工具变量方法原理

工具变量原理

教学目的及要求：

1、理解引入随机解释变量的目的及产生的影响

2、理解估计量的渐进无偏性和一致性

3、掌握随机解释变量OLS 的估计特性

4、应用工具变量法解决随机解释变量问题

第一节 随机解释变量问题

一、随机解释变量问题产生的原因

多元（k ）线性回归模型：

i ki k i i i U X X X Y ++???+++=ββββ22110 （8-1）

其矩阵形式为：

U XB Y += （8-2） 在多元（k ）线性回归模型中，我们曾经假定，解释变量j X 是非随机的。如果j X 是随机的，则与随机扰动项i U 不相关。即：

C o v ()

i ij U X ,0= ),,2,1;,,2,1(n i k j ???=???= （8-3） 许多经济现象中，这种假定是不符合实际的，因为许多经济变量是不能用控制的方法进行观测的，所以作为模型中的解释变量其取值就不可能在重复抽样中得到相同和确定的数值，其取值很难精确控制，也不易用实验方法进行精确观测，解释变量成为随机变量。又由于随机项U 包含了模型中略去的解释变量，而略去的解释变量往往是同模型中相关的变量，因而就很有可能在X 是随机变量的情况下与随机项U 相关，这样原有的古典假设就不能满足，产生随机解释变量。

在联立方程模型以及模型中包含有滞后内生变量等情况下，如果扰动项是序列相关的，那么均有扰动项和解释变量之间的相关性的出现，模型就存在随机解释变量问题。

例如，固定资产投资与国民收入的关系满足如下模型：

t t t t u I Y I +++=-1210βββ

其中，t I 为t 期的固定资产投资，1-t I 为1-t 期的固定资产投资，t Y 为t 期的国民收入，因为1

-t I 是随机变量，故模型中存在随机解释变量。

再如，消费与收入之间的影响关系模型为 t t t t u C Y C +++=-1210βββ

其中，t C 为t 期的消费支出，1-t C 为1-t 期的消费支出，t Y 是t 期的收入，因为1-t C 是随机变量，故模型中存在随机解释变量。

二、随机解释变量问题的后果

模型中，在解释变量为随机变量并且与扰动项相关的情况下，应用普通最小二乘法估计参数可能会出现估计的不一致性，使得估计值产生很大的偏误，造成拟合优度检验的全面失准，F 检验失效，t 检验失去意义。在这种情况下，各种统计检验得到的是虚假的结果，不能作为判别估计式优劣的依据。

随机解释变量带来何种结果取决于它与随机误差项是否相关： 1）随机解释变量与随机误差项不相关

2）随机解释变量与随机误差项在小样本下相关，在大样本下渐进无关 3）随机解释变量与随机误差项高度相关 4）滞后被解释变量与随机误差项相关

第二节 随机解释变量模型的估计特性

我们讨论的估计量的性质（包括无偏性、最小方差性）都是在样本容量一定的情况下的统计性质，在数理统计上叫做小样本性质。在某些情况下，小样本时的估计量不具有某种统计性质，但是随着样本容量的增大，一个估计量在小样本时不具有的性质，大样本时就逐渐具有这种统计性质了，这种性质我们叫做大样本性质或叫做估计量的渐近统计性质。常用的渐近统计性质有渐近无偏性和一致性。

一、估计量的渐近无偏性

记)

(?n β

代表模型中参数β的估计量，其上标n 表示样本容量。一般来说，n 取如下的样本容量，

k n n n

为一随机变量。随着样本容量n 的增大，估计量)(?n β构成一个估计量（随机变量）序列：

{})

(?n β＝)

(1?

n β，)

(2?n β

，…，)

(?k n β

，… （8-4）

所谓渐近理论就是讨论当n 变得很大时，以上这些序列会有怎样的结果。

序列{}

)(?n β

如果满足： E n ∞

→lim （)(?n β

）＝β (8-5) 则称)

(?n β

为β的渐近无偏估计。也就是说，当样本容量越来越大，n 趋于∞时，)

