江苏省高等数学竞赛试题汇总
2010年江苏省《高等数学》竞赛试题(本科二级)
一 填空题(每题4分,共32分) 1.0sin sin(sin )
lim
sin x x x x
→-=
2.2
ln(1x y x =+,/
y = 3.2cos y x =,()()n y x = 4.2
1x
x e dx x -=? 5.4
2
1
1dx x
+∞
=-?
6.圆222
222042219x y z x y z x y z +-+=??
?++--+≤??的面积为 7.(2,)x
z f x y y
=-,f 可微,//12(3,2)2,(3,2)3f f ==,则(,)(2,1)x y dz
==
8.级数1
1(1)!
2!n n
n n n ∞
=+-∑的和为 . 二.(10分)
设()f x 在[],a b 上连续,且()()b
b
a
a
b f x dx xf x dx =??,求证:存在点(),a b ξ∈,使得()0a
f x dx ξ
=?.
三.(10分)已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2,E 为11D C 的中点,F 为侧面正方形11BCC B 的中点,(1)试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。(2)试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.
四(12分)已知ABCD 是等腰梯形,//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长,使得梯形绕
AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
五(12分)求二重积分()22cos sin D
x y dxdy +??,其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥
六、(12分)求()()21x
x y e dx x y dy Γ
++++?,其中Γ为曲线22201
212
x x x y x x ?≤≤?+=≤≤?从()0,0O 到()1,1A -.
七.(12分)已知数列{}n a 单调增加,123111,2,5,
,3n n n a a a a a a +-====-
()2,3,
,n =记1
n n x a =,判别级数1
n n x ∞
=∑的敛散性.
2010年江苏省《高等数学》竞赛试题(本科三级)
一 填空题(每题4分,共32分) 1.0sin sin(sin )
lim
sin x x x x
→-=
2.2arctan tan x y x e x =+,/y =
3.设由y x x y =确定()y y x =,则
dy
dx
= 4.2cos y x =,()()n y x = 5.21x
x e dx x
-=?
6.(2,)x
z f x y y
=-,f 可微,//12(3,2)2,(3,2)3f f ==,则(,)(2,1)x y dz
==
7设(),f u v 可微,由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =,则z z x y
??+=?? 8.设22:2,0D x y x y +≤≥
,则D
=
二.(10分)设a 为正常数,使得2ax x e ≤对一切正数x 成立,求常数a 的最小值三.(10分)设()f x 在[]0,1上连续,且1
1
()()f x dx xf x dx =??,求证:存在点()0,1ξ∈,使得0
()0f x dx ξ
=?.
四.(12分)求广义积分4
2
1
1dx x
+∞
-?
五.(12分)过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线,求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕
x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.
六、(12分)已知ABCD 是等腰梯形,//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长,使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
七(12分)求二重积分()22cos sin D
x y dxdy +??,其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥
2008年江苏省高等数学竞赛题(本科一级)
一.填空题(每题5分,共40分) 1.
a
,
b
时,
2lim
arctan 2
x
ax x
x
bx x
2. a ,b 时()ln(1)
1x
f x ax bx
在0x 时关于x 的无穷小的
阶数最高。
3.
2420
sin cos x xdx
4.通过点1,1,1与直线,2,2
x t y
z
t 的平面方程为
5.设2
2
2,x z
x
y
则(2,1)
n
n
z
y =
6.设D 为,0,1y x x y 围成区域,则arctan D
ydxdy
7.设为22
2(0)x y x y
上从(0,0)O 到(2,0)A 的一段弧,则()()x
x
ye x dx
e xy dy =
8.幂级数
1
n n nx 的和函数为 ,收敛域为 。
二.(8分)设数列n x 为12
2
3,33,
,33
(1,2,)n
n x x x x n
证明:数列n x 收敛,并求其极限
三.(8分)设()f x 在,a b 上具有连续的导数,求证/1max ()
()()b b a x b
a
a
f x f x dx
f x dx b a
四.(8分)1)证明曲面:(cos )cos ,sin ,(cos )sin x b a y a z b
a
02,020a b 为旋转曲面
2)求旋转曲面所围成立体的体积
五.(10分)函数(,)u x y 具有连续的二阶偏导数,算子A 定义为 1)求(())A u
A u ;2)利用结论1)以
,y
x y x
为新的自变量改变方程
2
2
2
2
2
2
2
20u u u x
xy
y
x x y
y 的形式
六.(8分)求26
01
lim sin()t
t x
t dx
xy dy t
七.(9分)设222
:1(0)x y z z
的外侧,连续函数
求(,)f x y 八.(9分)求23(3)
()
(1)(13)
x x f x x x 的关于x 的幂级数展开式
2006年江苏省高等数学竞赛试题(本科一、二级)
一.填空(每题5分,共40分) 1.()3
x f x a =,()()()4
1lim
ln 12n f f f n n →∞=????
2. ()()
2
5001lim 1x
tx x e dt x -→-=?
3. ()
12
02arctan 1x
dx x =+? 4.已知点()4,0,0,(0,2,0),(0,0,2)A B C --,O 为坐标原点,则四面体OABC 的内接球面方程为 5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =,则()
,0e dz
=
6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时,()1,0f -为其极大值.
7.设Γ是sin (0)y a x a =>上从点()0,0到(),0π的一段曲线,a = 时,曲线积分
()(
)2
2
2y x
y dx xy e
dy Γ
+++?取最大值.
8.级数(
)
1
1
1n p
n n ∞
+=-∑条件收敛时,常数p 的取值范围是
二.(10分)某人由甲地开汽车出发,沿直线行驶,经2小时到达乙地停止,一路畅通,若开车的最大速度为100公里/小时,求证:该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于200-公里/小时3
三.(10分)曲线Γ的极坐标方程为1cos 02πρθθ?
?=+≤≤ ???,求该曲线在4πθ=所对应的点的切线L
的直角坐标方程,并求切线L 与x 轴围成图形的面积.
四(8分)设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的有界函数,()()1f x f x '-≤, 求证:()()1.,f x x ≤∈-∞+∞
五(12分)本科一级考生做:设锥面22233(0)z x y z =+≥
被平面40x +=截下的有限部分为∑.(1)求曲面∑的面积;(2)用薄铁片制作∑
的模型,(2,0,(A B -为∑上的两点,O 为原点,将∑沿线段OB 剪开并展成平面图形D ,以OA 方向为极坐标轴建立平面极坐标系,写出D 的边界的极坐标方程.
