2021届全国名校学术联盟新高考模拟试卷(二)理科数学试题

2021届全国名校学术联盟新高考模拟试卷（二）

数学试卷（理科）

★祝考试顺利★

注意事项：

1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设

3

5

1

i

z i

i

=+

+

，则z=（）

A. B. 1

2

C.

2

D.

【答案】C 【解析】【分析】

根据复数运算法则求得

11

22

z i

=-+，根据模长的定义求得结果.

【详解】

()

3

5

111

1222

i i

i

z i i i

i

--

=+=+=-+

+2

z

∴==

本题正确选项：C

【点睛】本题考查复数模长的求解问题，关键是能够通过复数的运算求得复数，属于基础题. 2.已知集合{

}2

670A x x x =--<，{}

B x x x ==-，则A B =（ ）

A. (]1,0-

B. (]7,0-

C. [)0,7

D. [)0,1

【答案】 A 【解析】 【分析】

分别求解出集合A 和集合B ，根据交集的定义求得结果. 【详解】

{

}

()26701,7A x x x =--<=-，{}

(],0B x x x ==-=-∞

(]1,0A B ∴=-

本题正确选项：A

【点睛】本题考查集合运算中的

交集运算，属于基础题. 3.函数(

)()22

ln x x

f x x -=+的图象大致为（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】 【分析】

根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于y 轴对称，排除D ；根据()0,1x ∈时，()0f x <，排除,A C ，从而得到正确选项. 【详解】

()f x 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=

()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；

当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C . 本题正确选项：B

【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排除. 4.已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ）

A.

2

B.

3

C.

D.

【答案】D 【解析】 【分析】

根据平方运算可求得12

a b ?=，利用cos ,a b a b a b ?<>=求得结果. 【详解】由题意可知：2

22

2324b a b a b a a b +=+?+=+?=，解得：12

a b ?=

cos ,4

22

a b a b a b

?∴<>=

=

=

本题正确选项：D

【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.

5.已知抛物线C ：22(0)x py p =>的准线l 与圆M ：22(1)(2)16x y -+-=相切，则p =（ ） A. 6 B. 8 C. 3 D. 4

【答案】D 【解析】 【分析】

先由抛物线方程得到准线方程，再由准线与圆相切，即可得出结果. 【详解】因为抛物线2

:2C x py =的准线为2

p y =-

， 又准线l 与圆()()2

2

:1216M x y -+-=相切， 所以

242

p

+= ，则4p =. 故选D

【点睛】本题考查抛物线与圆的几何性质，熟记抛物线与圆的性质即可，属于常考题型.

6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123

111

2a a a ++=

，22a =，则3S =（ ） A. 10 B. 7

C. 8

D. 4

【答案】C 【解析】 【分析】

根据等比数列的性质可将已知等式变为

1233

2

224

a a a S a ++==，解方程求得结果. 【详解】由题意得：131233

2

1231322111124

a a a a a S a a a a a a a +++++=+=== 38S ∴= 本题正确选项：C

【点睛】本题考查等比数列性质的应用，关键是能够根据下角标的关系凑出关于3S 的方程，属于基础题. 7.“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（ ）（参考数据：

3

2.09460.8269

≈）

A. 3.1419

B. 3.1417

C. 3.1415

D. 3.1413

【答案】A 【解析】 【分析】

先设圆的半径为r ，表示出圆的面积和正六边形的面积，再由题中所给概率，即可得出结果. 【详解】设圆的半径为r ，则圆的面积为2r π，正六边形的面积为213336222

r r r ?

??=，因而所求该

实验的概率为2

220.8269r π==

，则 3.1419π=≈.

故选A

【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型. 8.已知函数()cos()(0)f x x ω?ω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π??

???

恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ）

A.

π6

B.

π3

C.

2π3

D.

5π6

【答案】B 【解析】 【分析】

先由最小正周期，求出ω，再由对x ∈R ，()3f x f π??

≥

?

??

恒成立，得到2,3k k Z π?π=+∈，进而可得()cos 23f x x π?

?=+ ??

?，求出其单调递减区间，即可得出结果.

【详解】因为函数()()cos f x x ω?=+的最小正周期为π，所以22π

ωπ

==，

又对任意的x ，都使得()3f x f π??

≥ ???

， 所以函数()f x 在3

x π

=上取得最小值，则

223

k π

?ππ+=+，k Z ∈， 即2,3

k k Z π

?π=

+∈，

所以()cos 23f x x π??

=+ ??

?

， 令222,3

k x k k Z π

πππ≤+

≤+∈，解得,6

3

k x k k Z π

π

ππ-+≤≤

+∈ ，

则函数()y f x =在0,3π??????