(?n β

的均值越

来越接近参数的真值β。

这里需要注意的是，有些估计量在小样本下是有偏的，但在大样本下是无偏的，即是渐近无偏的。例如随机变量X 的样本方差

2

1

2)(1∑=-=n

i i x

X X n S

容易证明（在数理统计中已有证明） )11()(2

2n

S E x -

=σ 其中，2

σ为总体方差。很明显，在小样本下，2

x S 作为2

σ的估计量是有偏的，但随着n 的无限增大，)(2

x S E 趋于总体的真正方差2

σ，因此是渐近无偏的。可见，通过增加样本容量，可以改善参数估计的精度。

二、估计量的一致性

如果随着样本容量的增大，估计量)

(?n β几乎处处趋近于β真值，我们说)

(?n β

为β的一致估计量，

或称)

(?n β

依概率收敛于β。如果样本容量无限增大时，)

(?n β的分布收敛于β，)

(?n β

的方差趋于零，

)(?n β

就是β的一致估计量。

一致估计量可以记为：{

}

1?lim )

(==∞

→ββ

n n P 或简记为ββ=∞

→)(?lim n n P 。式中∞

→n P lim 表示概率极限。

为简单起见，可略去上标n ，记作ββ

=?lim P 概率极限有下列运算法则：

)X lim()X lim(cP c P = c 为常数

22112211X lim X lim )X X lim (P c P c c c P ?+?=+ 21,c c 为常数

)X lim ()X lim ()X X lim (2121P P P ?=? 0)X lim(,)

X lim()

X lim()X X lim(

22121≠=P P P P []1

1)X lim()X lim(--=P P

这里需要弄清楚一点是，无偏性与一致性是两个截然不同的概念，无偏性可以对任何样本容量成立，而一致性则是对大样本而言的，是一种渐近性质。在大样本的条件下，一致估计量具有很高的精度，但在小样本时一致性不起作用。

可以证明，)

(?n β

为β的一致估计量，当且仅当

ββ=∞

→)?(lim )(n n E 0)?var(lim )(=∞

→n n β （8-6）

时成立。此充分必要条件说明，β

?是渐近无偏的，且当样本容量无限增大时β?的方差趋于零。 上面的讨论是对随机变量而言的，对于随机向量同样有类似的结论。

三、随机解释变量模型OLS 估计特性

计量经济模型中一旦出现了随机解释变量，如果仍用最小二乘法估计模型参数，不同性质的随机解释变量会出现不同的结果。

为了简单起见，我们用一元线性回归模型进行说明。给定一元线性回归模型：

i i i U X Y ++=10ββ ),...,2,1(n i = （8-7）

假设X 为一随机变量，模型满足其他古典假设条件。 对式（8-7），其离差形式为：

i

i i u x y +=1β （8-8）

其中，Y Y y i i -= ， X X x i i -= ， U U u i i

-=

应用普通最小二乘法，则有

2

1

?i

i i x y x ∑∑=β （8-9）

把(8-8)中的i y 代入（8-9），则可以得到

∑∑∑∑+

=∑+∑=

=212

121

)

(?i

i

i i

i i i i

i

i x

u x x u x x x

y

x βββ （8-10）

而

1122

222

2

(

)()i i n n

i i i

i

x u x u x u x u E E x x x x ∑=+++

∑∑∑∑

)()()()()()(

2

22

212

1n i

n i

i

u E x x E u E x x E u E x x E ∑++∑+∑= （8-11）

下面分三种情况讨论：

1．X 和U 是独立的

??