本科二级考生做:设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面
∑的面积,用薄铁片制作∑的模型,()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点,将∑沿线段BC 剪
开并展成平面图形D ,建立平面在极坐标系,使D 位于x 轴正上方,点A 坐标为()0,5,写出D 的边界的方程,并求D 的面积.
六(10分)曲线220x z
y ?=?=?绕z 轴旋转一周生成的曲面与1,2z z ==所围成的立体区域记为Ω,
本科一级考生做222
1
dxdydz x y z Ω
++???
本科二级考生做()222x y z dxdydz Ω
++???
七(10分)本科一级考生做1)设幂级数2
1
n
n n a x ∞
=∑的收敛域为[]1,1-,求证幂级数1
n
n n a x n ∞
=∑
的收敛域也为[]1,1-;2)试问命题1)的逆命题是否正确,若正确给出证明;若不正确举一反例说明. 本科二级考生做:求幂级数()21
12n
n n n x ∞
=+∑
的收敛域与和函数 2006年江苏省高等数学竞赛试题(本科三级、民办本科)
一.填空(每题5分,共40分)
1.22
232323212lim 12n n n n n n →∞??
+++= ?+++??
2.
()
2
3
01lim 1x
t x e dt x -→-=? 3. )
lim
0x ax b →+∞
+=,则,a b =
4.()()()2sin 1,0x f x x x e f ''=++=
5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =,则()
,0e dz
=
6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时,()1,0f -为其极大值.
7.交换二次积分的次序()2
1
1,x e e
x
dx f x y dy -=??
.
8.设22:2,02D x x y y x ≤+≤≤≤,则D
=
二.(8分)设()()
2sin 0ln 10
ax b x c x f x x x ?++≤?
=?
+>??,试问,,a b c 为何值时,()f x 在0x =处一阶导数连续,
但二阶导数不存在.
三.(9分)过点()1,5作曲线3:y x Γ=的切线L ,(1)求L 的方程;(2)求Γ与L 所围成平面图形D
的面积;(3)求图形D 的0x ≥部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.
四(8分)设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的函数,()00f =,()()1f x f x '-≤, 求证:()[)1.0,x f x e x ≤-∈+∞ 五(8分)求()
1
2
arctan 1x
dx x +?
六(9分)本科三级做:设()()()()()()
22
22
tan ,0,0,0,0,0x y x y x y x y
f x y x y -?+≠?+=??=?,
证明(),f x y 在点()0,0处可微,并求()
()
0,0,df x y
民办本科做:设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面∑的面积,用薄铁片制作∑的模型,()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点,将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ,建立平面在极坐标系,使D 位于x 轴正上方,点A 坐标为()0,5,写出D 的边界的方程,并求D 的面积.
七(9分)本科一级考生做:用拉格朗日乘数法求函数(
)22,2f x y x y =+在区域2224x y +≤上的最大值与最小值. 八(9分)设D 为,,02
y x x y π
==
=所围成的平面图形,求()cos D
x y dxdy +??.
2004年江苏省高等数学竞赛试题(本科二级)
一.填空(每题5分,共40分)
1. ()f x 是周期为π的奇函数,且在0x =处有定义,当0,2x π??
∈ ???时,()sin cos 2f x x x =-+,
求当,2x ππ??
∈ ???
时,()f x 的表达式 .
2. ()2tan 2
lim sin x
x x π
→
=
3. 2
222lim 14n n
n n n n n n →∞??
+++
= ?+++?
?
4. ()()2ln 1,2f x x x n =->时()()0n f =
5. ()
()
2
1x x e x dx x e -=-?
6.()1
12n
n n
n ∞
==+∑
. 7.设(),f x y 可微,()()()1,22,1,23,1,24x y f f f ''===,()()(),,2x f x f x x ?=, 则()1?'= .
8. 设()()010x x f x g x ≤≤?==??
其他,D 为,x y -∞<<+∞-∞<<+∞,则
()()D
f y f x y dxdy +=?? .
二.(10分)设()f x 在[],a b 上连续,()f x 在(),a b 内可导,(),f a a =,()()2
212
b
a
f x dx b a =
-?,求证: (),a b 内至少存在一点ξ使得()()1f f ξξξ'=-+
三.(10分)设22:4,,24D y x y x x y -≤≥≤+≤,在D 的边界y x =上任取点P ,设P 到原点距离为t ,作PQ 垂直于y x =,交D 的边界224y x -=于Q 1)试将,P Q 的距离PQ 表示为t 的函数; 2)求D 饶y x =旋转一周的旋转体的体积
四(10分)已知点(1,0,1),(3,1,2)P Q ,在平面212x y z 上求一点M ,使PM MQ 最小
五(10分)求幂级数()
(
)
11
32n n
n n x n ∞
=+-∑
的收敛域。
六(10分)设(),f x y 可微,()()()1,22,1,22,1,23x y f f f ''===,
()()()(),2,2,2x f f x x f x x ?=,求()1?'.
七(10分)求二次积分()2
220
2
1d e d ππ
ρθθθρ-??
2004年江苏省高等数学竞赛试题(本科三级)
一.填空(每题5分,共40分)
1. ()f x 是周期为π的奇函数,且在0x =处有定义,当0,2x π??
∈ ???时,()sin cos 2f x x x =-+,
求当,2x ππ??
∈ ???
时,()f x 的表达式.
2. 0x →时,sin cos x x x -?与k cx 为等价无穷小,则c =
3.()2tan 2
lim sin x
x x π
→
=
4. 2
222lim 14n n
n n n n n n →∞??
+++
= ?+++?
?
5. ()()2ln 1,2f x x x n =->时()()0n f =
6. ()
()
2
1x x e x dx x e -=-?
7. ()
1,1arctan ,x
z dz
y
-== .
8. 设()()01
x x f x g x ≤≤?==??其他,D 为,x y -∞<<+∞-∞<<+∞,则
()()D
f y f x y dxdy +=?? .
