辽宁省实验中学分校2019-2020学年高一12月月考数学试题_word版有答案

辽宁省实验中学北校2019-2020上

12月测试

'1

=()3V h S S +台

2

=4S R π球 34

=3

V R π球 一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．

是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1.．下列结论中，不正确的是( )

A ．平面上一定存在直线

B ．平面上一定存在曲线

C ．曲面上一定不存在直线

D ．曲面上一定存在曲线

2.有下列三种说法

①侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱 ②底面是正多边形的棱柱是正棱柱 ③棱柱的侧面都是平行四边形．其中正确说法的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

3.已知水平放置的正ABC ?的边长为a ,则△ABC 的平面直观图△'''A B C 的面积为( )

222 2

4.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ） A.

283π B.163π C.4

83

π+ D.12π

(第4题) (第5题)

5.如图，在空间四边形()

,,C,D ABCD A B 不共面中，一个平面与边,,,AB BC CD DA 分别交于,,,E F G H （不含端点），则下列结论错误的是（ ）

A ．若::AE BE CF BF =，则//AC 平面EFGH

B ．若,,,E F G H 分别为各边中点，则四边形EFGH 为平行四边形

C ．若,,,E F G H 分别为各边中点且AC B

D =，则四边形EFGH 为矩形 D ．若,,,

E

F

G

H 分别为各边中点且AC BD ⊥，则四边形EFGH 为矩形 6.下列命题，正确的是( )

A ．不共面的四点中，其中任意三点不共线

B ．若点A 、B 、

C 、

D 共面，点A 、B 、C 、

E 共面，则A 、B 、C 、D 、E 共面 C ．若直线,a b 共面，直线,a c 共面，则直线,b c 共面 D ．依次首尾相接的四条线段必共面

7.已知直线,a b 和平面,αβ,给出以下命题，其中真命题为( )

A ．若//,//a βαβ,则//a α

B ．若//,,a αβα?则//a β

C ．若//,,a b αβαβ??，则//a b

D ．若//,//,//a b βααβ，则//a b 8.下面给出四个命题：

①若平面α∥平面β，,AB CD 是夹在α，β间的线段，若//,AB CD 则AB CD =；②若,a b 异面直线，,b c 是异面直线，则,a c 一定是异面直线；③过空间任一点，可以做无数条直线和已知平面α平行；④平面α∥平面β，,//,P PQ αβ∈则PQ α? 其中正确的命题是( )

A ．①②

B ．①②③

C ．①②④

D ．①④ 9.已知两直线,m n ，两平面,αβ，且,m n αβ⊥?，下面有四个命题： ①若//,αβ则m n ⊥；②若m n ⊥，则//αβ；③若//m n ，则有αβ⊥； ④若αβ⊥，则有//m n . 其中正确命题的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

(第10题) (第11题)

10.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E G ，F ，分别为棱1111AA BB A B ，，的中点，则点G 到平面1EFD 的距离为（ ）

1

2

11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A.π36 B.π8 C.π29 D.π8

27

12.三棱锥的棱长均为 ）

A ．36π

B ．72π C. 144π D ．288π

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中的横线上). 13. 将斜边长为4的等腰直角三角形绕其一边所在直线旋转一周，形成的几何体体积是 14. 在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点A 到平面1A BD 的距离为 _________

15. 如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为 ．

(第15题) (第16题)

16. 如图所示，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1,,E F 分别是棱'AA ，'CC 的中点，过直线,E F 的平面分别与棱'BB 、'DD 交于,M N ，设[]x,x 0,1BM =∈,给出以下四个命题： （1）''MENF BDD B ⊥平面平面； （2）当且仅当1

2

x =

时，四边形MENF 的面积最小； （3）四边形MENF 周长()[],0,1,L f x x =∈则12y f x ??

=+ ??

?

是偶函数； （4）四棱锥'C MENF -的体积()V h x =为常函数； 以上命题中真命题的序号为_____________

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17．（本小题满分10分）

正四棱台1AC 的高是8cm ，两底面的边长分别为4cm 和16cm ，求这个棱台的侧棱的长、斜高、表面积、体积

18．（本小题满分12分）

如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。

求证：（1）PA ∥平面BDE ；

(2)平面PAC ⊥平面BDE.19．（本小题满分12分）

如图,正三棱锥P ABC -,已知2,3AB PA ==

(1)求此三棱锥体积

(2)若M 是侧面PBC 上一点,试在面PBC 上过点M 画一条与棱PA 垂直的线段,并说明理由.

20．（本小题满分12分）

如图，长方体1111D C B A ABCD -中，1==AD AB ，21=AA ，点P 为1DD 的中点。 （1）求证：直线1BD ∥平面PAC ；

（2）求证：平面PAC ⊥平面1BDD ； （3）求证：直线1PB ⊥平面PAC .