上单调递减，故a 的最大值是3π

. 故选B

【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.

9.已知函数||2()2x f x x =+，设21

(log )3

m f =，0.1(7)n f -=，()4log 25p f =，则m ，n ，p 的大小关系为

（ ） A. m p n >> B. p n m >> C. p m n >> D. n p m >>

【答案】C 【解析】 【分析】

先由函数奇偶性的概念判断函数()f x 的奇偶性，再得到其单调性，确定21

log 3

，0.17-，4log 25的范围，即可得出结果.

【详解】因为()2

2x

f x x =+，所以()222

()2()x

x

f x x x f x --=+-=+=，

因此()2

2x

f x x =+为偶函数，且易知函数()f x 在()0,∞+上单调递增，

又()2

21

log log 31,23

=∈，()0.170,1-∈，()42log 25log 52,3=∈， 所以0.1421

log 25log 73

->>， 因此p m n >>. 故选C

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，熟记函数性质即可，属于常考题型.

10.已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第

一象限的交点为A ，若()

21210F F F A F A +?=，则此双曲线的标准方程可能为（ ）

A. 22

143x y -=

B. 22

134x y -=

C. 22

1169

x y -= D. 221916

x y -=

【答案】D 【解析】 【分析】

先由()

21210F F F A F A +?=得到

1222F F F A c ==，根据2AF 的斜率为

24

7，求出217cos 25

AF F ∠=-，结合余弦定理，与双曲线的定义，得到

c a ，求出a

b

，进而可得出结果. 【详解】由()

21210F F F A F A +?=，可知1222F F F A c ==，

又2AF 的斜率为

24

7，所以易得217cos 25

AF F ∠=-，

在12AF F ?中，由余弦定理得116

5

AF c =， 由双曲线的定义得16

225

c c a -=， 所以5

3

c e a =

=，则:3:4a b =， 所以此双曲线的标准方程可能为22

1916

x y -=.

故选D

【点睛】本题考查双曲线的标准方程，熟记双曲线的几何性质与标准方程即可，属于常考题型.

11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P

平面1A BM ，则1C P 的最小值是（ ）

30

230

27

47

【答案】B 【解析】 【分析】

在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD ，根据面面平行的判定定理可知平面

1//B QDN 平面1A BM ，从而可得P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）；由垂直关系可知当CP DN ⊥时，

1C P 取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值.

【详解】如图，在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD

//DN BM ，1//DQ A M 且DN

DQ D =，1BM

A M M =

∴平面1//B QDN 平面1A BM ，则动点P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）

又1CC ⊥平面ABCD ，则当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值

此时，22512CP ==+ 2

21223025C P ??∴≥+= ???

本题正确选项：B

【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.

12.已知函数()2ln 2

x

x f x e x =+-的极值点为1x ，

函数()2x

g x e x =+-的零点为2x ，函数()ln 2x h x x =的最大值为3x ，则（ ） A. 123x x x >> B. 213x x x >>

C. 312x x x >>

D. 321x x x >>

【答案】A 【解析】 【分析】

根据()f x '在()0,∞+上单调递增，且11024f f ????''?<

? ?

????

，可知导函数零点在区间11,42?? ???内，即()f x 的极值点111,42x ??

∈ ???

；根据()g x 单调递增且11024g g ?????<

? ?????可知211,42x ??

∈ ???

；通过判断()()12g x g x >，结合()g x 单调性可得12x x >；利用导数可求得()max 1124h x e =<，即31

4

x <，从而可得三者的大小关系. 【详解】

()1

x f x e x x

'=+-在()0,∞+上单调递增

且1213022f e ??'=-> ???，1

4115044f e ??

'=-

< ???

111,42x ??∴∈ ???且11110x e x x +-=

函数()2x

g x e x =+-在()0,∞+上单调递增

且1213022g e ??=-> ???，1

4112044g e ??

=+-< ???

211,42x ??∴∈ ???

又()()1111121111

2220x

g x e x x x g x x x ??=+-=-+-=->=

???

且()g x 单调递增 12x x ∴> 由()2

1ln 2x h x x

-'=

可得：()()max 12h x h e e ==，即311

24x e =< 123x x x ∴>>

本题正确选项：A

【点睛】本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断12,x x 大小关系时，未结合()g x 单调性判断出()()12g x g x >，造成求解困难.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.设x ，y 满足约束条件20

20260x y x y -≥??

+≥??+-≤?

，则z x y =+的最小值是________.

【答案】0 【解析】 【分析】

画出可行域，平移基准直线0x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知当:0l x y +=平移到过点(2,2)-时，min 0z =.

