等差数列单元测试题含答案百度文库

一、等差数列选择题

1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（）

A ．121

B ．161

C ．141

D ．151

2．在等差数列{}n a 中，3914a a +=，23a =，则10a =（） A ．11

B ．10

C ．6

D ．3

3．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（） A ．

825

两 B ．

845

两 C ．

865

两 D ．

885

两 4．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（） A ．16 B ．-16 C ．4

D ．-4

5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（） A ．45

B ．50

C ．60

D ．80

6．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（） A ．1n -

B ．n

C ．21n -

D ．2n

7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列

D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列

8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（） A ．11 B ．12

C ．23

D ．249．题目文件丢失！

10．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（） A ．10

B ．9

C ．8

D ．7

11．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之和为（） A ．24

B ．39

C ．104

D ．52

12．已知数列{}n a 中，132a =

，且满足()*

1112,22

n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有

n a n

≥成立，则实数λ的最小值是（） A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（） A ．60

B ．120

C ．160

D ．240

14．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（） A ．4

B ．6

C ．7

D ．8

15．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，前n 项和为n S ，若425S a =，则9

S a =（） A ．9 B ．5 C ．1 D ．

16．若等差数列{a n }满足a 2=20，a 5=8，则a 1=（） A ．24

B ．23

C ．17

D ．16

17．已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前n 项和为n S .若

p m n q <<<且()

*,,,p q m n p q m n N +=+∈，则下列判断正确的是（）

A ．22p p S p a =?

B ．p q m n a a a a >

C ．1111p q m n a a a a +<+

D ．1111p q m n

S S S S +>+ 18．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若542S S =，248a a +=，则5a 等于（） A ．6

B ．7

C ．8

D ．10

19．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++????

+-=

???????

，数列{}n b 满足1111n n n

b a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

20．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n

n S a b n =---?+，*n N ∈，则

存在数列{}n b 和{}n c 使得（）

A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列

B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列

C ．·

n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·

n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列二、多选题

21．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥

时，)

12n a =

-，则关于数列

{}n a 的说法正确的是（）

A ．27a =

B ．数列{}n a 为递增数列

C ．2

21n a n n =+-

D ．数列{}n a 为周期数列22．题目文件丢

失！

23．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且2

3n n n S a +=，则1

n n a a -的值不可能为

（） A ．2

B ．5

C ．3

D ．4

24．若数列{}n a 满足112,02

121,1

n n n n n a a a a a +?

≤≤??=??-<

（） A ．

B ．

C ．

D ．

25．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68S a = B ．733S =

C ．135********a a a a a +++

+= D ．222

2123202020202021a a a a a a ++++=

26．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（）

A ．1d =-

B ．413a a =

C ．n S 的最大值为8S

D ．使得0n S >的最大整数15n =

27．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且32019

11111

a a e e +≤++，则（） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T > D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T <

28．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（）

A ．2

n S n =

B ．2

23n S n n =-

C ．21n a n =-

D ．35n a n =-

29．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（）

A ．若100S =，则280S S +=；

B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15

C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大

D ．若78S S <，则89S S <

30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（） A ．a 1=22

B ．d =－2

C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值

D ．当S n >0时，n 的最大值为21

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等差数列选择题 1．B 【分析】

由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可. 【详解】

因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即

127a =

所以231223161S a == 故选：B 2．A 【分析】

利用等差数列的通项公式求解1,a d ，代入即可得出结论. 【详解】

由3914a a +=，23a =，又{}n a 为等差数列，得39121014a a a d +=+=，

213a a d =+=，

解得12,1a d ==，则101+92911a a d ==+=；故选：A. 3．C 【分析】

设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =???两银子，数列{}n a 是等差数列，

810

100a S =??

=?利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程，即可求得长兄可分得银子的数目1a . 【详解】

设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =???两银子，由题意可得设数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，

则由题意得8106100a S =??=?，即1176109

101002a d a d +=??

??+=??，解得186585a d ?

=????=-??

. 所以长兄分得86

两银子. 故选：C. 【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得

()1,2,,10n a n =???两银子构成公差0d <的等差数列，要熟练掌握等差数列的通项公式和

前n 项和公式. 4．A 【详解】由()()184588848162

a a a a S +?+??====.故选A.

5．C 【分析】

利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解【详解】

{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =

1158158()15215

156022

a a a S a +??=

===

故选：C 【点睛】

本题考查等差数列性质及前n 项和公式，属于基础题 6．B 【分析】

根据条件列出关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差，则等差数列{}n a 的通项公式可求. 【详解】

因为3518a S +=，633a a =+，所以11161218

523a d a d a d +=??+=++?，

所以11

1a d =??=?，所以()111n a n n =+-?=，

故选：B. 7．D 【分析】

根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】

由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，

根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；

当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；

当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 8．C 【分析】

由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】

32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+?=，

故选：C.

