2013年高考文科数学全国新课标卷2试题与答案

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类

(全国卷II 新课标)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．)已知集合M ＝{x |－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M ∩N ＝( )．

A ．{－2，－1,0,1}

B ．{－3，－2，－1,0}

C ．{－2，－1,0}

D ．．{－3，－2，－1}

2． 21i

+＝( )． A

．．2 C

．．1

3．设x ，y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥??+-≥??≤?

则z ＝2x －3y 的最小值是( )．

A ．－7

B ．－6

C ．－5

D ．－3

4．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，π6

B =，π4

C =，则△ABC 的面积为( )． A

． B

C

．2 D

1

5．设椭圆C ：22

22=1x y a b +(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )．

A

． B ．13 C ．12 D

．

6．已知sin 2α＝23，则2πcos 4α??+ ??

?＝( )． A ．16 B ．13 C ．12 D ．2

3

7．执行下面的程序框图，如果输入的N ＝4，那么输出的S ＝( )．

A ．1111+234++

B ．1111+232432++

???

C ．

11111+2345+++ D ．11111+2324325432+++?????? 8．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )．

A ．a ＞c ＞b

B ．b ＞c ＞a

C ．c ＞b ＞a

D ．c ＞a ＞b

9．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，

(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．

10．设抛物线C ：y 2

＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )． A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1 B ．y

＝1)x -或y

＝1)x -

C ．y

＝1)x -或y

＝1)x - D ．y

＝(1)2x -或y

＝(1)2x --

11．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2

＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )．

A ．?x0∈R ，f(x0)＝0

B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形

C ．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减

D ．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0

12．若存在正数x 使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是( )．

A ．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞) 第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是__________．

14．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ?＝__________.

15．已知正四棱锥O －ABCD 的体积为

2O 为球心，OA 为半径的球的表面积为__________．

16．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移

π2个单位后，与函数y ＝πsin 23x ??+ ??

?的图像重合，则φ＝__________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17． (本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．

(1)求{a n }的通项公式；

(2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.

18． (本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．

(1) 证明：BC 平行面CD A 1

(2) 设,22,21====AB CB AC AA 求三棱锥DE A

C 1-的体积

19． (本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

(1)将T表示为X的函数；

(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率．

20． (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为y轴上截得线

段长为

(1)求圆心P的轨迹方程；

(2)若P点到直线y＝x，求圆P的方程．

21． (本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2e－x.

(1)求f(x)的极小值和极大值；

(2)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．

22． (本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE ＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．

23． (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

已知动点P，Q都在曲线C：

2cos,

2sin

x t

y t

=

?

?

=

?

(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，

M为PQ的中点．

(1)求M的轨迹的参数方程；

(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

24．)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：

(1)ab＋bc＋ca≤1

3

；

(2)

222

a b c

b c a

++≥1.

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类

(全国卷II 新课标)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．

答案：C

解析：由题意可得，M ∩N ＝{－2，－1,0}．故选C.

2．

答案：C

解析：∵

21i +＝1－i ，∴21i +＝|1－i|

3．

答案：B

解析：如图所示，约束条件所表示的区域为图中的阴影部分，而目标函数可化为233

z y x =-，先画出l 0：y ＝23x ，当z 最小时，直线在y 轴上的截距最大，故最优点为图中的点C ，由3,10,x x y =??-+=?

可得C (3,4)，代入目标函数得，z min ＝2×3－3×4＝－6.

4．

答案：B

解析：A ＝π－(B ＋C )＝ππ7ππ6412??-+=

???， 由正弦定理得sin sin a b A B

=，

则7π2sin sin 12πsin sin 6

b A a B === ∴S △ABC

＝11sin 2122ab C =??=. 5．

答案：D

解析：如图所示，在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，

设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，

由

tan 30°＝212||||2PF x F F c ==

x =.

而由椭圆定义得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝3x ，

∴32a x ==

，∴c e a ===6．

答案：A

解析：由半角公式可得，2πcos 4α?

?+ ???

＝π21cos 211sin 21232226

αα??++- ?-??===. 7．

答案：B

解析：由程序框图依次可得，输入N ＝4，

T ＝1，S ＝1，k ＝2；

12T =，11+2

S =，k ＝3； 132T =?，S ＝111+232

+?，k ＝4； 1432T =??，1111232432

S =+++???，k ＝5； 输出1111232432S =+++???. 8．

答案：D

解析：∵log 25＞log 23＞1，∴log 23＞1＞21log 3＞21log 5

＞0，即log 23＞1＞log 32＞log 52＞0，∴c ＞a ＞b .

9．

答案：A

解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O －xyz 的图像为下图：

则它在平面zOx 的投影即正视图为，故选A.

10．

答案：C

解析：由题意可得抛物线焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1.

当直线l 的斜率大于0时，如图所示，过A ，B 两点分别向准线x ＝－1作垂线，垂足分别为M ，N ，则由抛物线定义可得，|AM |＝|AF |，|BN |＝|BF |.

设|AM |＝|AF |＝3t (t ＞0)，|BN |＝|BF |＝t ，|BK |＝x ，而|GF |＝2，

在△AMK 中，由

||||||||

NB BK AM AK =，得34t x t x t =+， 解得x ＝2t ，则cos ∠NBK ＝||1||2NB t BK x ==， ∴∠NBK ＝60°，则∠GFK ＝60°，即直线AB 的倾斜角为60°.

