排列组合练习题及答案

《排列组合》

一、排列与组合

1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？

2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？

3.现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三

个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是

A.男同学2人，女同学6人

B. 男同学3人，女同学5人

C.男同学5人，女同学3人

D. 男同学6人，女同学2人

4.一条铁路原有m个车站，为了适应客运需要新增加n个车站（n>1），则客运车票增加了58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有

A.12个

B.13 个

C.14 个

D.15 个

5．用0，1，2，3，4，5这六个数字，

（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？

（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？

（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？

（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？

（5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？二、注意附

加条件

1.6人排成一列（1）甲乙必须站两端，有多少种不同排法？

（2）甲乙必须站两端，丙站中间，有多少种不同排法？

2.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数？

3.由数字1，2，3，4，5，6，7所组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排列起来，第379个数

是

A.3761

B.4175

C.5132

D.6157

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4.设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有

A.30种

B.31 种

C.32 种

D.36 种

5.从编号为1，2，,，10,11的11个球中取5个，使这5个球中既有编号为偶数的球又有编号为奇数的球，

且它们的编号之和为奇数，其取法总数是

A.230种

B.236 种

C.455 种

D.2640 种

6.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有1双同色的取法有

A.240种

B.180 种

C.120 种

D.60 种

7.用0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列

起来，第71个数是。

三、间接与直接

1.有4名女同学，6名男同学，现选3名同学参加某一比赛，至少有1名女同学，由多少种不

同选法？

2. 6名男生4名女生排成一行，女生不全相邻的排法有多少种？

3. 已知集合A和B各12个元素，AB含有4个元素，试求同时满足下列两个条件的集合C的

个数：（1）C(AB)且C中含有三个元素；（2）CA,表示空集。

4.从5门不同的文科学科和4门不同的理科学科中任选4门，组成一个综合高考科目组，若要求这组科目

中文理科都有，则不同的选法的种数

A.60种

B.80 种

C.120 种

D.140 种

5.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点不同取法有多少种？

6.以正方体的8个顶点为顶点的四棱锥有多少个？

7.对正方体的8个顶点两两连线，其中能成异面直线的有多少对？

四、分类与分步

1.求下列集合的元素个数．

（1）M{(x,y)|x,yN,xy6}；

（2）H{(x,y)|x,yN,1x4,1y5}．

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2. 一个文艺团队有9名成员，有7人会唱歌，5人会跳舞，现派2人参加演出，其中1名会唱歌，1名会跳舞，有多少种不同选派方法？

3.已知直线

l1//l2

，在l1上取3个点，在l2上取4个点，每两个点连成直线，那么这些直线在l1和l

2之间的交点

（不包括l

1、l

2上的点）最多有 A.18个

B.20

个

C.24

个

D.36

个

4. 9名翻译人员中，6人懂英语，4人懂日语，从中选拔5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，2人担任日语翻译，选拔的方法有种（用数字作答）。

5. 某博物馆要在20天内接待8所学校的学生参观，每天只安排一所学校，其中一所人数较多的学校要连续参观3天，其余学校只参观1天，则在这20天内不同的安排方法为

C 320A 177

种

A 8

20种

C 118A 177

种

18种

6. 从10种不同的作物种子选出6种放入6个不同的瓶子展出，如果甲乙两种种子不许放第一号瓶内，那么不同的放法共有

A.C 102A 4

8种

C 19A 5

9种

C. C 18A 95

种

D. C 19A 5

8种

7. 在画廊要展出1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，要求排成一排，并且同一种的画摆放在一起，还要求水彩画不能摆两端，那么不同的陈列方式有

A 14A 5

5种

A 23A 44A 5

5种

A 14A 44A 5

5种

A 22A 44A 5

5种

8. 把一个圆周24等分，过其中任意3个分点，可以连成圆的内接三角形，其中直角三角形的个数是 A.122

B.132

C.264

9. 有三张纸片，正、反面分别写着数字1、2、3和4、5、6，将这三张纸片上的数字排成三位数，共能组不同三位数的个数是 A.24

B.36

C.48

D.64

10. 在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种? 11. 如下图,共有多少个不同的三角形? 解:所有不同的三角形可分为三类：

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第一类:其中有两条边是原五边形的边,这样的三角形共有5个

第二类:其中有且只有一条边是原五边形的边,这样的三角形共有5×4=20个

第三类:没有一条边是原五边形的边,即由五条对角线围成的三角形,共有5+5=10个

由分类计数原理得,不同的三角形共有5+20+10=35个.

