， ，其中 ，则存在G的子群H使 。
证明：利用引理1。
《 抽象代数基础 》教案
3、命题1设G是一个有限循环群，整数 使 ，则存在G的子群H使 =m
证明：设G=<a>，令 则易知 ，所以存在子群H= 使 =m
4、命题2设G是有限交换群， 为整数，如果 ，则存在G的子群H使 =m
5、定义1设G是群， ，令 ，则易见 是G的一个子群，称之为a在G中的正规化子。
注：易见 ； 当且仅当a属于G的中心。
教学重点，难点：
类方程，Sylow定理的证明
教学内容：
1.7有限群
1、定理1（Lagrange定理）设G是有限群，H是G的一个子群，则
2、推论1设G是有限群
《抽象代数基础》教案
《抽象代数基础》教案第一章：引言1.1 课程简介介绍抽象代数的基础知识和重要地位解释抽象代数与其他数学分支的关系1.2 抽象代数的基本概念定义集合、元素和运算举例说明一些基本的抽象代数结构1.3 抽象代数的历史发展回顾代数的发展历程介绍抽象代数的起源和发展趋势第二章：群论基础2.1 群的定义与性质引入群的定义和表示方法探讨群的性质，如封闭性、结合律等2.2 子群与陪集定义子群和陪集的概念研究子群与原群的关系以及陪集的性质2.3 群的同态与同构引入群同态和同构的概念探讨同态和同构的性质和条件第三章：环与域3.1 环的定义与性质引入环的定义和表示方法探讨环的性质，如加法封闭性、乘法结合律等3.2 素环与最大素环定义素环和最大素环的概念探讨素环和最大素环的性质和判定条件3.3 域的概念与性质引入域的概念和表示方法探讨域的性质，如乘法封闭性和零因子性等第四章：域扩张与伽罗瓦理论4.1 域扩张的定义与性质引入域扩张的概念和表示方法探讨域扩张的性质和条件4.2 伽罗瓦理论的基本概念引入伽罗瓦理论的基本概念，如伽罗瓦群、伽罗瓦扩展等探讨伽罗瓦理论的应用和意义4.3 域扩张的判定定理介绍判定域扩张的一些重要定理，如伽罗瓦定理等举例说明这些定理的应用和证明过程第五章：线性代数基础5.1 线性空间与线性映射引入线性空间和线性映射的概念探讨线性空间和线性映射的性质和运算5.2 矩阵与行列式引入矩阵和行列式的概念探讨矩阵和行列式的性质和运算规则5.3 特征值与特征向量引入特征值和特征向量的概念探讨特征值和特征向量的性质和应用第六章：向量空间与线性变换6.1 向量空间的概念与性质定义向量空间和子空间探讨向量空间的性质，如基的概念和维数6.2 线性变换与线性映射引入线性变换和线性映射的概念探讨线性变换的性质和运算规则6.3 特征值与特征向量进一步探讨特征值和特征向量的性质应用特征值和特征向量解决线性变换的问题第七章：特征值问题的应用7.1 特征值问题的解法介绍特征值问题的解法，如幂法和特征值算法探讨解法的有效性和适用条件7.2 特征值在实际问题中的应用举例说明特征值在物理学、工程学和经济学等领域中的应用分析特征值问题在实际问题中的解法和效果7.3 特征值问题的进一步研究介绍特征值问题的进一步研究方向，如谱理论和解的存在性等探讨特征值问题在科学研究中的重要性和挑战性第八章：向量空间的同构与对偶性8.1 向量空间的同构定义向量空间的同构和等价探讨同构的性质和判定条件8.2 向量空间的对偶性引入向量空间的对偶性和对偶空间探讨对偶性的性质和应用8.3 对偶性与共轭性探讨对偶性与共轭性的关系和联系应用对偶性和共轭性解决向量空间的问题第九章：张量分析基础9.1 张量的定义与运算引入张量的概念和表示方法探讨张量的运算规则和性质9.2 张量空间与张量映射定义张量空间和张量映射探讨张量空间和张量映射的性质和运算9.3 张量分析的应用举例说明张量分析在物理学、工程学和计算机科学等领域中的应用分析张量分析在实际问题中的解法和效果回顾本课程的主要概念、定理和方法10.2 抽象代数的进一步研究介绍抽象代数进一步研究的主要方向和热点问题探讨抽象代数在科学研究和应用中的前景和挑战10.3 课程学习评价与反思分析学生在本课程学习中的表现和收获提出学生应如何继续学习和提高自己在抽象代数方面的能力重点和难点解析重点环节1：群的定义与性质群的定义和表示方法是理解抽象代数结构的基础，需要重点掌握。
第一章 抽象群理论
群论基础及其应用第一章 抽象群理论1.1 群的定义首先分析以下几个代数系统的性质（所谓代数系统是指，至少定义了一种运算的集合）例1.1 代数系统：{,}R ⨯，其中R 表示全体实数集合R 的去零集合，⨯表示数乘运算。
