上海市徐汇区位育中学2018-2019学年高二上学期开学考试数学试题
徐汇区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(1)
徐汇区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若2＋a i1＋i ＝3＋b i ，则a －b 为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02． 已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足11122n n n a a +=+，则此数列的第4项是（ ） A ．1 B ．12 C. 34 D ．583． 设x ∈R ，则x ＞2的一个必要不充分条件是（ ）A ．x ＞1B ．x ＜1C ．x ＞3D ．x ＜34． 已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数=3， =2.7，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ． =﹣0.2x+3.3B ． =0.4x+1.5C ． =2x ﹣3.2D ． =﹣2x+8.65． 两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（ ）A ．akmB ．akmC ．2akmD ．akm6． 如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为（，﹣），∠AOC=α，若|BC|=1，则cos 2﹣sincos﹣的值为（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣7． 如果函数f （x ）的图象关于原点对称，在区间上是减函数，且最小值为3，那么f （x ）在区间上是（ ） A ．增函数且最小值为3B ．增函数且最大值为3C ．减函数且最小值为﹣3D ．减函数且最大值为﹣38． 已知函数()x e f x x=，关于x 的方程2()2()10f x af x a -+-=（a R Î）有3个相异的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．21(,)21e e -+?-B ．21(,)21e e --?-C ．21(0,)21e e --D ．2121e e 禳-镲睚-镲铪【命题意图】本题考查函数和方程、导数的应用等基础知识，意在考查数形结合思想、综合分析问题解决问题的能力．9． 已知x ＞1，则函数的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（ ） A ．36种 B ．38种 C ．108种 D ．114种11．如果a ＞b ，那么下列不等式中正确的是（ ） A ．B ．|a|＞|b|C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 312．已知向量，，其中．则“”是“”成立的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件二、填空题13．如图，已知m ，n 是异面直线，点A ，B m ∈，且6AB =；点C ，D n ∈，且4CD =.若M ，N 分别是AC ，BD 的中点，MN =m 与n 所成角的余弦值是______________.【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力.14．设复数z 满足z （2﹣3i ）=6+4i （i 为虚数单位），则z 的模为 ．15．= ．16．在极坐标系中，O是极点，设点A，B的极坐标分别是（2，），（3，），则O点到直线AB 的距离是．17．命题p：∀x∈R，函数的否定为．18．定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数．我们可以把1拆分为无穷多个不同的单位分数之和．例如：1=++，1=+++，1=++++，…依此方法可得：1=++++++++++++，其中m，n∈N*，则m+n=．三、解答题19．已知函数，（其中常数m＞0）（1）当m=2时，求f（x）的极大值；（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．20．已知数列{a n}满足a1=a，a n+1=（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．21．已知a ＞0，b ＞0，a+b=1，求证：（Ⅰ）++≥8；（Ⅱ）（1+）（1+）≥9．22．已知函数f （x ）=（Ⅰ）求函数f （x ）单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足（2a ﹣c ）cosB=bcosC ，求f （A ）的取值范围．23．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边为c b a ,,，已知1cos )sin 3(cos 2cos 22=-+C B B A. （I ）求角C 的值；（II ）若2b =，且ABC ∆的面积取值范围为，求c 的取值范围． 【命题意图】本题考查三角恒等变形、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，意在考查基本运算能力．24．化简：（1）．（2）+．徐汇区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】【解析】选A.由2＋a i1＋i＝3＋b i 得，2＋a i ＝（1＋i ）（3＋b i ）＝3－b ＋（3＋b ）i ， ∵a ，b ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝3－b a ＝3＋b ，即a ＝4，b ＝1，∴a －b ＝3（或者由a ＝3＋b 直接得出a －b ＝3），选A. 2． 【答案】B 【解析】3． 【答案】A【解析】解：当x ＞2时，x ＞1成立，即x ＞1是x ＞2的必要不充分条件是， x ＜1是x ＞2的既不充分也不必要条件， x ＞3是x ＞2的充分条件，x ＜3是x ＞2的既不充分也不必要条件， 故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．4． 【答案】A【解析】解：变量x 与y 负相关，排除选项B ，C ； 回归直线方程经过样本中心，把=3， =2.7，代入A 成立，代入D 不成立．故选：A ．5． 【答案】D【解析】解：根据题意，△ABC 中，∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°，∵AC=BC=akm，∴由余弦定理，得cos120°=，解之得AB=akm，即灯塔A与灯塔B的距离为akm，故选：D．【点评】本题给出实际应用问题，求海洋上灯塔A与灯塔B的距离．着重考查了三角形内角和定理和运用余弦定理解三角形等知识，属于基础题．6．【答案】A【解析】解：∵|BC|=1，点B的坐标为（，﹣），故|OB|=1，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=，又∠AOC=α，∴∠AOB=﹣α，∴cos（﹣α）=，﹣sin（﹣α）=﹣，∴sin（﹣α）=．∴cosα=cos[﹣（﹣α）]=cos cos（﹣α）+sin sin（﹣α）=+=，∴sinα=sin[﹣（﹣α）]=sin cos（﹣α）﹣cos sin（﹣α）=﹣=．∴cos2﹣sin cos﹣=（2cos2﹣1）﹣sinα=cosα﹣sinα=﹣=，故选：A．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题．7．【答案】D【解析】解：由奇函数的性质可知，若奇函数f（x）在区间上是减函数，且最小值3，则那么f（x）在区间上为减函数，且有最大值为﹣3，故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，比较基础．D8．【答案】第Ⅱ卷（共90分）9．【答案】B【解析】解：∵x＞1∴x﹣1＞0由基本不等式可得，当且仅当即x﹣1=1时，x=2时取等号“=”故选B10．【答案】A【解析】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑特长学生，则有3种情况；英语成绩优秀学生的分配有2种可能；再从剩下的3个人中选一人，有3种方法．根据分步计数原理，共有3×2×3=18种分配方案．②甲部门要1个电脑特长学生，则方法有3种；英语成绩优秀学生的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有33种，共3×2×3=18种分配方案．由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种，故选A．【点评】本题考查计数原理的运用，根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数，然后用乘法原理和加法原理计算，是解题的常用方法．11．【答案】D【解析】解：若a＞0＞b，则，故A错误；若a＞0＞b且a，b互为相反数，则|a|=|b|，故B错误；若a＞0＞b且a，b互为相反数，则a2＞b2，故C错误；函数y=x3在R上为增函数，若a＞b，则a3＞b3，故D正确；故选：D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，难度不大，属于基础题．12．【答案】A【解析】【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】若，则成立；反过来，若，则或所以“”是“”成立的充分而不必要条件。
徐汇区高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学
徐汇区高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 命题“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2＞bc 2则a ＞b ”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．32． 设函数y=x 3与y=（）x 的图象的交点为（x 0，y 0），则x 0所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，4）3． 若曲线f （x ）=acosx 与曲线g （x ）=x 2+bx+1在交点（0，m ）处有公切线，则a+b=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44． 圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ． B ．12+ C ．122+ D ．122+ 5． 已知函数f （x ）=a x ﹣1+log a x 在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为a ，则实数a 为（ ）A ．B ．C ．2D ．46． 十进制数25对应的二进制数是（ ） A ．11001 B ．10011 C ．10101 D ．100017． 两个随机变量x ，y 的取值表为若x ，y 具有线性相关关系，且y ^＝bx ＋2.6，则下列四个结论错误的是（ ）A ．x 与y 是正相关B ．当y 的估计值为8.3时，x ＝6C ．随机误差e 的均值为0D ．样本点（3，4.8）的残差为0.658． 满足下列条件的函数)(x f 中，)(x f 为偶函数的是（ ）A.()||x f e x =B.2()x x f e e =C.2(ln )ln f x x = D.1(ln )f x x x=+【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力. 9． 如图，程序框图的运算结果为（ ）A ．6B ．24C ．20D ．12010．已知点M （﹣6，5）在双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）上，双曲线C 的焦距为12，则它的渐近线方程为（ ）A ．y=±x B ．y=±x C ．y=±xD ．y=±x11．已知命题p ：对任意()0x ∈+∞，，48log log x x <，命题：存在x ∈R ，使得tan 13x x =-，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧12．将y=cos （2x+φ）的图象沿x 轴向右平移个单位后，得到一个奇函数的图象，则φ的一个可能值为（ ）A ．B ．﹣C ．﹣D ．二、填空题13．已知数列1，a 1，a 2，9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，则的值为 ．14．直线l 1和l 2是圆x 2+y 2=2的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1，3），则l 1与l 2的夹角的正切值等于 _________ 。
上海市徐汇区位育中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题
上海市徐汇区位育中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．计算：222lim 41n n n n →∞-=+______. 2．函数()()21f x x x =≤-的反函数是______.3．已知()3,3a k =，()6,7b k =--，若a b ⊥，则实数k 的值为______.4．已知向量()1,2e =，则与向量e 平行的单位向量为______.5．幂函数()()223m m f x x m --=∈Z 的图像与坐标轴没有公共点，且关于y 轴对称，则m 的值为______.6．已知函数()()2log f x x m =-的图像不经过第四象限，则实数m 的取值范围是______.7．设1lim 3n n r a r →∞-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则实数r 的取值范围是______.8．已知()1,2a =-，()1,b k =，若a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是______. 9．若函数()sin 2cos2f x x a x =+，x ∈R 的图像关于6x π=-对称，则a =________．10． 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，且AC AE AF λμ=+，其中,R λμ∈,则λμ+= .11．已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足=AP AB λ,=(1)AQ AC λ-,R λ∈,若3=2BQ CP ⋅-,则=λ 12．已知数列{}n a 的通项公式为52n n a -=，数列{}n b 的通项公式为n b n k =+ ，设,(),()n n n n n nn b a b c a a b ≤⎧=⎨>⎩，若在数列{}n c 中，5n c c ≤对任意*n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围是_____;二、单选题13．已知向量(3,4)a =-,则下列能使12(,)a e e R λμλμ=+∈成立的一组向量12,e e 是( )A ．12(0,0),(1,2)e e ==-B ．12(1,3),(2,6)e e =-=-C ．12(1,2),(3,1)e e =-=-D ．121(,1),(1,2)2e e =-=- 14．把函数()3cos 28f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像经过变化可得到函数()sin 2g x x =的图像，这个变化是（ ）A ．向左平移16π个单位B ．向右平移16π个单位C ．向左平移316π个单位D ．向右平移316π个单位 15．设n S 是无穷等差数列{}n a 的前n 项和（*N n ∈），则“lim n n S →∞存在”是 “该数列公差0d =”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件16．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列判断一定正确是（ ）A ．若30S >，则20180a >B ．若30S <，则20180a <C ．若21a a >，则20192018a a >D ．若2111a a >，则20192018a a < 三、解答题17．在OAB ∆中，设OA a =，OB b =，M 、N 分别是OA 、OB 上的点，且13OM a =，12ON b =，设AN 与BM 相交于点P ，试用向量a 、b 表示OP .18．已知函数()22cos 21f x x x =+， （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）求满足()1f x =且[],x ππ∈-的x 的集合.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*585n n S n a n N=--∈. （1）设数列{}n b 满足()*1n n b a n N=-∈，证明：数列{}nb 是等比数列； （2）求n 为多少时，n S 取得最小值？20．