尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》(第9版)课后习题详解(第15章 博弈定价模型)

尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）

第15章 博弈定价模型

课后习题详解

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1．Fudenberg 和Tirole 于1992年在Rousseau 最初工作基础上发展了捕猎博弈。在此博弈中两位局中人要么相互协作，要么每个人单独行动。该博弈的支付矩阵为：

（1）描述该博弈中的纳什均衡。

（2）假定B 认为A 将会采用混合策略来选择如何打猎。B 的最优策略选择如何依赖于A 选择捕捉野兔的概率？

（3）假定此博弈可以扩展至n 个局中人的博弈（该博弈是由Rousseau 所想到的），为了捕获一只雄鹿，所有的人都要相互协作。假定某一特定的局中人（例如B ）的收益保持不变，而其他1n -个人决定采用混合策略，则B 的最优策略如何取决于其他人选择捕捉雄鹿的概率？解释为什么在此扩展的博弈中协作显得更不可能。

解：（1）该博弈的纳什均衡为：（雄鹿，雄鹿），（野兔，野兔）。先考虑局中人B 的策略，局中人A 选择捕猎雄鹿，则局中人B 的最优策略为雄鹿；若局中人A 选择捕猎野兔，则局中人B 的最优策略为捕猎野兔。反之，若局中人B 选择捕猎雄鹿，则局中人A 的最优策略为雄鹿；若局中人B 选择捕猎野兔，则局中人A 的最优策略为捕猎野兔。因此策略组合（雄鹿，雄鹿），（野兔，野兔）为纳什均衡。

（2）令p 为参与人A 选择捕捉雄鹿的概率，因而如果B 选择捕捉雄鹿，则其期望收益为：()2012p p p +?-=；如果B 选择捕捉野兔，则其期望收益为：()11p p +-=。

因此，如果21p >，即0.5p >，B 将选择捕捉雄鹿；反之，则捕捉野兔。 （3）其他人都选择捕捉雄鹿的概率为：1n p -。

如果B 选择捕捉雄鹿，他的期望收益为：()1112012n n n p p p ---+?-=； 如果B 选择捕捉野兔，他的期望收益为：()1111n n p p --+-=。

因此，如果121n p ->，即10.5n p ->，B 将选择捕捉雄鹿；反之，则捕捉野兔。

由于01p <<，在多人参与下10.5n p ->更不容易得到满足。

2．局中人A 与B 在路边行走时捡到100美元，他们讨论如何来分这些钱。一位路人提出了如下的博弈：“你们两人申报你们各自所期望获得的金额（A d ，B d ）。如果100A B d d +≤，你们可以获得你们各自所要的钱，我将拿走剩下的钱。如果100A B d d +>，我将拿走这100美元。”在此博弈的连续策略中，是否存在唯一的纳什均衡？

答：此博弈不存在唯一的纳什均衡。其理由如下： 如果100A B d d +<，则收益为A d ，B d ； 如果100A B d d +>，则收益为0。

所以使得100A B d d +=的策略都是纳什均衡，因为在给定其他局中人的博弈下，没有局中人有激励去改变其策略。

3．假定收益矩阵为：

其中，1K ≥。说明该博弈的混合策略纳什均衡如何依赖于K 的值。

解：假设参与人A 以概率r 去爬山，B 以概率s 去爬山，则A 的期望效用为：

()()111A E U s r K s =-++-????

B 的期望效用为：

()()()11B E U K r s K r K =-++-????

因而可得混合策略纳什均衡为：

()1/1s K =+，()/1r K K =+

4．在《一篇关于家庭的论文》（剑桥：哈佛大学出版社，1981）一书中，G.Becker 提出了有名的“堕落的孩子”定理，作为一个（潜在的坏）孩子A 与他（她）的父母B 之间的博弈。A 首先行动，选择影响行动r ，r 将一方面影响其自身收入()A Y r （0A Y '>），另一

方面影响其父母收入()B Y r （0B Y '<）。在第二阶段，父母将留给孩子一笔遗产L 。孩子仅关心自己的效用()A A U Y L +，但是父母却最大化()B B A U Y L U λ-+，其中0λ>反映了父母对孩子的利他主义行为。证明：尽管孩子没有利他主义倾向，但是他（她）仍将选择使A B Y Y +最大化的r 值。（提示：你必须首先找出父母的最优遗产，接下来在给定父母这一行为的情况

