刚体的角动量,角动量守恒定律
刚体的角动量，角动量守恒定律
1.选择题
题号：01011001
分值：3分
难度系数等级：1
人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的
(A)动量不守恒，动能守恒．
(B)动量守恒，动能不守恒．
(C)对地心的角动量守恒，动能不守恒．
(D)对地心的角动量不守恒，动能守恒．［］
答案：（C）
题号：01012002
分值：3分
难度系数等级：2
人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为A和B．用L 和E K分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有
(A) L A>L B，E KA>E kB．(B) L A=L B，E KA (C) L A=L B，E KA>E KB．(D) L A 答案：（C） 题号：01013003 分值：3分 难度系数等级：3 体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是 (A)甲先到达．(B)乙先到达． (C)同时到达．(D)谁先到达不能确定．［］ 答案：（C） 题号：01011004 分值：3分 一质点作匀速率圆周运动时， (A) 它的动量不变，对圆心的角动量也不变． (B) 它的动量不变，对圆心的角动量不断改变． (C) 它的动量不断改变，对圆心的角动量不变． (D) 它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变． ［ ］ 答案：（C ） 题号：01013005 分值：3分 难度系数等级：3 花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为J 0，角速度为 ω0．然后她将两臂收回，使转动惯量减少为3 1J 0．这时她转动的角速度变为 (A) 3 1 ω0． (B) () 3/1 ω0． (C) 3 ω0． (D) 3 ω0． ［ ］ 答案：（D ） 题号：01014006 分值：3分 难度系数等级：4 光滑的水平桌面上，有一长为2L 、质量为m 的匀质细杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O 自由转动，其转动惯量为 3 1mL 2 ，起初杆静止．桌面上有两个质量均为m 的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同速率v 相向运动，如图所示．当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后，就与杆粘在一 起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为 (A) L 32v ． (B) L 54v ． (C) L 76v ． (D) L 98v ． ［ ］ 答案：（C ） 题号：01012007 分值：3分 O v 俯视图 如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴O旋转，Array初始状态为静止悬挂．现有一个小球自左方水平打击细杆．设小球与细杆之 间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统 (A) 只有机械能守恒． (B) 只有动量守恒． (C) 只有对转轴O的角动量守恒． (D) 机械能、动量和角动量均守恒．［］ 答案：（C） 题号：01011008 分值：3分 难度系数等级：1 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 (A) 刚体不受外力矩的作用． (B) 刚体所受合外力矩为零． (C) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零． (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变．［］ 答案：（B） 题号：01012009 分值：3分 难度系数等级：2 一块方板，可以绕通过其一个水平边的光滑固定轴自由转动．最初板自由下垂．今有一小团粘土，垂直板面撞击方板，并粘在板上．对粘土和方板系统，如果忽略空气阻力，在碰撞中守恒的量是 (A) 动能．(B) 绕木板转轴的角动量． (C) 机械能．(D) 动量．［］ 答案：（B） 题号：01014010 分值：3分 难度系数等级：4 如图所示，一水平刚性轻杆，质量不计，杆长l ＝20 cm ，其上穿有两个小球．