已知函数()22x x f x a -=+⋅，a R ∈. （1）讨论函数()f x 的奇偶性；（2）设函数()324xg x =⋅+，若关于x 的不等式()()f x g x >有实数解，求实数a 的取值范围.21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*1122n n a n N a +≤≤∈，则称{}n a 是“紧密数列”. （1）若数列{}n a 的前n 项和为()()2*134n S n n n N =+∈，判断{}n a 是否是“紧密数列”，并说明理由；（2）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求q 的取值范围.参考答案1．12- 【解析】【分析】 先将22241n n n -+分离常数，然后按照极限的求法，计算出所求的极限. 【详解】 依题意，2221212lim lim 41241n n n n n n n →∞→∞⎛⎫+ ⎪-=-+ ⎪++ ⎪⎝⎭2211112lim 1224n n n n →∞⎛⎫+ ⎪=-+=- ⎪ ⎪+⎝⎭. 故填：12-. 【点睛】本小题主要考查极限的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.2．())11f x x -=≥【分析】根据反函数的求法，求得原函数的反函数的解析式并求出定义域.【详解】令()21,1y x x y =≤-≥，解得)1x y =≥，交换,x y的位置得)1y x =≥，所以函数()()21f x xx =≤-的反函数是())11f x x -=≥. 故填：())11f x x -=≥. 【点睛】本小题主要考查反函数的求法，属于基础题.3．75- 【分析】根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得k 的值.【详解】由于a b ⊥，所以()63370k k -⋅+⋅-=，解得75k =-.故填：75-. 【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的坐标表示，属于基础题.4．0555e⎛=⎝⎭，或055e ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】与向量a 平行的单位向量为a a ±，由此求得与向量e 平行的单位向量. 【详解】依题意可知与向量e平行的单位向量为21,21,21ee ±=±==±+⎝⎭. 故填：05e ⎛= ⎝⎭，或0e ⎛=- ⎝⎭.【点睛】本小题主要考查与向量平行的单位向量的求法，属于基础题.5．1,1,3-【分析】首先根据幂函数()f x 图像与坐标轴没有公共点列不等式，结合函数()f x 关于y 轴对称，求得m 的取值范围.【详解】由于幂函数()()223m m f x x m --=∈Z 的图像与坐标轴没有公共点，所以{}2230131,0,1,2,3m m m m --≤⇒-≤≤⇒∈-，又因为函数为偶函数，故分别代入检验可知：1,1,3m =-满足；故填： 1,1,3-【点睛】本小题主要考查幂函数的图像与性质，考查幂函数的奇偶性，属于基础题.6．1m ≤-根据函数()()2log f x x m =-的图像不经过第四象限得到()00f ≥，解不等式求得m 的取值范围.【详解】由于函数()()2log f x x m =-的图像不经过第四象限，所以()00f ≥，即()22log 0log 1m -≥=，所以1,1m m -≥≤-.故填：1m ≤-.【点睛】本小题主要考查对数型函数的图像与性质，考查对数不等式的解法，属于基础题. 7．2r ≤【分析】根据指数幂有极限的条件列不等式，解不等式求得r 的取值范围.【详解】 由于1lim 3n n r a r →∞-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，即极限存在，故113r r -≤-，即1113r r --≤≤-，113113r r r r-⎧≥-⎪⎪-⎨-⎪≤⎪-⎩，2032403r r r⎧≥⎪⎪-⎨-⎪≤⎪-⎩，解得2r ≤. 故填：2r ≤.【点睛】本小题主要考查指数幂有极限的条件，考查绝对值不等式的解法，考查分式不等式的解法，属于中档题.8．()1,22,2k ⎛⎫∈-∞-- ⎪⎝⎭【分析】根据两个向量的夹角为锐角，结合向量数量积的坐标运算列不等式组，解不等式组求得k 的取值范围.设a 与b 的夹角为θ，由于向量a 与b 的夹角为锐角，故cos 0θ>，且向量a 与b 不同向，即0θ≠.所以cos 0121k θ⎧=>⎪⎨⎪⋅≠-⋅⎩，122k k ⎧<⎪⎨⎪≠-⎩，所以()1,22,2k ⎛⎫∈-∞-- ⎪⎝⎭. 故填：()1,22,2k ⎛⎫∈-∞--⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查向量数量积的坐标运算，考查不等式组的解法，属于基础题.9．【解析】【分析】特殊值法：由()f x 的对称轴是6x π=-，所以()30f f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭即可算出a 【详解】由题意得()f x 是三角函数所以()sin 0cos0sin 2cos 23303f f a a a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⇒+=⨯-+⨯-⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，需要记忆三角函数的基本性质：单调性、对称轴、周期、定义域、最值、对称中心等。
上海市位育中学2018-2019学年上学期高二数学10月份考试卷附答案解析
上海市位育中学2018-2019学年上学期高二10月份考数学试卷一、单选题1．已知(,),(5,0)a m n b ==-r r 且向量a r 在向量b r 方向上的投影是2-，则（ ）A ．2,2m n ==-B ．2,2m n =-=C ．2m =，n 取任意实数D ．2m =-，n 取任意实数2．设a r 、b r 是非零向量，命题甲：//a b r r 且||||a b =r r ，命题乙：a b =r r ，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件3．设a r 、b r 、c r 是三个任意的非零平面向量，且互不平行，有下列四个结论：（1）()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r （2）[()()]0b c a c a b c ⋅⋅-⋅⋅⋅=r r r r r r r（3）||||||a b a b -<-r r r r （4）22(32)(32)9||4||a b a b a b +⋅-=-r r r r r r其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．设的边AB 上一定点0P 满足014P B AB =u u u r u u u r ，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则（ ） A ．2ABC π∠= B ．2BAC π∠= C ．AB AC = D ．AC BC =二、填空题5．AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r ______.6．方程组60320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩的増广矩阵是_____________. 7．已知点(1,3),(4,15)A B -，则与AB u u u r 同向的单位向量为________________.8．三阶行列式123456789的元素4的代数余子式是___________.9．函数sin 4cos )31(x xf x =的最大值为_____________.10．若ABCD 为正方形，E 为CD 的中点，且AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，则BE u u u r 可以用a r 和b r 表示为____________. 11．计算：12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭________.12．设(2,7),(,3)p q x ==-r r ，若p u r 与q r 的夹角为钝角，则x 的取值范围是_________.13．在ABC ∆中，若AB AC BA BC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABC ∆的形状为__________.14．若向量(1,2)n a =r 是直线:(21)10l a x ay +-+=的一个法向量，则a =___________.15．在ABC ∆中，14AM AB m AC =+⋅u u u u r u u u r u u u r ，向量AM u u u u r 的终点M 在ABC ∆的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 ．16．给定平面上四点,,,O A B C 满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=u u u r u u u r，则ABC ∆面积的最大值为_______.三、解答题 17．已知O 为原点，(3,1)OA =u u u r ，(1,2)OB =-u u u r ，OC u u u r 与OB uuu r 垂直，BC uuu r 与OA u u u r 平行，求OC u u u r 的坐标.18．已知32(2,4),(2,2),2,||4a b c a c b -=-=-⋅==r r r r r r ，求b r 与c r 的夹角.19．用行列式的方法解关于x ，y 的方程组(2)36m x y m x my m -+=-⎧⎨+=--⎩，并对解的情况进行讨论.20．在ABC ∆中，已知()1,2A 、()2,1B -．（1）若点C 的坐标为()4,5C ，直线//l AB ，直线l 交AC 边于D ，交CB 边于E ，且CDE ∆与ABC ∆的面积之比为49，求直线l 的方程； （2）若(),C x y 是一个动点，且ABC ∆的面积为2，试求y 关于x 的函数关系式．21．如图，M 为ABC ∆的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交,AB AC 两边于点,P Q ，设,AP xAB AQ y AC ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，记()y f x =（1）求函数()y f x =的表达式；（2）设APQ ∆的面积为1S ，ABC ∆的面积为2S ，且12S kS =，求实数k 的取值范围解析上海市位育中学2018-2019学年上学期高二10月份考数学试卷一、单选题1．已知(,),(5,0)a m n b ==-r r 且向量a r 在向量b r 方向上的投影是2-，则（ ）A ．2,2m n ==-B ．2,2m n =-=C ．2m =，n 取任意实数D ．2m =-，n 取任意实数【答案】C 【解析】由向量a r 在向量b r 方向上的投影定义得到方程2||cos ,||a b a a b b ⋅-=<>=r r u u r r r r ，将向量的坐标代入，即可得到关于,m n 的关系.【详解】由向量a r 在向量b r 方向上的投影定义得：2||cos ,||a b a a b b ⋅-=<>=r r u u r r r r ， 所以5225m m --=⇒=， 所以2m =，n 取任意实数.故选：C.本题考查向量数量积中投影的定义，考查对投影概念的理解和坐标运算，属于容易题.2．设a r 、b r 是非零向量，命题甲：//a b r r 且||||a b =r r ，命题乙：a b =r r ，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】由于命题甲中两个向量可能为相反向量，所以推不出命题乙，反过来命题乙成立可以推出命题甲成立，故可得到答案.【详解】因为命题甲中两个向量可能为相反向量，所以推不出命题乙，所以充分性不成立；反过来，当两个向量是相等向量时，则这两个向量互相平行且大小相等，所以命题乙可推出命题甲成立，所以必要性成立.故选：B.【点睛】本题以相等向量、平行向量、模的概念为背景，考查简易逻辑知识，考查对概念的理解与应用，属于容易题. 3．设a r 、b r 、c r 是三个任意的非零平面向量，且互不平行，有下列四个结论：（1）()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r （2）[()()]0b c a c a b c ⋅⋅-⋅⋅⋅=r r r r r r r（3）||||||a b a b -<-r r r r （4）22(32)(32)9||4||a b a b a b +⋅-=-r r r r r r其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对（1），向量的数量积不满足结合律；对（2），利用向量的数量积与数乘运算，再根据数量积的交换律可判断；对（3），根据向量差的模与模的差的关系，根据其几何意义判断；对（4），利用数量积运算的分配律.【详解】 对（1），向量的数量积不满足结合律，所以()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 错误，故（1）错误；对（2），原式()()()()()()()()0b c a c c a b c b c a c b c a c =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=r r r r r r r r r r r r r r r r ，故（2）正确；对（3），由向量的减法法则知，两向量差的模一定大于两向量模的差，故（3）正确；对（4），由数量积运算的分配律得：2222(32)(32)949||4||a b a b a b a b +⋅-=-=-r r r r rr r r ，故（4）正确.【点睛】本题考查向量数量积的运算律和向量加法、减法法则的运用，考查对概念的深刻理解与运用，属于中档题.4．设的边AB 上一定点0P 满足014P B AB =u u u r u u u r ，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则（ ） A ．2ABC π∠=B ．2BAC π∠= C ．AB AC =D ．AC BC =【答案】D 【解析】设||4AB =u u u r ，则0||1P B =u u u r ，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设0HP a =，则由数量积的几何意义可得2||(1)||0PB a PB a -++≥u u u r u u u r 恒成立，只需△22(1)4(1)0a a a =+-=-≤即可，由此能求出ABC ∆是等腰三角形，AC BC =．【详解】设||4AB =u u u r ，则0||1P B =u u u r ，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ， 在AB 上任取一点P ，设0HP a =，则由数量积的几何意义可得，2||||||(1)||PB PC PH PB PB a PB ⋅=⋅=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，00P B PC a ⋅=-u u u r u u u r ， 于是00PB PC P B P C ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 恒成立，整理得2||(1)||0PB a PB a -++≥u u u r u u u r 恒成立，只需△22(1)4(1)0a a a =+-=-≤即可，于是1a =，因此2HB =，即H 是AB 的中点，故ABC ∆是等腰三角形，所以AC BC =．故选：D.【点睛】本题考查平面向量的运算、向量的模及向量的数量积的概念、向量运算的几何意义的应用，考查利用向量解决简单的几何问题的能力.二、填空题5．AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r ______.【答案】0r【解析】根据向量加法的法则即可化简求值.【详解】 因为AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r ，所以+0AB BC CA AC CA ++==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r .故答案为：0r【点睛】本题主要考查了向量的加法运算，属于容易题.6．方程组60320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩的増广矩阵是_____________. 【答案】116312⎛⎫ ⎪--⎝⎭【解析】先将方程组转化成632x y x y +=⎧⎨-=-⎩，写出方程组的系数矩阵，再加入常数列，从而得到増广矩阵. 【详解】因为方程组60320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩等价于632x y x y +=⎧⎨-=-⎩， 所以系数矩阵为1131⎛⎫ ⎪-⎝⎭， 所以増广矩阵是116312⎛⎫ ⎪--⎝⎭. 故答案为：116312⎛⎫ ⎪--⎝⎭. 【点睛】本题考查増广矩阵的概念，考查对概念的理解与应用，属于容易题.7．已知点(1,3),(4,15)A B -，则与AB u u u r 同向的单位向量为________________. 