1.数的整除问题(一)

数的整除问题（一）

1.整除——约数和倍数

一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整数b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b整除（或者b能整除a）,记作b|a。否则，称为a不能被b整除（或者b 不能整除a），记作b a。

如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

2.数的整除性质

性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

即：如果c|a，c|b,那么c|(a±b)。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。

即：如果bc|a，那么b|a，c|a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

即：如果b|a,c|a,且（b,c）=1，那么bc|a。

性质4：如果c能整除b，b能整除a,那么c能整除a。

即：如果c|b,b|a,那么c|a。

3.数的整除特征

（1）能被2整除：末尾是0、2、4、6、8的整数

（2）能被5整除：末尾是0、5

（3）能被3（或9）整除：各个数位数字之和能被3（或9）整除

（4）能被4（或25）整除：末两位数能被4（或25）整除

（5）能被8（或125）整除：末三位能被8（或125）整除

（6）能被11整除：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数

（7）能被7（11或13）整除：一个数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（大减小）能被7（11或13）整除

【例题精讲】

【例1】已知45|，求所有满足条件的六位数。

【练习】已知72|，求满足条件的五位数。

【例2】李老师为学校一共买了28支价格相同的港币，共付人民币9□.2□元。已知□处数字相同，请问每支钢笔多少元？

【练习】一本陈年老账上记着：72只桶，共□67.9□元。这里□处字迹已不清。请把□处数字补上，并求桶的单价。

【例3】在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。

【练习】若五位数能同时被2、3、5整除，试求满足条件的所有这样的五位数。

【例4】把三位数接连重复地写下去，共写1993个，所得的数

1993个3ab 恰是91的倍数，试求。

【练习】将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个1993位数，试问：这个数能否被3整除？

【练习】已知五位数能被8和9整除，求x+y的值。

【例5】已知整数能被11整除，求所有满足条件的整数。

【练习】证明：任意一个三位数连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定能同时被7、11、13整除。

【练习】在21991□的“□”里填上适当的数字，使这个六位数能被66整除。

【小试牛刀】

1、一个五位数2□89□能被36整除，求□里应填什么数字。

2、一个六位数12□34□是88的倍数，这个数除以88所得的商是多少？

3、如果六位数1993□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？

4、六位数2003□□能被99整除，它的商的最后两位数是多少？

5、从2、3、5、7四个数字中任选三个组成能同时被3和25整除的三位数，这

样的三位数是多少？

6、一个能被11整除，首位数字是6，其余各位数字各不相同的最小六位数是多

少？

7、一个六位数的各位数字都不相同，最左边一个数字是3，且此六位数能被11

整除，这样的六位数中最小的一个是多少？