初始时，两小球相对杆中心O 对称放置，与O 的距离d ＝5 cm ，二者之间用细线拉紧．现在让细杆绕通过中心O 的竖直固定轴作匀角速的 转动，转速为ω 0，再烧断细线让两球向杆的两端滑动．不考虑转 轴的和空气的摩擦，当两球都滑至杆端时，杆的角速度为 (A) 2ω 0． (B)ω 0． (C) 21 ω 0． (D)04 1ω． ［ ］ 答案：（D ） 题号：01013011 分值：3分 难度系数等级：3 一个物体正在绕固定光滑轴自由转动， (A) 它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变． (B) 它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小． (C) 它受热或遇冷时，角速度均变大． (D) 它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大． ［ ］ 答案：（D ） 题号：01012012 分值：3分 难度系数等级：2 将一质量为m 的小球，系于轻绳的一端，绳的另一端穿过光滑水平桌面上的小孔用手拉住．先使小球以角速度ω1在桌面上做半径为r 1的圆周运动，然后缓慢将绳下拉，使半径缩小为r 2，在此过程中小球的 (A)速度不变． (B)速度变小． (C)速度变大 (D)速度怎么变，不能确定． ［ ］ 答案：（C ） 题号：01012013 分值：3分 难度系数等级：2 如图所示，钢球A 和B 质量相等，正被绳牵着以角速度ω绕竖直轴转动，二球与轴的距离都为r 1．现在把轴上环C 下移，使得两球离轴的距离缩减为r 2．则钢球的角速度 (A)变大． （B ）变小． (C)不变． (D)角速度怎么变，不能确定． ［ ］ 答案：（A ） 题号：01014014 分值：3分 难度系数等级：4 有一半径为R 的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J ，开始时转台以匀角速度ω0转动，此时有一质量为m 的人站在转台边缘．随后人沿半径向转台中心跑去，当人到达转台中心时，转台的角速度为 (A) 02 ωmR J J +． (B) 02ωJ mR J +． (C) 02 ωmR J ． (D) 0ω． ［ ］ 答案：（B ） 题号：01015015 分值：3分 难度系数等级：5 有一半径为R 的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J ，开始时转台以匀角速度ω0转动，此时有一质量为m 的人站在转台中心．随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为 (A) 02 ωmR J J +． (B) ()02ωR m J J +． (C) 02 ωmR J ． (D) 0ω． ［ ］ 答案：（A ） 题号：01011016 分值：3分 难度系数等级：1 地球绕太阳作椭圆轨道运动，太阳的中心在椭圆的一个焦点上，把地球看作一个质点，则地球的 (A) 动能守恒． (B) 动量守恒，． (C) 对太阳中心的角动量守恒． (D) 对太阳中心的角动量守恒，动能守恒．［］ 答案：（C） 题号：01012017 分值：3分 难度系数等级：2 均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转 竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？ (A) 角动量从小到大，角加速度从大到小． (B) 角动量从小到大，角加速度从小到大． (C) 角动量从大到小，角加速度从大到小． (D) 角动量从大到小，角加速度从小到大．［］ 答案：（） 题号：01013018 分值：3分 难度系数等级：3 有一半径为R的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J，开始时转台以匀角速度 0转动，此时有一质量为m的人站在转台中心．随后人沿半径向外跑去，在人跑向转台边缘的过程中，转台的角速度 (A) 不变．(B) 变小． (C) 变大．(D)不能确定角速度是否变化． ［］ 答案：（B） 题号：01013019 分值：3分 难度系数等级：3 人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球的中心在椭圆的一个焦点上，设地球的半径为R，卫星的近地点高度为R，卫星的远地点高度为2R，卫星的近地点速度为1v，则v为 卫星的远地点速度 2 (A)12v ． (B) 12 1 v ． (C) 132v ． (D) 12 3 v ． ［ ］ 答案：（C ） 题号：01013020 分值：3分 难度系数等级：3 将一质量为m 的小球，系于轻绳的一端，绳的另一端穿过光滑水平桌面上的小孔用手拉住．