【答案】512,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】可求出(5,12)AB =u u u r ，从而得出与AB u u u r 方向相同的单位向量为(,)|5121313|AB AB =u u u r u u u r ． 【详解】因为(5,12)AB =u u u r ；所以与AB u u u r 方向相同的单位向量坐标为：(,)|5121313|AB AB =u u u r u u u r ． 故答案为：512,1313⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查向量的坐标表示及单位向量的坐标运算，考查基本运算求解能力，注意所求单位向量的方向与AB u u u r 方向相同． 8．三阶行列式123456789的元素4的代数余子式是___________. 【答案】2389- 【解析】利用代数余子式定义直接求解．【详解】 在三阶行列式123456789中，元素4的代数余子式的为：32323(1)8989-=-．∴元素4的代数余子式的为2389-． 故答案为：2389-． 【点睛】 本题考查行列式的代数余子式的求法，而不是求代数余子式的值，解题时要认真审题，考查概念的理解与应用．9．函数sin 4cos )31(x xf x =的最大值为_____________.【答案】5【解析】先根据二阶行列式的计算得到()3sin 4cos f x x x =-，再由三角恒等变换中的辅助角公式，将()f x 化成正弦型三角函数，从而求得最大值.【详解】 因为sin 4cos ()3sin 4cos 5sin()31x xf x x x x θ==-=-，其中4tan 3θ=， 当sin()1x θ-=时，max ()5f x =.故答案为：5.【点睛】本题考查二阶行列式的计算、三角恒等变换公式的应用、三角函数的最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意辅助角公式的运用.10．若ABCD 为正方形，E 为CD 的中点，且AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，则BE u u u r 可以用a r 和b r表示为____________. 【答案】12BE b a =-u u u r r r 【解析】利用平面向量基本定理，取a r 和b r 为基底，将BE u u u r用基向量表示出即可．【详解】 如图，1122BE AE AB AD DE AB AD AB AB b a =-=+-=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r ． 故答案为：12BE b a =-u u u r r r .【点睛】考查向量的加法、减法、数乘运算的综合运用，属于容易题．11．计算：12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭________. 【答案】881820⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由第一个矩阵的第一行元素与第二个矩阵的第一列元素对应相乘再相加得到相乘后矩阵的第一行第一列的元素，其它行列的元素依此类推，即可得到答案.【详解】由第一个矩阵的第一行元素与第二个矩阵的第一列元素对应相乘再相加得到相乘后矩阵的第一行第一列的元素，其它行列的元素依此类推：所以12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭881820⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：881820⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查矩阵相乘的定义，考查基本运算求解能力，属于容易题. 12．设(2,7),(,3)p q x ==-r r ，若p u r 与q r 的夹角为钝角，则x 的取值范围是_________. 【答案】6621,,772⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∪ 【解析】利用数量积公式知向量的夹角为钝角时数量积小于0且不是方向相反的向量，除去当两向量平行时x 的取值，进而得到x 的取值范围.【详解】Q p r 与q r 的夹角为钝角，∴0p q ⋅<r r ，即2210x -<，解得212x <. 当p r 与q r 方向相反时，设p q λ=r r 且0λ<，(2,7)∴(,3)x λλ=-，∴273x λλ=⎧⎨=-⎩，67x ∴=-. x \的范围为212x <且67x ≠-； 故答案为：212x <且67x ≠-. 【点睛】本题考查向量夹角与向量数量积的关系，考查转化与化归思想的应用，求解时注意数量积小于0无法保证向量的夹角为钝角，还要把共线向量的情况除掉．13．在ABC ∆中，若AB AC BA BC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABC ∆的形状为__________.【答案】等腰三角形 【解析】由向量数量积的定义，将等式转化成||cos ||cos AC A BC B =u u u r u u u r ，再由三角形的中线与高合一，判断三角形的形状.【详解】作CD AB ⊥交AB 于D ，因为AB AC BA BC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r所以||||cos ||||cos ||cos ||cos AB AC A BA BC B AC A BC B =⇒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以AD BD =，则D 为AB 的中点，由三角形底边AB 中线与高合一，所以ABC ∆为等腰三角形.故答案为：等腰三角形.【点睛】本题考查三角形形状的判定，求解过程中要注意利用向量既有几何又有代数的双重身份进行求解，求解的关键在于和平面几何知识的结合运用.14．若向量(1,2)n a =r 是直线:(21)10l a x ay +-+=的一个法向量，则a =___________. 【答案】34-或0 【解析】由直线:(21)10l a x ay +-+=的方程可得直线的一个方向向量为(,21)v a a =+r ，利用0n v ⋅=r r 可求得a 的值.【详解】取(,21)v a a =+r 为直线l 的一个方向向量，所以0n v ⋅=r r 4(21)320a a a a ⇒+⇒+⋅==-或0a =. 故答案为：34-或0. 【点睛】本题考查直线的方向向量与法向量的关系，考查基本运算求解能力，属于容易题. 15．在ABC ∆中，14AM AB m AC =+⋅u u u u r u u u r u u u r ，向量AM u u u u r 的终点M 在ABC ∆的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 ． 【答案】304m <<【解析】【详解】试题分析：设1,4AD AB =过点D 作DE 平行AC 于E 点，则3,4DE AC =由向量加法的几何意义知，点M 必在线段DE 上（不含端点）.又0m =时，M D =；34m =时，M E =，所以304m <<. 【考点】向量加法的几何意义16．给定平面上四点,,,O A B C 满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=u u u r u u u r，则ABC ∆面积的最大值为_______.【答案】 【解析】先利用向量的数量积公式，求出60BOC ∠=︒，利用余弦定理求出BC ，由等面积可得O 到BC 的距离，即可求出ABC ∆面积的最大值． 【详解】3OB =Q ，2OC =，3OB OC ⋅=u u u r u u u r，60BOC ∴∠=︒，BC ∴==设O 到BC 的距离为h ，则由等面积可得113222h =⋅⋅7h ∴=，ABC ∆∴面积的最大值为1(4)272+=．故答案为：． 【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的计算，考查分析解决问题的能力，求出BC ，O 到BC的距离是关键．三、解答题17．已知O 为原点，(3,1)OA =u u u r ，(1,2)OB =-u u u r ，OC u u u r 与OB uuu r 垂直，BC uuu r 与OA u u ur 平行，求OC u u u r 的坐标.【答案】(14,7).【解析】设C 为(),x y ,则(),OC x y =u u u r ,故BC OC OB =-u u u r u u u r u u u r ,由题可得0OC OB ⋅=u u u r u u u r ,BC uuu r 与OA u u ur 平行,进而求出点C 坐标即可【详解】由题, 设C 为(),x y ,则(),OC x y =u u u r ,所以()1,2BC OC OB x y =-=+-u u u v u u u v u u u v因为OC u u u r 与OB uuu r垂直,则0OC OB ⋅=u u u r u u u r ,即20x y -+=①,又因为BC uuu r 与OA u u u r平行,则1231x y +-=②, 由①②可得,14x =,7y =,所以OC u u u r的坐标为()14,7【点睛】本题考查向量的垂直与平行关系,考查坐标法处理向量的位置关系,考查运算能力18．已知32(2,4),(2,2),2,||4a b c a c b -=-=-⋅==r r r r r r，求b r 与c r 的夹角.【答案】π-【解析】利用向量的夹角公式cos ,||||b cb c b c ⋅<>=r rr r r r ，根据条件分别把,||,||b c b c ⋅r r r r 三个值算出，再代入公式求得余弦值，即可得到答案. 【详解】因为(32)(2,4)(2,2)12a b c -⋅=-⋅-=rrr， 所以32123a c b c b c ⋅-⋅=⇒⋅=-r r r rr r，因为(2,2)c =-r，所以||c =r所以cos ,16||||b c b c b c ⋅<>===-r rr r r r ，因为,[0,]b c π<>∈r r，所以,arccos 16b c π<>=-r r . 【点睛】本题考查向量夹角、向量数量积、向量的模及已知三角函数值求角等知识的交会，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求夹角时要注意反三角函数知识的运用.19．用行列式的方法解关于x ，y 的方程组(2)36m x y mx my m -+=-⎧⎨+=--⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】当3m =时，方程有无数解；当1m =-时，方程组无解；当3m ≠且1m ≠时，方程组有唯一解2141m x m m y m --⎧=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩【解析】将原方程组写成矩阵形式为Ax b =，其中A 为22⨯方阵，x 为2个变量构成列向量，b 为2个常数构成列向量．计算系数矩阵对应的行列式223D m m =--，再对D 进行分类讨论，求得方程组解的情况. 【详解】系数矩阵对应的行列式221233m D m m m-==--，当2230D m m =--≠，即1m ≠-且3m ≠时，方程组有唯一的解，1621m m m m x D m -----==+，62341m m m y m D m ----==--+． 2230D m m =--=，即3m =或1m =-时．当3m =时，原方程为3339x y x y +=-⎧⎨+=-⎩无数个解，当1m =-时，原方程组为3133x y x y -+=⎧⎨-=-⎩无解．【点睛】本题二元一次方程组解的行列式求法，考查基本的运算求解能力． 20．在ABC ∆中，已知()1,2A 、()2,1B -．（1）若点C 的坐标为()4,5C ，直线//l AB ，直线l 交AC 边于D ，交CB 边于E ，且CDE ∆与ABC ∆的面积之比为49，求直线l 的方程； （2）若(),C x y 是一个动点，且ABC ∆的面积为2，试求y 关于x 的函数关系式． 【答案】（1）370x y -+=；（2）1133y x =+或133y x =+.【解析】（1）作出图形，可得出CDE ABC ∆∆:，根据面积比为49得出23CD AC =，从而得出2CD DA =u u u r u u u r ，设点(),D m n ，利用向量的坐标运算求出点D 的坐标，并求出直线AB 的斜率，即为直线l 的斜率，然后利用点斜式方程可得出直线l 的方程；（2）求出直线AB 的方程和AB ，设点C 到直线AB 的距离为d ，利用ABC ∆的面积为2求出d 的值，结合点到直线的距离公式可求出y 关于x 的函数关系式.【详解】（1）//l AB Q ，即//DE AB ，CDE ABC ∴∆∆:，且249CDE ABC CD S S AC ∆∆⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭， 2CD DA ∴=u u u r u u u r，设点D 的坐标为(),m n ，()4,5CD m n =--u u u r ，()1,2DA m n =--u u u r ， ()()421522m m n n ⎧-=-⎪∴⎨-=-⎪⎩，解得23m n =⎧⎨=⎩，()2,3D ∴. 直线AB 的斜率为211123AB k -==+，//l AB Q ，则直线l 的斜率为13. 因此，直线l 的方程为()1323y x -=-，即370x y -+=；（2）直线AB 的方程为()1213y x -=-，即350x y -+=，AB ==设点C 到直线AB 的距离为d ，则ABC ∆的面积为11222ABC S AB d d ∆=⋅==， 得d =d ==， 354x y ∴-+=±，解得1133y x =+或133y x =+.因此，y 关于x 的函数关系式为1133y x =+或133y x =+.【点睛】本题考查直线方程的求解，同时也考查了利用三角形的面积求出动点的轨迹方程，涉及两点间的距离公式、点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.21．如图，M 为ABC ∆的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交,AB AC 两边于点,P Q ，设,AP xAB AQ y AC ==u u u r u u u r u u u r u u u r，记()y f x =（1）求函数()y f x =的表达式；（2）设APQ ∆的面积为1S ，ABC ∆的面积为2S ，且12S kS =，求实数k 的取值范围【答案】（1）41x y x =-，1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）11,43k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由D 为BC 的中点，M 为AD 的中点，,AP xAB AQ y AC ==u u u r u u u r u u u r u u u r，结合平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，可得关于xy 的方程，进而可得函数()y f x =的表达式；（2）设ABC ∆的面积为21S =，则APQ ∆的面积2141x S xy x ==-，1(1)3x ≤≤，利用导数法，求出函数的值域，可得答案． 【详解】 （1）如图所示：D Q 为BC 的中点，M 为AD 的中点，∴111111()222244AM AD AB AC AB AC ==+=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，又PQM Q 三点共线，故(1)(1)AM AP AQ AB y AC λλλ=+-=+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故141(1)4x y λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，故11144x y+=， 即()41x y f x x ==-，1(1)3x ≤≤.（2）设ABC ∆的面积为21S =，则APQ ∆的面积2141x S xy x ==-，1(1)3x ≤≤故2'1242(41)x xS x -=-，当1132x ≤<时，'10S <，函数为减函数， 当112x <≤时，'10S >，函数为增函数， 故当12x =时，1S 取最小值14，当13x =，或1x =时，1S 取最大值13， 故1211[,]43S S ∈， 因为12APQ ABCS S k S S ∆∆==，所以11[,]43k ∈【点睛】本题考查函数的解析式的求解，向量的线性运算，向量共线的充要条件，三角形面积公式，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．。
2018-2019学年上海市位育中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)
