高一上学期期末知识点总结
高一数学主要知识点清单
必修一第一章《集合》
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号 ∈ 或 ? 表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、自然语言．
(4)常用数集：自然数集N ；正整数集N *(或N +)；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R. (5)集合的分类：按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、空集． 2．集合间的基本关系 (1)子集、真子集及其性质
子集：对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则
B A ?(或A B ?)．
真子集：若A ?B ，且在B 中至少有一个元素x ∈B ，但x ?A ， 性质：φ?A ；A ?A ；A ?B ，B ?C ?A ?C .
若A 含有n 个元素，则A 的子集有2n 个，A 的非空子集有 12-n 个．
(2)集合相等 若A ?B 且B ?A ，则 A=B . 3．集合的运算及其性质 (1)集合的并、交、补运算
并集：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }； 交集：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }；
补集：C U A ＝{x |x ∈U 且x ?A }．U 为全集，C U A 表示A 相对于全集U 的补集． (2)集合的运算性质
①A ∪B ＝A ?B ?A ，A ∩B ＝A ?
B A ?；
②A ∩A ＝A ，A ∩Φ＝ Φ ； ③A ∪A ＝A ，A ∪Φ＝A ；
④A ∩C U A ＝Φ，A ∪C U A ＝U ，C U (C U A )＝A . （3）研究集合的两个工具：韦恩图和实数轴 4．函数的基本概念
(1)函数的定义：设A 、B 是非空 数集 ，如果按照某种确定的对应关系f ，使对与集合A 中的 任意一个数x ，在集合B 中都有 唯一 确定的数f (x )和它对应，那么称 f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y ＝f (x )，x ∈A .
(2)函数的定义域、值域
在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做 定义域 ，与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫值域．值域是集合B 的子集． (3)函数的三要素： 定义域 、值域和对应关系．
(4)相等函数：如果两个函数的定义域和 对应关系 完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据．
5．函数的三种表示方法
(1) 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．
(2)关于函数的解析式 .函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时， 一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
.(3)求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，
如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；
已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；
当已知表达式较简单时，也可用凑配法；
若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)
(4)两个特殊的函数形式
分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
注意：如：
（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。
复合函数：如果函数y=f(u) (u∈M),u=g(x) (x∈A),则函数y=f[g(x)]=F(x)（定义域为
}
)
(
{M
x
g
A
x∈
∈
）
称为f、g的复合函数。
（5）复合函数的单调性
两个函数
．．．．复合而成的复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性之间的关系是：同增异减。
注意：
函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集.
6．映射的概念
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．记作“f：A→B”．
7．函数的单调性
(1)单调函数的概念
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x
1，x
2
，当x
1
＜x
2时，都有())
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
x
f
x
f
x
f
x
f>
<或，那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数)．
(2)单调区间的概念
如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫f(x)的单调区间．
8．函数的最值
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)；存在
x 0∈I，使得f(x
)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值(或最小值)．
9．偶函数、奇函数的概念
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．偶函数的图象关于y轴对称．
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝—f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称．
10．判断函数的奇偶性
判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：
(1)考查定义域是否关于原点对称，这是函数具有奇(偶)性的必要非充分条件．
(2)考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：
若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f (－x)＝f(x) ，则f(x)为偶函数；
若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；
若f (－x )≠－f (x )且f (－x )≠f (x )，则f (x )既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数． 11．周期性
一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值都有
)()(x f T x f =+，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．
对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．
必修一第二章 基本初等函数回顾、总结、升华
1．根式
(1)根式的概念
如果一个数的n 次方等于a (n ＞1且，n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是，若a x
n
=，则x
叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子n
a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)根式的性质
①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号n
a
表示．
②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n 次方根用符号n
a 表示，负的n 次方根用符号n
a
-表示．正负两个n 次方根可以合写为±n
a (a ＞0)．
③()n a
n
＝a . ④当n 为奇数时，n a n
＝a ； ⑤负数没有偶次方根．
当n 为偶数时，n
a n ＝ |a |＝??