二.(10分)设()f x 在[],a b 上连续,()f x 在(),a b 内可导,(),f a a =,()()2
212
b
a
f x dx b a =
-?,求证: (),a b 内至少存在一点ξ使得()()1f f ξξξ'=-+
三.(10分)设22:4,,24D y x y x x y -≤≥≤+≤,在D 的边界y x =上任取点P ,设P 到原点距离为t ,作PQ 垂直于y x =,交D 的边界224y x -=于Q 1)试将,P Q 的距离PQ 表示为t 的函数; 2)求D 饶y x =旋转一周的旋转体的体积
四(10分)设()f x 在(),-∞+∞上有定义,()f x 在0x =处连续,且对一切实数12,x x 有
()()()1212f x x f x f x +=+,求证:()f x 在(),-∞+∞上处处连续。
五(10分)上k 为常数,方程1
10kx x
-+=在()0,+∞恰有一个根,求k 的取值范围。
六(10分)已知点(1,0,1),(3,1,2)P Q ,在平面212x y z 上求一点M ,使PM MQ 最小
七(10分)求幂级数()
1132n
n n
n x n ∞
=+∑
的收敛域。 2002年江苏省高等数学竞赛试题(本科二级)
一.填空(每题5分,共40分)
1.()0lim 0x k
x e c c x →-=≠,则k = ,c =
2. 设()f x 在[)1,+∞上可导,下列结论成立的是 A. 若()lim 0x f x →+∞
'=,则()f x 在[)1,+∞上有界
B. 若()lim 0x f x →+∞
'≠,则()f x 在[)1,+∞上无界
C. 若()lim 1x f x →+∞
'=,则()f x 在[)1,+∞上无界
3. 设由()1y e x y x x -+-=+确定()y y x =,则()0y ''=
4.()arcsin arccos x x dx -=?
5. 曲线2222
2z x y x y y
?=+?+=?,在点()1,1,2的切线的参数方程为 6.设(),sin x y z f g e y x ??
=+ ???
,f 有二阶连续导数,g 有二阶连续偏导数,
则
2z
x y
?=?? 7. 交换二次积分的次序()2130
,x
x
dx f x y dy -=?? .
8.幂级数11
112n n x n ∞
=??
++
+ ??
?
∑的收敛域 二.(8分)设()f x 在[)0,+∞上连续,单调减少,0a b <<, 求证0
()()b
a
a f x dx
b f x dx ≤??
三.(8分)设()f x 在[],a b 上连续,()()0b b
x a
a
f x dx f x e dx ==??,求证: ()f x 在(),a b 内至少存在
两个零点. 四.(8分)求直线1211
x y z
-==-绕y 轴旋转一周的旋转曲面方程,求求该曲面与0,2y y ==所包围的立体的体积.
五.(9分)设k 为常数,试判断级数()
()
2
21ln n
k n n
n ∞
=-∑的敛散性,何时绝对收敛?何时条件收敛?何时发散?
六.(9分)设()()()()()
,0,0,0,0,0y x y f x y x y ?
≠?
=?
?=?
讨论(),f x y 在点()0,0处连续性,可偏导
性?可微性.
七.(9分)设()f u 在0u =可导,()22200,:2f x y z tz =Ω++≤, 求()2225
1
lim t f x y z dxdydz t +
→Ω
++???
八.(9分)设曲线AB 的极坐标方程为1cos 22π
πρθθ??=--≤≤ ???,一质点P 在力F 作用下沿曲线AB
从()0,1A -运动到()0,1B ,力F 的大小等于P 到定点()3,4M 的距离,其方向垂直于线段MP ,且与y 轴正向的夹角为锐角,求力F 对质点P 做得功.
2002年江苏省高等数学竞赛试题(本科三级)
一.填空(每题5分,共40分)
1.()0lim 0x k
x e c c x →-=≠,则k = ,c =
2. 设()f x 在[)1,+∞上可导,下列结论成立的是 A. 若()lim 0x f x →+∞
'=,则()f x 在[)1,+∞上有界
B. 若()lim 0x f x →+∞
'≠,则()f x 在[)1,+∞上无界
C. 若()lim 1x f x →+∞
'=,则()f x 在[)1,+∞上无界
3. 设由()1y e x y x x -+-=+确定()y y x =,则()0y ''=
4.()arcsin arccos x x dx -=?
5.
4
+∞=?
6.设(),sin x y z f g e y x ??
=+ ???
,f 有二阶连续导数,g 有二阶连续偏导数,
则
2z
x y
?=?? 7. 交换二次积分的次序()2130
,x
x
dx f x y dy -=?? .
8.函数(),21f x y x y =-+满足方程225x y +=的条件的极大值为 极小值为
二.(8分)设()f x 在[)0,+∞上连续,单调减少,0a b <<,
求证0
()()b a
a f x dx
b f x dx ≤??
三.(8分)设()sin f x kx x =+,1)若1k ≥,求证()f x 在(),-∞+∞上恰有一个零点;2)若0k >,且()f x 在(),-∞+∞上恰有一个零点,求常数k 的取值范围.
四.(8分)求20
1sin 1cos x
x
e dx x
π
++?
五.(9分)设(
)()()()()
,0,0,0,0,0y x y f x y x y ?
≠?
=?
?=?
讨论(),f x y 在点()0,0处连续性,可偏导
性?可微性.
六.(8分)设(),z f x y =,()x y ?=,f 的二阶偏导数连续,?可导,()0y ?'=
求全导数22d z
dx
七.(9分)设()f u 在0u =可导,()2200,:2,0f D x y tx y =+≤≥,
求4
1
lim t D
f ydxdy t +
→??
八.(9分)求()sin ,:0,0,2
D
x y dxdy D x y x y π
-≥≥+≤
??
2000年江苏省高等数学竞赛试题(本科二级)
一.填空(每题3分,共15分)
. 1.设(
)f x =()f f x =????
2. 1lim
ln 1
x x x x
x x →-=-+ 3. 已知()21
d f x dx x ??=?
?,则()f x '=
4.()
14
4
5
1x dx x
=+?
5..设(),z z x y =由方程,0y z F x x ??
= ???
