苏教版九年级下册数学[用相似三角形解决问题—知识点整理及重点题型梳理](基础)

苏教版九年级下册数学

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

用相似三角形解决问题—知识讲解（基础）

【学习目标】

1.以分析实际例子为背景，认识平行投影和中心投影的基本概念与性质；

2.通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.

【要点梳理】

要点一、平行投影

1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.由此我们可得出这样两个结论：

(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.

2. 物高与影长的关系

（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.

（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.

即：=.甲物体的高甲物体的影长乙物体的高乙物体的影长

利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.

注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.

要点诠释：

1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.

2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.

要点二、中心投影

若一束光线是从一点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：

(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.

在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.

要点诠释：

光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.

要点三、中心投影与平行投影的区别与联系

1.联系：

（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.

（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.

2.区别：

（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.

（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.

要点诠释：

在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题.

要点四、相似三角形的应用

1.测量高度

测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.【课程名称：相似三角形的性质及应用 394500：应用举例及总结】

要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：

平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法

2.测量距离

测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.

2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.

要点诠释：

1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺=图上距离

实际距离

；

2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比

等于其对应高的比；

3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）；

4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．

【典型例题】

类型一、投影的应用

1．（2015秋?无锡校级月考）如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP=QB．

（1）求两个路灯之间的距离．

（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？

【思路点拨】（1）如图1，先证明△APM∽△ABD，利用相似比可得AP=AB，再证明△BQN∽△BAC，利用相似比可得BQ=AB，则AB+12+AB=AB，解得AB=18（m）；

（2）如图1，他在路灯A下的影子为BN，证明△NBM∽△NAC，利用相似三角形的性质得=，

然后利用比例性质求出BN即可．

【答案与解析】

解：（1）如图1，

∵NM∥BD，

∴△APM∽△ABD，

=，即=，

∴AP=AB，

∵FQ∥AC，

∴△BNF∽△BAC，

∴=，即=，

∴BQ=AB，

而AP+PQ+BQ=AB，

∴AB+12+AB=AB，

∴AB=18．

答：两路灯的距离为18m；

（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，

∵BM∥AC，

∴△NBM∽△NAC，

∴=，即=，解得BN=3.6．

答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m．

【总结升华】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．

举一反三

【变式】（2014秋?昆明校级期末）已知：如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻，AB在阳光下的投影BC=4m．

（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；

（2）在测量AB的投影长时，同时测出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．

【答案】

解：（1）作法：连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BE于F，

则EF就是DE的投影．（画图（1分），作法1分）．

（2）∵太阳光线是平行的，

∴AC∥DF．

∴∠ACB=∠DFE．

又∵∠ABC=∠DEF=90°，

∴△ABC∽△DEF．

∴=，

∵AB=5m，BC=4m，EF=6m，

∴，

∴DE=7.5（m）．

2．如图，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他行到P处时发现，他在路灯B下的影长为2米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方（已知王琳身高1.8米，路灯B高9米）

（1）标出王琳站在P处在路灯B下的影子；

（2）计算王琳站在Q处在路灯A下的影长；

（3）计算路灯A的高度．

【答案与解析】

解：（1）线段CP为王琳在路灯B下的影长；

（2）由题意得Rt△CEP∽Rt△CBD，

∴，

∴，

解得：QD=1.5米；

（3）∵Rt△DFQ∽Rt△DAC，

∴，

∴，

解得：AC=12米．

答：路灯A的高度为12米．

【总结升华】此题考查的是中心投影；相似三角形的应用．

类型二、相似三角形的应用

3. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？

【答案与解析】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，

继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？

解：∵AB⊥BC，CD⊥BC

∴∠ABO=∠DCO=90°

又∵∠AOB=∠DOC

∴△AOB∽△DOC.

∴

∵BO=50m，CO=10m，CD=17m

∴AB=85m

即河宽为85m．

【总结升华】这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.

4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．

(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?

(2)求古塔的高度．

【思路点拨】本题考查的是相似三角形的实际应用，要注意的是小明和古塔都与地面垂直，是平行的. 【答案与解析】(1)△ABC∽△ADE．

∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°

∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE

(2)由(1)得△ABC∽△ADE

∴

∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，

∴

∴DE=16m

即古塔的高度为16m。

【总结升华】解决相似三角形的实际应用题的关键是题中相似三角形的确定.

举一反三

【变式】小明把一个排球打在离他2米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度是1.8米，排球落地点离墙的距离是7米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方？

【答案】

解：如图，∵AB=1.8米，AP=2米，PC=7米，作PQ⊥AC,

∵∠BPQ=∠QPD,∴∠APB=∠CPD，

∵∠BAP=∠DCP=90°，

∴△ABP∽△CDP,

∴AB AP DC PC

=,

即1.82

7 DC

=,

∴DC=6.3米.

即球能碰到墙上离地6.3米高的地方.