勒让德多项式

( ) 1− x2
d2y dx 2
−
2x
dy dx
+
⎢⎡n(n
⎣
+1) −
m2 1− x2
⎤ ⎥ ⎦
y
=
0
（6.1.7）
若 u(r,θ ,ϕ )与θ 无关，则由式（6.1.4）可知， Θ(θ ) 是常数，则 m = 0 。这时，式（6.1.7）简化为
( ) 1 − x2 d 2 y − 2x dy + n(n + 1)y = 0
是整数时，由式（6.2.5）和式（6.2.6）可知， y1与y2 中有一个是多项式，另一个是无穷级数。
为了便于给出这个多项式的表达式，我们将式（6.2.3）改写为
ak
=
−
(k (n −
+ 2)(k k )(k +
+ n
1) + 1)
ak
+2
(k ≤ n − 2)
这样，系数 an−2 , an−4 ,L都可以通过最高次项的系数 an 来表示，即
sin
ϕ
∂u ∂ϕ
⎟⎟⎠⎞
+
1 r 2 sin 2 ϕ
∂2u ∂θ 2
=0
（6.1.1）
式中，0 ≤ ϕ ≤ π ， 0 ≤ θ ≤ 2π 。
令式（6.1.1）的解为 u(r,θ ,ϕ ) = R(r )Y (θ ,ϕ), 代入式（6.1.1），整理得
1 r2
d ⎜⎛ r 2 dR ⎟⎞Y + [
dr ⎝ dr ⎠
式中， a0 , a1 为任意常数。若用 y1, y2 分别表示式（6.2.4）中的两个级数，即
y1
=
1−
n(n + 1)
2!
x2
+
n(n
−
2)(n +1)(n
4!
+
3)
x4
−L
y2
=
x
−
(n
− 1)(n
3!
+
2)
x3
+
(n
− 1)(n
− 3)(n
5!
+
2)(n
+
4)
x5
−L
（6.2.5） （6.2.6）
) xn−2m
2m !
若 n 是正奇数，由式（6.2.6）可得
n−1
∑ y2
=
2 (−1)m
m=0
2
n
(2n m!(n −
− m
2m)! )!(n −
2m)!x
n
−2m
把这两个多项式统一写成
⎡n⎤
∑ Pn (x)
=
⎢⎣ 2 ⎥⎦
(− 1)m
m=0
2n
(2n m!(n −
− 2m)! m)!(n −
) xn−2m
=
−
2
n
(2n 3!(n −
− 6)! 3)!(n
−
6
)!
M 一般说来，当 n − 2m ≥ 0 时，有
an−2m
=
(− 1)m
(2n − 2m)! 2n m!(n − m)!(n − 2m)!
若 n 是正偶数，由式（6.2.5）可得
n
∑ y1
=
2 (−1)m
m=0
(2n 2n m!(n −
− 2m)! m)!(n −
（6.1.5）
式中， C1 ， C2 为任意常数。
对式（6.1.5）进行整理，有
d 2Φ dϕ 2
+
cot ϕ
dΦ dϕ
+
⎢⎡n(n
⎣
+1) −
m2 sin 2 ϕ
⎥⎤Φ ⎦
=
0
这个方程称为连带的勒让德方程。
（6.1.6）
为了表达上的方便，我们引入新的变量 x = cosϕ 。由于 0 ≤ ϕ ≤ π ，所以 −1 ≤ x ≤ 1 ，并记
第6章 勒让德多项式
本章我们将研究勒让德多项式在解决数学物理方程定解问题中的一些应用。首先应用分离变量法， 在球坐标系中对拉普拉斯方程进行分离变量，导出勒让德方程；并讨论这个方程的解法及解的有关性 质；指出勒让德方程在区间[-1，1]上的有界解构成了一类正交函数系—勒让德多项式。
6．1 勒让德方程的导出
( ) 证明：用二项式定理把 x2 −1 n 展开，有
( ) ∑ ( ) 1
2n n!
x2
−1 n
=
1n
n!
2n n! m=0 (n − m)!m!
x2
n−m
(− 1)m
∑ =
n
(− 1)m
m=0
2n
(n
n!