确定(F 为任意可微函数),
则z z
x
y x y
??+=?? 二选择题(每题3分,共15分)
1.对于函数112121
x
x
y -=
+,点0x =是( )
A. 连续点;
B. 第一类间断点;
C. 第二类间断点;D 可去间断点
2.已知函数()y f x =对一切x 满足()()2
31x
xf x x f x e -''+=-????
,若()000(0)f x x '=≠,则( ) A. ()0f x 是()f x 的极大值; B. ()()00,x f x 是曲线()y f x =的拐点; C. ()0f x 是()f x 的极小值;
D ()0f x 不是()f x 的极值,()()00,x f x 也不是曲线()y f x =的拐点
3. lim
x )
A. 等于1;
B. 等于0;
C. 等于1-;D 不存在,但也不是+∞ 4.若
()()
0000,,,
x y x y f
f x
y
????都存在,则(),f x y 在()00,x y
A. 极限存在,但不一定连续;
B. 极限存在且连续;
C. 沿任意方向的方向导数存在; D 极限不一定存在,也不一定连续
5.设α
为常数,则级数2
1sin n n n α∞
=? ?
∑ A. 绝对收敛 B. 条件收敛; C. 发散; D 收敛性与α取值有关
三(6分)求111lim 12n n n n n →∞??
+++
?+++?
?
四(6分)已知函数()y y x =由参数方程(1)010
y x t t te y +-=??++=?确定,求20
2
t d y
dx =
五(6分)设()(),f x g x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导且对于(),a b 一切x 均有
()()()()0f x g x f x g x ''-≠,证明若()f x 在(),a b 内有两个零点,则()g x 至少存在一个介于这两个零点之间的零点。
六(6分)设()1
0110
1x
x x
f x x e ?≥??+=?
?+?,求()2
1f x dx -?。
七(6分)已知z uv =,cos ,sin u u x e v y e v ==,求
,z z x y
???? 八(8分)过抛物线2y x =上一点()2,a a 作切线,问a 为何值时所作的切线与抛物线241y x x =-+-所围成的平面图形面积最小。
九(8分)求级数()11n
n n x ∞
=-∑的收敛域及和函数.
十(8分)设()f x 在[],a b 上连续且大于零,利用二重积分证明不等式:()()
()2
1b b
a a
f x dx dx b a f x ≥-?? 十一(8分)计算曲线积分()()43224465L
I x xy dx x y y dy =++-?,其中L 为曲线()21
35
y x =-
-上点(2,1)A --沿逆时针方向到该曲线上点()3,0B 的一段曲线。
十二(8分)计算曲面积分()2421zxdydz zydzdx z dxdy ∑
-+-??,其中∑为曲面(0)y z e y a =≤≤绕z 轴
旋转一周所成曲面之下侧
2000年江苏省高等数学竞赛试题(本科三级)
一.填空(每题3分,共15分) 1. 已知
()21
d f x dx x ??=?
?,则()f x '= 设
2. ()1
ln 0
lim tan x
x x +
→=
3.=
4若级数()
1
1
266n n n
n n a
n
-∞=-+∑
收敛,则a 的取值为 5.()()sin a
a f x f x xdx -+-=???
?? 二选择题(每题3分,共15分)
1.函数()()211x e f x x x -=-,的可去间断点为( )
A. 0,1x =;
B. 1x =;
C. 0x =;D 无可去间断点 2.改变积分次序()21
10
1
,y
y dy f x y dx --=??( )
A. (
)11,dx f x y dy -?; B. (
)()01110
,,x
dx f x y dy dx f x y dy --+???
;
C. (
)1
,dx f x y dy ?; D (
)1
11,x
dx f x y dy --?
3. 设()f x 可导,()()()1sin F x f x x =+,若欲使()F x 在0x =可导,则必有( ) A. ()00f '=; B. ()00f =;C. ()()000f f '+=;D ()()000f f '-=
4.若
()()
0000,,,
x y x y f f x
y
????都存在,则(),f x y 在()00,x y
A.连续且可微;
B.连续但不可微;
C. 可微但不连续; D 不一定可微,也不一定连续
5.()()22,2x f x y e x y y =++在点1,12??
- ???
处取( )
A. 极大值2e -
B. 极小值2
e
-; C. 不取极大值; D 极小值e
三(6分)设()()
()
2
2
22
ln 1lim
ln x e
x t x ax bx dx x x e dt
+∞
→+-+=?
?
,求常数,a b 。
四(6分)设(1)y z xy =+,求()1,1dz 。
五(6分)设()(),f x g x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导且对于(),a b 一切x 均有
()()()()0f x g x f x g x ''-≠,证明若()f x 在(),a b 内有两个零点,则()g x 至少存在一个介于这两个零点之间的零点。
六(6分)计算二重积分2D
y x dxdy -??,其中D 为正方形区域1,02x y ≤≤≤
七(8分)过抛物线2y x =上一点()2,a a 作切线,问a 为何值时所作的切线与抛物线241y x x =-+-所围成的平面图形面积最小。
八(6分)当0x →时,()()()220x
F x x t f t dx '=-?的导数与2x 为等价无穷小,求()0f '。
九(8分)求幂级数()211
21n n n x ∞
+=+∑的收敛域及和函数.