21．（本小题满分12分）

如图，'''ABC A B C -是正三棱柱，底面边长为,a ,D E 分别是','BB CC 上

的一点，1

,2

BD a EC a =

= (1)求证：平面ADE ⊥平面''ACC A ； (2)求截面△ADE 的面积

22．（本小题满分12分）

如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图．在直观图中，M 是BD 的中点.

P

D 1

C 1

B 1

A 1

D C

B

A

侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示

（1）求出该几何体的体积；

（2）求证：EM∥平面ABC；

（３）试问在棱DC上是否存在点N，使NM⊥平面BDE？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由.

侧视图

18题图俯视图

辽宁省实验中学北校2019-2020上12月测试答案 CCDAC ABDCD BC

13.163π

14.3

16.(1)(2)(3)(4)

17.解：如图：连结两底面中心o 1

、o ，并连结11O A 和AO ，

过E E AO E A 11，过于作⊥A 作AB EF ⊥于F ，则E A 1为高，

F A 1为斜高，8,61===E A AF EF

在EF A Rt 1?中,1086222211=+=+=EF E A F A cm, 在AF A Rt 1?中，342610222211=+=+=

AF F A A A cm, ∴()6722561610444162

1S S S S ＝＋＋＝＋＝下上侧表????+cm 2

()

896256256161683

1

V 1111D C B A -ABCD =+?+??=

cm 3 ∴棱台的侧棱长为342cm,斜高为10 cm,表面积为672 cm 2,体积为896 cm 3

18.证明（１）∵O 是AC 的中点，E 是PC 的中点，∴OE ∥AP ，

又∵OE ?平面BDE ，PA ?平面BDE ，∴PA ∥平面BDE （2）∵PO ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥BD ，又∵AC ⊥BD ，且AC PO=O

∴BD ⊥平面PAC ，而BD ?平面BDE ，∴平面PAC ⊥平面BDE 。

19.

(1)V =

(2)过M 作线段EF 平行于BC,则EF 为所求.理由:验证A P B C

⊥

20. 证明:（1）设AC 和BD 交于点O ，连PO ，

由P ，O 分别是1DD ，BD 的中点，故PO//1BD ， 所以直线1BD ∥平面PAC

（2）长方体1111D C B A ABCD -中，1==AD AB ，

底面ABCD 是正方形，则AC ⊥BD 又1DD ⊥面ABCD ，则1DD ⊥AC ，

所以AC ⊥面1BDD ，则平面PAC ⊥平面1BDD

（3）PC 2

=2，PB 12

=3，B 1C 2

=5，所以△PB 1C 是直角三角形。1PB ⊥PC ，

同理1PB ⊥PA ，所以直线1PB ⊥平面PAC 。

21. 证明(1)分别取A ′C ′、AC 的中点M 、N ，则MN ∥A ′A ∥B ′B ，

∴B ′、M 、N 、B 共面，B ′M ⊥A ′C ′， 又B ′M ⊥AA ′，∴B ′M ⊥平面A ′ACC ′. 设MN 交AE 于P ，∵CE ＝AC ，∴PN ＝NA ＝a

2，

又DB ＝1

2a ，∴PN ＝BD .

∵PN ∥BD ，∴PNBD 是矩形，

于是PD ∥BN ，BN ∥B ′M ，∴PD ∥B ′M ， ∵B ′M ⊥平面ACC ′A ′，

∴PD ⊥平面ACC ′A ′，PD ?平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面ACC ′A ′. (2)PD ⊥平面ACC ′A ′， ∴PD ⊥AE ，PD ＝B ′M ＝

3

2

a ，AE ＝2a . ∴S △ADE ＝12×AE ×PD ＝12×2a ×32a ＝64

a 2

.

22.由题意，EA ⊥平面ABC , DC ⊥平面ABC ,AE ∥DC,AE=2, DC=4 ,AB ⊥AC, 且AB=AC=2

（Ⅰ）∵EA ⊥平面ABC ，∴EA ⊥AB, 又AB ⊥AC, ∴AB ⊥平面ACDE

∴四棱锥B-ACDE 的高h=AB=2，梯形ACDE 的面积S= 6

∴1

43B ACDE V S h -=

??=， 即所求几何体的体积为4 （Ⅱ）证明：∵M 为DB 的中点，取BC 中点G ，连接EM, MG,AG ， ∴ MG ∥DC ，且1

2

MG DC =

∴ MG AE

，∴四边形AGME 为平行四边形， ∴EM ∥AG, 又AG ?平面ABC ∴EM ∥平面ABC. （Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）知，EM ∥AG ，

又∵平面BCD ⊥底面ABC ，AG ⊥BC,∴AG ⊥平面BCD ∴EM ⊥平面BCD ，又∵EM ?平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面BCD

在平面BCD 中，过M 作MN ⊥DB 交DC 于点N,

∴MN ⊥平面BDE 点N 即为所求的点

∥

=

DMN ∽DCB

3

4DN DM

DN DB DC

∴

==∴=即

3

4

DN DC ∴=

∴ 边DC 上存在点N ，满足DN=

3

4

DC 时，有NM ⊥平面BDE.