【解析】由向量在向量方向上的投影定义得到方程，将向量的坐标代a b2||cos ,||a b a a b b ⋅-=<>=入，即可得到关于的关系.,m n 【详解】由向量在向量方向上的投影定义得：，a b2||cos ,||a b a a b b ⋅-=<>=，5225mm --=⇒=，取任意实数.2m =n 故选：C.【点睛】本题考查向量数量积中投影的定义，考查对投影概念的理解和坐标运算，属于容易题.） （2）()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅[()()]0b c a c a b c ⋅⋅-⋅⋅⋅=）（4）||||||a b a b -<-22(32)(32)9||4||a b a b a b +⋅-=- 其中正确命题的个数是（ ）1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对（1），向量的数量积不满足结合律；对（2），利用向量的数量积与数乘运算，再根据数量积的交换律可判断；对（3），根据向量差的模与模的差的关系，根据其几何意义判断；对（4），利用数量积运算的分配律.【详解】1），向量的数量积不满足结合律，所以错误，故（1）错误；()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅ 2），原式，故（2）正确；()()()()()()()()0b c a c c a b c b c a c b c a c =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅= 3），由向量的减法法则知，两向量差的模一定大于两向量模的差，故（3）正确；，则，过点作的垂线，垂足为，|4AB =0||1P B = C AB H 上任取一点，设，则由数量积的几何意义可得，AB P 0HP a=，2||||||(1)||PC PH PB PB a PB =⋅=-+ ，0P C a⋅=-恒成立，00PB PC P B P C ⋅≥⋅整理得恒成立，2||(1)||0PB a PB a -++≥△即可，于是，22(1)4(1)0a a a =+-=-≤1a =，即是的中点，故是等腰三角形，2HB =H AB ABC ∆．AC BC =向量解决简单的几何问题的能力.二、填空题5．______.AB BC CA ++= 【答案】0【解析】根据向量加法的法则即可化简求值.【详解】因为，AB BC AC += 所以.+0AB BC CA AC CA ++== 故答案为：0【点睛】本题主要考查了向量的加法运算，属于容易题.6．方程组的増广矩阵是_____________.60320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩【答案】116312⎛⎫ ⎪--⎝⎭【解析】先将方程组转化成，写出方程组的系数矩阵，再加入常数列，从而得到増广矩632x y x y +=⎧⎨-=-⎩阵.【详解】因为方程组等价于，60320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩632x y x y +=⎧⎨-=-⎩所以系数矩阵为，1131⎛⎫⎪-⎝⎭所以増广矩阵是.116312⎛⎫ ⎪--⎝⎭故答案为：.116312⎛⎫ ⎪--⎝⎭；(5,12)AB =所以与方向相同的单位向量坐标为：．AB(,)|5121313|AB AB = 故答案为：．512,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查向量的坐标表示及单位向量的坐标运算，考查基本运算求解能力，注意所求单位向量的方向方向相同．AB．三阶行列式的元素4的代数余子式是___________.1234567892389-【答案】5【解析】先根据二阶行列式的计算得到，再由三角恒等变换中的辅助角公式，()3sin 4cos f x x x =-化成正弦型三角函数，从而求得最大值.()x 【详解】，其中，sin 4cos ()3sin 4cos 5sin()31x xf x x x x θ==-=-4tan 3θ=时，.sin()1x θ-=max ()5f x =故答案为：.5【点睛】本题考查二阶行列式的计算、三角恒等变换公式的应用、三角函数的最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意辅助角公式的运用.．计算：________.3432⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】881820⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由第一个矩阵的第一行元素与第二个矩阵的第一列元素对应相乘再相加得到相乘后矩阵的第一行第一列的元素，其它行列的元素依此类推，即可得到答案.【详解】由第一个矩阵的第一行元素与第二个矩阵的第一列元素对应相乘再相加得到相乘后矩阵的第一行第一列的元素，其它行列的元素依此类推：.12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭881820⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：.881820⎛⎫⎪⎝⎭的范围为且；212x <67x ≠-故答案为：且.212x <67x ≠-【点睛】本题考查向量夹角与向量数量积的关系，考查转化与化归思想的应用，求解时注意数量积小于0无法保证向量的夹角为钝角，还要把共线向量的情况除掉．．在中，若，则的形状为__________.ABC ∆AB AC BA BC ⋅=⋅ABC ∆【答案】等腰三角形【解析】由向量数量积的定义，将等式转化成，再由三角形的中线与高合一，||cos ||cos AC A BC B =判断三角形的形状.【详解】交于，CD AB ⊥AB D【点睛】本题考查三角形形状的判定，求解过程中要注意利用向量既有几何又有代数的双重身份进行求解，求解的关键在于和平面几何知识的结合运用 【答案】或34-【解析】由直线的方程可得直线的一个方向向量为，利用:(21)10l a x ay +-+=(,21)v a a =+可求得的值.0=a 【详解】为直线的一个方向向量，(,21)a a =+l 或.0n v ⋅= 4(21)320a a a a ⇒+⇒+⋅==-0a =故答案为：或0.34-【点睛】【解析】先利用向量的数量积公式，求出，利用余弦定理求出，由等面积可得60BOC ∠=︒BC 的距离，即可求出面积的最大值．ABC ∆【详解】，，，3OB =2OC =3OB OC ⋅=，60BOC =︒，19423272BC =+-⨯⨯⨯=到的距离为，则由等面积可得，BC h 113732222h ⋅⋅=⋅⋅⋅，3217=132133又因为与平行,则②,BC OA 1231x y +-=①②可得,,,14x =7y =的坐标为OC()14,7【点睛】本题考查向量的垂直与平行关系,考查坐标法处理向量的位置关系,考查运算能力．已知，求与的夹角.32(2,4),(2,2),2,||4a b c a c b -=-=-⋅==b c 【答案】32arccos16π-【解析】利用向量的夹角公式，根据条件分别把三个值算出，再代cos ,||||b cb c b c ⋅<>=,||,||b c b c ⋅【答案】当时，方程有无数解；当时，方程组无解；当且时，方程组有唯3m =1m =-3m ≠1m ≠2141m x m m y m --⎧=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩【解析】将原方程组写成矩阵形式为，其中为方阵，为2个变量构成列向量，Ax b =A 22⨯x b 个常数构成列向量．计算系数矩阵对应的行列式，再对进行分类讨论，求得方223D m m =--D 程组解的情况.【详解】系数矩阵对应的行列式，221233m D m m m -==--，即且时，方程组有唯一的解，2230m m =--≠1m ≠-3m ≠【解析】（1）作出图形，可得出，根据面积比为得出，从而得出CDE ABC ∆∆ 4923CD AC =，设点，利用向量的坐标运算求出点的坐标，并求出直线的斜率，即为直2DA =(),D m n D AB 的斜率，然后利用点斜式方程可得出直线的方程；l ）求出直线的方程和，设点到直线的距离为，利用的面积为求出AB ABC AB d ABC ∆2d 值，结合点到直线的距离公式可求出关于的函数关系式.y x 【详解】），即，，且，//l AB //DE AB CDE ABC ∴∆∆ 249CDE ABC CD S S AC ∆∆⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，设点的坐标为，，，2CD DA =D(),m n ()4,5CD m n =-- ()1,2DA m n =-- ()()421522m m n n -=--=-23m n =⎧⎨=⎩()2,3D ∴（2）直线的方程为，即，AB ()1213y x -=-350x y -+=，()()22122110AB =++-=设点到直线的距离为，则的面积为，C AB d ABC ∆1110222ABC S AB d d ∆=⋅=⨯⨯=得，另一方面，由点到直线的距离公式得，410d =()223541013x y d -+==+-，解得或.354y -+=±1133y x =+133y x =+因此，关于的函数关系式为或.y x 1133y x =+133y x =+【点睛】【答案】（1），；（2）41x y x =-1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦11,43k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由为的中点，为的中点，，结合平面向量的基本D BC M AD ,AP xAB AQ y AC ==定理及三点共线的充要条件，可得关于的方程，进而可得函数的表达式；xy ()y f x =）设的面积为，则的面积，，利用导数法，求出ABC ∆21S =APQ ∆2141x S xy x ==-1(1)3x ≤≤函数的值域，可得答案．【详解】）如图所示：为的中点，为的中点，BC M AD ，111111()222244AM AD AB AC AB AC==+=+ 三点共线，PQM时，，函数为增函数，1时，取最小值，12x =1S 14，或时，取最大值，13=1x =1S 13，1211[,]43∈，所以12APQ ABCS S k S S ∆∆==11[,]43k ∈。
2018-2019学年上海市徐汇区位育中学高二下学期3月月考数学试题(解析版)
（1）在正方体 中，与直线 是异面直线的棱所在的直线有： 、 、 、 、 ，共 条；
（2）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ，
则 、 、 、 、 、 、 ，
， ，设异面直线 与 所成角的大小为 ，
则 ， .
因此，异面直线 与 所成角的大小为 .
2018-2019学年上海市徐汇区位育中学高二下学期3月月考数学试题
一、单选题
1．设 、 是两个复数，则“ ”是“ ”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】两个复数一般不能比较大小，只有两个数都是实数时才能比较大小，由此规律对“ ”与“ ”的关系进行研究即可得解.
【解析】【详解】
解：（1）建立以 为原点， 分别为 轴， 轴， 轴的空间直角坐标系，又 ， ,则 ， , , , ,
又 为线段 中点，所以 ,
则 ， ,
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，
则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
即 ，
故直线 与平面 所成角为 .
（2）设点 到平面 的距离为 ，
【答案】（1）2；（2） ；（3）存在，直线方程 ，理由见解析
【解析】（1）利用复数的模的性质即可得解；
（2）利用复数的几何意义即可得解；
（3）设 ， ，由 ，得 ，①设存在直线 ，则直线 一定过原点，故设直线 的方程为 ，②，联立化简即可得解.
【详解】
（1）因为 ，所以 ，
故 ，所以 ，
又 ，
故 ；
【详解】
如图，取 中点 ,连接 ，
因为 为边 的中点， 为边 的中点， ， ，且 ，
上海市位育中学高二上学期开学考试数学试题Word版缺答案
位育中学2018-2019 学年第一学期高二年级开学考数学试题卷一、填空题 .1. 计算:lim n2n22__________.n4n12. 函数f x x2 x 1 的反函数是_________.3. 已知a 3k，3，b6，k若, 则实数k的值为 _________.7 ， a b4. 已知向量e1，2 ,则向量 e 的单位向量为________.5. 幂函数f x x m2 2 m 3 m Z 的图像与坐标轴没有公共点, 且对于y轴对称 , 则m的值为___________.6. 已知函数 f x log 2 x m 的图像不经过第四象限, 则实数m的取值范围是 ________.7. 设lim r 1 n a，则实数 r 的取值范围是 _______.n 3 r8. 已知a1， 2 ，b 1，k ，若 a 与 b 的夹角为锐角,则实数 k 的取值范围是________.9. 若函数y sin 2 x acos2x 的图像对于直线x π对称 , 则 a 的值为 __________. 610.在平行四边形ABCD中,E 和 F 分别是边CD和 BC的中点 ,若AC m AE n AF ，此中m，n R ，则m n_________.11.已知△ ABC是边长为 2 的等比三角形 , 设点 P、Q知足AP AB，AQ1AC ，此中R,若 BQ ?CP 3, 则________. 212.已知数列a n的通项公式为 a n 25 n,数列 b n的通项公式为 b n n k ，设c n b n，a n b n, 若在数列c n中， c5c n对随意 n N *恒建立,则实数 k 的取值范围是a n， a n＞b n___________.二、选择题13. 已知向量a3，4 ,则存在实数 k1、k 2使得 a k1e1k2 e2建立的一组向量e1、e2是A.e0，0 ，e1，2B.e11 3 2 612，，e2，C.e1 1 2 3 1D.e11 ，，，，，e2， 1 e2 1 22π14. 把函数f x cos 2x sin 2x 的图像,这个变化是的图像经过变化可获得函数 g x8A. 向左平移π个单位 B. 向右平移π个单位1616C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位161615. 设s n是无量等差数列a n的前n项和 n N *, 则“lim s n存在”是“该数列公差 d 0”n的A. 充足非必需条件B. 必需非充足条件C. 充要条件D.既非充足又非必需条件16. 已知等比数列a n的前n项和 s n,则以下判断必定正确的选项是A. 若s3＞0，则a2018＞0B.若s3＜0，则a2018＜0C. 若a2＞a1，则a2019＞a2018D.1＞1，则 a2019＜ a2018a2a1三、解答题。
2014-2015学年上海市徐汇区位育中学高二(下)期末数学试卷(解析版)
2014-2015学年上海市徐汇区位育中学高二（下）期末数学试卷一、填空题（每题4分，共56分）1．（4分）设a＜0，则a的平方根是．2．（4分）若（x+1）10＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a10（x﹣1）10，则系数a0＝．3．（4分）在复平面内复数，对应的点分别为M，N，若点P为线段MN的中点，则点P对应的复数是．4．（4分）正四面体ABCD的棱AD与面ABC所成角的大小为．5．（4分）从2、4中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为．6．（4分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，则点D1到直线AE 的距离是．7．（4分）五个数1，2，5，a，b的均值为3，方差为2，则这五个数的中位数是．8．（4分）湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12cm，深2cm的空穴，则该球的体积是cm3．9．（4分）2100被9除的余数为．10．（4分）在某次技能大赛中，有6位参赛者的成绩分别是70，76，72，70，72，90，从这6位参赛者中随机地选x位，其中恰有1位的成绩是72的概率是，则x等于．11．（4分）P是半径为1的球面上任意一点，P A、PB、PC是两两互相垂直的三条弦，则P A2+PB2+PC2＝．12．（4分）对任意一个非零复数z，定义集合M z＝{w|w＝z n，n∈N*}．设α是方程x+＝0的一个根，若在M a中任取两个数，则其和为零的概率P＝．13．（4分）已知球O l、O2的半径分别为l、r，体积分别为V1、V2，表面积分别为S1、S2，当r∈（1，+∞）时，的取值范围是．14．（4分）已知关于x的方程﹣2x2+bx+c＝0，若b、c∈{0，1，2，3，4}，记“该方程有实数根x1、x2且满足﹣1≤x1≤x2≤2”为事件A，则事件A发生的概率为．二、选择题（每题5分，共20分）15．（5分）若z∈C，下列命题中，正确的命题是（）A．|z|＜1⇔﹣1＜z＜1B．z+＝0⇔z是纯虚数C．z2＝|z|2D．z2≥0⇔z是实数16．（5分）若l、m、n为直线，α、β、γ为平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βD．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β17．（5分）n＝5是（n∈N+）的展开式中含有常数项的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件18．（5分）C+++…++等于（）A．+B．（）2C．D．三、解答题（本大题共五题，满分74分）19．（12分）（1）复数z的实部为8，|z|＝10，求z的值；（2）i为虚数单位，z1＝sin2θ+i cosθ，z2＝cosθ+i sinθ，若z1＝z2，求θ的值．20．（14分）（1）两个相交平面M与N，它们的交线为l．