十(8分)将()1arctan
1x
f x x
+=-展开为x 的幂级数,并指出收敛区间。 十一(8分)求581
x x
dx x -+?。
十二(8分)设函数()f x 在(),-∞+∞上连续,且满足()(
)2
2
2
2
242
x y t
f t x
y f
dxdy t +≤=++??,
求()f x
(新)高数竞赛试题集
高等数学竞赛 一、 填空题 ⒈ 若 5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ,则a = ,b = . ⒉ 设2(1)()lim 1 n n x f x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = . ⒊ 曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 . ⒋ 已知x x xe e f -=')(,且f (1) = 0, 则f (x ) = . ⒌ 设函数 ()y x 由参数方程 33 31 31 x t t y t t ?=++??=-+?? 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值 范围为 . ⒍ 设 1 ln arctan 22+-=x x x e e e y ,则==1 x dx dy . ⒎若 0→x 时,1)1(4 1 2 --ax 与x x sin 是等价无穷小,则a= . ⒏ 设?? ???≥-<≤-=21,12121,)(2 x x xe x f x ,则=-?221)1(dx x f . ⒐ 由定积分的定义知,和式极限=+∑=∞→n k n k n n 12 2 lim . ⒑ 1+∞=? . 二、 单项选择题 11.把+ →0 x 时的无穷小量dt t dt t dt t x x x ???===0 3 2 sin ,tan ,cos 2 γβα,使排在后面的 是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是 【 】 (A) γ βα,,. (B) βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,. 12.设函数f(x)连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得 【 】 (A) f(x)在(0,)δ内单调增加. (B )f(x)在)0,(δ-内单调减少. (C )对任意的),0(δ∈x 有f(x)>f(0) . (D) 对任意的)0,(δ-∈x 有f(x)>f(0) . 13 . 设()(1)f x x x =-, 则 【 】 (A )0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. (B )0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. (C )0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. (D )0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点. 14 . lim (1)n n →∞+等于 【 】 (A ) 2 21 ln xdx ?. (B )21 2ln xdx ?. (C )2 1 2ln(1)x dx +?. (D )2 21 ln (1)x dx +? 15 . 函数 2 )2)(1() 2sin(||)(---= x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. 【 】 (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3).
江苏省高等数学竞赛题(本科一级)
2008年江苏省高等数学竞赛题(本科一级) 一.填空题(每题5分,共40分) 1.a =,b =时,2lim arctan 2 x ax x x bx x p +=--2. a =,b =时()ln(1)1x f x ax bx =-++在0x ?时关 于x 的无穷小的阶数最高。 3.2420 sin cos x xdx p =ò4.通过点()1,1,1-与直线,2,2x t y z t ===+的平面方程为 5.设222,x z x y =-则(2,1)n n z y ??= 6.设D 为,0,1y x x y ===围成区域,则 arctan D ydxdy=蝌7.设G 为222(0)x y x y +=?上从(0,0)O 到(2,0)A 的一段弧,则 ()()x x ye x dx e xy dy G ++-ò= 8.幂级数1 n n nx ¥ =?的和函数为,收敛域为。二.(8分)设数列{}n x 为1223,33,,33(1,2,)n n x x x x n +==-=-+=L L 证明:数列{}n x 收敛,并求其极限 三.(8分)设()f x 在[],a b 上具有连续的导数,求证 / 1 max ()()()b b a x b a a f x f x dx f x dx b a #?-蝌四.(8分)1)证明曲面:(cos )cos ,sin ,(cos )sin x b a y a z b a q j q q j S =+==+()02,02q p j p ##()0a b <<为旋转曲面 2)求旋转曲面S 所围成立体的体积 五.(10分)函数(,)u x y 具有连续的二阶偏导数,算子 A 定义为
最新大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
前三届高数竞赛预赛试题(非数学类) (参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看 一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。) 2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15,其中区域D 由直线1=+y x 与 两坐标轴所围成三角形区域. 解:令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=, ? -=10 2 d 1u u u (*) 令u t -=1,则21t u -= dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-, 2.设)(x f 是连续函数,且满足?--=2 022d )(3)(x x f x x f ,则 =)(x f ____________. 解:令?=2 0d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f , A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4=A 。因此3 10 3)(2- =x x f 。 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是 __________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面 2 2 22-+=y x z 在 ) ,(00y x 处的法向量为 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平 行,因此,由 x z x =, y z y 2=知
江苏省第十九届初三数学竞赛试卷
江苏省第十九届初中数学竞赛试题 (初三年级)第二试 班级_________姓名_________成绩_________ 确的,请将正确答案的英文字母填在题后圆括号内。 1、已知整数,x y =,那么整数对(,)x y 的个数是( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 2、方程222x x x -=的正根的个数是 ( ) (A ) 0 (B )1 (C )2 (D )3 3、在直角坐标系中,已知两点A (8,3)-、B (4,5)-以及动点C (0,)n 、D (,0)m , 则当四边形ABCD 的周长最小时,比值 m n 为 ( ) (A )23- (B )2- (C )32- (D )3- 4、设一个三角形的三边长为正整数,,a n b ,其中b n a ≤≤。则对于给定的边长n ,所有这样的三角形的个数是 ( ) (A )n (B )1n + (C )2n n + (D )1(1)2 n n + 5、甲、乙、丙、丁4人打靶,每人打4枪,每人各自中靶的环数之积都是72(中靶环数最高为10),且4人中靶的总环数恰为4个连续整数,那么,其中打中过4环的人数为 ( ) (A ) 0 (B )1 (C )2 (D )3 6、空间6个点(任意三点不共线)两两连线,用红、蓝两色染这些线段,其中A 点连出的线段都是红色的,以这6个点为顶点的三角形中,三边同色的三角形至少有 ( ) (A )3个 (B )4个 (C )5个 (D )6个