【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力. 14.某公司对2019年1~4月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示： 月份x 1 2 3 4 利润y /万元 5

6

6.5

8

利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y 关于x 的线性回归方程为________.

【答案】?0.954y

x =+. 【解析】 【分析】

先由题中数据求出x ，y ，结合题意，列出方程组，求出?b 与?a ，即可得出结果. 【详解】设线性回归方程为???y

bx a =+，因为52x =，51

8

y =， 由题意可得551?

288?11.6??b a b a

?+=???+=?，解得?0.95b =，?4a =， 即?0.954y

x =+. 故答案为?0.954y

x =+ 【点睛】本题主要考查线性回归方程，熟记回归方程的特征即可，属于常考题型. 15.若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______.

【答案】8π.

【解析】 【分析】

作出圆柱与其外接球的轴截面，结合题中数据，求出外接球半径，再由球的表面积公式，即可得出结果. 【详解】作出圆柱与其外接球的轴截面如下：

设圆柱的底面圆半径为r ，则2BC r =，所以轴截面的面积为()2

24ABCD S r ==正方形，解得1r =，

因此，该圆柱的外接球的半径22

22222

BD R +=== 所以球的表面积为2

428S ππ==.

故答案为8π

【点睛】本题主要考查圆柱外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型.

16.数列{}n a 为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出11a =，接着复制该项后，

再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是41a =，51a =，62a =，73a =，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，

则2019a =______. 【答案】1 【解析】 【分析】

根据数列构造方法可知：21n a n -=，即()

21121n n

k k a a k -+=≤<-；根据变化规律可得20192a a =，从而得

到结果.

【详解】由数列{}n a 的构造方法可知11a =，32a =，73a =，154a =，可得：21n a n -= 即：(

)

21121n n

k k a a k -+=≤<-

201999648523010340921a a a a a a a a ∴========

本题正确结果：1

【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项，关键是能够根据构造特点得到数列各项之间的关系，考查学生的归纳总结能力.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.

17.在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c

，sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ??

+=+ ? ???

.

（1）求A 的大小； （2

）若a =

π

3

B =，求AB

C ?的面积.

【答案】(1) 4

A π

=

.(2) ABC S ?=

【解析】 【分析】

（1

）先由正弦定理，将sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ??+=+ ? ???

化为22

b c a a ?+=??，结合余弦定理，即可求出角A ；

（2）先求出sin C ，再由正弦定理求出b ，根据三角形面积公式，即可得出结果.

【详解】（1

）因为sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ??

+=+ ? ???

，

由正弦定理可得：2

2

b c a a ?+=+??

，

即222b c a +-=，

再由余弦定理可得2cos bc A =

，即cos A =

所以4

A π

=

；

（2）因为3

B π

=

，所以(

)sin sin 4

C A B =+=

由正弦定理

sin sin a b A B

=，可得3b =. 133

sin 24

ABC S ab C ?+=

=

. 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理、余弦定理即可，属于常考题型. 18.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E .124AA AB AD ===.

（1）证明：AE ⊥平面ECD ；

（2）求直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）6

9

【解析】 【分析】

（1）证明1AA CD ⊥，CD AD ⊥，推出CD ⊥平面11AA D D ，得到CD AE ⊥，证明AE ED ⊥，即可证明AE ⊥平面ECD ；

（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值． 【详解】（1）证明：∵四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱， ∴1AA ⊥平面ABCD ，而CD ?平面ABCD ，则1AA CD ⊥， 又CD AD ⊥，1

AA AD A =，

∴CD ⊥平面11AA D D ，因为平面11AA D D ，∴CD AE ⊥， ∵1AA AD ⊥，1AA AD =， ∴11AA D D 是正方形，∴AE ED ⊥，

又CD ED D =，∴AE ⊥平面ECD .

（2）解：建立如图所示的坐标系，1A D 与1AD 交于点E ，124AA AD AB ===，

则()()()()10,0,0,0,0,4,2,4,0,0,4,0A A C D ， ∴()0,2,2E ，

∴()()()12,4,4,2,4,0,0,2,2A C AC AE =-==，

设平面EAC 的法向量为(),,n x y z =，则·0·0n AC n AE ?=?=?