∴斜率k

y

1)x －．

当直线l 的斜率小于0时，如图所示，同理可得直线方程为y

＝

1)x －，故选

C.

11．

答案：C

解析：若x 0是f (x )的极小值点，则y ＝f (x )的图像大致如下图所示，则在(－∞，x 0)上不单调，故C 不正确．

12．

答案：D

解析：由题意可得，12x

a x ??>- ???(x ＞0)． 令f (x )＝12x x ??- ???

，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知f (x )的值域为(－1，＋∞)，故a ＞－1时，存在正数x 使原不等式成立．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．答案：0.2

解析：该事件基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}共有10个，记A ＝“其和为5”＝{(1,4)，(2,3)}有2个，∴P (A )＝

210＝0.2. 14．答案：2

解析：以{},AB AD 为基底，则0AB AD ?=， 而12

AE AB AD =+，BD AD AB =-， ∴1()()2

AE BD AB AD AD AB ?=+?-22221122222

AB AD =-+=-?+=. 15．答案：24π

解析：如图所示，在正四棱锥O －ABCD 中，V O －

ABCD ＝

13×S 正方形ABCD ·|OO 1

|＝13

×

2×|OO 1|＝2

，

∴|OO 1|＝2，|AO 1|

在Rt △OO 1A 中，OA =R ， ∴S 球＝4πR 2＝24π.

16．答案：5π6

解析：y ＝cos(2x ＋φ)向右平移

π2个单位得，πcos 22y x ?????=-+ ???????＝cos(2x －π＋φ)＝ππsin 2π++=sin 222x x ??????-+- ? ?????，而它与函数πsin 23y x ??=+ ??

?的图像重合，令2x ＋φ－π2＝2x ＋π3

＋2k π，k ∈Z ， 得5π+2π6

k ?=，k ∈Z . 又－π≤φ＜π，∴5π6

?=. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．

解：(1)设{a n }的公差为d .

由题意，211a ＝a 1a 13，

即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )．

于是d (2a 1＋25d )＝0.

又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2.

故a n ＝－2n ＋27.

(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.

由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．

从而S n ＝2n (a 1＋a 3n －2)＝2

n (－6n ＋56)＝－3n 2＋28n . 18．

(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；

(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝C －A 1DE 的体积．

解：(1)连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．

又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF .

因为DF ?平面A 1CD ，BC 1平面A 1CD ，

所以BC 1∥平面A 1CD .

(2)因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD .

由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB .

又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.

由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB =ACB ＝90°，CD =1A D =DE ，A 1E ＝3， 故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D .

所以VC －A 1DE ＝1132

? 1. 19．

解：(1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000.

当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.

所以80039000,100130,65000,130150.X X T X -≤

(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.

由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.

20．

解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .

由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.

从而y 2＋2＝x 2＋3.

故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.

(2)设P (x 0，y 0)

2=. 又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，

从而得002210||1,1.x y y x -=??

-=? 由0022001,1x y y x -=??-=?得00

0,1.x y =??=-? 此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由0022001,1x y y x -=-??

-=?得000,1.x y =??=? 此时，圆P

的半径r =故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.

21．

解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，

f ′(x )＝－e －x x (x －2)．①

当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0；

当x ∈(0,2)时，f ′(x )＞0.

所以f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0,2)单调递增．

故当x ＝0时，f (x )取得极小值，极小值为f (0)＝0；

当x ＝2时，f (x )取得极大值，极大值为f (2)＝4e －2.

(2)设切点为(t ，f (t ))，

则l 的方程为y ＝f ′(t )(x －t )＋f (t )．

所以l 在x 轴上的截距为m (t )＝()223'()22

f t t t t t f t t t -=+=-++--. 由已知和①得t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．

令h (x )＝2x x

+(x ≠0)，则当x ∈(0，＋∞)时，h (x )的取值范围为

[ 当x ∈(－∞，－2)时，h (x )的取值范围是(－∞，－3)．

所以当t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m (t )的取值范围是(－∞，0)∪

[3，＋∞)．

综上，l 在x 轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪

[3，＋∞)．

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．

22．

解：(1)因为CD 为△ABC 外接圆的切线，

所以∠DCB ＝∠A . 由题设知

BC DC FA EA =，

故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.

因为B，E，F，C四点共圆，

所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.

所以∠CBA＝90°，

因此CA是△ABC外接圆的直径．

(2)连结CE，因为∠CBE＝90°，

所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，

由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.

而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为1

2

.

23．

解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．

M的轨迹的参数方程为

cos cos2,

sin sin2,

x

y

αα

αα

=+

?

?

=+

?

(α为参数，0＜α＜2π)．

(2)M点到坐标原点的距离

d=＜α＜2π)．

当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．

24．

解：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，

得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.

所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤1

3

.

(2)因为

2

2

a

b a

b

+≥，

2

2

b

c b

c

+≥，

2

2

c

a c

a

+≥，

故

222

()

a b c

a b c

b c a

+++++≥2(a＋b＋c)，

即

222

a b c

b c a

++≥a＋b＋c.

所以

222

a b c

b c a

++≥1.