二、填空题(每题7分,共56分) 7、已知1222 S x x x =--++,且12x -≤≤,则S 的最大值与最小值的差是 。 8、已知两个整数a 、b ,满足010b a <<<,且9a a b +是整数, 那么数对(,)a b 有 个。 9、方程22229129x y x y xy ++-=的非负整数解是_______________________________________。 10、密码的使用对现代社会是极其重要的。有一种密码的明文(真实文),其中的字母按计算机键盘顺序(自左至右、自上而下)与26个自然数1,2,3,…,Q W E R T Y U I O P A S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 F G H J K L Z X C V B N M 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 x '。例如,有一种译码方法按照以下变换实现: x x '→,其中x '是(32)x +被26除所得的余数与1之和(126)x ≤≤。 则1x =时,6x '=,即明文Q 译为密文Y ; 10x =时,7x '=,即明文P 译为密文U 。 现有某变换,将明文字母对应的自然数x 变换为密文字母相应的自然数x ': x x '→,x '为(3)x b +被26除所得余数与1之和(126,126)x b ≤≤≤≤。 已知运用此变换,明文H 译为密文T ,则明文DAY 译成密文为____。 11、如图,AB 为半圆O 的直径,C 为半圆上一点,60AOC ∠=,点P 在AB 的延长线上,且3PB BO cm ==。连结PC 交半圆于点D ,过P 作PE ⊥PA 交AD 的延长线于点E ,则PE = cm 。 A E P C D 第11题
江苏省第一届至第十届高等数学竞赛本科三级试题
江苏省第一届(1991年)高等数学竞赛 本科竞赛试题(有改动) 一、填空题(每小题5分,共50分) 1.函数sin sin y x x =(其中2 x π ≤ )的反函数为________________________。 2.当0→x 时,34sin sin cos x x x x -+x 与n x 为同阶无穷小,则n =____________。 3.在1x =时有极大值6,在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。 4.设(1)()n m n n d x p x dx -=,n m ,是正整数,则(1)p =________________。 5. 22 2 [cos()]sin x x xdx π π - +=? _______________________________。 6. 若函数)(t x x =由?=--x t dt e t 102 所确定的隐函数,则==0 2 2t dt x d 。 7.已知微分方程()y y y x x ?'= +有特解ln x y x =,则()x ?=________________________。 8.直线21x z y =?? =?绕z 轴旋转,得到的旋转面的方程为_______________________________。 9.已知a 为单位向量,b a 3+垂直于b a 57-,b a 4-垂直于b a 27-,则向量b a 、的夹 角为____________。 10. =? ????????? ??+???? ??+???? ??+∞→n n n n n n 12222 2212111lim 。 二、(7分) 设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ,求n n a ∞ →lim 。 三、(7分)求c 的值,使? =++b a dx c x c x 0)cos()(,其中a b >。
浙江省高数竞赛积分习题集
例1(1)ln ln ln (1ln )(1ln )(ln )x x x x x x x x x x dx e x dx e d x x e C x C +=+==+=+??? (2) dx x x x dx x x x ?? +++=+++22221)1ln(1) 1ln( )1ln()1ln(22? ++++= x x d x x () C x x +++=2 32 ) 1ln(3 2 (3) 2 ln tan ln tan 11ln tan ln tan (ln tan )sin 22sin cos 24 x x dx dx xd x x C x x x ===+??? (4)???+=+=+=+C x x x d dx x x x dx x x )arctan(cos ) (cos 1cos )(cos 1cos sin 2cos 12sin 2 2 22224 (5) C e x d e dx e x x x x x +=+=++++?? 2 2 2 12 112 11 例2、(1)(06年真题) dx x x x x ?-++) 1(188 4 解:(法一)48 8 1(1) x x dx x x ++=-?dx x x x dx x x x ??-+-+)1()1(188 84 7447 4848 11(1)1(1)1x x x x dx dx dx dx x x x x x x -+=+=+----? ??? 37 48 111x x dx dx dx x x x =++--?? ? 4811 ln ln 1ln 148 x x x C =- ---+ (法二) dx x x x x x dx x x x x ??-++-=-++) 1(21)1(188 4888437881211x x dx dx dx x x x =++--?? ? 而 dx x x dx x x dx x x x dx x x ????++-=+-=-4 3 4344383121121) 1)(1(1 444 444 1(1)1(1)11ln ||818181d x d x x C x x x -++=-+=+-+-??
江苏省高等数学竞赛历年真题(专科)
2012年江苏省第十一届高等数学竞赛试题(专科) 一.填空(4分*8=32分) 1.=-+-+→5614 34lim 4x x x 2. =+++∞→43 3321lim n n n 3. =?→x x tdt t x x 32030sin sin lim 4.)1ln(x y -=,则=)(n y 5.=? xdx x arctan 2 6.?=2 11arccos dx x x 7.点)3,1,2(-到直线22311z y x =-+=-的距离为 8.级数∑∞=--21)1(n k n n n 为条件收敛,则常数k 的取值范围是 二.(6分*2=12分) (1)求))(13(lim 31223 ∑=∞→+-i n i n n n (2)设)(x f 在0=x 处可导,且,2)0(,1)0(='=f f 求2 01)1(cos lim x x f x --→ 三.在下面两题中,分别指出满足条件的函数是否存在?若存在,举一例,若不存在,请给出证明。(4分+6分=10分) (1)函数)(x f 在),(δδ-上有定义(0>δ),当0<<-x δ时,)(x f 严格增加,当δ<
全国大学生数学竞赛试题及答案
河北省大学生数学竞赛试题及答案 一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。 【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续,故dx x ?1 02-1存在,且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i , 所以,= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。 二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中,无论a 为何值总有分母趋于零,因此要想极限存在,分子必 须为无穷小量,于是可知必有0=b ,当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?, 由上式可知:当0→x 时,若1≠a ,则此极限存在,且其值为0;若1=a ,则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x , 综上所述,得到如下结论:;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。 三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。
【解】 作变换t x -= 2 π ,则 =I 22 20π π = ?dt , 所以,4 π= I 。 四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。 【解】 因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。 又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0, 容易看出:当e x <<0时,0<'y ;当e x >时,0>'y 。 所以,x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。 而3 3 1 2 132> ? < 前三届高数竞赛预赛试题(非数学类) (参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看 一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。) 2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=, v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u (*) 令u t -=1,则2 1t u -= dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-, ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 4 2 d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2.