12.从5部不同的影片中选出4部，在3个影院放映，每个影院至少放映一部，每部影片只放

映一场，共有种不同的放映方法（用数字作答）。

五、元素与位置——位置分析

1.7人争夺5项冠军，结果有多少种情况？

2.75600有多少个正约数?有多少个奇约数?

解:75600的约数就是能整除75600的整数,所以本题就是分别求能整除75600的整数和奇约数的个数. 由于75600=24×33×52×7

(1)75600的每个约数都可以写成2l3j5k7l

的形式,其中0 i 4,

0j3

,0k2,0l1

于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值,这样

i有5种取法,j有4种取法,k有3种取法,l有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为 5

×4×3×2=120个.

(2)奇约数中步不含有2的因数,因此75600的每个奇约数都可以写成3j5k7l的形式,同上奇约数的个数为

4×3×2=24个.

3.2名医生和4名护士被分配到两所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同分配方法有多少种？4．有四位同学参加三项不同的比赛，

（1）每位同学必须参加一项竞赛，有多少种不同的结果？

（2）每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同的结果？

解：（1）每位学生有三种选择，四位学生共有参赛方法：333381种；

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（2）每项竞赛被选择的方法有四种，三项竞赛共有参赛方法：44464种.

六、染色问题

1.如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为()

A.180

B.160

C.96

D.60

②

①

①④

③

③④

③

④

①②②

图一图二图三若变为图二,图三呢?(240种,5×4×4×4=320种)

2.某班宣传小组一期国庆专刊，现有红、黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用，要求在黑板中A、B、C、D（如图）每一

B A

C D

部分只写一种颜色，相邻两块颜色不同，

则不同颜色粉笔书写的方法共有种（用具体数字作答）。

七、消序

1.有4名男生，3名女生。现将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法？

2.书架上有6本书，现再放入3本书，要求不改变原来6本书前后的相对顺序，有多少种不同排法？

八、分组分配

1.某校高中一年级有6个班，分派3名教师任教，每名教师任教二个班，不同的安排方法有多少种？

2.高三级8个班，分派4名数学老师任教，每位教师任教2个班，则不同安排方法有多少种？

3.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人一本、二本、三本的不同分法有多少种？

4.8项工程，甲承包三项，乙承包一项，丙、丁各承包二项，不同的承包方案有种惠来一中数学组方文湃 5

5..六人住A、B、C三间房，每房最多住三人，

（1）每间住两人，有种不同的住法，

（2）一间住三人，一间住二人，一间住一人，有种不同的住宿方案。

6.8人住ABC三个房间，每间最多住3人，有多少种不同住宿方案？

7.有4个不同小球放入四个不同盒子，其中有且只有一个盒子留空，有多少种不同放法？

7.把标有a，b，c，d，,的8件不同纪念品平均赠给甲、乙两位同学，其中a、b不赠给同一

个人，则不同的赠送方法有种（用数字作答）。

九、捆绑

1.A、B、C、D、E五个人并排站成一列，若A、B必相邻，则有多少种不同排法？

2.有8本不同的书，其中科技书3本，文艺书2本，其它书3本，将这些书竖排在书架上，

则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法种数与这8本书的不同排法之比为

A.1:14

B.1:28

C.1:140

D.1:336

十、插空

1.要排一个有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目都不相邻，有多少种不同排法？

2、4名男生和4名女生站成一排，若要求男女相间，则不同的排法数有（）

A.2880

B.1152

C.48

D.144

3.要排一个有5个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单，如果舞蹈节目不相邻，则有多少种不同排法？

4.5人排成一排，要求甲、乙之间至少有1人，共有多少种不同排法？

5..把5本不同的书排列在书架的同一层上，其中某3本书要排在中间位置，有多少种不同排法？

6.1到7七个自然数组成一个没有重复数字的七位数，其中偶数不相邻的个数有个.