下求解孩子的最优决策）

解：父母关于L 的最大化问题的一阶条件为：

0B A U U λ''-+= ①

孩子关于r 的最优选择为：()d /d 0A

A U Y L r ''+=，从而有：d /d 0A Y L r '+= ② ①式两端关于r 求导数可得：()()d /d d /d 0B

B A A U Y L r U Y L r λ''''''--++= ③ 由②、③两式可得：

()d /d 0B

B U Y L r '''--= 从而有：d /d B L r Y '= ④

再由②、④两式可得：0A

B Y Y ''+=，这恰好是使得总收入A B Y Y +最大化的r 所需满足的表达式。

5．“小鸡”博弈是由两个强壮的小伙子参与的博弈，他们在一个单行道上笔直加速前行。第一个转向的人被视为小鸡，而不掉头的那一位就赢得同伴们的尊敬。当然，两个人可以都不转向，此时两个人都将死于车祸。小鸡博弈的支付矩阵如下表所示。

（1）该博弈是否存在纳什均衡？

（2）没有任何人临阵脱逃的威胁是否是可信的？ （3）一个局中人严格采用“不做小鸡”（例如，扔掉方向盘）对于该局中人而言是否是合意的？

（4）如果你看过电影《美丽心灵》，你如何将酒吧中的场景解释为一个小鸡博弈？你能勾画出纳什的深刻理解是什么？

答：（1）该博弈存在两个纳什均衡：（小鸡，不做小鸡）、（不做小鸡，小鸡）。 （2）相对于某人的对手承诺“不做小鸡”而言，某人威胁“不做小鸡”，这是一个不可信的威胁。因为若两人都不临阵脱逃，都不愿做小鸡，则两人都将死于车祸，双方的支付都为0，因此没有任何人临阵脱逃的威胁并不可信。

（3）假定对手没有做出如此的承诺，则该承诺将会达到一个合意的结果。

（4）该影片描述的是一群男人决定相约一位迷人的女孩。如果他们同时这样做，他们都将被拒绝，但是每个人都先行一步则会得到一个纳什均衡。因而，该博弈需要在某种博弈前的决策过程中选择先行者。

6．考虑如下一个关于罕有的垒球卡的暗标拍卖。局中人A 对其评价为600美元，局中人B 对其评价为500美元，即将提交密封报价的局中人都知道这些评价。出价最高的人将赢得垒球卡。如果两人出价相同，则拍卖者将掷硬币决定谁是赢家。每个局中人现决定如何来出价。

（1）你如何对此博弈中的策略进行分类？是否一些策略占优于另一些策略？ （2）该博弈有无纳什均衡？是否唯一？

（3）如果两个局中人都不知道彼此对垒球卡的评价，则该博弈将如何改变？ 答：（1）在该博弈中，由于策略是连续的，因而500A ε=+（ε为任意小的正数）将占优于任何比A 出价更高的策略。500B =也将占优于任何比B 出价更高的策略。任何其他策

略都不是占优的。

（2）该博弈有纳什均衡，例如，500.01A =，500B =或500.001A =，500B =都是纳什均衡。但纳什均衡并不唯一。

（3）在信息不完全的情况下，该博弈将变成一个贝叶斯博弈。

7．假设厂商A 与厂商B 的平均成本与边际成本都是常数，10A MC =，8B MC =，对厂商产出的需求函数是

50020D Q p =-

（1）如果厂商进行伯特兰竞争，在纳什均衡下的市场价格是多少？ （2）每个厂商的利润分别为多少？ （3）这个均衡是帕累托最优吗？ 解：（1）如果厂商进行伯特兰竞争，纳什均衡下的市场价格是10B P ε=-，10A P =。理由如下：

假设均衡时厂商A 和B 对产品的定价分别为A P 和B P ，那么必有10A P ≥，8B P ≥，即厂商的价格一定要高于产品的平均成本，否则就会亏损。其次，达到均衡时，A P 和B P 都不会严格大于10。否则，价格高的厂商只需要把自己的价格降得比对手略低，它就可以获得整个市场，从而提高自己的利润。所以均衡价格一定满足10A P ≤，10B P ≤。但是由于A P 的下限也是10，所以均衡时10A P =。给定10A P =，厂商B 的最优选择是令10B P ε=-，这里ε是一个介于0到2之间的正数，这时厂商B 可以获得整个市场的消费者。综上可知，均衡时的价格为10A P =，10B P ε=-。

（2）由于厂商A 的价格严格高于厂商B 的价格，所以厂商A 的销售量为零，从而利润也是零。下面来确定厂商B 的销售量，此时厂商B 是市场上的垄断者，它的利润最大化问题为：

max Pq cq ε≥- ①

其中10P ε=-，()5002010q ε=-?-，把这两个式子代入①式中，得到：

()()0

max 1085002010εεε>---?-????

解得0ε=，由于ε必须严格大于零，这就意味着ε可以取一个任意小的正数，所以厂商

B 的利润为：

()()50020102εε-?--????