设)(x f 是连续函数,且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f , A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面2222 -+=y x z 在) ,(00y x 处 的 法 向 量 为 ) 1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行,因此,由x z x =,y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====, 即1,200==y x ,又5)1,2(),(00==z y x z ,于是曲面022=-+z y x 在 )),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ,即曲面 22 22-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。 4.设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则 =2 2d d x y ________________. 解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导,得 29ln )()()(y e e y y f x e y y f y f '=''+ 因)(29ln y f y xe e =,故 y y y f x '=''+)(1 ,即))(1(1y f x y '-= ',因此 2 222)](1[)())(1(1d d y f x y y f y f x y x y '-' ''+'--=''= 3 22 232)] (1[)](1[)())(1(1)](1[)(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''='--'-''= 二、(5分)求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→Λ,其中n 是给定的正整数. 解 :因 电气与电子工程学院高等数学试卷 姓名: 班级: 得分: 一.填空题(2′×10) 1 .已知f(x)=()[]?? ? ??=≠+0,0,12sin x a x x x a ,在()+∞∞-,上连续,则a = . 2.X= 是函数f (x )=???≤>0 ,0 ,2x x x mx 的间断点,是第 类间断点. 3.有一数列{}Xn ,且Xn= n n 3 12-则此数列收敛还是发散. 4.求曲线y=e x 在点(0,1)处的切线方程为. 5.设函数f(x)=???>+≤1 ,1 ,x 2x b ax x 为了使函数f(x)在x=1处连续且可导,则 a = ,b=. 6.设y=f(x)是由e 02xy =-+x y 所确定的函数,则dy= . 7.设f ′(2)=1,则 ()=--→s s f s f s 2) (2lim 0 . 8.求函数2cos y x x =+在[0, 2 π ]上的大值 . 9.椭圆44x 2 2 =+y 在(0,2)处的曲率半径. 10.设常数k>0,函数f(x)=lnx-k e +x 在其定义域内零点个数为 个. 二.选择题(每题仅有一个正确选项,2′×10). 1.数列{x n}收敛是数列{x n}有界的( ) A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分必要条件 2.设f(x)=,0,cos 0 ,? ? ?>≤-x x x e x 则f (-x )=( ) A ???>-≤-0,cos 0,x x x e x B ???>≤0,cos 0,x x x e x C ???<-≥-0,cos 0,x x x e x D. ???<≥0,cos 0,x x x e x 3.设f(x)是可导函数,且 ,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为( ). A. -1 B. -2 C. 0 D. 1 4.设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100),则f ′(0)=( ). A. 0 B. 99! C. 100! D. (-1)100! 5.若f(-x)=f(x),(-∞ 2010年江苏省《高等数学》竞赛试题(本科二级) 一 填空题(每题4分,共32分) 1.0sin sin(sin ) lim sin x x x x →-= 2.2 ln(1x y x =+,/y = 3.2cos y x =,()()n y x = 4.21x x e dx x -=? 5.4 2 1 1dx x +∞ =-? 6.圆222 222042219 x y z x y z x y z +-+=?? ?++--+≤??的面积为 7.(2,)x z f x y y =-,f 可微,//12(3,2)2,(3,2)3f f ==,则(,)(2,1)x y dz == 8.级数1 1(1)! 2!n n n n n ∞ =+-∑的和为. 二.(10分) 设()f x 在[],a b 上连续,且()()b b a a b f x dx xf x dx =??,求证:存在点(),a b ξ∈,使 得()0a f x dx ξ =?. 三.(10分)已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2,E 为11D C 的中点,F 为侧面正方形11BCC B 的中点,(1)试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。(2)试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四(12分)已知ABCD 是等腰梯形,//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长,使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。 五(12分)求二重积分()22cos sin D x y dxdy +??,其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥ 六、(12分)求()()21x x y e dx x y dy Γ ++++?,其中Γ为曲线22 201212 x x x y x x ?≤≤?+=≤≤?从()0,0O 到()1,1A -. 七.(12分)已知数列{}n a 单调增加,123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====- ()2,3,,n = 记1 n n x a =,判别级数1 n n x ∞ =∑的敛散性. 大连市高等数学竞赛试 题B答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 大连市第二十三届高等数学竞赛试卷 答案(B) 一、填空题(本大题共5小题,每小题2分, 计10分) 1. n ? ?∞→= e^2 . 2. 30tan sin lim x x x x →- = 1/2 . 3. 0 lim x x x + →= 1 . 4. 2 cos lim x x t dt x →?= 1 . 5. 若221lim 2,2 x x ax b x x →--=+-则(,)(4,5).a b =- 二、(本题10分)设?????=≠=),0(1),0(1sin )(3 x x x x x f 求)(x f '. 解 当0≠x 时,x x x f 1 sin )(3=为一初等函数,这时 ; 1 cos 1sin 311cos 1sin 3)(2232x x x x x x x x x x f -=? ?? ??-??? ?? +='(6分) 当0=x 时,由于 ),0(01 sin lim )(lim 300f x x x f x x ≠==→→(8分) 所以)(x f 在0=x 处不连续,由此可知)(x f 在0=x 处不可导。(10分) 解:0,1,1x x x ===-为间断点。(3分) 当0x =时, 由于00lim ()lim 1,1|| x x x f x x x ++→→==+ 而00lim ()lim 1,x x f x --→→==- 所以0x =是跳跃间断点。(5分) 当1x =时, 由于11lim ()lim 1,1|| x x x f x x x →→==+ 所以1x =是可去间断点。(7分) 当1x =-时, 而1 lim (),x f x →-=∞ 所以1x =-是无穷间断点。(8分) 考生注意: 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 四 页 第 1页 2000年江苏省第五届高等数学竞赛试题(本科一级) 一、填空(每题3分,共15分) 1.设( )f x = ,则()f f x =???? . 2. 1lim ln 1 x x x x x x →-=-+ . 3. () 14 4 5 1x dx x =+? . 4.通过直线122123:32;:312321x t x t L y t L y t z t z t =-=+???? =+=-????=-=+?? 的平面方程为 . 5.设(),z z x y =由方程,0y z F x x ?? = ??? 确定(F 为任意可微函数),则z z x y x y ??+=?? 二、选择题(每题3分,共15分) 1.对于函数11 2121 x x y -= +,点0x =是( ) A. 连续点; B. 第一类间断点; C. 第二类间断点;D 可去间断点 2.