(完整word版)(初中数学竞赛希望杯)代数式的化简求值问题

代数式的化简求值问题

知识定位

初中数学中，全面实现了用字母代数。这实现了学生对数认识的又一次飞跃。这要求学生能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。

知识梳理

1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。 2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。 注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化 3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。

例题精讲

【试题来源】

【题目】若多项式(

)

x y x x x mx 5378522

2

2

+--++-的值与x 无关， 求()[]

m m m m +---4522

2

的值.

【答案】-4

【解析】分析：多项式的值与x 无关，即含x 的项系数均为零 因为()

()83825378522

2

2

2

++-=+--++-y x m x y x x x mx

所以 m=4

将m=4代人，()[]

441616444522

2

2

-=-+-=-+-=+---m m m m m m

利用“整体思想”求代数式的值 【知识点】代数式的化简求值问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3

【试题来源】

【题目】x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式635-++cx bx ax 的值。

【答案】-20

20082007120072007

2007

2222323=+=++=+++=++a a a a a a a 【解析】分析： 因为8635=-++cx bx ax

当x=-2时，8622235=----c b a 得到8622235-=+++c b a ， 所以146822235-=--=++c b a

当x=2时，635-++cx bx ax =206)14(62223

5

-=--=-++c b a 【知识点】代数式的化简求值问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4

【试题来源】

【题目】当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值. 【答案】4

【解析】分析：观察两个代数式的系数

由7532=++x x 得232=+x x ，利用方程同解原理，得6932=+x x 整体代人，42932=-+x x

代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。 【知识点】代数式的化简求值问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3

【试题来源】

【题目】已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值. 【答案】2008

【解析】分析：解法一（整体代人）：由012=-+a a 得 023=-+a a a 所以：

解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。

由012=-+a a ，得a a -=12，所以：

32222222

2200722007(1)22007220072007120072008

a a a a a a a a a a a a a ++=++=-++=-++=++=+=

解法三（降次、消元）：12=+a a （消元、减项）

2008

2007

120072007)(2007

200722

2222323=+=++=+++=+++=++a a a a a a a a a a a

【知识点】代数式的化简求值问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3

【试题来源】

【题目】A 和B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待

遇有如下差异：A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B 公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？ 【答案】B 公司，因为B 公司的年收入永远比A 公司多50元 【解析】分析：此题为代数式在实际问题中的应用。 分别列出第一年、第二年、第n 年的实际收入（元） 第一年：A 公司 10000； B 公司 5000+5050=10050 第二年：A 公司 10200； B 公司 5100+5150=10250 第n 年：A 公司 10000+200(n-1）；

B 公司：[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50] =10050+200(n-1)

由上可以看出B 公司的年收入永远比A 公司多50元，如不细心考察很可能选错。 【知识点】代数式的化简求值问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3

【试题来源】

【题目】三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，且

bc

bc

ac ac ab ab c c b b a a x +

++++=

， 则 123+++cx bx ax 的值是_______ 。 【答案】0

【解析】解：因为abc<0，所以a 、b 、c 中只有一个是负数，或三个都是负数

又因为a+b+c>0，所以a 、b 、c 中只有一个是负数。 不妨设a<0，b>0，c>0 则ab<0，ac<0，bc>0

所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式，得到结果为1。 同理，当b<0，c<0时，x=0。

另：观察代数式

bc

bc ac ac ab ab c c b b a a +++++，交换a 、b 、c 的位置，我们发现代数式不改变，这样的代数式成为轮换式，我们不用对a 、b 、c 再讨论。有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质。 【知识点】代数式的化简求值问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3

【试题来源】

【题目】如图，平面内有公共端点的六条

射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…． （1）“17”在射线 ____上，

“2008”在射线___________上． （2）若n 为正整数，则射线OA 上数字的排列规律可以用含n 的代数式表示为__________________________． 【答案】（1）OE ；OD （2）6n-5

【解析】此题为规律探索问题。

分析：OA 上排列的数为：1，7，13，19，…

观察得出，这列数的后一项总比前一项多6， 归纳得到，这列数可以表示为6n-5

因为17=3×6-1，所以17在射线OE 上。

因为2008=334×6+4=335×6-2，所以2008在射线OD 上

【知识点】代数式的化简求值问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3

【试题来源】

【题目】定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶

数时，结果为k n 2（其中k 是使k

n 2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n ＝

26，则：

若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是__________． 【答案】8

【解析】分析：问题的难点和解题关键是真正理解“F ”的第二种运算，即当n 为偶数时，

结果为k n 2（其中k 是使k

n 2 为奇数的正整数），要使所得的商为奇数，这个运算才能

结束。

449奇数，经过“F ①”变为1352；1352是偶数，经过“F ②”变为169， 169是奇数，经过“F ①”变为512，512是偶数，经过“F ②”变为1， 1是奇数，经过“F ①”变为8，8是偶数，经过“F ②”变为1，

