华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案一

《高等数学》（下册）测试题一

一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）

1．设有直线

3210

:21030x y z L x y z +++=??

--+=?

及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ A ）

A ．平行于平面π；

B ．在平面π上；

C ．垂直于平面π；

D ．与平面π斜交.

2．二元函数22

,(,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)xy

x y x y f x y x y ?≠?+=??=?

在点(0,0)处（ C ）

A ．连续、偏导数存在；

B ．连续、偏导数不存在；

C ．不连续、偏导数存在；

D ．不连续、偏导数不存在.

3．设()f x 为连续函数，1

()d ()d t

t

y

F t y f x x =

?

?，则(2)F '＝（ B ）

A ．2(2)f ；

B ．(2)f ；

C ．(2)f -

D ．0.

4．设∑是平面

13

2=++z y

x 由0≥x ，0≥y ，0≥z 所确定的三角形区域，则曲面积分 (326)d x y z S ∑

++??＝（ D ）

A ．7；

B ．

2

21

； C ．14； D ．21. 5．微分方程e 1x

y y ''-=+的一个特解应具有形式（ B ）

A ．e x a b +；

B ．e x ax b +；

C ．e x a bx +；

D ．e x ax bx +.

二、填空题（每小题3分，本大题共15分）

1．设一平面经过原点及点(6,3,2)-，且与平面428x y z -+=垂直，则此平面方程为

2230x y z +-=；

2．设arctan

1x y

z xy

-=+

，则d |z ＝24

dx dy

-； 3．设L 为12

2

=+y x 正向一周，则

2

e d x L

y =?

0 ；

4．设圆柱面32

2

=+y x ，与曲面xy z =在),,(000z y x 点相交，且它们的交角为

π

6

，则正

数=

0Z 32

； 5．设一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P y =+'有两个线性无关的解21,y y ，若

12y y αβ+也是该方程的解，则应有=+βα 1 .

三、（本题7分）设由方程组e cos e sin u

u

x v

y v ?=??=??确定了u ，v 是x ，y 的函数，求x u ??及x v ??与y v ??.

解：方程两边取全微分，则e cos e sin e sin e cos u u

u u

dx vdu vdv

dy vdu vdv

?=-??=+??

解出2222cos e sin ,,e sin e cos u u

u u xdx ydy du e vdx vdy x y du dv xdy ydx dv vdx vdy x y ----+?=+=?+?

?-?=-+=?+?

从而

222222

,,u x v y v x x x y x x y y x y ??-?===?+?+?+ 四、（本题7分）已知点)1,1,1(A 及点)1,2,3(-B ，求函数()

3ln 32u xy z =-在点A 处沿方向的方向导数.

解：{}21

22,1,2,,,333AB AB ??=-=-????

2333336,,323232y x z gradu xy z xy z xy z ??

-=??

---??

，{}3,3,6A gradu =- 从而

{}212,,3,3,62147333u

AB ???

=

-?-=++=?????

五、（本题8分）计算累次积分 2

41

1

2211d

e d d e d

x x

y

y x x y x y y y

+?

??）.

解：依据上下限知，即分区域为

1212,:12,1:24,2

x

D D D D x y D x y =?

≤≤≤≤

≤≤≤≤

作图可知，该区域也可以表示为2

:12,2D y y x y ≤≤≤≤

从而

()22

422221

1

2112111d e d d e d d e d e e d x x x

y y y

y y x y x y x y y x y y y

y +==-?

?????

()

()22

22211

e e

2e e e e y

y e =-=---=

六、（本题8分）计算d d d I z x y z Ω

=???

，其中Ω是由柱面122=+y x 及平面1,0==z z 围成的区域.

解：先二后一比较方便，1

11

22

12

2

z

D z I zdz

dxdy z dz πππ?==??==

?

???

七．（本题8分）计算

32()d x y z S ++∑

??，其中∑是抛物面2

22y x z +=被平面2=z 所截下的有限部分. 解：由对称性

322

d 0,d d x S y S x S ==∑

∑

∑

??????

从而22

3

2

22()d ()d ()d 2

x y x y z S z S x y S +++=+=+∑∑∑

??????

22

2

220

(2D x y d r

r π

θπ=+=

=?????

(

4

041115t ππ?=+-=+????

?

八、（本题8分）计算22222(4cos )d cos d L x x x x x x y y y y y +

-?，L 是点ππ

(,)22

A 到点(π,2π)

B 在上半平面)0(>y 上的任意逐段光滑曲线.