在l上有3点，除这3点外在平面M、N上各有5点、4点，则这12点最多能确定多少个平面？（2）某校以单循环制方法进行篮球比赛，其中有两个班级各比赛了3场后，不再参加比赛，这样一共进行了84场比赛，问：开始有多少班级参加比赛？21．（14分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50，60），[60，70）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求出物理成绩低于50分的学生人数；（2）估计这次考试物理学科及格率（60分及以上为及格）（3）从物理成绩不及格的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率．22．（16分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、M分别是棱AB、BC 和DD1所在直线上的动点．（1）求∠EB1F的取值范围；（2）若N为面EB1F内的一点，且∠EBN＝45°，∠FBN＝60°，求∠B1BN的余弦值；（3）若E、F分别是所在正方体棱的中点，试问在棱DD1上能否找到一点M，使BM⊥平面EFB1？若能，试确定点M的位置；若不能，请说明理由．23．（18分）（1）已知二项式（x+2）n展开式中最大的二项式系数为252，求展开式中系数最大的项；（2）记（x+2）n展开式中最大的二项式系数为a n，求证：数列{a n}单调递增；（3）给定不小于3的正整数n，试写出数列{}（k＝0，1，2，…，n）的单调性，并加以证明．2014-2015学年上海市徐汇区位育中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共56分）1．（4分）设a＜0，则a的平方根是．【解答】解：a＜0，当开偶次根式时，被开方数＜0，在复数范围内有意义．∵i2＝﹣1，∴﹣ai2≥0．所以：a＜0时，a的平方根是＝故答案为2．（4分）若（x+1）10＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a10（x﹣1）10，则系数a0＝1024．【解答】解：由（x+1）10＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a10（x﹣1）10，令x＝1，则系数a0＝210＝1024．故答案为：1024．3．（4分）在复平面内复数，对应的点分别为M，N，若点P为线段MN的中点，则点P对应的复数是．【解答】解：∵点P为线段MN的中点，∴点P对应的复数为＝＝，∴点P对应的复数是．故答案为：．4．（4分）正四面体ABCD的棱AD与面ABC所成角的大小为arccos．【解答】解：在正四面体ABCD中，过D作DH⊥平面ABC于点H，高为DH，则H为底面正三角形ABC的外心，则∠DAH＝α，就是AD与平面ABC所成角，在Rt△ADH中，设棱长为a，则AH＝a××＝，∴cosα＝＝＝．α＝arccos．故答案为：arccos．5．（4分）从2、4中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为24．【解答】解：从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，选法种数共有（2，1，3），（2，1，5），（2，3，5），（4，1，3），（4，1，5），（4，3，5）六种，每一种选法可排列组成＝6个无重复数字的三位数，其中奇数的个数有4个，故六种选法组成的无重复数字的三位奇数共有4×6＝24个．故答案为：24．6．（4分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，则点D1到直线AE的距离是．【解答】解：在底面ABCD上，作DF⊥AE于F，连接D1F，因为几何体是正方体，所以DD1⊥平面ABCD，可知DD1⊥AE，又DD1∩DF＝D，可得：AC⊥平面DD1F，所以D1F⊥AE，D1F就是点D1到直线AE的距离．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，AD1＝2，E是棱BC的中点，AE＝，sin∠DAE＝＝，DF＝AD sin∠DAE＝，在△DD1F中，D1F＝＝＝．故答案为：．7．（4分）五个数1，2，5，a，b的均值为3，方差为2，则这五个数的中位数是3．【解答】解：由题意得：，即，解得或，故这5个数是1、2、3、4、5，中位数是：3，故答案为：3．8．（4分）湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12cm，深2cm的空穴，则该球的体积是πcm3．【解答】解：设球的半径为r，依题意可知36+（r﹣2）2＝r2，解得r＝10，∴球的体积为πr3＝πcm3．故答案为：π．9．（4分）2100被9除的余数为7．【解答】解：2100＝（23）33×2＝2（9﹣1）33＝2（+…+﹣1）＝2×9×（932﹣+…﹣×9+）+7﹣9∴2100被9除的余数为7．故答案为：7．10．（4分）在某次技能大赛中，有6位参赛者的成绩分别是70，76，72，70，72，90，从这6位参赛者中随机地选x位，其中恰有1位的成绩是72的概率是，则x等于2或4．【解答】解：在某次技能大赛中，有6位参赛者的成绩分别是70，76，72，70，72，90，从这6位参赛者中随机地选x位，其中恰有1位的成绩是72的概率是，∴，解得x＝2或x＝4．故答案为：2或4．11．（4分）P是半径为1的球面上任意一点，P A、PB、PC是两两互相垂直的三条弦，则P A2+PB2+PC2＝4．【解答】解：自半径为1的球面上一点P引球的两两垂直的弦P A、PB、PC，∴以P A、PB、PC为棱的长方体是球的内接长方体，长方体的对角线是球的直径，∴P A2+PB2+PC2＝4，故答案为：4．12．（4分）对任意一个非零复数z，定义集合M z＝{w|w＝z n，n∈N*}．设α是方程x+＝0的一个根，若在M a中任取两个数，则其和为零的概率P＝．【解答】解：∵z是方程x2+1＝0的根，∴z1＝i或z2＝﹣i．不论z1＝i或z2＝﹣i，Mz＝{i，i2，i3，i4}＝{i，﹣1，﹣i，1}．∴P＝＝．故答案为：．13．（4分）已知球O l、O2的半径分别为l、r，体积分别为V1、V2，表面积分别为S1、S2，当r∈（1，+∞）时，的取值范围是（，+∞）．【解答】解：令＝＝＝＝＝[（r+1）+﹣1]令t＝r+1，由r∈（1，+∞）可得t∈（2，+∞）∵y＝t+在（2，+∞）上单调递增，当t＝2时t+＝故＝[（r+1）+﹣1]＞（﹣1）＝故的取值范围是（，+∞）故答案为：（，+∞）14．（4分）已知关于x的方程﹣2x2+bx+c＝0，若b、c∈{0，1，2，3，4}，记“该方程有实数根x1、x2且满足﹣1≤x1≤x2≤2”为事件A，则事件A发生的概率为．【解答】解：基本事件总数n＝5×5＝25．①当b＝0时，c＝0，2x2＝0成立；c＝1，2x2＝1，成立；c＝2，2x2＝2，成立；c＝3，2x2＝3，不成立；c＝4，2x2＝4，不成立．满足条件的基本事件有3个；②当b＝1时，c＝0，2x2﹣x＝0，成立；c＝1，2x2﹣x＝1，成立；c＝2，2x2﹣x﹣2＝0，成立；c＝3，2x2﹣x﹣3＝0，成立；c＝4，2x2﹣x﹣4＝0，不成立．满足条件的基本事件有4个；③当b＝2时，c＝0，2x2﹣2x＝0，成立；c＝1，2x2﹣2x﹣1＝0，成立；c＝2，2x2﹣2x﹣2＝0，成立；c＝3，2x2﹣2x﹣3＝0，成立；c＝4，2x2﹣2x﹣4＝0，成立．满足条件的基本事件有5个；④当b＝3时，c＝0，2x2﹣3x＝0，成立；c＝1，2x2﹣3x﹣1＝0，成立；c＝2，2x2﹣3x﹣2＝0，成立；c＝3，2x2﹣3x﹣3＝0，不成立；c＝4，2x2﹣3x﹣4＝0，不成立．满足条件的基本事件有3个；⑤当b＝4时，c＝0，2x2﹣4x＝0，成立；c＝1，2x2﹣4x﹣1＝0，不成立；c＝2，2x2﹣4x﹣2＝0，不成立；c＝3，2x2﹣4x﹣3＝0，不成立；c＝4，2x2﹣4x﹣4＝0，不成立．满足条件的基本事件有1个．∴满足条件的基本事件共有：3+4+5+3+1＝16个．∴事件A发生的概率为p＝．故答案为．二、选择题（每题5分，共20分）15．（5分）若z∈C，下列命题中，正确的命题是（）A．|z|＜1⇔﹣1＜z＜1B．z+＝0⇔z是纯虚数C．z2＝|z|2D．z2≥0⇔z是实数【解答】解：|z|＜1⇔﹣1＜z＜1，显然不正确；z+＝0⇔z是纯虚数，也可能是z＝0，所以B不正确；z2＝|z|2左侧是复数，右侧是实数，所以不正确．z2≥0⇔z是实数，正确；故选：D．16．（5分）若l、m、n为直线，α、β、γ为平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βD．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β【解答】解：m∥α，m∥β，则α∥β，或α，β相交，不正确；根据垂直与同一平面的两条直线平行，可知B正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β，或α，β相交，不正确；若α⊥β，l⊂α，则l⊥β或l∥β或l，β相交，不正确，故选：B．17．（5分）n＝5是（n∈N+）的展开式中含有常数项的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：展开式的通项为，当n＝2时，r＝0时为常数项，即推不出n＝5；反之，当n＝5时，＝0得r＝3，即展开式的第4项为常数项．故n＝5是的展开式中含有常数项的充分不必要条件．故选：A．18．（5分）C+++…++等于（）A．+B．（）2C．D．【解答】解：∵（x+1）n（x+1）n＝（x+1）2n，比较等式两边的x n的系数可得：C+++…++＝．故选：C．三、解答题（本大题共五题，满分74分）19．（12分）（1）复数z的实部为8，|z|＝10，求z的值；（2）i为虚数单位，z1＝sin2θ+i cosθ，z2＝cosθ+i sinθ，若z1＝z2，求θ的值．【解答】解：（1）设z＝8+bi，（b∈R），∵|z|＝10，则64+b2＝100，得b＝±6，∴z＝8±6i．（2）由z1＝sin2θ+i cosθ，z2＝cosθ+i sinθ，z1＝z2，∴，∴sin，tanθ＝，解得θ＝2kπ+（k∈Z）．20．（14分）（1）两个相交平面M与N，它们的交线为l．在l上有3点，除这3点外在平面M、N上各有5点、4点，则这12点最多能确定多少个平面？（2）某校以单循环制方法进行篮球比赛，其中有两个班级各比赛了3场后，不再参加比赛，这样一共进行了84场比赛，问：开始有多少班级参加比赛？【解答】解：（1）这12个点中，除l上的三点共线外，其余无三点共线，最多能确定C31C41C51+C42C51+C41C52+2＝132个平面．（6分）（2）设开始有n个班参加比赛，1°若这两个班级之间比赛过1场，则C n﹣22+5＝84，无解，（8分）2°若这两个班级之间没有过比赛，则C n﹣22+6＝84，解得n＝15．答：开始有15个班级参加比赛．（14分）21．（14分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50，60），[60，70）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求出物理成绩低于50分的学生人数；（2）估计这次考试物理学科及格率（60分及以上为及格）（3）从物理成绩不及格的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率．【解答】解：（1）因为各组的频率和等于1，故低于5（0分）的频率为：f1＝1﹣（0.015×2+0.03+0.025+0.005）×10＝0.1（3分）所以低于5（0分）的人数为60×0.1＝6（人）（5分）（2）依题意，成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分）的为第一组，频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）*10＝0.75所以，抽样学生成绩的合格率是75%（（8分）．）于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为75%（9分）．（3）“成绩低于50分”及“[50，60）”的人数分别是6，9．所以从成绩不及格的学生中选两人，他们成绩至少有一个不低于50分的概率为：（14分）22．（16分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、M分别是棱AB、BC和DD1所在直线上的动点．（1）求∠EB1F的取值范围；（2）若N为面EB1F内的一点，且∠EBN＝45°，∠FBN＝60°，求∠B1BN的余弦值；（3）若E、F分别是所在正方体棱的中点，试问在棱DD1上能否找到一点M，使BM⊥平面EFB1？若能，试确定点M的位置；若不能，请说明理由．【解答】（本题满分16分）解：（1）设BE＝x，BF＝y，则B1E＝，B1F＝，EF＝，所以cos∠EB1F＝＝，∠EB1F的取值范围为（0，）（5分）（2）解：设N在BE、BF、BB1，三边上的投影分别是E1、F1、G1，则由于∠EBN＝45°，∠FBN＝60°，∴BE1＝BN cos45°＝BN，B1F＝BN cos60°＝BN．∵BE12+BF12+BG12＝BN2∴BG1＝BN，即∠B1BN＝60°，它的余弦值为（11分）（3）解：设EF与BD的交点为G．连接B1G，则由EF⊥BD以及EF⊥B1B，知EF⊥平面BB1D1D，于是面B1EF⊥面BB1D1D，在面BB1D1D内过B作BK⊥B1G于K，延长后交D1D所在的直线于点M，则BM⊥平面B1EF．在平面BB1D1D内，由△B1BG∽△BDM，知＝，又B1B＝a，BG＝a，BD＝a，∴DM＝．这说明点M在正方体的棱D1D上，且恰好为D1D的中点．（16分）23．（18分）（1）已知二项式（x+2）n展开式中最大的二项式系数为252，求展开式中系数最大的项；（2）记（x+2）n展开式中最大的二项式系数为a n，求证：数列{a n}单调递增；（3）给定不小于3的正整数n，试写出数列{}（k＝0，1，2，…，n）的单调性，并加以证明．【解答】解：（1）∵＝126，＝252，＝462，由第（2）、（3）题的结论可知：n＝10，设（x+2）10展开式中系数最大的项是T r+1＝x10﹣r2r．（r＝0，1，2，…，10），则，（其中r＝1，2，…，9），即，得，（r＝1，2，…，9），∴r＝7，展开式中系数最大的项是T8＝＝15360x3．（2）若n为奇数，则n+1为偶数，a n＝＝，a n+1＝，∴a n+1＝＝+＞a n．若n为偶数，则n+1为奇数，a n＝，a n+1＝＝，∴a n+1＝＝+＞a n，综上可知：数列{a n}单调递增．（3）数列{}（k＝0，1，2，…，n）离首末两端等距离的项相等，且距离越远值越大．证明如下：＝﹣＝（n﹣1﹣2k）．当k＜时，＜；当k＞时，＞，其中k＝0，1，2，…，n﹣1．若n为奇数，＜＜＜…＜＜，＞＞…＞＞，若n为偶数，＜＜＜…＜＜，＞＞…＞＞．。
徐汇区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
