线线角、线面角、面面角专题

一、异面直线所成的角

1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。

2.角的取值范围：090θ<≤?；

垂直时，异面直线当b a ,900=θ。

例1.如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的中点

求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值

二、直线与平面所成的角

1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角

2.角的取值范围：?

≤≤900θ。

例2. 如图、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，

求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角的正切值。

H S C

一、二面角：

1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半

平面叫做二面角的面。 2. 二面角的取值范围：?

≤≤1800θ 两个平面垂直：直二面角。

3.作二面角的平面角的常用方法有六种：

1.定义法：在棱上取一点O ，然后在两个平面内分别作过棱上O 点的垂线。

2.三垂线定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。

3.向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。二面角就是该夹角或其补角。二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。例3.如图，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求 (1)二面角111D C A D --所成的角的余弦值 (2)平面AB 1E 和底面C C BB 11所成锐角的正切值.

A 1

D 1

B 1

C 1 E

巩固练习

1.若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是（）

A.α内所有的直线都与a 异面；

B.α内不存在与a 平行的直线；

C.α内所有的直线都与a 相交；

D.直线a 与平面α有公共点.

2.空间四边形ABCD 中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AD 与BC 所成角为（）

A.030

B.045

C.060

D.090 3．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱有（）条

A.3

B.4

C.6

D.8

4.如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，则二面角C 1—BD —C 的大小为（

）

A.300

B.450

C.600

D.900

5．如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E 、F 分别是AB 、BD 的中点．

求证：(1)直线EF ∥面ACD .

(2)平面EFC ⊥平面BCD .

6．如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．

(1)证明：PQ ∥平面ACD ；

(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．

C D A 1

B 1

C 1

D 1

7.如图，已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，设SA＝4，AB＝2，

求点A到平面SBD的距离；