该系统显然有下列性质：(a) 对,,a b R ∀∈都有,a b R b a R ⨯∈⨯∈；（运算的封闭性）(b) 唯一存在元素1,E =使得a R ∀∈，有a E E a a ⨯=⨯=；（存在幺元素1） (c) 对,a R ∀∈唯一存在一个元素b R ∈，使得a b b a E ⨯=⨯=；（存在逆元素） (d) 对,,,a b c R ∀∈都有()()a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯。
（运算的结合性） 例1.2代数系统：{,}R +，+表示数的和。
该系统显然有下列性质： a) 对,,a b R ∀∈都有c a b b a R =+=+∈；（运算的封闭性）b) 唯一存在元素0,E =使得a R ∀∈，有a E E a a +=+=；（存在幺元素0） c) 对,a R ∀∈唯一存在一个元素b R ∈，使得a b b a E +=+=；（存在逆元素） d) 对,,,a b c R ∀∈都有()()a b c a b c ++=++。
（运算的结合性） 对于由全体整数构成的子系统{,}I R ⊂+也有相同的性质。
例1.3代数系统：{A ，矩阵乘}，其中123{,,,}A E A A A =12310011001,,,01100110E A A A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭容易验证该系统满足a) 运算在A 上封闭（122133113223321,,A A A A A A A A A A A A A A A ======）； b) 存在幺元素E ；c) 每个元素都有逆元素（112233,,A A E A A E A A E ===）； d) 运算满足结合律。
抽象代数与线性代数基础
Q = 有理数域 = {a b : a,b ∈ Z,b ≠ 0} R = 实数域 C = 复数域 = {a + bi : a,b ∈ R} (i2 = −1)
集合 设 A, B,C,…是集合。我们使用交与并的标准符号。
A ∩ B = {x : x ∈ A 与 x ∈ B} = A 与 B 的所有相同元素构成的集合。
本教材是带着这样的信念写的，就是将抽象代数和线性代数作为一个紧密 结合学科去教授比作为两个分离的学科更有效果。将抽象代数和线性代数作为两 个不同的学科教授导致失去内容的配合与（学习）锐气。使用本教材时任课教授 不要从课本摘选内容，而是应在其基础上建设该教程。我取信，从一个基础上建 设教程比从一本大部头书上摘选内容容易。因为你摘选后，你仍然需要建设它。 这本书的骨架特性增加了它的灵活性，因为你围绕它可以建你所希望的教程。基 础代数是一个具有不可思议的优美和实用的学科，但它需要大量的组织结构。这 本书是我对这个组织结构的尝试。每个努力都被用来使课题进行得迅速并且尽可 能无缝隙地从一个主题流畅到下一个。大学生在学期内仅有有限的时间用于严格 的学习，时间应谨慎分配使用。任课教授选那些专题用于严格学习，那些仅是“浅 尝则止”。目的是集中精力学和不断前进，这是因为数学是以事后聪敏的方式学 习的。我愿意是本书更短小，但我没有更多的时间。
抽象代数重点解析——群(三)
抽象代数重点解析——群（三）1.6变换群与置换群定义1.6.1：设A是非空集合，A的所有可逆变换关于映射的乘法构成的群，称为A的全变换群，记为S_{A}，S_{A}的一个子群称为A的一个变换群；当S_{A}为含有n个元素的有限集时，S_{A}也叫作n元对称群，记作S_{n}，S_{A}中的一个元素称为一个n元置换，S_{n}的一个子群称为一个n元置换群。
要注意全变换群，变换群；对称群，置换群。
这两对递进的概念的区别。
下面是一个奠定变换群地位的定理，只给出证明思路。
定理1.6.1（Cayley定理）：任何群都与一个变换群同构。
证明思路：设 G 是群， \forall a\in G ，定义映射 \forall g\in G ，f_{a}(g)=ag ，称为左平移变换。
不难验证左平移变换是 S_{G} 的一个子群，且能与 G 可以建立同构。
关于对称群 S_{n} 而言，我们把它的 n 个元素用前 n 个自然数表示，则置换 \sigma 可记作 \begin{pmatri某}1&2&...&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&...&\sigma(n) \end{pmatri某} ，可以看出\sigma(1),\sigma(2),...,\sigma(n) 对 n 个元素的一个排列，自然有下面结论。