，即240

220x y y z +=??+=?，

不妨取()2,1,1n =--，

则直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值为

4446

=6

36

66

n AC n AC

-+-=

=． 【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的求法，考查直线与平面垂直的判断和性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．

19.某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：

方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；

方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．

（1）设日收费为y 元，每天软件服务的次数为x ，试写出两种方案中y 与x 的函数关系式；

（2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由． 【答案】(1) 方案一中:1060,y x x N =+∈,方案二：200,15,20100,15,x x N

y x x x N

≤∈?=?->∈?.(2) 从节约成本的角

度考虑，选择方案一. 【解析】 【分析】

（1）根据题中条件，建立等量关系，即可得出所需函数关系；

（2）分别设两种方案的日收费为X ，Y ，由题中条形图，得到X ，Y 的分布列，求出对应期望，比较大小，即可得出结果.

【详解】（1）由题可知，方案一中的日收费y 与x 的函数关系式为1060,y x x N =+∈ 方案二中的日收费y 与x 的函数关系式为200,15,20100,15,x x N

y x x x N ≤∈?=?

->∈?

.

（2）设方案一种的日收费为X ，由条形图可得X 的分布列为

所以()1900.12000.42100.12200.22300.2210E X =?+?+?+?+?=（元） 方案二中的日收费为Y ，由条形图可得Y 的分布列为

()2000.62200.22400.2212E Y =?+?+?=（元）

所以从节约成本的角度考虑，选择方案一.

【点睛】本题主要考查函数的应用，以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记相关概念即可，属于常考题型.

20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>

（1）求C

的

方程；

（2）若斜率为1

2

-

的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点. ①证明：直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列. ②若Q '与Q 关于x 轴对称，证明：4tan 3

POQ '∠>

. 【答案】（1）2

214

x y +=； （2）①见解析；②见解析.

【解析】 【分析】

（1）根据离心率、焦距和222b a c =-可解出,,a b c ，从而得到椭圆方程；（2）①设直线l 的方程为：

1

2

y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y ，将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，从而求得12y y ；

整理可知：2

121214

Q Q O O P P y y k k k x x =

==，从而证得结论；②Q '与Q 关于x 轴对称可知xOQ xOQ '∠=∠，由①知1

tan tan 4

xOQ xOP '∠?∠=

，则()tan tan POQ xOQ xOP ''∠=∠+∠，利用两角和差正切公式展开整理，根据基本不等式求得最小值，经验证等号无法取得，从而证得结论.

【详解】（1

）由题意可得：2c a c ?=???=?

，解得：2

a c =???=?? 2221

b a

c ∴=-=

∴椭圆C 的方程为：2214

x y += （2）证明：①设直线l 的方程为：1

2

y x m =-

+，()11,P x y ，()22,Q x y 由221214

y x m x y ?=-+????+=??消去y 得：()222210x mx m -+-= 则(

)(

)2

2

2

481420m m m

?=--=->，且1

22x

x m +=，()21221x x m =-

()22121212121111122422m y y x m x m x x m x x m -????∴=-+-+=-++= ???????

()22122121

124

21OP OQ

PQ m y y k k k x x m -∴====- 即直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列 ②由题可知：xOQ xOQ '∠=∠ 由①可知：1

tan tan 4

xOQ xOP '∠?∠=

，tan 0xOQ '∠>，tan 0xOP ∠> ()tan tan tan tan 1tan tan xOQ xOP POQ xOQ xOP xOQ xOP

'∠+∠''∴∠=∠+∠=

'-∠?∠(

)44tan tan 3343

xOQ xOP '=

∠+∠?=≥ 若xOQ xOP '∠=∠，则,P Q 两点重合，不符合题意；可知无法取得等号

4

tan 3

POQ '∴∠>

【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、直线与椭圆综合应用问题，涉及到斜率关系的证明和不等式的证明.证明不等式的关键是能够利用倾斜角的关系，利用两角和差正切公式构造出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最值；易错点是忽略对于取等条件能否成立的验证.

21.已知函数()x

f x e ax b =++，曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程为20ex y --=.

（1）求函数()f x 的解析式，并证明：()1f x x ≥-.

（2）已知()2g x kx =-，且函数()f x 与函数()g x 的图象交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且线段AB 的中点为()00,P x y ，证明：()()001f x g y <<.

【答案】（1）()2x

f x e =-，证明见解析； （2）证明见解析.

【解析】 【分析】

（1）利用切线方程可求得()f x 的解析式，令()()11x

h x f x x e x =-+=--，利用导数可求得

()()00h x h ≥=，从而证得结论；（2）通过分析法可知要证()()001f x g y <<成立只需证21

21212

21112x x x x x x e e x x e

----+<<-；令21

0t x x =->，即证：2112

t t t e e e t -+<<；令()22t t F t e e t -=--，利用导数研究()F t 单调性，可知()()00F t F >=，得到2

1t

t e e t -<成立；令()112

t t e t

G t e -=-+，利用导数

研究()G t 单调性，可知()()00G t G <=，得到11

2

t t e e t -+<

成立，可知需证的不等式成立，则原不等式成立.