7.排成一排的8个空位上，坐3人，使每人两边都有空位，有多少种不同坐法？

8.8张椅子放成一排，4人就坐，恰有连续三个空位的坐法有多少种？

9.排成一排的9个空位上，坐3人，使三处有连续二个空位，有多少种不同坐法？

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10. 排成一排的9个空位上，坐3人，使三处空位中有一处一个空位、有一处连续二个空位、有一处连续三个空位，有多少种不同坐法？

11. 某城市修建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中三只灯，但不能熄灭两端的灯，也不能熄灭相邻的两只灯，那么熄灯的方法共有种 A.C38 B. A38 C. C39 D.

A39

12. 在一次文艺演出中，需给舞台上方安装一排彩灯共15只，以不同的点灯方式增加舞台效果，要求设计者按照每次点亮时，必需有6只灯是关的，且相邻的灯不能同时被关掉，两端的灯必需点亮的要求进行设计，那么不同的点亮方式是 A.28种

B.84

种

C.180

种

D.360

种

13. 一排长椅上共有10个座位，现有4人就座，恰有五个连续空位的坐法种数

为

。（用数字作答）

十一、隔板法

1.不定方程

x 1x 2x

x47

的正整数解的组数是

，非负整数解的组数是。

2. 某运输公司有7个车队，每个车队的车多于4辆，现从这7个车队中抽出10辆车，且每个车队至少抽一辆组成运输队，则不同的抽法有

A.84种

B.120种

C.63 种

D.301种

3. 要从7所学校选出 10人参加素质教育研讨班，每所学校至少参加

1人，则这10个名额共有

种分配方法。

4. 有编号为1、2、3的3个盒子和10个相同的小球，现把10个小球全部装入3个盒子中，使得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数，这种装法共有 A.9种

B.12

种

C.15

种

D.18

种

5. 将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒至少1球的方法有多少种？

6. 某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题竞赛活动，使代表中每班至

少有1人参加的选法有多少种？十二、对应的思想

1. 在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要举行几

场？

十三、找规律

惠来一中数学组方文湃

1.在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和大于20的不同取法共有多少种?

解:分类标准一,固定小加数.小加数为1时,大加数只有20这1种取法;小加数为2时,大加数

有19或20两种取法;小加数为3时,大加数为18,19或20共3种取法,小加数为10时,大加

数为11,12,,,20共10种取法;小加数为11时,大加数有9种取法,小加数取19时,大加数有1种取法.由分类计

数原理,得不同取法共有1+2+,+9+10+9+,+2+1=100种.

分类标准二:固定和的值.有和为21,22,, ,39这几类,依次有取法10,9,9,8,8, , ,2,2,1,1 种. 由分类计数原理得不同取法共有10+9+9+, +2+2+1+1=100种.

2.从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于一百，则不同的取法有

A.50种

B.100 种

C.1275 种

D.2500 种

十四、实验——写出所有的排列或组合

1.将数字1,2,3,4填入标号1,2,3,4的四个方格中，每个格填一个，则每一个方格的标号与所

填的数字均不同的填法有种.

A.6

B.9

C.11

D.23

解:列表排出所有的分配方案,共有3+3+3=9种,或33119种．

未归类几道题

1.从数字0，1，3，5，7中取出不同的三位数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax+bx+c=0?

其中有实根的方程有多少个？

变式：若直线Ax+By+C=0的系数A、B可以从0，1，2，3，6，7这六个数字中取不同的数值，则这些方程所表

示的直线条数是（A）

A.18

B.20

C.12

D.22

2.在100件产品中,有98件合格品,2件不合格品.从这100件产品中任意抽出3件

(1)一共有多少种不同的抽法?

(2)抽出的3件中恰好有一件是不合格品的抽法有多少种?