定理1.6.2： \left， S_{n} \right，=n。
接下来深入研究置换，首先给出两个定义。
定义1.6.2：设集合 A 有 n 个元素，设I=\left\{ i_{1},i_{2}...i_{r} \right\}\subset A ， \sigma\inS_{A} ，有 \sigma(i_{j})=i_{j+1}(j<r) ， \sigma(i_{r})=i_{1} ，\sigma(k)=k(k\notin I) ，则称 \sigma 为一个r-轮换，或称r-循环置换，记为 \sigma=(i_{1}i_{2}...i_{r}) ， i_{1},i_{2}...i_{r} 称为\sigma 的文字， r 称为 \sigma 的长；特别地，2-轮换称为对换，1-轮换称为恒等置换。
抽象代数基础 课后答案(唐忠明 著) 高等教育出版社
⎝ i=1 ⎠
证明:
∏ ∏ ∏ ⎛
⎜⎜⎝
n i =1
ai
⎞ ⎟⎟⎠
⋅
⎛ ⎜⎜ ⎝
m j =1
an+ j
⎞ ⎟⎟ = ⎠
n+m
ak
k =1
.
进而证明:在不改变元素顺序的前提下, A 中元素的乘积与所加括号无关.
证明 当 m = 1时,根据定义,对于任意的正整数 n ,等式成立.
假设当 m = r ( r ≥ 1 )时,对于任意的正整数 n ,等式成立.当 m = r +1时,由于
所以 G 关于矩阵的乘法构成一个群. 3.在整数集 Z 中,令 a ⋅ b = a + b − 2 , ∀a, b ∈ Z .证明: Z 关于这样的乘法构成
一个群. 证明 对于任意的 a, b, c ∈ Z ,我们有
(a ⋅ b) ⋅ c = (a + b − 2) ⋅ c = (a + b − 2) + c − 2 = a + b + c − 4 , a ⋅ (b ⋅ c) = a ⋅ (b + c − 2) = a + (b + c − 2) − 2 = a + b + c − 4 , 从而 (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) .这就是说,该乘法适合结合律.其次, 2 ∈ Z ,并且对于任 意的 a ∈ Z ,我们有 2⋅a =2+a−2= a =a+2−2=a⋅2, a ⋅ (4 − a) = a + (4 − a) − 2 = (4 − a) + a − 2 = (4 − a) ⋅ a . 所以 Z 关于该乘法构成一个群. 4.写出 S3 的乘法表. 解 S3 = {(1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}, S3 的乘法表如下:
抽象代数-01百科集锦
近世代数近世代数即抽象代数。
代数是数学的其中一门分支，当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分。
初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论，主要研究某一方程〔组〕是否可解，如何求出方程所有的根〔包括近似根〕，以及方程的根有何性质等问题。
法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题。
他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数创始人。
他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期。
1理论构成抽象代数学对于全部现代数学和一些其它科学领域都有重要的影响。
抽象代数学随着数学中各分支理论的发展和应用需要而得到不断的发展。
经过伯克霍夫、冯.诺伊曼、坎托罗维奇和斯通等人在1933-1938年所做的工作，格论确定了在代数学的地位。
而自20世纪40年代中叶起，作为线性代数的推广的模论得到进一步的发展并产生深刻的影响。
泛代数、同调代数、范畴等新领域也被建立和发展起来。
抽象代数在上一个世纪已经有了良好的开端，伽罗瓦在方程求根中就蕴蓄了群的概念。
后来凯利对群作了抽象定义(Cayley，1821~1895)。