徐汇区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． “a ＞b ，c ＞0”是“ac ＞bc ”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2． 定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b=a ；当a ＜b 时，a ⊕b=b 2，则函数f （x ）=（1⊕x ）x ﹣（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]的最大值等于（ ）A ．﹣1B ．1C ．6D ．123． 函数2(44)x y a a a =-+是指数函数，则的值是（ ） A ．4 B ．1或3 C ．3 D ．14． 已知集合{| lg 0}A x x =≤，1={|3}2B x x ≤≤，则A B =（ ） A ．(0,3] B ．(1,2]C ．(1,3]D ．1[,1]2【命题意图】本题考查对数不等式解法和集合的运算等基础知识，意在考查基本运算能力．5． 如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y=x 的图象是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④6． 函数2-21y x x =-，[0,3]x ∈的值域为（ ） A. B. C. D.7． 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 的直线与双曲线的右支交于A B 、两点，若1F AB ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则2e =（ ）A ．1+B ．4-C ．5-D ．3+8． 设定义域为（0，+∞）的单调函数f （x ），对任意的x ∈（0，+∞），都有f[f （x ）﹣lnx]=e+1，若x 0是方程f （x ）﹣f ′（x ）=e 的一个解，则x 0可能存在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（e ﹣1，1） C ．（0，e ﹣1）D ．（1，e ）9． 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交双曲线于Q P ,两点且1PF PQ ⊥，若||||1PF PQ λ=，34125≤≤λ，则双曲线离心率e 的取值范围为（ ）.A. ]210,1(B. ]537,1(C. ]210,537[ D. ),210[+∞ 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）10．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在体积为24316π同一球面上，则PA =（ ）A ．3B ．72C ．D ．92【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．11．双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则m 的值等于（ ）A ．12B ．20C ．D ．12．从5名男生、1名女生中，随机抽取3人，检查他们的英语口语水平，在整个抽样过程中，若这名女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．（若集合A ⊊{2，3，7}，且A 中至多有1个奇数，则这样的集合共有 个．14．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2﹣5x+4=0的两个根，则S 6= ．15．已知i 是虚数单位，且满足i 2=﹣1，a ∈R ，复数z=（a ﹣2i ）（1+i ）在复平面内对应的点为M ，则“a=1”是“点M 在第四象限”的 条件（选填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”）16．某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人.如果在全 校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为19.0，先采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取 100人，则应在高三年级中抽取的人数等于 .17．函数y=1﹣（x∈R）的最大值与最小值的和为2．18．在（1+x）（x2+）6的展开式中，x3的系数是．三、解答题19．已知f（x）=（1+x）m+（1+2x）n（m，n∈N*）的展开式中x的系数为11．（1）求x2的系数取最小值时n的值．（2）当x2的系数取得最小值时，求f（x）展开式中x的奇次幂项的系数之和．20．设点P的坐标为（x﹣3，y﹣2）．（1）在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现在从盒子中随机取出一张卡片，记下标号后把卡片放回盒中，再从盒子中随机取出一张卡片记下标号，记先后两次抽取卡片的标号分别为x、y，求点P在第二象限的概率；（2）若利用计算机随机在区间上先后取两个数分别记为x、y，求点P在第三象限的概率．21．设集合A={x|0＜x﹣m＜3}，B={x|x≤0或x≥3}，分别求满足下列条件的实数m的取值范围．（1）A∩B=∅；（2）A∪B=B．22．（本小题满分14分）设函数2()1cos f x ax bx x =++-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（其中a ，b R ∈）.（1）若0a =，12b =-，求()f x 的单调区间； （2）若0b =，讨论函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上零点的个数.【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值、通过研究函数图象与性质，讨论函数的零点个数，考查考生运算求解能力、转化能力和综合应用能力，是难题.23．（本小题满分12分）如图（1），在三角形PCD 中，AB 为其中位线，且2BD PC =，若沿AB 将三角形PAB 折起，使PAD θ∠=，构成四棱锥P ABCD -，且2PC CDPF CE==. （1）求证：平面 BEF ⊥平面PAB ； （2）当 异面直线BF 与PA 所成的角为3π时，求折起的角度.24．（本小题满分12分）某旅行社组织了100人旅游散团，其年龄均在[10,60]岁间，旅游途中导游发现该旅游散团人人都会使用微信，所有团员的年龄结构按[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分成5组，分A B C D E，其频率分布直方图如下图所示．别记为,,,,（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该旅游散团团员的平均年龄；C D E三组中用分层抽样的方法抽取了6名团员负责全团协调，然后从这6名团员中（Ⅱ）该团导游首先在,,随机选出2名团员为主要协调负责人，求选出的2名团员均来自C组的概率．徐汇区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题1． 【答案】A【解析】解：由“a ＞b ，c ＞0”能推出“ac ＞bc ”，是充分条件，由“ac ＞bc ”推不出“a ＞b ，c ＞0”不是必要条件，例如a=﹣1，c=﹣1，b=1，显然ac ＞bc ，但是a ＜b ，c ＜0， 故选：A ．【点评】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的性质，是一道基础题2． 【答案】C 【解析】解：由题意知当﹣2≤x ≤1时，f （x ）=x ﹣2，当1＜x ≤2时，f （x ）=x 3﹣2，又∵f （x ）=x ﹣2，f （x ）=x 3﹣2在定义域上都为增函数，∴f （x ）的最大值为f （2）=23﹣2=6．故选C ．3． 【答案】C 【解析】考点：指数函数的概念． 4． 【答案】D【解析】由已知得{}=01A x x <?，故A B =1[,1]2，故选D ．5． 【答案】D【解析】解：幂函数y=x 为增函数，且增加的速度比价缓慢，只有④符合． 故选：D ．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质，属于基础题．6． 【答案】A 【解析】试题分析：函数()222112y x x x =--=--在区间[]0,1上递减，在区间[]1,3上递增，所以当x=1时，()()min 12f x f ==-，当x=3时，()()max 32f x f ==，所以值域为[]2,2-。
2018-2019学年上海市徐汇区高二上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市徐汇区高二上学期期末数学试题一、单选题1．“直线l 1、l 2互相垂直”是“直线l 1、l 2的斜率之积等于–1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】直线l 1、l 2互相垂直，可能斜率不存在，不能得到直线l 1、l 2的斜率之积等于–1，不充分；直线l 1、l 2的斜率之积等于–1，则直线l 1、l 2互相垂直，必要性； 故选：B 【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.2．设双曲线22221x y a b-= (a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为方程为( )A ．y ＝B ．y ＝±2xC ．y ＝±2x D ．y ＝±12x【答案】C【解析】由题意知,∴2=c 2-b 2∴渐近线方程为y=±bax=±2x.故选C.3．曲线2260x y x +-=与直线()2y k x =+有公共点的充要条件是（ ）．A ．3,04k ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭B ．40,3k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦C ．30,4k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．33,44k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】根据圆心到直线的距离小于等于半径列式求解即可. 【详解】由题,圆()2239x y -+=半径为3,故圆心()3,0到直线20kx y k -+=距离230231k k dk -+=≤+,即222599k k ≤+,解得3344k -≤≤.故选：D 【点睛】本题主要考查了根据圆与直线的位置关系求解参数范围的问题,属于基础题.4．如图，设在椭圆22154x y +=中，1B 和B 是短轴端点，P 是椭圆上不同于1B 和B 的任一点，直线1,PB PB 分别交x 轴于,M N ，则OM ON ⋅=（ ）．A ．4B ．4.5C ．5D ．5.5【答案】C【解析】设()00,P x y ，根据点p 在椭圆上，有2200154x y +=，然后由点1B 和B 的坐标，写出1002:2PB x y l x y +=+，002:2PB x y l x y -=-，再分别令0y =，得到M x ，N x 求解. 【详解】设()00,P x y ，则2200154x y +=，即()2200454x y =-，所以1002:2PB x y l x y +=+，002:2PB x y l x y -=-， 分别令0y =，得0022M x x y =+，0022N x x y -=-，所以200020002245224x x x OM ON y y y -⋅=⋅==+--. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查椭圆的方程的应用以及直线的交点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题5．若直线l 过点()2,3-，且平行于向量()3,4d =u r，则直线l 的点方向式方程为________．【答案】2334x y -+=【解析】利用平行向量求出直线斜率，可得点斜式方程，化简即可得结果. 【详解】因为直线l 过点()2,3-，且平行于向量()3,4d =u r， 所以直线的斜率43k =， 直线方程为()4323y x +=-， 则直线l 的点方向式方程为2334x y -+=， 故答案为：2334x y -+=. 【点睛】本题主要考查直线的点方向式方程，正确理解点方向式方程的定义是解题的关键. 6．抛物线24y x =的焦点坐标是______． 【答案】(1,0)【解析】抛物线24y x =的焦点在x 轴上，且2,12pp =∴=，所以抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，故答案为()1,0. 7．已知直线的倾斜角的余弦值是12，则此直线的斜率是________．【解析】先求出倾斜角的正弦，再求出其余弦，可得倾斜角的正切值，则直线的斜率可求. 【详解】设直线的倾斜角为α, 因为直线的倾斜角的余弦值是12所以1cos 2α=, sin α∴==,此直线的斜率2tan 12k α===.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查了同角三角函数的关系，属于基础题.8．双曲线2213x y -=的两条渐近线的夹角为______.【答案】60o【解析】根据双曲线的方程，求得其渐近线的方程，利用斜率与倾斜角的关系，以及双曲线的对称性，即可求解. 【详解】由题意，双曲线2213x y -=，可得两条渐近线方程为y x =，设直线y =的倾斜角为α，则tan [0,180)αα=∈o o ，解得30α=o ， 根据双曲线的对称性，可得两见解析的夹角为260α=o . 故答案为：60o . 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，同时考查了直线的斜率与倾斜角的关系的应用，属于基础题.9．点()1,1P -到直线10x y -+=的距离是__________．【解析】点()1,1P -到直线10x y -+=2=10．方程2244kx y k +=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________． 【答案】()0,4【解析】将方程化为标准形式，结合椭圆的几何性质求解即可. 【详解】0k =时不合题意，0k ≠时，由2244kx y k +=可得2214x y k+=，因为方程2244kx y k +=表示焦点在x 轴上的椭圆，所以04k <<， 故答案为：()0,4. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题.11．若圆22240x y x y ++-=被直线30x y a ++=平分，则a 的值为__________． 【答案】1a =；【解析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程求解即可． 【详解】解：22240x y x y ++-=Q ()()22125x y ∴++-=22240x y x y ∴++-=的圆心(1,2)-．圆22240x y x y ++-=被直线30x y a ++=平分，可知直线经过圆的圆心，可得320a -++= 解得1a =； 故答案为：1． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题．12．抛物线的焦点为椭圆22154x y +=的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为________ 【答案】24y x =【解析】由椭圆方程可求得右焦点坐标，从而得到12p=，求得p 后即可得到抛物线方程. 【详解】由椭圆方程知，椭圆右焦点为()1,0 设抛物线方程为：22y px =，则12p= 2p ∴= ∴抛物线方程为：24y x = 故答案为：24y x = 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，关键是能够根据椭圆标准方程求得焦点坐标，属于基础题. 13．已知圆与抛物线的准线相切，则__________．【答案】2【解析】试题分析：，圆心为，半径为4，抛物线准线为，由圆与直线相切可知【考点】直线和抛物线的性质14．设1F 、2F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足122F PF π∠=，则12F PF △的面积等于________． 【答案】1【解析】利用椭圆的定义与勾股定理可得122PF PF ⋅=，再由三角形面积公式可得结果. 【详解】因为1F 、2F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足122F PF π∠=，所以122221224412PF PF a PF PF c +==⎧⎨+==⎩ ()()222121212216124PF PF PF PF PF PF ⇒⋅=+-+=-=，所以122PF PF ⋅=， 则12F PF △的面积等于12112PF PF ⋅=， 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质，意在考查学生灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.15．已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．【答案】221412x y -=【解析】本小题主要考查圆、双曲线的性质．圆22:6480C x y x y +--+=20680y x x =⇒-+=，得圆C 与坐标轴的交点分别为(20)，，(40)，， 则22,4,12a c b ===，所以双曲线的标准方程为221412x y -=．16．若实数,,a b c 成等差数列，点()1,0P -在动直线:0l ax by c ++=上的射影为M ，点()0,3N ，则线段MN 长度的最小值是________．【答案】4【解析】由,,a b c 成等差数列得直线:0l ax by c ++=过定点()1,2Q -，然后可知M 在以PQ 为直径的圆上，由图形可知min MN CN r =-，求出,CN r 即可得到结果. 【详解】解：由a 、b 、c 成等差数列可得20a b c -+=，∴直线:0l ax by c ++=过定点()1,2Q -，由点()1,0P -在直线l 的射影为M 得，90PMQ ∠=︒ ，则M 的轨迹是以PQ 为直径的圆，易得，圆心()0,1C -，r PC ==min 4M N CN r =-=-故答案为: 4.【点睛】本题考查直线和圆中的最值类问题，考查了等差中项的性质，考查了直线过定点问题.关键在于能够确定所求最小值即为CN 两点间距离减去半径.三、解答题17．求经过直线1:2350l x y +-=，2:0l x y -=的交点且平行于直线20x y +=的直线方程．【答案】230x y +-=【解析】先由2350x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得交点坐标，再根据平行于直线20x y +=，得到斜率，写出直线的方程. 【详解】由23500x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，所以交点坐标为()1,1， 又因为平行于直线20x y +=， 所以2k =-，所求直线的方程为()121y x -=--， 即230x y +-=． 【点睛】本题主要考查两直线的位置关系及其应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 18．已知方程22224230x y mx y m m ++++-=表示一个圆． （1）求实数m 的取值范围； （2）求半径R 的最大值．【答案】（1）()1,4-；（2）52． 【解析】(1)将圆的化成化简成标准方程,再根据方程右边大于0计算即可. (2)化简可得2234R m m =-++,再利用二次函数的最值求解即可. 