(3)抽出的3件中至少有一件是不合格品的抽法有多少种?

3.10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意抽取4只，试求各有多少种情况出现如下结果

(1)4只鞋子没有成双；(2)4 只鞋子恰好成双；

惠来一中数学组方文湃8

(3) 4只鞋子有2只成双，另2只不成双 4.f 是集合M={a,b,c,d} 到N{0,1,2}的映射，且f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4,

则不同的映射有多少

个？

解：根据a,b,c,d

对应的象为2的个数分类，可分为三类：

第一类，没有一个元素的象为 2，其和又为4，则集合M 所有元素的象都为

1，这样的映射只有

1 个

第二类，有一个元素的象为2，其和又为4，则其余3个元素的象为0，1，1，这样的映射有C41C31C22个第三类，有两个元素的象为2，其和又为4，则其余2个元素的象必为0，这样的映射有C42C22个

根据加法原理共有 1+C41C31C22+C42C22=19个

5. 四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的方法共有多少种？

6. 由12个人组成的课外文娱小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，2个人既会跳舞又会唱歌，若从中

选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去排演节目，共有多少种不同选法？

排列、组合练习题参考答案

1.C 9

2 362. A 92

3. 解析：设男生有n 人，则女生有（8-n ）人，由题意得

C n 2C 81n A 33nn1

(8n)690

即

nn1(8n)30

用选支验证选（B ）

4.分类：①恰有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有

C 52

220种；

②恰有三个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有 C5

种；

③无恰有四个杯盖和茶杯的编号相同的盖法，只有五个杯盖和茶杯的编号完全相同的盖法

1种。

故选（B ）31种。

惠来一中数学组方文湃

1 4

3 2

分类：①1奇4偶：

C 6C 5

②3奇2偶：C 6C 5200

选（A ）

6.分步：C 61C 5

222

240

选（A ）

间接法：

10C

或分类：

C14C 62

+C 42C 16+C 43

B A

8 8.间接法：

A 1010

A 44

A 77

间接法：

20C

2 2

10.对应：一交点对应

、l2上各两点：

C3C418

个选（A ）

11. 分类：①英语翻译从单会英语中选派：

C 53C 42

②英语翻译选派中一人既会英语又会日语： C 52C 32

填90

懂日语

分步：A 22A 44A 5

懂英语

12.

选（D ）

13. 元素与位置：以冠军为位置，选人：7777775

14.

75600 24 33 52

7①5

4 3 2 120；②4 3 2 24

15. 分步：5

180

填180

A 99 7 8 9

A 93

A 6

16.消序：=504或分步插空：789=504或惠来一中数学组方文湃10

C62C42C22A33

17.先分组后分配：A33或位置分析：C62C42C22

3 2 1 3

18.先分组后分配：

C6C3C1A3

3 1 2 2

19.位置分析：

C8C5C4C2

3 2 1 3

20.（1）仿17题；（2）先分组后分配：C6C3C1A3

C83C53C223

21.先分组后分配：

A22A3

或分类，先确定住两人的房间——位置分析：C3

1C82C63C33

2 3 2 1 1 重复题目: 先分组后分配：C4A3或分类——位置分析：3C4C2C1

A55A33A22 1

22.捆绑：

A8828

选（B）

4 3 3 4 2 3 3

23. 插空:A4A524. 插空:A425. 插空:A4A526. 插空:A3C4

27.插空: A33A4328.(A) C83

C96C9398 7 84

29.隔板法： 3 2 1 选（A）

30.1先在编号为2、3的2个盒子分别放入1个小球、2个小球；

2对余下7个小球用隔板法C6215。选（C）

31.对应的思想：100名选手之间进行单循环淘汰赛，最后产生一名冠军，要环淘99名选手，每淘汰1名选手，对应一场比赛。故要举行99场比赛。

惠来一中数学组方文湃11

32.[ 解法一]:找规律：固定小加数.小加数为1时,大加数只有20这1种取法;小加数为2时,

大加数有19或20两种取法;小加数为3时,大加数为18,19或20共3种取法,小加数为10时,大加数为11,12,,,20共10种取法;小加数为11时,大加数有9种取法,小加数取19时,大加数有1种取法.由分类计数原理,得不同取法共有1+2+,+9+10+9+,+2+1=100种.