????????+=∑∑211)?(i i i x u x E E ββ 因i x 和i u 相互独立，并且0)(=i u E ∴0)(

2

=∑∑i

i i x u x E

故有ββ

=)?(E 2．i x 与i u 小样本下相关，大样本下渐近无关 小样本：0)(≠i i u x E

所以1

1)?(ββ≠E ，最小二乘法估计是有偏的。 大样本：0)1

(

lim =∑∞

→i i n u x n

P 对式（8-10）两边取概率极限可有

∑∑+=2

11lim )?lim(i i i x u x P P ββ121

lim 1i i i x u n P x n

β=+∑∑ （8-12）

因此，在假定0)1(

lim 2

≠∑i x n

P 的情况下，有 ββ=)?lim(P （8-13）

说明最小二乘估计式也具有一致性特性。 3．i x 与i u 高度相关

0)1

(

lim ≠∑∞

→i i n u x n

P 讨论一般情况下回归模型（8-8）式

i i i u x y +=1β ),......2,1(n i = （8-14）

假设：2

)(x i x Var σ=，2

)(u i u Var σ=，i x 和i u 之间的相关系数是ρ，如果采用普通最小二乘法估计上式，可以得到：

∑∑+=2

11lim )?lim(i i i x u x P P ββ∑∑+=211lim 1

lim

i i i x n

P u x n P β )

()

,(x Var u x Cov +

=βu x σβρσ=+ （8-15）

因为：()()

cov(,)i i

x u

X X U U x u

x u ρσσ--==

=

∑代入上式即可。

可见，如果ρ很高，只有当

x u

σσ是很小的情况下，

（8-15）式的渐近误差才是可以忽略的。否

则，最小二乘估计式将存在着很大的偏误。

第三节 随机解释变量模型的处理

如果模型中存在随机解释变量问题，则一般的随机解释变量与随机误差项之间是相关的，最小二乘估计量有偏且不一致，需要利用其他估计方法对模型参数进行估计。

一、工具变量法

工具变量（Instrument Variable, IV ）法就是当随机解释变量与随机误差项相关时，寻找一个与随机解释变量高度相关，但与随机误差项不相关的变量，用该变量替代模型中的随机解释变量，进

行模型的参数估计。我们称这一替代随机解释变量的变量为工具变量。

（一）选择工具变量的要求

作为工具变量，必须满足以下四个条件：

第一，工具变量必须是有明确经济含义的外生变量；

第二，工具变量与其替代的随机解释变量高度相关，而又与随机误差项不相关； 第三，工具变量与模型中的其他解释变量也不相关，以免出现多重共线性； 第四，模型中的多个工具变量之间不相关。

（二）工具变量的应用

工具变量对随机解释变量的替代并不是“完全的”替代，即不是用工具变量代换模型中对应的随机解释变量，而是在最小二乘法的正规方程组中用工具变量对随机解释变量进行部分替代。

对于一元线性回归模型（8-7）和（8-8）i i i u x y +=1β

若x 与u 不相关，u 满足所有的统计假定。应用OLS 法，利用微分求极值的办法求出正规方程：

2

101i i i

i i

x y βx Y ββX ?=??

=+??∑∑ （8-16） 现采用另一种方法来导出OLS 正规方程。我们以i x （),,2,1n i ???=同乘以1i i i y x u β=+两边，得n 个式子，求和得：

2

1i i i x y x β=∑∑+i i x u ∑ （8-17）

因为x 与u 不相关，从而可以略去0i i

x u

=∑，就可以得OLS 正规方程。

如果x 与u 相关，则

0i i

x u

≠∑，不能用OLS 法来估计参数。现在，我们要寻找一个变量Z ，

Z 与X 高度相关而与U 无关，

用i z 的离差乘以1i i i y x u β=+的两边，然后求和得到一个类似于OLS 正规方程的方程。在这里，Z 就是工具变量。

1i

i

i i z y

z x β=+∑∑∑i i u z （8-18）

由于z 与u 无关，所以

01lim 1

=∑=∞→n

i i i n u z n P 得：

1i

i

i i z y

z x β=∑∑ （8-19）

上式称为拟正规方程，从而求得

101

()(Y Y)

?()(X X)??Y X i

i

i

i i i

i

i z y Z Z z x

Z

Z βββ?

--==

?--??=-?