?<-≥0
,0,a a a a .
2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ：正分数指数幂=
m
n a m
n
a 负分数指数幂
m
n
m
n a a
1
=
-
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝s
r a
+ ②(a r )s ＝rs a ③(ab )r ＝r r
b a
(a ＞0，b ＞0，r 、s ∈Q)
4．对数的概念
(1)对数的定义 如果a x ＝N (a ＞0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作N x a log =，
其 中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． (2)几种常见对数
5．对数的性质与运算法则
(1)对数的性质 ①N a N
a =log ；②log a a N ＝ N (a ＞0且a ≠1)．
(2)对数的重要公式 ①换底公式：a
b
b c c a log log log =
(a ，c 均大于零且不等于1)；
②log a b ＝
1
log b a
， 推广log a b ·log b c·log c d ＝log a d . (3)对数的运算法则 如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么
①log a (MN )＝N M a a log log +；②log a M
N ＝N M a a log log -；
③log a M n ＝M n a log ?； ④log am M n ＝M m
n
a log ?.
6．对数函数的图象与性质
指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线 y=x 对称． 8．幂函数的定义：一般地，形如
αx y =(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．
9．幂函数的图象：在同一平面直角坐标系下，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，3
x
y =，y ＝2
1x ，
1-=x y 的图象
．幂函数的性质
函数 y ＝x y ＝定义域 R R 值 域 R [0，＋∞奇偶性
奇
偶
第三章 函数的应用回顾、总结、升华 函数图象的作法
1．描点法作图 描点步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质： 即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 2．函数图象的变换法 (1)平移变换
①水平平移：y ＝f (x ±a )(a ＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向 左 (＋)或向 右 (－)平移a 单位而得到． ②竖直平移：y ＝f (x )±b (b ＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向 上 (＋)或向下 (－)平移b
单位而得到．
(2)对称变换
①y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称． ②y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图象关于 x 轴对称． ③y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于 原点 对称． （3）周期变换
如果函数y ＝f(x)对定义域内的一切x 值，都满足 ①f(x+T)＝f(x)，则函数周期为T ； ②
)()(a x f a x f -=+，其中a 是常数，则函数周期为a 2；
(4)翻折变换
①作为y ＝f (x )的图象，将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变得到y ＝|f (x )|的图象；
②作为y ＝f (x )在y 轴上及y 轴右边的图象部分，并作y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象，即得y ＝f (|x |)的图象． (5)伸缩变换
①y ＝af (x )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )图象上每点的纵坐标伸(a ＞1时)缩(a ＜1时)到原来的a 倍．
②y ＝f (ax )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )的图象上每点的横坐标伸(a ＜1时)缩(a ＞1时)到原来的1
a .
3．函数的零点
(1)函数零点的定义 对于函数y ＝f (x )，我们把使
0)(=x f 的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．
(2)几个等价关系 方程f (x )＝0有实数根?函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点?函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是 连续 不断的一条曲线，并且有
0)()(
函数y ＝f (x )在区间 (a ，b ) 内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝ 0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 5．二分法求方程的近似解
(1)二分法的定义： 对于在区间[a ，b ]上连续不断且
0)()(
通过不断地把函数 f (x )的零点所在的区间 一分为二 ，使区间的两个端点逐步逼近 零点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
(2)给定精确度ε，用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下：①确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )＜0，给定精确度ε；②求区间(a ，b )的中点 c ；③计算f (c )； (ⅰ)若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；
(ⅱ)若f (a )·f (c )＜0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))； (ⅲ)若f (c )·f (b )＜0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．
④判断是否达到精确度ε.即：若|a －b |＜ε，则得到零点近似值a (或b )；否则 重复②③④.
6．三种增长型函数模型的图象与性质
7．三种增长型函数之间增长速度的比较