【详解】（1）()()222234014x m y m m m +++=-++>⇒-<<,即实数m 的取值范围是()1,4-；（2）2223252534244R m m m ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭≤,当且仅当32m =时,半径R 取得最大值52． 【点睛】本题主要考查了圆的一般方程化为标准方程的方法,同时也考查了二次函数最值的问题.属于基础题.19．已知动点(),A x y 到点()2,0F 和直线2x =-的距离相等. （1）求动点A 的轨迹方程；（2）记点()2,0K -，若AK =，求AFK △的面积．【答案】（1）28y x =（2）8S =【解析】（1）由动点(,)A x y 到点(2,0)F 和直线2x =-的距离相等，知动点A 的轨迹为抛物线，由此能求出动点A 的轨迹方程．（2）过A 作AB l ⊥，垂足为B ，根据抛物线定义，得||||AB AF =，由|||AK AF =，知AFK ∆是等腰直角三角形，由此能求出AFK ∆的面积． 【详解】解：（1）Q 动点(,)A x y 到点(2,0)F 和直线2x =-的距离相等，∴动点A 的轨迹为抛物线，其焦点为(2,0)F ，准线为2x =-，设方程为22y px =，其中22p=，即4p =， 所以动点A 的轨迹方程为28y x =； （2）过A 作AB l ⊥，垂足为B ，根据抛物线定义，得||||AB AF =，由于||2||AK AF =，所以AFK ∆是等腰直角三角形， 其中||4KF =，所以14482AFK S ∆=⨯⨯=．【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查三角形的面积的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用，属于中档题．20．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为2218844x y +=，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、()0,8M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为()8,0D ．观测点()4,0A -实时跟踪航天器．（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程（只需求出曲线方程即可，不必求范围）；（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A 测得离航天器的距离为多少时，应向航天器发出变轨指令？ 【答案】（1）2188y x =-+；（2）10 【解析】（1）先设出抛物线的方程，结合所经过的点列出方程，然后解方程得到参数的值；（2）先求解变轨时点的坐标，然后利用两点间的距离公式求出AC 即可. 【详解】（1）设曲线方程为28y ax =+，由题意可知，0648a =⋅+，∴18a =-， ∴曲线方程为2188y x =-+； （2）设变轨点为(),C x y ，根据题意可知22218844188x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得24120y y --=，解得6y =或2y =-（不合题意，舍去），∴6y =，得4x =或4x =-（不合题意，舍去）， ∴C 点的坐标为()4,6，10AC =，答：当观测点A 测得离航天器的距离为10时，应向航天器发出变轨指令． 【点睛】本题主要考查圆锥曲线在实际生活中的应用，理解模型，求解模型是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养，属中档题. 21．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-. (Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（I ）2234(1)x y x +=≠±（II ）存在点P 使得PAB ∆与PMN ∆的面积相等，此时点P的坐标为5(,3. 【解析】【详解】试题分析：（1）利用直接法设()(),1P x y x ≠±，利用直线AP 与BP 的斜率之积等于13-，得到关于,x y 的方程，求得其轨迹方程；（2）根据题意设P ()00,x y ，点,M N 的坐标分别为()()3,,3,M N y y 三个点的坐标，再利用三角形的面积公式和点到直线的距离公式，求得PAB S ∆和PMN S ∆的面积，利用PAB S ∆PMN S ∆=，进而得到关于0x 的方程，求得点P的坐标为5,3⎛ ⎝⎭．试题解析：（1）点P 的轨迹方程为()22341x y x +=≠±； 5分（2）设点P 的坐标为()00,x y ，点,M N 的坐标分别为()()3,,3,M N y y ， 则直线AP 的方程为()001111y y x x --=++， 直线BP 的方程为()001111y y x x ++=--． 令3x =，得0000004323,11M N y x y x y y x x +--+==+-，于是PMN V 的面积()()200002031321PMNM N x y x S y y x x +-=--=-V ， 8分 直线AB 的方程为0x y +=，AB =， 点P 到直线AB的距离d =于是PAB △的面积PAB S V 0012AB d x y =⋅=+， 10分 当PAB S V PMN S =V 时，得()2000002031x y x x y x +-+=-，又000x y +≠，所以()220031x x -=-，解得053x =， 因为220034x y +=，所以0y =， 故存在点P 使得PAB △与PMN V 的面积相等，此时点P的坐标为5,39⎛± ⎝⎭． 12分 【考点】1．动点的轨迹方程；2．点到直线的距离公式和三角形的面积公式．。
徐汇区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
3． 【答案】B 【解析】 试题分析 ： 由于 cos8.5 cos 8.5 2 ，因为
2
8.5 2 ，所以 cos8.5 0 ，又 sin 3 sin 3 sin1.5 ，∴
cos8.5 sin 3 sin1.5 ．
考点：实数的大小比较. 4． 【答案】C
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徐汇区高中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
考 点：函数的奇偶性与单调性． 【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所 以定义域关于原点对称，图象关于 y 轴对称，单调性在 y 轴两侧相反，即在 x 0 时单调递增，当 x 0 时， 函数单调递减.结合 f (5) 0 和对称性，可知 f ( 5) 0 ，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的 解集.1 2． 【答案】B 【 解 析 】
12．【答案】C 【解析】解：∵z= ∴ = 故选：C． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题． ． = ，
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二、填空题
13．【答案】5 【解析】 试题分析： f ( x) 3 x 2ax 3, f ( 3) 0, a 5 ．
' 2 '
考点：导数与极值． 14．【答案】 0.6 ． 【解析】解：随机变量 ξ 服从正态分布 N（2，σ2）， ∴曲线关于 x=2 对称， ∴P（ξ＞0）=P（ξ＜4）=1﹣P（ξ＞4）=0.6， 故答案为：0.6． 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题． 15．【答案】 ≤a＜1 或 a≥2 ．
徐汇区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案
log a 1 x , x ,1 且 f x 在 ,1 上单调递增，易得 log a x 1 , x 1,
二、填空题
13．【答案】 （﹣ 【解析】解：∵ 则：AD：BD=1：5 即 D 分有向线段 AB 所成的比为 ， ， ） ． ，
徐汇区第一高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含答案 班级__________ 一、选择题
1． 设函数 f ( x) log a | x 1| 在 ( ,1) 上单调递增，则 f ( a 2) 与 f (3) 的大小关系是（ A． f ( a 2) f (3) A． A Ø B B． A B B
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2 3 ． （本小题满分 12 分） 成都市某中学计划举办“国学”经典知识讲座.由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从 某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试 成绩（百分制）的茎叶图如图所示. （1）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩； （2） 若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学， 求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.（注 ： 成绩大于等于75分为优良）
，则
A0 或 B0 或 3 C1 或 D1 或 3
8． 已知 x，y 满足约束条件 A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1 ） D．∅={0} ） D．（e﹣2，+∞） ，使 z=ax+y 取得最小值的最优解有无数个，则 a 的值为（ ）
2018-2019学年上海市徐汇区位育中学高二上学期开学考试数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市徐汇区位育中学高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知向量(3,4)a =-，则下列能使12(R)a e e λμλμ=+∈、成立的一组向量12,e e 是（ ）．A.12(0,0)(1,2)e e ==-，B.12(1,3)(2,6)e e =-=-，C.12(1,2)(3,1)e e =-=-，D.121(,1)(1,2)2e e =-=-，【答案】C【解析】【详解】试题分析：对于A ：由于与(3,4)a =-不是平行向量，所以一定不成立； 对于B ：由得到无解，所以不成立； 对于C ：由得到解得，所以成立；对于D,12122e e e e =∴，，共线，又与(3,4)a =-不是共线向量,故不成立 故选C ．【考点】向量的相等． 2．把函数()3cos 28f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像经过变化可得到函数()sin 2g x x =的图像，这个变化是（ ） A.向左平移16π个单位 B.向右平移16π个单位 C.向左平移316π个单位 D.向右平移316π个单位【答案】B【解析】先利用诱导公式将函数()sin 2g x x =转化为余弦型的函数，再根据图像变换的知识判断出正确选项. 【详解】依题意()πsin 2cos 22g x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由π3ππ28216⎛⎫--- ⎪⎝⎭=-，故()3cos 28f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向右平移16π个单位得到π3ππcos 2cos 21682x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.3．设n S 是无穷等差数列{}n a 的前n 项和（*N n ∈），则“lim n n S →∞存在”是 “该数列公差0d =”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】若n S 是无穷等差数列{}n a 的前n 项和（*N n ∈），若“lim n n S →∞存在”，则必有0n S =恒成立，即0,0n a d ==，充分性成立，若0d =，则{}n a 是常数数列，例如2n a =时，“lim n n S →∞不存在”，即必要性不成立，所以“lim n n S →∞存在”是“该数列公差0d =”的充分非必要条件，故选A.4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列判断一定正确是（ ） A ．若30S >，则20180a > B ．若30S <，则20180a < C ．若21a a >，则20192018a a > D ．若2111a a >，则20192018a a < 【答案】D【解析】利用排除法：考查等比数列：11a =，22a =-，34a =，()1,2n n a -=-，满足30S >，但是20180a <，选项A 错误； 考查等比数列：14a =-，22a =，31a =-，()31,12n nn a -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，满足30S <，但是20180a >，选项B 错误；该数列满足21a a >，但是201920180a a <<，选项C 错误； 本题选择D 选项.二、填空题5．计算：222lim 41n n n n →∞-=+______.【答案】12-【解析】先将22241n n n -+分离常数，然后按照极限的求法，计算出所求的极限. 【详解】依题意，2221212lim lim 41241n n n n n n n →∞→∞⎛⎫+ ⎪-=-+ ⎪++ ⎪⎝⎭2211112lim 1224n n n n →∞⎛⎫+ ⎪=-+=- ⎪ ⎪+⎝⎭.故填：12-.【点睛】本小题主要考查极限的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 6．函数()()21f x x x =≤-的反函数是______.【答案】())11fx x -=≥【解析】根据反函数的求法，求得原函数的反函数的解析式并求出定义域. 【详解】 令()21,1y xx y =≤-≥，解得)1x y =≥，交换,x y的位置得)1y x =≥，所以函数()()21f x x x =≤-的反函数是())11f x x -=≥.故填：())11fx x -=≥.【点睛】本小题主要考查反函数的求法，属于基础题.7．已知()3,3a k =，()6,7b k =--，若a b ⊥，则实数k 的值为______. 【答案】75-【解析】根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得k 的值. 【详解】由于a b ⊥，所以()63370k k -⋅+⋅-=，解得75k =-. 故填：75-. 【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的坐标表示，属于基础题. 8．已知向量()1,2e =，则与向量e 平行的单位向量为______.【答案】05e⎛=⎝⎭，或0e ⎛=- ⎝⎭【解析】与向量a 平行的单位向量为a a±，由此求得与向量e 平行的单位向量.【详解】依题意可知与向量e平行的单位向量为21,21,21e e±=±==±+⎝⎭. 故填：05e ⎛= ⎝⎭，或0e ⎛=- ⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查与向量平行的单位向量的求法，属于基础题. 9．幂函数()()223m m f x xm --=∈Z 的图像与坐标轴没有公共点，且关于y 轴对称，则m 的值为______.【答案】1,1,3-【解析】首先根据幂函数()f x 图像与坐标轴没有公共点列不等式，结合函数()f x 关于y 轴对称，求得m 的取值范围. 【详解】由于幂函数()()223mm f x x m --=∈Z 的图像与坐标轴没有公共点，所以{}2230131,0,1,2,3m m m m --≤⇒-≤≤⇒∈-，又因为函数为偶函数，故分别代入检验可知：1,1,3m =-满足； 故填： 1,1,3- 【点睛】本小题主要考查幂函数的图像与性质，考查幂函数的奇偶性，属于基础题. 10．已知函数()()2log f x x m =-的图像不经过第四象限，则实数m 的取值范围是______.【答案】1m ≤-【解析】根据函数()()2log f x x m =-的图像不经过第四象限得到()00f ≥，解不等式求得m 的取值范围. 【详解】由于函数()()2log f x x m =-的图像不经过第四象限，所以()00f ≥，即()22log 0log 1m -≥=，所以1,1m m -≥≤-.故填：1m ≤-. 【点睛】本小题主要考查对数型函数的图像与性质，考查对数不等式的解法，属于基础题.11．设1lim 3nn r a r →∞-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则实数r 的取值范围是______. 【答案】2r ≤【解析】根据指数幂有极限的条件列不等式，解不等式求得r 的取值范围. 【详解】由于1lim 3n n r a r →∞-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，即极限存在，故113r r -≤-，即1113r r --≤≤-，113113r r r r -⎧≥-⎪⎪-⎨-⎪≤⎪-⎩，2032403rr r ⎧≥⎪⎪-⎨-⎪≤⎪-⎩，解得2r ≤. 故填：2r ≤. 【点睛】本小题主要考查指数幂有极限的条件，考查绝对值不等式的解法，考查分式不等式的解法，属于中档题.12．已知()1,2a =-r，()1,b k =，若a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是______.【答案】()1,22,2k ⎛⎫∈-∞-- ⎪⎝⎭【解析】根据两个向量的夹角为锐角，结合向量数量积的坐标运算列不等式组，解不等式组求得k 的取值范围. 【详解】设a 与b 的夹角为θ，由于向量a 与b 的夹角为锐角，故cos 0θ>，且向量a 与b 不同向，即0θ≠.所以cos 0121k θ⎧=>⎪⎨⎪⋅≠-⋅⎩，122k k ⎧<⎪⎨⎪≠-⎩，所以()1,22,2k ⎛⎫∈-∞-- ⎪⎝⎭.故填：()1,22,2k ⎛⎫∈-∞-- ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查向量数量积的坐标运算，考查不等式组的解法，属于基础题. 13．若函数()sin 2cos2f x x a x =+，x ∈R 的图像关于6x π=-对称，则a =________．【答案】3-【解析】特殊值法：由()f x 的对称轴是6x π=-，所以()30f f π⎛⎫=-⎪⎝⎭即可算出a 【详解】由题意得()f x 是三角函数 所以()sin 0cos0sin 2cos 23303f f a a a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⇒+=⨯-+⨯-⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，需要记忆三角函数的基本性质：单调性、对称轴、周期、定义域、最值、对称中心等。