先使小球以角速度ω1在桌面上做半径为r 1的圆周运动，然后缓慢将绳放松，使半径扩大为2 r 1 ，此时小球做圆周运动的角速度为 (A)1ω． (B) 121 ω． (C) 12ω． (D) 14 1 ω． ［ ］ 答案：（D ） 2．判断题 题号：01022001 分值：2分 难度系数等级：2 如图所示，一水平刚性轻杆，杆长为l ，其上穿有两个小球．初始时，两小球相对杆中心O 对称放置，与O 的距离为d ，二者之间用细线拉紧．现在让细杆绕通过中心O 的竖直固定轴作匀角速的转动，转速为ω 0，再烧断细线让两球向杆的两端滑动．不考虑转轴的和空气的摩擦，在两球都滑至杆端的过程中，杆的角速度变小。 答案：对 题号：01023002 分值：2分 难度系数等级：3 一个物体正在绕固定光滑轴自由转动，它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小． 题号：01022003 分值：2分 难度系数等级：2 将一质量为m 的小球，系于轻绳的一端，绳的另一端穿过光滑水平桌面上的小孔用手拉住．先使小球以角速度ω1在桌面上做半径为r 1的圆周运动，然后缓慢将绳下拉，使半径缩小为r 2，在此过程中小球速度的大小保持不变． 答案：错 题号：01024004 分值：2分 难度系数等级：4 一质量为m 的质点沿着一条曲线运动，其位置矢量在空间直角座标系中的表达式为 j t b i t a r ωωsin cos +=，其中a 、b 、ω 皆为常量，则此质点对原点的角动量守恒。 答案：对 题号：01023005 分值：2分 难度系数等级：3 长为l 的杆如图悬挂．O 为水平光滑固定转轴，平衡时杆竖直 下垂，一子弹水平地射入杆中．则在此过程中，杆和子弹系统的动 量守恒． 答案：错 题号：01023006 分值：2分 难度系数等级：3 一水平的匀质圆盘，可绕通过盘心的竖直光滑固定轴自由转动．圆盘质量为M ，半径为R ，对轴的转动惯量J ＝ 2 1 MR 2．当圆盘以角速度ω0转动时，有一质量为m 的子弹沿盘的直径方向射入而嵌在盘的边缘上．子弹射入后，圆盘的角速度不变。 答案：错 题号：01024007 难度系数等级：4 一个质量为m 的小虫，在有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘边缘上，此时圆盘转动的角速度为 .若小虫沿着半径向圆盘中心爬行，则圆盘的角速度变大． 答案：对 题号：01021008 分值：2分 难度系数等级：1 均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转 动，如图所示．今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，棒的角动量不守恒． 答案：对 题号：01021009 分值：2分 难度系数等级：1 刚体作定轴转动时，刚体角动量守恒的条件是刚体所受的合外力等于零． 答案：错 题号：01022010 分值：2分 难度系数等级：2 质量为m 的质点以速度v 沿一直线运动，则它对空间任一点的角动量都为零。 答案：错 3．填空题 题号：01032001 难度系数等级：2 质量为0.05 kg 的小块物体，置于一光滑水平桌面上．有一绳一端连接此物，另一端穿过桌面中心的小孔（如图所示）．该物体原以3 rad/s 的角速度在距孔0.2 m 的圆周上转动．今将绳从小孔缓慢往下拉，使该物体之转动半径减为0.1 m ．则物体的角速度ω ＝_____________________． 12 rad/s 题号：01032002 分值：2分 难度系数等级：2 在光滑的水平面上，一根长L ＝2 m 的绳子，一端固定于O 点，另一端系一质量m ＝0.5 kg 的物体．开始时，物体位于位置A ，OA 间距离d ＝0.5 m ，绳子处于松弛状态．现在使物体以初速度v A ＝4 m ·s -1垂直于OA 向右滑动，如图所示．设以后的运动中物体到达位置B ,此时物体速度的方 向与绳垂直．则此时刻物体对Ｏ点的角动量的大 小L B ＝________ ____． 答案：s m N 1?? 题号：01033003 分值：2分 难度系数等级：3 在光滑的水平面上，一根长L ＝2 m 的绳子，一端固定于O 点，另一端系一质量m ＝0.5 kg 的物体．开始时，物体位于位置A ，OA 间距离d ＝0.5 m ，绳子处于松弛状态．现在使物体以初速度v A ＝4 m ·s -1垂直于OA 向右滑动，如图所示．设以后的运动中物体到达位置B ,此时物体速度的方 向与绳垂直．则此时刻物体 速度的大小v ＝__________________． 