− m!)m!
x 2n−2m
上述等式关于 x 求导 n 次。凡是指数 2n-2m 低于 n 的项经过求 n 次导后均为零，所以只剩下指数
dr
1 sin ϕ
∂ ∂ϕ
⎜⎜⎝⎛ sin ϕ
∂Y ∂ϕ
⎟⎟⎠⎞ +
1 sin 2 ϕ
∂ 2Y ∂θ 2
+ n(n + 1)Y
=
0
（6.1.2） （6.1.3）
式（6.1.3）的解 Y (θ ,ϕ) 与半径 r 无关，故称之为球面函数，或简称为球函数。
式（6.1.2）是欧拉方程，其通解为
R(r ) = Ar n + Br −(n+1)
2m !
（6.3.1）
式中，
⎡ ⎢⎣
n 2
⎤ ⎥⎦
表示不大于
n 2
的最大整数。式（6.3.1）被称为
n
次勒让德多项式（亦称为第一类勒让
德函数）。 特别的，当 n=0,1,2,3,4,5 时分别有
P0 (x) = 1 P1(x) = x
( ) P2 (x) =
1 2
3x2
−1
( ) P3 (x) =
y = Φ(ϕ )，于是有
dΦ = dy dx = − sinϕ dy = − 1 − x2 dy
dϕ dx dϕ
dx
dx
( ) dΦ = dy dx = d ( − 1 − x2 dy ) dx = −x dy + 1 − x2 d 2 y
dϕ dx dϕ dx
dx dϕ dx
dx 2
将 x, y, 及 y 的导数代入式（6.1.6）中，整理得
(k + 1)(k + )2 ak+2 + [n(n + 1) − k(k + 1)]ak = 0
得
ak +2
=
−
(n − (k
k )(n + k −1) +1)(k + 2)
ak
(k = 0,1,2,L)
（6.2.3）
令 k = 0,2,4,L, 得
a2
=
−
n(n +
2!
1)
a0
a4
=
−
n(n
−
2)(n +1)(n
r2
1 sin ϕ
∂ ∂ϕ
⎜⎜⎝⎛ sin ϕ
∂Y ∂ϕ
⎟⎟⎠⎞
+
r2
1 sin 2
ϕ
∂ 2Y ∂θ 2
]R = 0
将变量 R(r), Y (θ ,ϕ) 分离，得
1 d ⎜⎛ r 2 dR ⎟⎞ = − 1 [
R dr ⎝ dr ⎠ Y
r2
1 sin ϕ
∂ ∂ϕ
⎜⎜⎝⎛ sin ϕ
∂Y ∂ϕ
⎟⎟⎠⎞
+
r2
1 sin 2
ϕ
∂ 2Y ∂θ 2
]
上式是常数时才能恒等。为了方便后续的讨论，
我们把这个常数写成 n(n + 1) 的形式（这里的 n 可以是实数，也可以是复数），于是有
r 2 d 2 R + 2r dR − n(n + 1)R = 0
dr 2
当 n 是整数时，选择一个适当的 an ，则 y1 与 y2 中有一个是勒让德多项式 Pn (x) ，另一个仍是
无穷级数，记作 Qn (x), 此时勒让德方程式（6.2.1）的通解为
y = C1Pn (x) + C2Qn (x)
式中， Qn (x), 称为第二类勒让德函数，它在区间 −1 ≤ x ≤ 1 上仍是无界的。
我们在第 5 章讨论的一样，这个常数必需等于 m2 (m = 0,1,2,L)，从而有
d 2Θ + m2Θ = 0 dθ 2
{6.1.4}
式（6.1.4）的通解为
1 sin ϕ
d dϕ
⎜⎜⎝⎛ sin ϕ
dΦ dϕ
⎟⎟⎠⎞
+
[
n(n +1) −
m2 sin 2 ϕ
]Φ = 0
Θ(θ ) = C1 cos mθ + C2 sin mθ
an
=
(2n)! 2n (n!)2
=
1⋅ 3 ⋅ 5L(2n −1)
n!
(n = 1,2,L)
从而有
an−2
=
−
n(n −1) 2(2n −1)
(2n)! 2n (n!)2
=
−
2n
(2n − 2)! (n −1)!(n −
2)!
an−4
=
−
(2n − 4)! 2n2!(n − 2)!(n
−
4)!
an−6
显然，级数 y1, y2 都是勒让德方程式（6.2.1）的解，且 y1 与 y2 是线性无关的。由达朗贝尔（比值）判