∑∑∑∑ （8-20）

因此，工具变量法的基本原理在于：用工具变量代替随机解释变量X ，从而利用cov(,)0Z U =克服cov(X,)0U ≠产生的对模型参数估计的不利影响，形成有效正规方程组并最终获得模型参数的估计量。从这一原理理解，OLS 法也可以看作是一种工具变量法，即利用模型中的各解释变量作为他们自身的工具变量。

容易证明，参数工具变量估计量是有偏的、一致的估计量。 在实际经济分析中，对于工具变量的选择，一般的做法是：

对于时间序列资料，如果被解释变量i Y 、随机解释变量i X 、随机误差项i u 三者之间的关系有

0),X cov(≠i i u ，但0),X cov(1=-i i u ，0),Y cov(1=-i i u ，则可用1X -i 或1Y -i 作为i X 的工具变量。

（三）多元线性回归模型 对于k 元线性回归模型：

i ki k i i i u ++???+++=X X X Y 22110ββββ （8-21）

其矩阵形式为：

U XB Y += （8-22）

假设i 1X 和ki X 为随机解释变量，且与随机误差项i u 高度相关，i u 满足最小二乘法的其他假定条件，解释变量之间无多重共线性。

（1）寻找工具变量i 1Z 和ki Z 。工具变量满足以下条件：他们是有实际经济意义的变量；与其对应的随机解释变量（i 1Z 对应i 1X ，ki X 对应ki Z ）高度相关；与随机误差项i u 不相关；工具变量i

1Z

和ki Z 之间不相关；与k 元线性回归模型中其他解释变量不相关。

（2）写出工具变量矩阵。除了t 1X 和kt X 之外，k 元线性回归模型的工具变量矩阵为：

?

?

???

??

??

???=kn n

n

k k X X ...X X 1...............X ......X X

1X .....X X 12122212

12111 （8-23） 将X 矩阵中的i 1X 和ki X 替换为1Z i 和ki Z ，其他外生变量和常数项均由其自身做工具变量，得Z 矩阵：

?

?

???

??

??

???=kn n

n

k k Z Z ...Z Z 1...............Z ......Z Z

1Z .....Z Z 12122212

12111

（8-24） （3）求出工具变量估计量IV

B ?，沿上述思路，用Z '同乘Y XB U =+两边，由于Z 和U 无关，所以有

01

lim

='U Z n

p Y Z X Z B IV ''='-1)( （8-25）

IV

B ?是B 的一致估计量。 在EViews 软件中，工具变量法是含在二阶段最小二乘法中，所以必须选择二阶段最小二乘法，在“工具变量”的提示后面，输入所有的工具变量名，即可实现工具变量法估计。

（四）工具变量法的缺陷

从理论上分析，工具变量法可以得到渐近无偏、渐近有效的参数估计量，在解释变量为随机变量并与随机误差项相关的情况下，参数估计值达到了渐近一致。但这种方法在实际应用中会遇到一定困难，主要表现在三个方面：

（1）在解释变量X 与随机误差项u 相关的情况下，要找寻一个既与X 高度相关，又与u 不相关的工作变量Z 十分困难。再加上工具变量Z 要具有明确的经济含义，这就更不容易。

（2）在能找到符合要求的工具变量条件下，所选择的工具变量不同，模型参数估计值也不会一致，使参数估计出现随意性。工具变量选择得当，参数估计值的质量会高一点；如果工具变量选择

不得当，参数估计值就会出现较大偏误。

（3）由于使用了工具变量，有可能产生较高的标准差，不能保证参数估计值的渐近方差一定能达到最小。

基于上述分析，到底选择何种工具变量，还需要通过实践掌握工具变量选择的技巧。

二、含有随机解释变量的实例分析

见教材及上机操作。

本章小结

解释变量 是随机变量，叫做随机解释变量，产生随机解释变量的原因主要包括：省略了解释变量，观测误差，滞后的内生变量。随机解释变量按其与随机扰动项的关系可以分为三种不同的情况，如果随机解释变量与随机扰动项相关，我们认为它不满足最小二乘法的古典假设。在三种不同的情况下，得到的最小二乘估计的性质有所不同，随机解释变量使模型参数估计值失去一致性。工具变量法是我们选择解决随机解释变量对模型参数估计影响的方法。