[法二]:固定和的值.有和为21,22,,,39这几类,依次有取法10,9,9,8,8,,,2,2,1,1种.由分类计数原理得不同取法共有10+9+9+,+2+2+1+1=100种.

以上两种方法是两种不同的分类。

33.解:列表排出所有的分配方案,共有3+3+3=9种,或33119种．

34.(1)C10424

(2)

C102

(3)

C101C9222

35.解：根据a,b,c,d对应的象为2的个数分类，可分为三类：

第一类，没有一个元素的象为2，其和又为4，则集合M所有元素的象都为1，这样的映射只有

1个

第二类，有一个元素的象为2，其和又为4，则其余3个元素的象为0，1，1，这样的映射有C14C13C22=12个

第三类，有两个元素的象为2，其和又为4，则其余2个元素的象必为0，这样的映射有C42C22=6 个

根据加法原理共有1+ C41C31C22+C42C22=1+12+6=19个

惠来一中数学组方文湃12

排列组合典型例题

— 典型例题一例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有3 9A 个；当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814A A A ??（个）． ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296179250428181439=+=??+A A A A 个．典型例题二例2 三个女生和五个男生排成一排 — （1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有6 6A 种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有33A 对种不同的排法，因此共有43203366=?A A 种不同的排法．（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有5 5A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法，因此共有144003655=?A A 种不同的排法．（3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有6 6A 种排法，所以共有 144006625=?A A 种不同的排法．（4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有7715A A ?种不同的排法；如果首位排女生，有13A 种排法，这时末位就只能排男生，有15A 种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有6 6A 种不同的排法，这样可有661513A A A ??种不同排法．因此共有360006615137715=??+?A A A A A 种不同的排法．

排列组合问题经典题型解析含答案

排列组合问题经典题型与通用方法 1. 相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列例1. A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果 A,B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（） A 、60 种 B 、48 种 C 、36 种 D 、24 种 2. 相离问题插空排：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端 ? 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A 、1440 种 B 、3600 种 C 、4820 种 D 、4800 种 3. 定序问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在A 的右边（A, B 可以不相邻）那么不同的排法有（） 4. 标号排位问题分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成 ? 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A 、6 种 B 、9 种 C 、11 种 D 、23 种 5. 有序分配问题逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法例5.（ 1 ）有甲乙丙三项任务，甲需 2人承担，乙丙各需一人承担，从 10人中选出4人承担这三项任务, 不同的选法种数是（） A 、1260 种 B 、2025 种 C 、2520 种 D 、5040 种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 6. 全员分配问题分组法：例6.（ 1）4名优秀学生全部保送到 3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种? A 、24 种 B 、60 种 C 、90 种 D 、 120 种 4人，则不同的分配方案有（ 4 4 4 C 12C 8C 4 种 4 4 3C 12C 8C C 、 C 12C 8 A 3 种

排列组合典型例题(带详细答案)

例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数例2三个女生和五个男生排成一排（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术

共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法．例 5 现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员．问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表．如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择．若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法例7 7名同学排队照相． (1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法 (2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必

须在后排，有多少种不同的排法 (3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法 (4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法例8计算下列各题： (1) 2 15 A ； (2) 66 A ； (3) 1 1 11------?n n m n m n m n A A A ；例9 f e d c b a ,,,,,六人排一列纵队，限定a 要排在b 的前面（a 与b 可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法．例10 八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法例11 计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、

排列组合问题经典题型解析含答案

4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（） A 、44412 8 4 C C C 种 B 、44412 8 4 3C C C 种 C 、44312 8 3 C C A 种 D 、 4441284 33 C C C A 种