上海市徐汇区2018-2019学年高二上学期期末数学试题
10．设 、 是椭圆 的两个焦点，点 在椭圆上，且满足 ，则 的面积等于________．
11．已知圆 ．以圆 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为．
12．若实数 成等差数列，点 在动直线 上的射影为 ，点 ，则线段 长度的最小值是________．
先由 ，解得交点坐标，再根据平行于直线 ，得到斜率，写出直线的方程.
【详解】
由 ，解得 ，
所以交点坐标为 ，
又因为平行于直线 ，
所以 ，
所求直线的方程为 ，
即 ．
【点睛】
本题主要考查两直线的位置关系及其应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
18．（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
(1)将圆的化成化简成标准方程,再根据方程右边大于0计算即可.
(2)化简可得 ,再利用二次函数的最值求解即可.
【详解】
（1） ,即实数 的取值范围是 ；
（2） ,当且仅当 时,半径 取得最大值 ．
【点睛】
本题主要考查了圆的一般方程化为标准方程的方法,同时也考查了二次函数最值的问题.属于基础题.
19．（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由动点 到点 和直线 的距离相等，知动点 的轨迹为抛物线，由此能求出动点 的轨迹方程．
21．（I） （II）存在点 使得 与 的面积相等，此时点 的坐标为 .
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（1）利用直接法设 ，利用直线 与 的斜率之积等于 ，得到关于 的方程，求得其轨迹方程；（2）根据题意设 ，点 的坐标分别为 三个点的坐标，再利用三角形的面积公式和点到直线的距离公式，求得 和 的面积，利用 ，进而得到关于 的方程，求得点 的坐标为 ．
徐汇区第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
徐汇区第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 定义在[1，+∞）上的函数f （x ）满足：①当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|；②f （2x ）=cf （x ）（c 为正常数），若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（ ）A ．1B ．±2C ．或3D ．1或22． 已知直线x+ay ﹣1=0是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ ）A ．2B ．6C ．4D ．23． 袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．恰有一个白球；一个白球一个黑球D ．至少有一个白球；红、黑球各一个4． 数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（ ）A ．B ．C ．D ．5． 12,e e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，123CD e e =-，若,,A B D 三点共线，则的值是（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-2 6． 如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ） A ． B ． C ．D ．7． “p q ∨为真”是“p ⌝为假”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要8． 若椭圆和圆为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9．实数x，y满足不等式组，则下列点中不能使u=2x+y取得最大值的是（）A．（1，1） B．（0，3） C．（，2） D．（，0）10．某程序框图如图所示，则输出的S的值为（）A．11 B．19 C．26 D．5711．下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m的可能取值集合为（）A． B． C． D．12．A={x|x＜1}，B={x|x＜﹣2或x＞0}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣2，0）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）二、填空题13．抛物线y2=4x的焦点为F，过F且倾斜角等于的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A，则AF的长为．14．已知点F是抛物线y2=4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，M，N，F三点不共线，则△MNF 的重心到准线距离为．15．袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为．16．定义在R 上的函数)(x f 满足：1)(')(>+x f x f ，4)0(=f ，则不等式3)(+>x x e x f e （其 中为自然对数的底数）的解集为 .17．“黑白配”游戏，是小朋友最普及的一种游戏，很多时候被当成决定优先权的一种方式．它需要参与游戏的人（三人或三人以上）同时出示手势，以手心（白）、手背（黑）来决定胜负，当其中一个人出示的手势与其它人都不一样时，则这个人胜出，其他情况，则不分胜负．现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏．设甲乙丙三人每次都随机出“手心（白）、手背（黑）”中的某一个手势，则一次游戏中甲胜出的概率是 ．18．圆柱形玻璃杯高8cm ，杯口周长为12cm ，内壁距杯口2cm 的点A 处有一点蜜糖．A 点正对面的外壁（不是A 点的外壁）距杯底2cm 的点B 处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少 cm ．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）三、解答题19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．已知A ，B 的横坐标分别为，．（1）求tan （α+β）的值； （2）求2α+β的值．20．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点．（Ⅰ）证明：AG⊥平面ABCD；（Ⅱ）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为，求AG的长．21．在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（0，4）；B（﹣3，0），C（1，1）（1）求点C到直线AB的距离；（2）求AB边的高所在直线的方程．22．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．23．已知和均为给定的大于1的自然数，设集合，，，...，，集合..。
徐汇区高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学测试卷
徐汇区高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．已知向量，，其中．则“”是“”成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（）A．B．C．D．3．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y=x2C．y=﹣x|x| D．y=x﹣24．i是虚数单位，i2015等于（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i5．函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜06．已知f（x）=m•2x+x2+nx，若{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}≠∅，则m+n的取值范围为（）A．（0，4） B．[0，4）C．（0，5] D．[0，5]x-=表示的曲线是（）7．方程1A．一个圆B．两个半圆C．两个圆D．半圆8． 函数f （x ）=tan （2x+），则（ ）A ．函数最小正周期为π，且在（﹣，）是增函数B ．函数最小正周期为，且在（﹣，）是减函数C ．函数最小正周期为π，且在（，）是减函数D ．函数最小正周期为，且在（，）是增函数9． 在等差数列{a n }中，3（a 3+a 5）+2（a 7+a 10+a 13）=24，则此数列前13项的和是（ ）A ．13B ．26C ．52D ．5610．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的的值等于126，则判断框中的①可以是（ ）A ．i ＞4？B ．i ＞5？C ．i ＞6？D ．i ＞7？11．记,那么ABC D12．如图，已知平面=，．是直线上的两点，是平面内的两点，且，，，．是平面上的一动点，且有，则四棱锥体积的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B ，若|AF|=3|BF|，则l 的斜率是 ． 14．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，则函数y=ax 2﹣2bx+1在（﹣∞，2]上为减函数的概率是 ．15．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】函数()21ln 2f x x x =-的单调递减区间为__________. 16．利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a 和b ，在a+b 为偶数的条件下，|a ﹣b|＞2发生的概率是 ． 17．在中，角、、所对应的边分别为、、，若，则_________18．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．三、解答题19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 由圆弧C 1和圆弧C 2相接而成，两相接点M ，N 均在直线x=5上，圆弧C 1的圆心是坐标原点O ，半径为13；圆弧C 2过点A （29，0）．（1）求圆弧C 2的方程；（2）曲线C 上是否存在点P ，满足？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．20．已知函数f （x ）=2|x ﹣2|+ax （x ∈R ）． （1）当a=1时，求f （x ）的最小值；（2）当f （x ）有最小值时，求a 的取值范围；（3）若函数h （x ）=f （sinx ）﹣2存在零点，求a 的取值范围．21．在平面直角坐标系xOy 中，过点(2,0)C 的直线与抛物线24y x 相交于点A 、B 两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．（1）求证：12y y 为定值；（2）是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程 和弦长，如果不存在，说明理由．22．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，.若,f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为A[]B[]C[]D[]23．已知等差数列{a n}中，a1=1，且a2+2，a3，a4﹣2成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和S n．24．斜率为2的直线l经过抛物线的y2=8x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．徐汇区高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】若，则成立；反过来，若，则或所以“”是“”成立的充分而不必要条件。
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上海市徐汇区位育中学2018-2019学年高二上学期
开学考试数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、填空题
1. 计算：______.
2. 函数的反函数是______.
3. 已知，，若，则实数的值为______.
4. 已知向量，则与向量平行的单位向量为______.
5. 幂函数的图像与坐标轴没有公共点，且关于轴对称，则的值为______.
6. 已知函数的图像不经过第四象限，则实数的取值范围是______.
7. 设，则实数的取值范围是______.
8. 已知，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______.
9. 若函数，的图像关于对称，则
________．
10. 在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，且
，其中,则__________.
11. 已知△ABC为等边三角形,,设点P,Q满足,
,,若,则______________________
12. 已知数列的通项公式为，数列的通项公式为
，
设，若在数列中，对任意恒成立，则实数的取值范围是_____;
二、单选题
13. 已知向量,则下列能使成立的一组向量
是( )
A．B．
C．D．
14. 把函数的图像经过变化可得到函数的图像，这个变化是（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
15. 设是无穷等差数列的前项和（），则“存在”是“该数列公差”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
16. 已知等比数列的前项和为，则下列判断一定正确是（）A．若，则B．若，则
C．若，则
D．若，则
三、解答题
17. 在中，设，，、分别是、上的点，且
，，设与相交于点，试用向量、表示
.
18. 已知函数，
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求满足且的的集合.
19. 已知数列的前项和为，且.
（1）设数列满足，证明：数列是等比数列；（2）求为多少时，取得最小值？
20. 已知函数，.
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）设函数，若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围.
21. 设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”.
（1）若数列的前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；
（2）设数列是公比为的等比数列，若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.。