高三立体几何试题及答案
高三立体几何试题及答
案
TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
1．如图，正方体A B C D－A1B1C1D1的棱长为a，点P是棱
AD上一点，且AP＝a
3，过B1，D1，P的平面交底面ABCD
于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________.
2．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，∠ADC＝90°，
且AA1＝AD＝DC＝2，M∈平面ABCD，
当D1M⊥平面A1C1D时，DM＝________.
3．如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．
(1)求证：平面PDC⊥平面PAD；
(2)求点B到平面PCD的距离；
4．如图，PO⊥平面ABCD，点O在AB上，EA∥PO，四边
形ABCD为直角梯形，BC⊥AB，BC＝CD＝BO＝PO，EA＝AO＝1
2CD.
(1)求证：BC⊥平面ABPE；
(2)直线PE上是否存在点M，使DM∥平面PBC，若存在，求出点M；
若不存在，说明理由．
5．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB 的中点．
(1)求证：EF∥平面ABC1D1；
(2)求证：EF⊥B1C；
(3)求三棱锥B1－EFC的体积．
6．如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°
(1)求证：PC⊥BC
(2)求点A到平面PBC的距离．
1.22
3a∵B1D1∥平面ABCD，平面B1D1P∩平面ABCD
＝PQ ，∴B 1D 1∥PQ ， 又B 1D 1∥BD ，∴BD ∥PQ ，设PQ ∩AB ＝M ，∵AB ∥CD ，∴△APM ∽△DPQ ， ∴PQ PM ＝PD AP ＝2，即PQ ＝2PM ，
又△APM ∽△ADP ，∴PM BD ＝AP AD ＝13，∴PM ＝13BD ，
又BD ＝2a ，∴PQ ＝223a .
2.[答案] 22 ∵DA ＝DC ＝DD 1且DA 、DC 、DD 1两两垂直，故当点M 使四边形ADCM 为正方形时，D 1M ⊥平面A 1C 1D ，∴DM ＝2 2.
(2)过A 作AF ⊥PD ，垂足为F .
在Rt PAD 中，PA ＝2，AD ＝BC ＝4，PD ＝
42＋22＝25， AF ·PD ＝PA ·AD ，∴AF ＝2×425
＝455，即点B 到平面PCD 的距离为455. 4.[解析] (1)∵PO ⊥平面ABCD ，
BC 平面ABCD ，∴BC ⊥PO ，
又BC ⊥AB ，AB ∩PO ＝O ，AB 平面ABP ，PO 平面ABP ，∴BC ⊥平面ABP ， 又EA ∥PO ，AO 平面ABP ，∴EA 平面ABP ，∴BC ⊥平面ABPE .
(2)点E 即为所求的点，即点M 与点E 重合．
取PO 的中点N ，连结EN 并延长交PB 于F ，∵EA ＝1，PO ＝2，∴NO ＝1， 又EA 与PO 都与平面ABCD 垂直，
∴EF ∥AB ，∴F 为PB 的中点，∴NF ＝12OB ＝1，∴EF ＝2，
又CD ＝2，EF ∥AB ∥CD ，∴四边形DCFE 为平行四边形，∴DE ∥CF ，
∵CF 平面PBC ，DE 平面PBC ，∴DE ∥平面PBC .∴当M 与E 重合时即可．
5.(1)证明：连结BD1，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则EF∥D1B，又EF平面ABC1D1，D1B平面ABC1D1，∴EF∥平面ABC1D1.
(2)证明：∵B1C⊥AB，B1C⊥BC1，AB∩BC1＝B，
∴B1C⊥平面ABC1D1，
又BD1平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1，
又EF∥BD1，∴EF⊥B1C.
(3)解：∵CF⊥BD，CF⊥BB1，∴CF⊥平面BDD1B1，
即CF⊥平面EFB1，且CF＝BF＝ 2
∵EF＝1
2BD1＝3，B1F＝BF
2＋BB12＝22＋22＝6，B1E＝B1D12＋D1E2＝12＋222＝3，
∴EF2＋B1F2＝B1E2，即∠EFB1＝90°，
∴VB1－EFC＝VC－B1EF＝1
3·S△B1EF·CF
＝1 3×1
2·EF·B1F·CF＝
1
3×
1
2×3×6×2＝1.
6.[解析](1)∵PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴PD⊥BC.
由∠BCD＝90°知，BC⊥DC，
∵PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥PC.
(2)设点A到平面PBC的距离为h，
∵AB∥DC，∠BCD＝90°，∴∠ABC＝90°，
∵AB＝2，BC＝1，∴S△ABC＝1
2AB·BC＝1，
∵PD⊥平面ABCD，PD＝1，∴V P－ABC＝1
3S△ABC ·PD＝1
3
，
∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC，∵PD＝DC＝1，∴PC＝2，
∵PC⊥BC，BC＝1，∴S△PBC＝1
2PC·BC＝
2 2，
∵V A－PBC＝V P－ABC，∴1
3S△PBC ·h＝1
3
，∴h＝2，∴点A到平面PBC的距离为 2.