集合---排列组合

职高数学单元测试集合---排列组合 (时间:100分钟,满分100分) 姓名________成绩__________ 一．填空：(每空2分,共38分) 1.从1,2,3,4,5中任选两数组成加法式子,共可组成______个不同的加法式子, 若组成无重复数字的二位数,则可组成_______个不同的二位数. 2.计算：0!+5!- C 62+P 62=____ 3.四人排成一列,甲只能站右边第一个位置,则有种不同站法. 4.1,2,3,4,5中任取2数,可以组成______个两位偶数,如果数字可以重复, 则可组成________个两位偶数. 5.-8和-2的等比中项为________，等差中项为_______ 6.等比数列{a n }中S n =2n+1-2，则此数列的公比q=_________ 7.数列{a n }为等差数列，a n =2-3n 则S 10=__________ 8.集合A={0,1,2,3}的所有真子集有_______个. 9.已知aa 13. 6名护士，3名医生分派到三所不同的学校为学生体检，每校两名护士和一名医生，则有种不同的分派方法。 14.已知函数 x a y log 3=的图象过点)9 1 3(，，则a= 二．选择填空题：（每小题3分，共30分） 15．从甲地到乙地，一天中有两班火车，五班汽车开出，则在一天中不同的乘车方法有种 A 25 B 52 C 10 D 7 16．某地有4个不同的邮筒，现将三封信投放到邮筒中，则不同的投法有种 A 34 B 43 C P 43 D C 43 17．4×5×6×……×(n-1)×n ×(n+1)= A C n+1n-3 B (n+1)!-3! C P n+1n-2 D P n+1n-3 18．已知C 202x-7=C 20x ，则x= A 9 B 7 C 9或7 D 5或9 19．三数m-1，2m ，4成等差，则m= A 0 B 1 C 2 D 3 20．等差数列｛a n ｝中，a 3+a 7=20，则S 9= A 9 B 20 C 90 D 180 21．等比数列：-1，2.......的第8项为 A 256 B -256 C -128 D 128 22．已知等差数列-1，1……则此数列的S 10= A 70 B 80 C 90 D 100 23．函数13sin()25 y x π =--周期和最大值分别为 A 2,3π B ,3π C 4,3π D 3 2,2 π 24.已知平面上有八个点，其中有四点在同一直线上，此外再无三点共线情形，则此八点可组成个三角形。 A 50 B 52 C 54 D 56 三．解答题(25、26、27小题每小题6分，28、29小题，每小题7分，共32分) 25.计算：C 63 +C 62 -P 52 +2-1 +lg2-lg20+cos600

排列组合知识点汇总及典型例题(全)

一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注：若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略（1）两种思路：①直接法； ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。（2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。（3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。（43．排列应用题：（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；（3）．相邻问题：捆邦法：对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。（4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。（5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法；（6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。（7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。（8）．数字问题（组成无重复数字的整数） ① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数； ③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。 ⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 ⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。 4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2）． “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3．分组问题：均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。 4．分配问题：定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。

排列组合问题经典题型#精选.

排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,, A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（） A、 444 1284 C C C 种 B、 444 1284 3C C C 种 C、 443 1283 C C A 种 D、 444 1284 3 3 C C C A种 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（） A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 7.名额分配问题隔板法: 例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种 B、300种 C、464种 D、600种（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？

排列组合公式(全)教程文件

排列组合公式(全)

排列组合公式排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合有记号C(n,r),C(n,r)。一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。二、两个基本计数原理及应用

(1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！

排列与组合的综合应用.

高三数学(理一轮复习—— 10.3排列与组合的综合应用教学目标:1. 进一步加深对排列、组合意义理解的基础上,掌握有关排列、组合综合题的基本解法,提高分析问题和解决问题的能力,学会分类讨论的思想. 2. 使学生掌握解决排列、组合问题的一些常用方法。教学重点:排列组合综合题的解法。教学过程: 一.主要知识: 解排列组合问题,首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成,对于元素之间的关系, 还要考虑“是有序”的还是“无序的” ,也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义,其次,对一些复杂的带有附加条件的问题,需掌握以下几种常用的解题方法: 1.特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法。 2.科学分类法:对于较复杂的排列组合问题,由于情况繁多,因此要对各种不同情况,进行 3.分配、分组(堆问题的解法: 4. 插空法 :解决一些不相邻问题时, 可以先排一些元素然后插入其余元素, 使问题得以解决。 5.捆绑法:相邻元素的排列,可以采用“整体到局部”的排法,即将相邻的元素当成“一个” 6.排除法:从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法 . 7.剪截法(隔板法 :n 个相同小球放入m(m≤ n 个盒子里 , 要求每个盒子里至少有一个小球