他在1849年的一项工作里提出抽象群的概念，可惜没有引起反响。
“过早的抽象落到了聋子的耳朵里”。
直到1878年，凯利又写了抽象群的四篇文章才引起注意。
1874年，挪威数学家索甫斯·李（Sophus Lie, 1842~1899）在研究微分方程时，发现某些微分方程解对一些连续变换群是不变的，一下子接触到连续群。
1882年，英国的冯·戴克（von Dyck,1856~1934）把群论的三个主要来源—方程式论，数论和无限变换群—纳入统一的概念之中，并提出“生成元”概念。
20世纪初给出了群的抽象公理系统。
群论的研究在20世纪沿着各个不同方向展开。
例如，找出给定阶的有限群的全体。
抽象群理论(1章)
次以上，又由于每一行或每一列的位置的树木等与群的街，所以每一元
素必在每行或每列中出现一次且只一次。证明完毕。
此定理的一个重要推论是：若t是群元素的任意函数，则
第
第一操作
这里B是有限群G的一个元素，求 二
和遍及所有群元素。பைடு நூலகம்
操E
1.2.2 有限群的生成元 从满 作
足一些关系的元素的某一集合出
发，可以生成群的所有元素。考 E E
可以用算符记号把它表示为：
= = =mx
这表明，对于正方形，操作和操作给出相同的结果。 一个算符的逆是抵消此算符效果的算符。例如，考虑对正方形的逐 次操作：
如果把和的操作次序倒过来将得到同样的结果。因此根据式(1.3)， 是的逆，也是的逆。这可以用算符记号表示为：
= = =E
或 留作习题证明，八个对称变换中的每一个都有一个逆，此逆就是八个变 换中的一个。
系堪称固定的，正方形在变换，这就是所谓主动观点；或者把正方形看 成固定的，坐标系在变换，这就是所谓被动观点。须注意，主动观点中 的变换相当于被动观点中的逆变换。例如，如果在主动观点中，把定义 为正方形沿顺时针方向转动，则在被动观点中必表示坐标系沿逆时针方 向转动。我们一直采用这个约定。
容易证明，八个变换组成一个群，即正方形的对称性群。例如考察对 正方形施以操作再继之以操作，这可以由下式得出：
于G，即 符号“”表示G中两元素的合成。用符号表示就是 这叫做群的封闭性，而称集合在给定的法则下是封闭的。
(b) 存在单位元素(单位元或恒等元)，使得对所有的， 用符号表示就是 E叫做G的单位元或恒等元。
(c) 对任意元素，存在一个唯一的元素，使得
用符号表示就是 B叫做A的逆(逆元)，A也叫做B的逆元。
群论讲义
D3 群的循环子群: D3=｛e, d, f, a, b, c｝ 2 阶循环子群：｛a, a2=e｝,｛b, b2 =e｝,｛c, c2=e｝ 3 阶循环子群：｛d, d2(＝f), d3=e｝,｛f, f2(=d), f3=e｝
【定义 1.4】 (左陪集和右陪集)
n 为循环群的阶，循环群是阿贝尔群。
an = e}
例 1.10 从 n 阶有限群 G 的任一元素出发，总可以生成一个 G 的循环子群。
G = {e, , gα , }， ∀gα ∈G
3
作 gα , gα 2 , gα 3 ,…, 存在 k ≤ n, gα k = e ，
则{gα1, gα 2 , ..., gα k = e} 构成循环群 Zk ,且 Zk < G 。
在乘法表中，每行和每列都是群元的重排，每个群元只出现一次。
§1.2 子群和陪集
【定义 1.2】 设 H 是群 G 的一个子集，若对于与群 G 同样的乘法运算，H 也构成一个群，
则称 H 为 G 的子群，记为 H < G 。 ·系 1. H < G 的充要条件为: （1） ∀hα , hβ ∈H,有 h α hβ ∈H
证：f1 ～ h, 故 ∃ g1, 使 f1 = g1hg1-1 ，故有 h=g1-1f1g1 f2 ～ h, 故 ∃ g2, 使 f2 = g2hg2-1 = g2g1-1f1g1g2-1 = (g2g1-1)f1(g2g1-1) -1 故 f1 ～ f2
【定义 1.6】 群 G 的所有相互共轭的元素集合，称为群 G 的一个类。 ·系 1 一个类被类中任意一个元素所决定，知道了类中某一个元素 f，则 f 所属类的所有
近世代数(抽象代数)课件
9
Logo
§1 代数运算
· a1 a2 … an a1 a11 a12 … a1n a2 a21 a22 … a2n an an1 an2 … ann
其中, aia j aij A , i, j 1, 2, , n .