（3）这个结果不是帕累最优的。因为厂商B 的产品的价格高于它的边际成本，所以如

果厂商B 和消费者可以为额外1单位的产品协商一个介于8到10ε-之间的价格，那么厂商B 和消费者的剩余就都可以得到提高，同时又不损害厂商A 的剩余（因为A 的利润还是零）。

8．两个厂商（A 与B ）考虑健康雪茄的竞争品牌。厂商报酬如下表所示（A 的利润首先给定）。

（1）这个对策有纳什均衡吗？

（2）这个对策对于厂商A或者厂商B有先动优势吗？

（3）厂商B欺骗厂商A以把它赶出市场对B厂商有利吗？

答：（1）该博弈存在纳什均衡，均衡的策略组合为：（生产，不生产），（不生产，生产）。

（2）如果厂商A先行动（如图15-1所示），根据反向归纳法，这个动态博弈的均衡为（生产，不生产）；如果厂商B先行动（如图15-2所示），根据反向归纳法，这个动态博弈的均衡为（不生产，生产）。可见每个厂商选择先行动都比选择后行动可以获得更高的收益，所以厂商A和厂商B都有先动优势。

图15-1 厂商A先行动的博弈的反向归纳

图15-2 厂商B先行动的博弈的反向归纳

（3）厂商B不能把厂商A赶出市场，这是因为无论厂商B实行什么策略，厂商A总是可以获得正的利润。

9．假定世界上氪的总供给由20个人控制，每一个人拥有这种强有力的矿物10000克。世界对氪的需求是：100001000

=-，其中P是每克的价格。

Q P

（1）如果所有拥有者合谋控制氪的价格，他们设置的价格是多少？他们能够卖出的量是多少？

（2）为什么（1）中计算的价格是不稳定的？

（3）通过改变要求保持市场价格的产出，在没有厂商能够获利的情况下存在一个稳定的均衡时，氪的价格是多少？

解：（1）合谋控制价格等价于垄断，由需求曲线知：

=-

MR P

100002000

又因为0

MC=，由垄断定价的MR MC

=规则，得到价格为5，总供给量为5000克，每个厂商的供应量为500020250

÷=克。

（2）对于第一个人而言，给定其他19个人的供应量都为250克，则他面临的需求曲线为：152501000q P =-，那么他的利润函数为：

1

152501000

q q π-=

根据一阶条件解得：12625q =。

可见在其他人的供应量为250克的条件下，第一个人增加供应量会提高自己的利润。类似的结论对市场上的其他人也成立，所以合谋是不稳定的。

（3）题目要求完全竞争市场的均衡结果。令P MC =，得到氪的价格为零。市场上的总供给量为10000，每个人的出售量为500克。

10．假定例15.5中对钢条的需求随着商业周期而波动。在扩张时期需求为：

7000100Q P =-

在衰退时期需求为：

3000100Q P =-

同时假定经济扩张和衰退的可能性是相同的，并且厂商在其设定价格时知道经济状况。 （1）使得在衰退和扩张时期都能维持相应垄断价格的触发价格策略的δ的最小值是什么？

（2）如果δ略微小于（1）中计算所得的值，则触发价格策略应该如何调整才能使暗地勾结有利可图？

解：（1）在扩张时期，由7000100Q P =-可得：700.01P Q =-，因而边际收益为：

700.02MR Q =-

又因为边际成本为10MC =，因而由MR MC =可得：700.0210Q -=，

从而解得，扩张时期的垄断产量为：3000Q =，垄断价格为：703040P =-=； 垄断利润为：()4010300090000e π=-?=。

同理可得，在衰退时期，垄断产量为：1000Q =，垄断价格为：20P =，垄断利润为：

()2010100040000r π=-?=

因而，来自触发价格策略的长期期望收益为每时期都是：0.5900000.51000050000?+?=。 该策略的可维持性要求在扩张时期欺骗变得无利可图，即有：

500001

9000021

δ

- 从而可以解得：0.72δ>。

（2）较低的δ将使暗地勾结可维持下去，只要扩张时期的利润（e π）满足如下条件： ()

0.510000121e e

ππδ

+

-

对于0.7δ=，50000e π<，这要求在衰退时索要与扩张时期相同的价格（20P =）。

11．假定在例15.8中所描述的贝叶斯-古诺模型中，厂商有相同的边际成本（10），但是关于需求的信息是非对称的。特别地，厂商A 知道需求函数（方15.37：100A B P q q =--），但是厂商B 认为需求可能为：120A B P q q =--或80A B P q q =--，每一种情况的概率为0.5。假定厂商必须同时宣布其产量，则此时的贝叶斯－纳什均衡是什么？

