2015届高三数学(理)湘教版一轮复习课时跟踪检测38 基本不等式]

课时跟踪检测(三十八) 基本不等式

第Ⅰ组：全员必做题

1．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x 2＋1

4)＞lg x (x ＞0)

B ．sin x ＋1

sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )

C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1

x 2＋1

＞1(x ∈R ) 2．(2014·宁波模拟)若a >0，b >0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( ) A.1

2

B ．1

C ．2

D ．4

3．若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值是( ) A ．0 B ．1 C ．2

D.5

2

4．函数y ＝x 2＋2

x －1(x >1)的最小值是( )

A ．23＋2

B ．23－2

C ．2 3

D ．2

5．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋k

a ＋

b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )

A ．0

B ．4

C ．－4

D ．－2

6．(2013·临沂二模)已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2

cd

的最小值是________．

7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．

8.(创新题)规定记号“?”表示一种运算，即a ?b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1?k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ?x

x

的最小值为________．

9．正数x ，y 满足1x ＋9

y

＝1.

(1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值．

10．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．

(1)若建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y 万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y ＝f (x )的表达式；

(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？

第Ⅱ组：重点选做题

1．(2013·台州一模)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y ＝1，则xy 的最小值为( )

A ．4

B ．4 3

C ．9

D ．16

2．(2013·北京海淀模拟)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )

A ．(－∞，－1)

B ．(－∞，22－1)

C ．(－1,22－1)

D ．(－22－1,22－1)

答 案

第Ⅰ组：全员必做题

1．选C 取x ＝12，则lg ????x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝3

2π，则sin x ＝－1，故排除B ； 取x ＝0，则1

x 2＋1

＝1，故排除D.

2．选A ∵a >0，b >0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤1

2

.当且仅当a ＝1，b

＝1

2

时等号成立． 3．选B ∵a >1，b >1.∴lg a >0，lg b >0. lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b )24＝(lg ab )2

4＝1.

当且仅当a ＝b ＝10时取等号． 4．选A ∵x >1，∴x －1>0. ∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2

x －1

＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1

＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2

≥2

(x －1)???

?3

x －1＋2＝23＋2.

当且仅当x －1＝3

x －1，

即x ＝1＋3时，取等号．

5．选C 由1a ＋1b ＋k

a ＋

b ≥0得k ≥－(a ＋b )2ab ，而(a ＋b )2ab ＝b a ＋a b ＋2≥4(a ＝b 时取等号)，

所以－(a ＋b )2ab ≤－4，因此要使k ≥－(a ＋b )2

ab 恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于

－4.

6．解析：∵x ，a ，b ，y 成等差数列， ∴a ＋b ＝x ＋y .

∵x ，c ，d ，y 成等比数列，∴cd ＝xy ，

则(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝y x ＋x y ＋2≥4(x >0，y >0)，当且仅当y x ＝x y 时，取等号．

答案：4

7．解析：设x 为仓库与车站距离，由已知y 1＝20

x ；y 2＝0.8x 费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x

＋20x

≥2 0.8x ·20x ＝8，当且仅当0.8x ＝20

x

，即x ＝5时“＝”成立．

答案：5

8．解析：1?k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0， ∴k ＝1或k ＝－2(舍)，∴k ＝1. f (x )＝1?x x ＝x ＋x ＋1

x

＝1＋x ＋

1

x

≥1＋2＝3， 当且仅当x ＝1

x

即x ＝1时等号成立． 答案：1 3

9．解：(1)由1＝1x ＋9

y ≥2

1x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9

y

，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.

(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )·1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x

y ≥19＋2

2y x ·9x

y

＝19＋62，当且仅当2y x ＝9x

y

，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2. 10．解：(1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元， 建筑第1层楼房建筑费用为720×1 000＝720 000(元)＝72 (万元)， 楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20×1 000＝20 000(元)＝2(万元)， 建筑第x 层楼房的建筑费用为72＋(x －1)×2＝2x ＋70(万元)， 建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为

y ＝f (x )＝72x ＋x (x －1)

2×2＋100＝x 2＋71x ＋100，

综上可知y ＝f (x )＝x 2＋71x ＋100(x ≥1，x ∈Z )．

(2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g (x )，则g (x )＝f (x )×10 0001 000x ＝10f (x )

x

＝

10(x 2＋71x ＋100)x ＝10x ＋1 000

x

＋710≥2

10x ·1 000

x

＋710＝910.

当且仅当10x ＝1 000

x ，即x ＝10时等号成立．综上可知应把楼层建成10层，此时平均

综合费用最低，为每平方米910元．

第Ⅱ组：重点选做题

1．选D 由32＋x ＋3

2＋y ＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8

＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.

2．选B 由f (x )>0得32x －(k ＋1)3x ＋2>0， 则k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋2

3

x ≥2 2.

???

?当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立， ∴k ＋1<22，k <22－1.