解：在上半平面)0(>y 上

22232

22322cos cos sin Q x x x x x x x x y y y y y y

????=-=-+ ????? 223223222(4cos )0cos sin P x x x x x x Q

x y y y y y y y y x

???=+=-+=???且连续， 从而在上半平面)0(>y 上该曲线积分与路径无关，取π

(π,)2

C

22222

22

2

424415(4cos )d cos d 12L AC CB x x x x y y

y ππ

πππππππ=+=+-=-????? 九、（本题8分）计算

2

22()d d ()d d ()d d x y

y z y z z x z x x y +++++∑??，其中∑为半球面

221y x z --=上侧.

解：补1:0z ∑=取下侧，则构成封闭曲面的外侧

1

1

22

2()d d ()d d ()d d x y y z y z

z x z x x y ∑+∑∑+++++=

-∑??????

()1222

2

3

211133132D D

x y dv x dxdy dv x dxdy dxdy πΩ∑Ω+=++-=+=??+????????????

21

13

4000

1

19222

44d r dr r π

ππθππ=+

=+?=?? 十、（本题8分）设二阶连续可导函数)(x f y =，t s

x =适合042222=??+??s

y t y ，

求)(x f y =． 解：21,y s y f f t t s t

?-?''=?=???

2

22223222211,y s s s y f f f f f t t t t t s s t t ??--?????

???'''''''==+?== ? ? ??????????? 由已知2

22223222440,0,y y s s f f f t s t t t

??-??

'''''+=?+?+= ?????

即()

()()(

)

()()

()2

2

2

1420,40,4x f x xf x x f x x f x c '

??'''''++=+=+=??

()()1122,arctan 422

c c x

f x f x c x '=

=++ 十一、（本题4分）求方程的x y y 2cos 4=+''通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为2

1,240,2r r i +==±

非齐次项()cos2,f x x =，与标准式()()()cos sin x m l f x e P x x P x x αββ=+???? 比较得{}max ,0,2n m l i λ===,对比特征根，推得1k =，从而特解形式可设为

()()*12cos sin cos 2sin 2,k x

n n y x Q x x Q x x e ax x bx x αββ=+=+????

**(2)cos2(2)sin 2,(44)sin 2(44)cos2y a bx x b ax x y a bx x b ax x '''=++-=--+-代入

方程得1

4sin 24cos 2cos 2,0,4

a x

b x x a b -+=?==

121

cos 2sin 2sin 24

y c x c x x x =+++

十二、（本题4分）在球面2

2

2

2

a z y x =++的第一卦限上求一点M ，使以M 为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小.

解：设点M 的坐标为(),,x y z ，则问题即8V xyz =在2

2

2

2

0x y z a ++-=求最小值。

令()

22228L xyz x y z a λ=-++-，则由

2222820,820,820,x y z L yz x L xz y L xy z x y z a λλλ=-==-==-=++=

推出x y z ===

，M

的坐标为 附加题：（供学习无穷级数的学生作为测试）

1．判别级数∑∞

=-++-11

)]1[ln()1(n n n

n 是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？

解：由于()11

~,[ln(1)]n u n n n n

=

→∞++，该级数不会绝对收敛，

显然该级数为交错级数且一般项的n u 单调减少趋于零，从而该级数条件收敛

2．求幂级数n

n n

x n n ∑∞

=?+0

2!21的收敛区间及和函数. 解：()()212212

112(1)!2(1)lim lim lim 2!111n n n n n n n a n n n R a n n n n

+→∞→∞→∞--++?+?+==?==+∞?++++ 从而收敛区间为(),-∞+∞，(

)201011112!1!2!2n

n

n n n n n n n x x x n n n ∞

∞∞===+-+????

=+ ? ??-????∑∑∑ ()()2101112!21!2!2n

n

n n n x x x n n n ∞

∞∞

===??????

=++ ? ? ?--??????∑∑∑ 2

1

22

0001111!2!2!242n n x

n n n x x x x x e n n n ++∞

∞

∞

===????????=++=++ ? ? ? ???

??

????∑∑∑ 3．将0,0π

()π0π,0a x f x H x a H a x ?<≤

=<

，展成以2π为周期的傅立叶级数.

解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。0n a =

()()0

021cos 2

2

2sin sin cos a

a

n H na H

b f x nxdx H nxdx nx n n π

ππ

π--=

===?

?

()()

1

21cos sin ,n H na f x nx x a n ∞

=-=≠±∑