【详解】（1）由题意得：()12f e a b e =++=-，即2a b +=-

又()x

f x e a '=+，即()1f e a e '=+=，则0a =，解得：2b =-

则()2x

f x e =-.

令()()11x

h x f x x e x =-+=--，()1x

h x e '=-

令()0h x '=，解得：0x =

则函数()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增

()()00h x h ∴≥=，则：()1f x x ≥-

（2）要证()()001f x g y <<成立，只需证：1212x 2

4

222

x x x e e e

k ++--<-<

即证1212

2

2x x x x e k e e

++<<

，即：112

2122212x

x x x x x e e e x e e x +-+<<- 只需证：21

21212

21112

x x x x x x e e x x e

----+<<- 设210t x x =->，即证：2

11

2

t

t t e e e t -+<<

要证2

1

t t e e t

-<，只需证：22t t e e t -->

令()22

t t F t e e

t -=--，则()2

2

1102t t

F t e e -??'=+-> ???

()F t ∴在()0,∞+上为增函数

()()00F t F ∴>=，即2

1

t

t e e t -<成立；

要证112t t e e t -+<，只需证明：112

t t e t e -<+

令()112t

t e t G t e -=-+，则()()()()

()()2

2

222411*********t t

t

t

t t t

e e e e G t e e e -+--'=-==<+++ ()G t ∴在()0,∞+上为减函数 ()()00G t G ∴<=，即11

2t t e e t -+<

成立 2

11

2

t

t t e e e t -+∴<<

，0t >成立 ()()001f x g y ∴<<成立

【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数几何意义的应用、利用导数证明不等式、分析法证明不等式的问题，关键是能够通过构造函数的方式，将所证不等式转变为函数最值的求解问题，构造合适的函数是解决本题的难点.

（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

选修4-4：坐标系与参数方程

22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x y a +-=，曲线C 的参数方程为2cos ,

sin x y αα

=??=?（α为参数）.

以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；

（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且直线OA 与OB 的斜率之积为5

4

，求a . 【答案】（1）l :cos sin

0a ，C ：()

2224sin cos 4ρθθ+=；（2）1

2

a =±

. 【解析】 【分析】

（1）利用直角坐标与极坐标换算公式直接可得； （2）联立直线l 与曲线C 的极坐标方程，得()()2

2

2

24sin

cos 4cos sin a

θθθθ++=，设

()()1122,,,A B ρθρθ，则125

tan tan 4

O O B A k k θθ==

，解得a 即可. 【详解】（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入0x y a +-=的方程中，所以直线l 的极坐标方程为

cos sin 0a .

在曲线C 的参数方程中，消去α，可得22

14x y +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入2

214

x y +=的方程

中，

所以曲线C 的极坐标方程为()2

2

24sin

cos 4ρ

θθ+=.

（2）直线l 与曲线C 的公共点的极坐标满足方程组

(

)222

cos sin 04sin cos 4a ρθρθρθθ+-=???+=??，由方程组得()

()2222

4sin cos 4cos sin a θθθθ++=， ()2222224sin cos 4si 2cos n sin cos a a θθθθθθ+=++，两边同除2cos θ，

可化为22224tan 48tan 4tan a a θθθ+=++，即(

)

2

22

44tan 8tan 40a a θθ--+-=， 设()()1122,,,A B ρθρθ，则212245

tan tan 444

O OB A a k k a θθ-===-，

解得1

2

a =±

. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，普通方程之间的换算关系．考查了直线与椭圆极坐标方程的应用．属于中档题．

选修4-5：不等式选讲

23.已知函数()|2|f x x =+.

（1）求不等式()(2)4f x f x x +-<+的解集；

（2）若x ?∈R ，使得()()(2)f x a f x f a ++恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1) {}

22x x -<<.

(2) 22,3

?

?--???

?

.

【解析】 【分析】

（1）先由题意得24x x x ++<+，再分别讨论2x -≤，20x -<≤，0x >三种情况，即可得出结果； （2）先由含绝对值不等式的性质，得到()()22f x a f x x a x a ++=++++≥，再由题意，可得

22a a ≥+，求解，即可得出结果.

【详解】（1）不等式()()24f x f x x +-<+ 可化为24x x x ++<+， 当2x -≤时，224x x --<+ ，2x >-，所以无解； 当20x -<≤时，24x <+ 所以20x -<≤；

当0x >时，224x x +<+，2x < ，所以02x <<，