的放法等价于 n 个相同小球串成一串从间隙里选 m-1个结点剪成 m 段 (插入 m -1块隔板 , 有 11 --m n C 种方法 . 8. 错位法:编号为 1至 n 的 n 个小球放入编号为 1到 n的 n 个盒子里 , 每个盒子放一个小球 . 要求小球与盒子的编号都不同 , 这种排列称为错位排列 . 特别当 n=2,3,4,5时的错位数各为 1,2,9,44.2个、 3个、 4个元素的错位排列容易计算。关于 5个元素的错位排列的计算,可以用剔除法转化为 2个、 3个、 4个元素的错位排列的问题: ① 5个元素的全排列为:5 5120A =; ②剔除恰好有 5对球盒同号 1种、恰好有 3对球盒同号 (2个错位的 351C ?种、恰好有 2对球盒同号 (3个错位的 252C ?种、恰好有 1对球盒同号 (4个错位的 1 59C ?种。 ∴ 120-1-351C ?-252C ?-1 59C ?=44. 用此法可以逐步计算:6个、 7个、 8个、……元素的错位排列问题。二.典例分析【题型一】“分配” 、“分组”问题例 1.将 6本不同的书按下列分法,各有多少种不同的分法? ⑴分给学生甲 3 本,学生乙 2本,学生丙 1本;

排列组合典型例题

则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有2 8181 4 A A A ??（个）． ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296 179250428181439=+=??+A A A A 个．解法2：当个位数上排“0”时，同解一有3 9 A 个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：) (28391 4 A A A -?个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296 1792504)(28391439=+=-?+A A A A 个．解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有 2 81 515A A A ??个干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有 2 81414A A A ??个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有

排列组合典型题解

排列组合典型题解“十法” 一、特殊元素（位置）——“优先法” 把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。例1、6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？解法1：（元素分析法）：解法2：（位置分析法）：例2、用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（） A.24 B.30 C.40 D.60 例3、在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被５整除的数共有_____个．例4、将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有种？练习：（1）0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重复数字的五位数？（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字的五位奇数？（3）五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有种。二、相邻问题——“捆绑法” 对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：可先将相邻的元素“捆绑”在一起，看作一个“大”的元（组），与其它元素排列，然后再对相邻的元素（组）内部进行排列。例5、7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种站法？例6、5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？练习：求不同的排法种数：（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）4男4女排成一排，同性者相邻；三、不相邻问题——“插空法” 元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。例7、7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？引申：（1）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？（2）三个男生，四个女生排成一排，男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？

排列组合定义公式原理

排列组合公式久了不用竟然忘了排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合有记号C(n,r),C(n,r)。一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式

3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则 S（A）=S（B）*3！ S（B）=9！/3！这就是我们用以前的方法求出的P（9，6）例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的集合，规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集，则每个子集都是某6个数的全排列，即每个子集有6！个元素。这时集合C的元素与B的子集存在一一对应关系，则 S（B）=S（C）*6！ S（C）=9！/3！/6！这就是我们用以前的方法求出的C（9，6）以上都是简单的例子，似乎不用弄得这么复杂。但是集合的观念才是排列组合公式的来源，也是对公式更深刻的认识。大家可能没有意识到，在我们平时数物品的数量时，说1，2，3，4，5，一共有5个，这时我们就是在把物品的集合与集合（1，2，3，4，5）建立一一对应的关系，正是因为物品数量与集合（1， 2，3，4，5）的元素个数相等，所以我们才说物品共有5个。我写这篇文章的目的是把这些潜在的思路变得清晰，从而能用它解决更复杂的问题。例3：9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？