10
Logo
§1 代数运算
例 4 设 K4 {e, a, b, c} ,我们可以利用 下表来定义 K4 上的乘法“ ”:
明:在不改变元素顺序的前提下,无论怎样在其中添
加括号其中添加括号,这 n 个元素的乘积总等于
n
ai ，
i 1
从而与加括号的方式无关.
23
Logo
§1 代数运算
事实上,当 n 1或 n 2 时,无需加括号,我们的结论
自然成立.当 n 3时,由于“ ”适合结合律,我们的结论成
13
Logo
§1 代数运算
例 5 设 R 是实数集.则 R 上的加法“”适合 结合律、交换律和消去律; R 上的乘法“”适合结 合律和交换律,不适合消去律; R 上减法“-”不适 合结合律和交换律,但适合消去律.
注意: R \{0}上的乘法“”适合结合律、交换 律和消去律.
A1 A2 An . 特别地,当 A1 A2 An A 时, A1 A 2 A n 可 以简记作 An (读作 A 的 n 次方).这里约定,当 n 1 时, A1 A 2 A n 就是 A1 .
3
Logo
§1 代数运算
定义 1.1 设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)和 A 都是非空集合. A1 A2 An 到 A 的映射 又 称 为 A1, A2 , , A n 到 A 的 代 数 运 算 ; 特 别 地, An 到 A 的映射又称为 A 上的 n 元运算.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
类方程，Sylow定理的证明
教学内容：
1.7有限群
1、定理1（Lagrange定理）设G是有限群，H是G的一个子群，则
2、推论1设G是有限群
（1）如果H是G的子群，则
（2）对 都有
（3）令 ，则对 都有
注：若H是有限群G的正规子群，则商群 的阶就是指数[G：H]，于是
现在考虑Lagrange定理的逆问题：设G是有限群，m是一个正整数使得 ，是否存在G的一个子群H使得 =m
《 抽象代数基础 》教案
授课时间第16次课
授课章节
1.7有限群
任课教师
及职称xΒιβλιοθήκη 教授教学方法与手段
讲授法、板书
课时安排
4
使用教材和
主要参考书
《抽象代数基础》 唐忠明 编 高等教育出版社 2006，4
《近世代数》 杨子胥 编 高等教育出版社 2000，5
教学目的与要求：
掌握有限群中的Lagrange定理，正规化子，共轭关系，共轭类，Sylow定理
设G是群，在G上定义关系 ：
则 是G的一个等价关系，称之为共轭关系，共轭关系所决定的类称为是共轭类。
6、引理1设G是有限群，C为G的中心，则 ，其中 是对所有不属于C的共轭类的代表元求和。
7、定理2设G是阶为n的有限群，p为素数， ，其中 ，则存在G的子群H使 。
证明：利用引理1。
《 抽象代数基础 》教案
3、命题1设G是一个有限循环群，整数 使 ，则存在G的子群H使 =m
证明：设G=<a>，令 则易知 ，所以存在子群H= 使 =m
4、命题2设G是有限交换群， 为整数，如果 ，则存在G的子群H使 =m
5、定义1设G是群， ，令 ，则易见 是G的一个子群，称之为a在G中的正规化子。
注：易见 ； 当且仅当a属于G的中心。
复习思考题、作业题：
课本P32 1、4、6
下次课预习要点
环的概念
实施情况及教学效果分析
学院审核意见
学院负责人签字
年月日