解：（1）首先最好从分析B 的情形开始，在两种情况下，厂商B 可能的利润为：

()1110B A B B q q q π=--

()270B A B B q q q π=--

在两种情况下，厂商B 的反应函数分别为：

()1110/2B A q q *=- ①

()*

270/2B A q q =- ②

厂商A 的利润为：

()()()12120.5900.590900.50.5A A B A A B A A B B A q q q q q q q q q q π=--+--=---

利润最大化的一阶条件为：12d 900.50.50d A

A B B A A

q q q q q π=----=，从而可以解得厂商A 的反应函数为：

()*

12900.50.5

/2A B B q q q =-- ③ 由①、②、③三式可得，贝叶斯—古诺均衡为：*30A q =，*140B q =，*

220B q =。

12．在例15.9中，我们已经证明在一级密封价格拍卖中纳什均衡为每一个参与人采取报价策略：()()1b v n n v =-????。

卖者从拍卖中预期得到的总收益为：()1/n n v *-????，其中v *

是n 个拍卖参与人中最高评

价的期望值。

（1）证明：如果评价服从[]0,1上的期望值，则v *的期望值为/1n n +。因而从拍卖中所得的期望收益为()()1/1n n -+。

提示：最高报价的期望值为：

()()1

0E v vf v dv *=?

其中，()f v 是任何特定的使得在n 个报价者中最大的v 的概率密度函数。在此处，

()1n f v nv -=。

（2）在威廉·维克利1961年的一片很有名的文章中（“Counter speculation ，Auctions ，and Competitive Sealed Tenders,”Journal of Finance,March 1961,PP ．8－37），他考察了二级价格密封拍卖。在这些拍卖中，出价最高的人将会支付出价次高的人所报价格。证明对于任何参与人而言，此时他最优的出价策略是()b v v =，即报价等于他的真实评价。

（3）证明：二级价格密封拍卖与（1）中一级价格密封拍卖所带来的期望收益是相同的（这是维克利的“收益等价定理”）。

提示：任何既定的评价是n 个出价人中次高的概率为()()()211n g v n v nv -=--。也就是说，该概率等于（1n -）个出价人中任何一个拥有较高评价的概率()()11n n v --????乘以n 个出价

人中拥有的评价高于其他（2n -）个人的概率2n nv -????。

证明：（1）提示成立是因为一个竞标者出价低于v 的概率为v （因为v 服从[]0,1上的均匀分布）。因而1n -个竞标者出价都低于v 的概率为1n v -，而这对于任何n 个竞标人而言都是可能发生的，所以()1n f v nv -=。

因而v *的期望值：

()1

110011

|n n n n

E v nv v v n n *+==

=

++?d 从拍卖中所获得的期望收益为：

1111

n n n n n n --?=

++。 （2）维克利拍卖属于“说真话”的机制，因为每个竞价者都有激励去按照其真实评价出价。按真实评价出价是一个弱占优策略。证明如下（反证法）：

假设欲证结论不成立。假定出价人报价i i b v >，则如果其他人报价高于i b ，出价人i 的境况和他报价i v 时一样好。如果所有其他人报价都低于i v ，则出价人i 获得物品，并按次高的出价对拍卖人进行支付。如果次高出价j i b v <，则出价人i 支付数额与其出价i v 是一样多。但是如果次高报价j i b v >时，则出价人i 报价i b 将赢得物品，但是获得一个负的收益。如果出价人i 报价i v ，他将失去物品，而获得零收益。因此，报价策略i i b v >被i v 弱占优。

假设出价人i 报价i i b v <，则如果所有其他人报价都低于i b ，则出价人i 的境况将和他报价i v 时一样好。他将赢得物品，同时按次高报价支付。如果某些人的报价高于i v ，则报价人i 无论是出价i b 还是i v ，他都将无法赢得物品。然而假设没有人报价高于i v ，其他人中出价最高的为j b ，且i j i b b v <<，则出价人i 出价i b 将无法赢得物品，从而获得收益为零。如果他出价i v ，他将赢得物品，支付j i b v <，从而获得净收益0i j v b ->。因此，出价i i b v <被i v 弱占优。

综上所述，出价i v 是出价人i 的一个弱占优策略，而且这是出价人i 唯一的弱占优策略。

（3）根据提示，有：

()()()()()()()11

111

00011d 11111111111||n n n v v E v n n v v v n n n

n n n n n n n n n n n +*

-??

=--=--??+????-??

=--=-= ? ? ?+++????

?

因而期望收益是相等的。两者的差异不在于收益，而在于：维克利拍卖是说真话的，而

一级拍卖不是说真话的。

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