设()f x 可导,()()() 1sin F x f x x =+,若欲使()F x 在0x =可导,则必有( ) A. ()00f '=; B. ()00f =;C. ()()000f f '+=;D ()()000f f '-= 3. () 00 sin lim x y x y x y →→+=- ( ) A. 等于1; B. 等于0;C. 等于1-;D 不存在 4.若 ()()0000,,, x y x y f f x y ????都存在,则 (),f x y 在()00,x y ( ) A. 极限存在,但不一定连续; B. 极限存在且连续; C. 沿任意方向的方向导数存在; D 极限不一定存在,也不一定连续 5.设α 为常数,则级数 21sin n n n α∞ =? ? ∑ ( ) A. 绝对收敛 B. 条件收敛; C. 发散; D 收敛性与α取值有关 【最新整理,下载后即可编辑】 第二十届高等数学竞赛试卷 一、填空题(每小题5分,本题共50分): 1. 若0→x 时,1)1(4 1 2 --ax 与x x sin 是等价无穷小,则= a . 2. = +→) 1ln(1 2) (cos lim x x x . 3. 设函数2 301sin d ,0,(),0,x t t x f x x a x ?≠?=??=?? 在0x =处连续,则a = . 4. =??+??=y z y x z x x y xy z 则设,sin . 5. 的解为: 满足微分方程9 1 )1(ln 2-==+'y x x y y x . _______ )()( ,,)()(,.=-=???≤≤==>??D dxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面, 而其他若设01 006 7.. d tan )cos (222 22005= +? -x x x x π π 8. . sin 2sin sin 1lim = ??? ??+++∞→n n n n n n πππ 9. . ,1222= ≤++Ω???Ω dv e z y x z 计算 所界定由设空间区域 10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内,函数 (,)f x y 具有连续偏导 数,且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,则 .. ),(),(= -?dy y x f x x d y x f y L 二、计算题(每小题6分,本题共42分): . ,)()(cos .的解,并求满足化简微分方程:用变量代换2101010 2=' ==+'-''-<<===x x y y y y x y x t t x π 解题过程是: 高数竞赛预赛试题(非数学类) (参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书 及相关题目,主要是一些各大高校的试题。) 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分,共20分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=, v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u (*) 令u t -=1,则21t u -= dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-, ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2.设)(x f 是连续函数,且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f , A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 第十五届江苏省初中数学竞赛试题初一年级第一试 一、选择题(每小题7分,共56分.以下每题的4个结论中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内) 1.在-|-3|3,-(-3)3,(-3)3,-33 中,最大的是( ). (A)-|-3|3 (B)-(-3)3 (C)(-3)3 (D)-33 2. “a 的2倍与b 的一半之和的平方,减去a 、b 两数平方和的4倍”用代数式表示应为( ) (A)2a+( 21b 2)-4(a+b)2 (B)(2a+21b)2-a+4b 2 (c)(2a+21b)2-4(a 2+b 2) (D)(2a+2 1b)2-4(a 2+b 2)2 3.若a 是负数,则a+|-a|( ), (A)是负数 (B)是正数 (C)是零 (D)可能是正数,也可能是负数 4.如果n 是正整数,那么表示“任意负奇数”的代数式是( ). (A)2n+l (B)2n-l (C)-2n+l (D)-2n-l 5.已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a 、1、-l ,那么|a+1|表示( ). (A)A 、B 两点的距离 (B)A 、C 两点的距离 (C)A 、B 两点到原点的距离之和 (D)A 、C 两点到原点的距离之和 6.如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距1个单位,点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ,且d-2a =10,那么数轴的原点应是( ). (A)A 点 (B)B 点 (C)C 点 (D)D 点 7.已知a+b =0,a ≠b ,则化简 a b (a+1)+b a (b+1)得( ). (A)2a (B)2b (C)+2 (D)-2 8.已知m<0,-l 2010年江苏省普通高等学校非理科专业 第十届高等数学(本科三级)竞赛题 一、填空题(每小题4分,共32分) 1) ()30sin sin sin lim x x x x →- = 1 6 2)() 2arctan e tan ,x y x x y '=+=则 ()2 4 2e tan sec 1x x x x x +++ 3) 设由y x x y =确定(),y y x =d d y x =则 ()()()() 2 2ln ln 1ln ln 1.y x y y y x x y x x x y ----或 4)() 2 cos ,n y x y ==则 12cos 22 n n x π-??+ ?? ? 5) 21e d x x x x -=? e x C x -+ 6)设 2, ,x z f x y y ??=- ??? f 可微,()()123,22,3,23,f f '' ==则 ()() d z ,2,1x y ==7d 8d x y - 7) 设函数 (),F u v 可微,由 ( )2 2 ,0F x z y z ++=确定(),,z z x y =则 z z x y ??+=?? 12z - 8)设 22:2,0, d D D x y x y x y +≤≥=则 16 9 二、(10分)设a 为正常数,使得 2e ax x ≤ 对一切正数x 成立,求常数a 的 最小值。 22ln e 2ln ,ax x x x ax a x ≤?≤?≥ 解 (3分) 要求a 的最小值,只要求 ()2ln x f x x = 的最大值。 (2分) 令()() 2 21ln 0x f x x -'= = 得e,x = (2分) 由于()()0e 0,e 0,x f x x f x ''<<><<时时 2012年省第十一届高等数学竞赛试题(专科) 一.填空(4分*8=32分) 1.=-+-+→5614 34lim 4x x x 2. =+++∞→4 3 3321lim n n n Λ 3. =?→x x tdt t x x 32030sin sin lim 4.)1ln(x y -=,则=)(n y 5.=? xdx x arctan 2 6.?=2 11arccos dx x x 7.点)3,1,2(-到直线22311z y x =-+=-的距离为 8.级数∑∞=--21)1(n k n n n 为条件收敛,则常数k 的取值围是 二.(6分*2=12分) (1)求))(13(lim 31223 ∑=∞→+-i n i n n n (2)设)(x f 在0=x 处可导,且,2)0(,1)0(='=f f 求201)1(cos lim x x f x --→ 三.在下面两题中,分别指出满足条件的函数是否存在?若存在,举一例,若不存在,请给出证明。(4分+6分=10分) (1)函数)(x f 在),(δδ-上有定义(0>δ),当0<<-x δ时,)(x f 严格增加,当δ< 四.(10分) 求一个次数最低的多项式)(x p ,使得它在1=x 时取得极大值13,在4=x 时取得极小值-14。 五.(12分) 过点)0,0(作曲线x e y -=Γ:的切线L ,设D 是以曲线Γ、切线L 及x 轴为边界的无界区域。 (1)求切线L 的方程。 (2)求区域D 的面积。 (3)求区域D 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。 六.(12分) 点)3,2,5(,)1,2,1(--B A 在平面322:=--∏z y x 的两侧,过点B A ,作球面∑使其在平面∏上截得的圆Γ最小。 (1)求直线AB 与平面∏的交点M 的坐标。 (2)若点M 是圆Γ的圆心,求球面∑的球心坐标与该球面的方程。 (3)证明:点M 确是圆Γ的圆心。 七.(12分) 求级数∑∞ =-++12)1()1(n n n n n n 的和。全国大学生高等数学竞赛试题汇总及其规范标准答案
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