9．无

10．A 【分析】

利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ．【详解】

在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由

467

811a a a =???

+=?4448

12311a d a d a d =??=-?+++=?，24210a a d ∴=-=. 故选：A

11．D 【分析】

根据等差数列的性质计算求解．【详解】

由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=?+?=+==，

74a =，∴11313713()

13134522

a a S a +=

==?=．故选：D ． 12．A 【分析】将11122

n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出2

2n n n a +=，从而得

出()

22n

n n λ+≥

，求出()max

22n n n +??????的最值，即可得出答案. 【详解】因为2n ≥时，111

n n n a a -=

+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{

}

n a 是首项为3公差为1的等差数列，故22n

n a n =+，从而2

2n n

n a +=

. 又因为n a n λ

≥恒成立，即()22n

n n λ+≥恒成立，所以()max 22n n n λ+??≥????. 由()()()

()()()()

*121322,221122n n n

n n n n n n n n n n n +-?+++≥??∈≥?

+-+?≥??N 得2n = 所以()()2

max

2222222n n n +?+??

==?

???，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A 13．B 【分析】

根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()

11515815152

a a S a +==，从而可得出结果.

【详解】

解：由题可知，2938a a a +=+，

由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，

故()1158

158151521515812022

a a a S a +?=

===?=. 故选：B. 14．A 【分析】

由525S =求出1a ，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m 的值【详解】解：由题意得154

52252

a ?+

?=，解得11a =，所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-，因为215m a =，所以22115m ?-=，解得4m =，故选：A 15．B 【分析】

由已知条件，结合等差数列通项公式得1a d =，即可求9

S a . 【详解】

4123425S a a a a a =+++=，即有13424a a a a ++=，得1a d =，

∴1999()

452

a a S d ?+=

=，99a d =，且0d ≠， ∴9

5S a =. 故选：B 16．A 【分析】由题意可得52820

45252

a a d --===---，再由220a =可求出1a 的值【详解】解：根据题意，52820

45252

a a d --===---，则1220(4)24a a d =-=--=，故选：A. 17．D 【分析】

利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误；利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误；利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误；利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误. 【详解】

对于A 选项，由于()

()1221222

p p

p p p p a a S

p a a pa ++=

=+≠，故选项A 错误；

对于B 选项，由于m p q n -=-，则

()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ?-?=+-?+--?????????

()()()()()2

2m n m n m n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--?+--=----????????

()()()2

220q n n m d q n d =-----<，故选项B 错误；

对于C 选项，由于1111

p q m n m n p q p q p q m n m n

a a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+???，故选项C 错误；对于D 选项，设0x q n m p =-=->，则

()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<，从而pq mn <，

由于2

22p q m n p q pq m n mn +=+?++=++，故2222

p q m n +>+.

()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--，

故()()22221122

p q m n p q p q m n m n

S S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.

()()()()()221111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d

--+---?

????=+?+=++????????

()()()22

1121124mn m n mn p q mna a d d

+---<+

+()()()22

1121124m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=，

由此

1111

p q m n p q p q m n m n

S S S S S S S S S S S S +++=>=+，故选项D 正确. 故选：D. 【点睛】

关键点点睛：本题考查等差数列中不等式关系的判断，在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ，并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断. 18．D 【分析】

由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ，即可求得5a . 【详解】

解：设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则由542S S =，248a a +=，

得：111154435242238a d a d a d a d ???

?+=+ ??

?+++=?????

，

即

{

1132024

a d a d +-+=，解得：

{

123

a d =-=，

51424310a a d ∴=+=-+?=.

故选：D. 19．B 【分析】由题意可得

1114n n

a a +-

=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-

，求得1

4n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果

【详解】

解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++????

+-= ???????

，得22

1114n n

a a +-=，所以数列21n a ??

????是以4为公差，以1为首项的等差数列，

所以21

14(1)43n

n n a =+-=-，

因为0n a >

，所以n a =，

所以

1111n n n

b a a +=+=

所以1

n b =

=，

所以201220T b b b =++???+

1339(91)244=++???+=?-=，故选：B 【点睛】

关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得

1114n n a a +-

=，从而数列21n a ??????