我们发现之后的规律了，经过多次运算，它的结果将出现1、8的交替循环。

再看运算的次数是449，奇数次。因为第四次运算后都是奇数次运算得到8，偶数次运算得到1，

所以，结果是8。

【知识点】代数式的化简求值问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4

习题演练

【试题来源】

【题目】已知当x=7时，代数式ax 5+bx-8=8，求x=7时，2a x 5+2

b

x+8的值 【答案】10 【解析】

2a x 5+2

b x+8=12（ax 5+bx+4）=1

2（16+4）=10

【知识点】代数式的化简求值问题

26 13 44 11

第一次

F ② 第二次

F ① 第三次

F ② …

【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2

【试题来源】第17届江苏省初中数学竞赛题 【题目】若代数式3x 2-2x+6的值为8，则代数式2

3x 2

-x+1的值为 【答案】2 【解析】

2

3x 2-x+1=12（3x 2-2x ）+1=1

2（8-6）+1=2

【知识点】代数式的化简求值问题

【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2

【试题来源】第15届希望杯竞赛题

【题目】当x=-1时，代数式2ax 3-3bx+8的值为18，这时，代数式9b-6a+2= 【答案】32 【解析】 9b-6a+2=3（3b-2a ）+2；当x=-1时，代数式2ax 3-3bx+8=-2a+3b+8=18，所以-2a+3b=10；所以3（3b-2a ）+2=3*10+2=32

【知识点】代数式的化简求值问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2

【试题来源】 【题目】已知

x 1-y

1=2，求y xy x y xy x ++---3353的值

【答案】11

5

-

【解析】 因为

x 1 -y

1 =2，所以y y x x - =2即xy=1

2（y-x ）;所以 y xy x y xy x ++---3353 =

511

3()3()

1122355()()

22

x y x y x y x y x y x y -

---==--+-+--

【知识点】代数式的化简求值问题

【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3

【试题来源】 【题目】若ab=1，求1+a a +1

+b b 的值 【答案】1 【解析】 因为ab=1，所以

1+a a +1+b b =2111

a b a b ++=+++ 【知识点】代数式的化简求值问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3

【试题来源】第16届希望杯竞赛题

【题目】已知x 2+2x=3，求代数式x 4+7x 3+8x 2-13x+15的值 【答案】18

【解析】x 4+7x 3+8x 2-13x+15= 43322581315x x x x x +++-+

=2

2

32(2)581315x x x x x x +++-+

=2323581315x

x x x ++-+

=3

2

5111315x x x +-+

=2

25(2)1315x x

x x x ++-+

=2151315x x x +-+

=2

215x

x ++

=315+=18

【知识点】代数式的化简求值问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4

【试题来源】第20届北京市迎春杯竞赛题 【题目】已知关于x 的二次多项式a(x 3-x 2+3x)+b(2x 2+x)+x 3-5，当x=2时，此多项式的值为-17，求当x=-2时，该多项式的值 【答案】-14

【解析】 因为是关于x 的二次多项式，所以a=-1；当x=2时，b=-1；所以当x=-2时，a(x 3-

x 2+3x)+b(2x 2+x)+x 3-5=-14

【知识点】代数式的化简求值问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4

【试题来源】2004年重庆初中数学决赛题

【题目】已知1+x+x 2+x 3=0，则1+x+x 2+x 3+…+x 2004的值为 【答案】1 【解析】

【知识点】代数式的化简求值问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4

【试题来源】第14届希望杯竞赛题 【题目】如果x 2+x-1=0，则x 3+2x 2+3= 【答案】4 【解析】

【知识点】代数式的化简求值问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4

【试题来源】2006年希望杯竞赛题 【题目】若m+n-p=0，则m(

n 1-p 1)+n(m 1-p 1)-p(m 1+n

1)

【答案】-3 【解析】

【知识点】代数式的化简求值问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4

【试题来源】2003年全国竞赛题

【题目】某商品2000年比1999年涨价5%，2001年又比2000年涨价10%，2002年比2001年降价12%，则2002年比1999年

【选项】A ．涨价3% B ．涨价1．64% C ．涨价1．2% D ．降价1．2% 【答案】B 【解析】

【知识点】代数式的化简求值问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3

【试题来源】第17届希望杯竞赛题

【题目】在代数式xy 2中，x 与y 的值各减少25%,则该代数式的值减少了 【选项】A ．50% B ．75% C ．6437 D ．64

27 【答案】C 【解析】

【知识点】代数式的化简求值问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3

【试题来源】第18届五羊杯竞赛题

【题目】已知有理数A ，B ，x ，y 满足A+B ≠0，且（A+B ）：（A-B ）=（2x+y ）:(x-y)，那么A ：（A+B ）=

【选项】A ．3x:(2x+y) B ．3x:(4x+2y) C ． x:( x+y) D ．2x:(2x+y) 【答案】B 【解析】

【知识点】代数式的化简求值问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4

【试题来源】第11届“华罗庚金杯”竞赛题

【题目】当m=2π时，多项式am 3+bm+1的值是0，则多项式4a π3+b π+52

1= 【答案】5 【解析】

【知识点】代数式的化简求值问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】4

【试题来源】北京市迎春杯竞赛题

【题目】当x=2时，代数式ax3-bx+1的值等于-17，那么当x=-1时，代数式12ax-3bx3-5的值等于

【答案】22

【解析】

【知识点】代数式的化简求值问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】4

【试题来源】

【题目】将正奇数按下表排成5列:

第一列第二列第三列第四列第五列

第一行 1 3 5 7

第二行 15 13 11 9

第三行 17 19 21 23

第四行 31 29 27 25

L L L

根据上面规律，2007应在（）

【选项】A．125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D. 251行,5列【答案】D

【解析】分析：观察第二、三、四列的数的排列规律，发现第三列数规律容易寻找第三列数：3，11，19，27，L规律为8n-5

因为2007=250×8+7=251×8-1

所以，2007应该出现在第一列或第五列

又因为第251行的排列规律是奇数行，数是从第二列开始从小到大排列，所以2007应该在第251行第5列

【知识点】代数式的化简求值问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】4