上海历年中考数学压轴题复习(试题附答案)

上海历年中考数学压轴题复习

2001年上海市数学中考

27．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC ＝2．

（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．

图8

①求证；△ABP∽△DPC

②求AP的长．

（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么

①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

②当CE＝1时，写出AP的长（不必写出解题过程）．

27．（1）①证明：

∵ ∠ABP ＝180°－∠A －∠APB ，∠DPC ＝180°－∠BPC －∠APB ，

∠BPC ＝∠A ，∴ ∠ABP ＝∠DPC ．∵ 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴ ∠A ＝∠D ．∴ △ABP ∽△DPC ．

②解：设AP ＝x ，则DP ＝5－x ，由△ABP ∽△DPC ，得DC

PD AP AB =，即2

52x x -=，解得x 1＝1，x 2＝4，则AP 的长为1或4． （2）①解：类似（1）①，易得△ABP ∽△DPQ ，∴ DQ AP PD AB

=．即

y x x +=-252，得225212-+-=x x y ，1＜x ＜4． ②AP ＝2或AP ＝3－5．

（题27是一道涉及动量与变量的考题，其中（1）可看作（2）

的特例，故（2）的推断与证明均可借鉴（1）的思路．这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题的途径．）

上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试

27．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．

图5图6图7

探究：设A、P两点间的距离为x．

（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系试证明你观察得到结论；

（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．

（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）

五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分）

27．

图1 图2 图3

（1）解：PQ＝PB……………………（1分）证明如下：过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形（如图1）．

∴NP＝NC＝MB．……………………（1分）∵∠BPQ＝90°，∴∠QPN＋∠BPM＝90°．

而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴∠QPN＝∠PBM．……………………（1分）

又∵ ∠QNP ＝∠PMB ＝90°，∴ △QNP ≌△PMB ． ……………………（1分）

∴ PQ ＝PB ．

（2）解法一

由（1）△QNP ≌△PMB ．得NQ ＝MP ．

∵ AP ＝x ，∴ AM ＝MP ＝NQ ＝DN ＝

x 22，BM ＝PN ＝CN ＝1－x 2

2， ∴ CQ ＝CD －DQ ＝1－2·x 2

2＝1－x 2． 得S △PBC ＝21BC ·BM ＝21×1×（1－x 22）＝2

1－4

2x ． ………………（1分） S △PCQ ＝21CQ ·PN ＝21×（1－x 2）（1－

x 22）＝21－x 423＋2

1x 2 （1分）

S 四边形PBCQ ＝S △PBC ＋S △PCQ ＝21x 2－x 2＋1． 即 y ＝21

x 2－x 2＋1（0≤x ＜

2

2）． ……………………（1分，1分）

解法二

作PT ⊥BC ，T 为垂足（如图2），那么四边形PTCN 为正方形．

∴ PT ＝CB ＝PN ．

又∠PNQ ＝∠PTB ＝90°，PB ＝PQ ，∴△PBT ≌△PQN ．

S 四边形PBCQ ＝S △四边形PBT ＋S 四边形PTCQ ＝S 四边形PTCQ ＋S △PQN ＝S 正方形PTCN

…（2

分）

＝CN 2＝（1－x 22）2＝21x 2－x 2＋1 ∴ y ＝21

x 2－x 2＋1（0≤x ＜

2

2）． ……………………（1分）（3）△PCQ 可能成为等腰三角形

①当点P 与点A 重合，点Q 与点D 重合，这时PQ ＝QC ，△PCQ 是等腰三角形，

此时x ＝0 ……………………（1分）

②当点Q 在边DC 的延长线上，且CP ＝CQ 时，△PCQ 是等腰三角形（如图3）

……………………（1分）

解法一 此时，QN ＝PM ＝x 22，CP ＝2－x ，CN ＝2

2CP ＝1－x 22

．

∴ CQ ＝QN －CN ＝x 22

－（1－x 22）＝x 2－1．

当2－x ＝x 2－1时，得x

＝1． ……………………（1分）

解法二 此时∠CPQ ＝21

∠PCN ＝°，∠APB ＝90°－°＝°，

∠ABP ＝180°－（45°＋°）＝°，得∠APB ＝∠ABP ，

∴ AP ＝AB ＝1，∴ x

＝1． ……………………（1分）

上海市2003年初中毕业高中招生统一考试

27.如图，在正方形ABCD中，AB＝1，弧AC是点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作弧AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点：（1）当∠DEF＝45o时，求证：点G为线段EF的中点；

（2）设AE＝x，FC＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）将△DEF沿直线EF翻折后得△D

1EF，如图，当EF＝

6

5时，讨

论△AD

1D与△ED

1

F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，

只要求写出结论，不要求写出理由。

2004年上海市中考数学试卷

27、（2004?上海）数学课上，老师提出：

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y=x2的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的的横坐标分别为x C、x D，点H的纵坐标为y H．

同学发现两个结论：

①S△CMD：S梯形ABMC=2：3 ②数值相等关系：x C?x D=﹣y H

（1）请你验证结论①和结论②成立；

（2）请你研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A 的坐标（t，0）（t＞0）”，其他条件不变，结论①是否仍成立（请说明理由）；

（3）进一步研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，又将条件“y=x2”改为“y=ax2（a＞0）”，其他条件不变，那么x C、x D与y H有怎样的数值关系（写出结果并说明理由）

考点：二次函数综合题。

专题：压轴题。

分析：（1）可先根据AB=OA得出B点的坐标，然后根据抛物线的解析式和A，B的坐标得出C，D两点的坐标，再依据C点的坐标求出直线OC的解析式．进而可求出M点的坐标，然后根据C、D两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出D点的坐标，然后可根据这些点的坐标进行求解即可；