是以4为公差，以1

为首项的等差数列，进而可求n a =

，1

n b =

=，然后利用裂项相消法

可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题 20．D 【分析】

由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】解：

(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---?+=+-?-+，

∴当1n =时，有110S a a ==≠；

当2n ≥时，有1

1()2n n n n a S S a bn b --=-=-+?，又当1n =时，0

1()2a a b b a =-+?=也适合上式，

1()2n n a a bn b -∴=-+?，

令n b a b bn =+-，1

2n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，

故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；

因为11

()22n n n a a b bn --+=-??，0b ≠，所以{

n bn -?即不是等差数列，也不是等比数

列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】方法点睛：

由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11

,1n n n S S n a a n --≥?=?=?求解，考查学生的计算能

力.

二、多选题

21．ABC 【分析】

由)

12n a =

1=，再利用等差数列的定义求

得n a ，然后逐项判断. 【详解】当2n ≥

时，由)

12n a =-，

得)

21n a +=

，

1=，又12a =，

所以

是以2为首项，以1为公差的等差数列，

2(1)11n n =+-?=+，

即2

21n a n n =+-，故C 正确；

所以27a =，故A 正确；

()2

12n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确；

数列{}n a 不具有周期性，故D 错误；故选：ABC

22．无

23．BD 【分析】利用递推关系可得12

n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案．【详解】解：∵2

n n n S a +=

， ∴2n ≥时，1121

n n n n n n n a S S a a --++=-=

-，化为：112

111

n n a n a n n -+==+--，由于数列21n ??

?-??

单调递减，可得：2n =时，2

n -取得最大值2． ∴

n a a -的最大值为3．故选：BD ．【点睛】

本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 24．ABC 【分析】

利用数列{}n a 满足的递推关系及13

a =

，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】

数列{}n a 满足112,02

121,1

2n n n n n a a a a a +?

≤≤??=??-<

211215a a =-=

，32225a a ==，43425a a ==，5413

215

a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234

,,,5555

. 故选：ABC. 【点睛】

本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题. 25．BCD 【分析】

根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误．【详解】

对A ，821a =，620S =，故A 不正确；对B ，761333S S =+=，故B 正确；

对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得

135********a a a a a +++???+=，故C 正确；

对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2

121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-， ()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-，故2222

123202*********a a a a a a +++???+=，故D 正确．

故选：BCD 【点睛】

关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形. 26．BCD 【分析】

设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1

15d a =-??=?，再逐

项判断即可得解. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，

由题意，11

154111051122

a d a d a ???+=+???=?，所以1215d a =-??=?，故A 错误；所以1131439,129a a d a d a =+==+=-，所以413a a =，故B 正确；因为()()2

211168642

n n n a n d n n n S -=+

=-+=--+，

所以当且仅当8n =时，n S 取最大值，故C 正确；要使()2

8640n S n =--+>，则16n <且n N +∈，所以使得0n S >的最大整数15n =，故D 正确. 故选：BCD. 27．AC 【分析】将

3201911111a a e e +≤++变形为320191111

01212

a a e e -+-≤++，构造函数()11

x f x e =

-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项【详解】由

3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()11

f x e =-+， ()()1111101111

x x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++，

所以()1112

f x e =

-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥，所以当数列{}n a 为等差数列时，()

320192*********

a a S +=

≥；

当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零，故()2021

202110110T a =>.

故选：AC 【点睛】

本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题 28．AC 【分析】

利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ．【详解】

等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，

∴31413239237

S a d a a d ??

=???=+=?，解得11a =，2d =，

1(1)221n a n n ∴+-?=-=．

()21212

n n n S n +-=

故选：AC ．【点睛】

本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 29．BC 【分析】

根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案. 【详解】

A 选项，若101109

1002

S a d ?=+

=，则1290a d +=，那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确； B 选项，若412S S =，则()5611128940a a a a a a ++

++=+=，

又因为10a >，所以前8项为正，从第9项开始为负，因为()

()116168916802

a a S a a +=

=+=，所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确； C 选项，若()115158151502

a a S a +=

=>，()

()116168916802a a S a a +=

=+<，则80a >，90a <，则{}n S 中8S 最大.故C 正确；

D 选项，若78S S <，则80a >，而989S S a -=，不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选：BC . 【点睛】

本题考查等差数列性质的应用，涉及等差数列的求和公式，属于常考题型. 30．BC 【分析】

分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ．【详解】

由公差60,90d S ≠=，可得161590a d +=，即12530a d +=，①

由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得2

739a a a =，即()()()2

111628a d a d a d +=++，化简得

110a d =-，②

由①②解得120,2a d ==-，故A 错，B 对；

由()()2

2121441201221224n S n n n n n n ??=+-?-=-=--+ ??? *n N ∈，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；

由S n >0，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错；故选：BC 【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．