组合的综合应用

组合的综合应用探究点1 有限制条件的组合问题课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选． (2)至多有两名女生当选． (3)既要有队长，又要有女生当选．【解】 (1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C12·C411＋C22·C311＝825种．或采用排除法有C513－C511＝825种． (2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966种． (3)分两种情况：第一类：女队长当选，有C412种；第二类：女队长不当选，有C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44种．故共有C412＋C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44＝790种． [变问法]在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？解：分两类情况：第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人有C511＝462种选法．第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有：C411＋C411＝660种选法．所以至多1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122 种．有限制条件的组合问题分类有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． 1.若从1，2，3，…，9这9个整数中取4个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有( ) A．60种B．63种

排列组合典型例题

典型例题一例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是 2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二．如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三．如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四．解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有3 9A 个；当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814A A A ??（个）． ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296179250428181439=+=??+A A A A 个．解法2：当个位数上排“0”时，同解一有3 9A 个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得： )(283914A A A -?个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 22961792504)(28391439=+=-?+A A A A 个．解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有 281515A A A ??个干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0 在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有 281414A A A ??个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296281414281515=??+??A A A A A A 个．解法4：将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数．没有重复数字的四位数有39410A A -个．其中四位奇数有)(283915A A A -个

排列组合问题经典题型

排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.D C B A ,,,五人并排站成一排，如果B A ,必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有多少种？ 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是多少种？ 3.定序问题等机会法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（B A ,可以不相邻）那么不同的排法有多少种？ 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有多少种？ 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数有多少种？（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有多少种？ 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法有多少种？ 7.名额分配问题隔板法: 例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有多少种？（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？ 10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ?=+-? 例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？ 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)

排列与组合综合用题

排列与组合的综合应用题（2）授课教师：黄冈中学高级教师汤彩仙一、知识概述例1、有13名医生，其中女医生6人．现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区，若医疗小组至少有2名男医生，设不同的选派方法种数为P，则下列等式： ①②；③；④；其中能成为P 的算式有________．（填序号）答案：②③ 例2、袋中有3个不同的红球，4个不同的黄球，每次从中取出一球，直到把3个红球都取出为止，共有多少种不同的取法？解：＋＋＋＋=4110（种）．例3、某停车场有连成一排的9个停车位，现有5辆不同型号的车需要停放，按下列要求各有多少种停法？（1）5辆车停放的位置连在一起；（2）有且仅有两车连在一起；（3）为方便车辆进出，要求任何3辆车不能在一起. 解：（1）（种）．

（2）（种）．（3）要求任何3辆车不能连在一起，可以分成①5辆车均不相邻，②有且仅有两辆车相邻，③有2组2辆车相邻，三种情况．有．例4、设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内：（1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？（2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？（3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？解：（1）．（2）．（3）（种）．法二：恰有两个球的编号与盒子编号是相同时，投法数为种；恰有三个球的编号与盒子编号是相同时，投法数为种；恰有五个球的编号与盒子编号是相同时，投法数为1种；故至少有两个球的编号与盒子编号是相同的投法数为

例5、某学习小组有8名同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有一人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中男女同学分别有多少人？解：设有男生x人，女生8－x人，（x∈N＋，且2≤x≤7）．则有，即x（x－1）（8－x）=60． ∴x＝6或x＝5． ∴男生6人，女生2人或男生5人，女生3人．例6、一栋7层的楼房备有电梯，现有A，B，C，D，E五人从一楼进电梯上楼，求：（1）有且仅有一人要上7楼，且A不在2楼下电梯的所有可能情况种数．（2）在（1）的条件下，一层只能下1个人，共有多少种情况？解：（1）分A上不上7楼两类A上7楼，有54种；A不上7楼，有4×4×53种．共有54＋4×4×53=2625种．（2）（种）．例7、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有__________种．（以数字作答）解：（种）．

排列组合练习题及答案

排列组合典型例题

排列组合问题经典题型解析含答案

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集合---排列组合

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