（2）（3）的解法同（1）完全一样．

解答：解：（1）由已知可得点B的坐标为（2，0），点C坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4），

由点C坐标为（1，1）易得直线OC的函数解析式为y=x，

故点M的坐标为（2，2），

所以S△CMD=1，S梯形ABMC=

所以S△CMD：S梯形ABMC=2：3，

即结论①成立．

设直线CD的函数解析式为y=kx+b，

则，

解得

所以直线CD的函数解析式为y=3x﹣2．

由上述可得，点H的坐标为（0，﹣2），y H=﹣2

因为x C?x D=2，

所以x C?x D=﹣y H，

即结论②成立；

（2）（1）的结论仍然成立．

理由：当A的坐标（t，0）（t＞0）时，点B的坐标为（2t，0），点C坐标为（t，t2），点D的坐标为（2t，4t2），

由点C坐标为（t，t2）易得直线OC的函数解析式为y=tx，

故点M的坐标为（2t，2t2），

所以S△CMD=t3，S梯形ABMC=t3．

所以S△CMD：S梯形ABMC=2：3，

即结论①成立．

设直线CD的函数解析式为y=kx+b，

则，

解得

所以直线CD的函数解析式为y=3tx﹣2t2；

由上述可得，点H的坐标为（0，﹣2t2），y H=﹣2t2

因为x C?x D=2t2，

所以x C?x D=﹣y H，

即结论②成立；

（3）由题意，当二次函数的解析式为y=ax2（a＞0），且点A坐标为（t，0）（t＞0）时，点C坐标为（t，at2），点D坐标为（2t，4at2），设直线CD的解析式为y=kx+b，

则：，

解得

所以直线CD的函数解析式为y=3atx﹣2at2，则点H的坐标为（0，﹣2at2），y H=﹣2at2．

因为x C?x D=2t2，

所以x C?x D=﹣y H．

点评：本题主要考查了二次函数的应用、一次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象的交点等知识点．

2005年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷

1、（本题满分12分，每小题满分各为4分）

在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP ⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F。

（1）如图8，求证：△ADE∽△AEP；

（2）设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）当BF＝1时，求线段AP的长.

图9（备用图）图8

C C

25.1909090AP D ODA PED OD OE ODE OED

ODE OED EDA PEA A A

ADE AEP

∴∠=∠=?

=∴∠=∠∴?+∠=?+∠∴∠=∠∠=∠∴??（）证明：连结OD 切半圆于，又，，又

223

3

4

,5558

4

64

165845255

55(0)OD CB

OA AC

OD

OD x OE AD x

x ADE AEP

x

AP AE

y

xy x y x

AE AD x x x ==?===??∴=?=?=?=>（）同理可得：

(3)5(4

6,905

12661255E C x AP AB DO BE H

DHE DJE

HD x PBE PDH PFB PHD PB PB AP x x >>???∴=

∠=∠=?∴??∴

=?=?=由题意可知存在三种情况

但当在点左侧时ＢＦ显然大于４所以不合舍去

当时如图）延长，交于易证

54

,1261255

422

x P B DO PE H

DHE EJD

PBF

PDH BP BP x x AP

J

2006年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷

25（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分7分，第（3）小题满分3分）

已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上。以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点。

（1）如图9，如果AP=2PB，PB=BO。求证：△CAO∽△BCO；

（2）如果AP=m（m是常数，且m〉1），BP=1，OP是OA、OB的比例中项。当点C在圆O上运动时，求AC：BC的值（结果用

含m的式子表示）；

（3）在（2）的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围。

25．（1）证明：2AP PB PB BO PO ==+=，2AO PO ∴=．

2AO PO PO BO ∴==． ················· （2

分）

PO CO =，

··················· （1分）

AO CO CO BO ∴=．COA BOC =∠∠，CAO BCO ∴△∽△． ··· （1

分）

（2）解：设OP x =，则1OB x =-，OA x m =+，OP 是OA ，OB

的比例中项，

()()21x x x m ∴=-+，

················ （1分）

得1m x m =

-，即1m OP m =-． ············ （1

分） 图9A

11OB m ∴=-． ·················· （1

分） OP 是OA ，OB 的比例中项，即

OA OP OP OB =， OP OC =，OA OC OC OB ∴=． ············· （1

分）

设圆O 与线段AB 的延长线相交于点Q ，当点C 与点P ，点Q 不

重合时，

AOC COB =∠∠，CAO BCO ∴△∽△． ········

（1分）

AC OC BC OB ∴=． ·················· （1

分）

AC OC OP m BC OB OB ∴===；当点C 与点P 或点Q 重合时，可得AC m BC

=， ∴当点C 在圆O 上运动时，:AC BC m =； ······· （1

分）

（3）解：由（2）得，AC BC >，且()()11AC BC m BC m -=->，

()1AC BC m BC +=+，圆B 和圆C 的圆心距d BC =，

显然()1BC m BC <+，∴圆B 和圆C 的位置关系只可能相交、内

切或内含．

当圆B 与圆C 相交时，()()11m BC BC m BC -<<+，得02m <<，

1m >，12m ∴<<； ···············

（1分）

当圆B 与圆C 内切时，()1m BC BC -=，得2m =； ··· （

1

分）

当圆B 与圆C 内含时，()1BC m BC <-，得2m >． （1分）

2007年上海市初中毕业生统一学业考试

25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2），（3）小题满分各5分）

已知：60MAN =∠，点B 在射线AM 上，4AB =（如图10）．P 为直线AN 上一动点，以BP 为边作等边三角形BPQ （点B P Q ，，按顺时针排列），O 是BPQ △的外心．

（1）当点P 在射线AN 上运动时，求证：点O 在MAN ∠的平分线上；

（2）当点P 在射线AN 上运动（点P 与点A 不重合）时，AO 与BP 交