答案：m/s 1 题号：01034004 分值：2分 难度系数等级：4 地球的质量为m ，太阳的质量为M ，地心与日心的距离为R ，引力常量为G ， 则地球绕太阳作圆周运动的轨道角动量为L ＝_______________． 答案：GMR m 题号：01032005 分值：2分 难度系数等级：2 如图所示，钢球A 和B 质量相等，正被绳牵着以ω0=4 rad/s 的角速度绕竖直轴转动，二球与轴的距离都为r 1=15 cm ．现在把轴上环C 下移，使得两球离轴的距离缩减为r 2=5 cm ．则 钢球的角速度ω=_____ _____． 答案：36 rad/s 题号：01034006 分值：2分 难度系数等级：4 将一质量为m 的小球，系于轻绳的一端，绳的另一端穿过光滑水平桌面上的小孔用手拉住．先使小球以角速度ω1在桌面上做半径为r 1的圆周运动，然后 缓慢将绳下拉，使半径缩小为r 2，在此过程中小球的动能增量是_____________． 答案：)1(2122 2 12121-r r mr ω 题号：01032007 分值：2分 难度系数等级：2 哈雷慧星绕太阳的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆．它离太阳最近的距离是r 1＝8.75×1010 m ，此时它的速率是v 1＝5.46×104 m/s ．它离太阳最远时的速率是v 2＝9.08×102 m/s ， 这时它离太阳的距离是r 2＝__ ____． 答案：5.26×1012 m 题号：01033008 分值：2分 难度系数等级：3 一质量为 m 的质点沿着一条曲线运动，其位置矢量在空间直角座标系中的表达式为j t b i t a r ωωsin cos +=，其中a 、b 、ω 皆为常量，则此质点对原点的角动 量L =_________ _______． 答案：m ω ab 题号：01033009 分值：2分 难度系数等级：3 如图所示，x 轴沿水平方向，y 轴竖直向下，在t ＝0时刻将 质量为m 的质点由a 处静止释放，让它自由下落，则在任意时刻t ，质点对原点Ｏ的 角动量L ＝__________________． 答案：mgbt 题号：01031010 分值：2分 难度系数等级：1 质量为m 的质点以速度v 沿一直线运动，则它对该直线上任一点的角动量 为__________． 答案：零 题号：01032011 分值：2分 难度系数等级：2 质量为m 的质点以速度v 沿一直线运动，则它对直线外垂直距离为d 的一 点的角动量大小是__________． 答案：mvd 题号：01033012 分值：2分 难度系数等级：3 一飞轮以角速度ω0绕光滑固定轴旋转，飞轮对轴的转动惯量为J 1；另一静止飞轮突然和上述转动的飞轮啮合，绕同一转轴转动，该飞轮对轴的转动惯量为 前者的二倍．啮合后整个系统的角速度ω＝__________________． 答案：03 1 ω 题号：01035013 分值：2分 难度系数等级：5 在一水平放置的质量为m 、长度为l 的均匀细杆上，套着一质量也为m 的套管B (可看作质点)，套管用细线拉住，它到竖直的光滑固定轴OO ＇的距离为l 2 1 ，杆和套管所组成的系统以角速度ω0 绕OO ＇轴转动，如图所示．若在转动过程中细线被拉断，套管将沿着杆滑动．在套管滑动过程中，该系统转动的角速度ω与套管离轴的距离x 的 函数关系为_______________．(已知杆本身对OO ＇轴的转动惯量为2 3 1ml ) 答案：() 2 20 2347x l l +ω 题号：01033014 分值：2分 难度系数等级：3 ' 有一半径为R 的匀质圆形水平转台，可绕通过盘心O 且垂直于盘面的竖直固定轴OO ＇转动，转动惯量为J ．台上有一人，质量为m ．当他站在离转轴r 处时(r ＜R )，转台和人一起以ω1的角速度转动，如图．若转轴处摩擦可以忽略，问当人走到转台边缘时，转台和人一起转动的角速度ω2＝ __________________________． 答案： ()2 1 2 mR J mr J ++ω 题号：01031015 分值：2分 难度系数等级：1 一个刚体绕轴转动，若刚体所受的合外力矩为零，则刚体的________________守恒． 答案：角动量 题号：01031016 分值：2分 难度系数等级：1 长为l 的杆如图悬挂．O 为水平光滑固定转轴，平衡时杆竖直 下垂，一子弹水平地射入杆中．则在此过程中，_____________系 统对转轴Ｏ的角动量守恒． 答案：杆和子弹 题号：01033017 分值：2分 难度系数等级：3 一水平的匀质圆盘，可绕通过盘心的竖直光滑固定轴自由转动．圆盘质量为M ，半径为R ，对轴的转动惯量J ＝ 2 1 MR 2．当圆盘以角速度ω0转动时，有一质量为m 的子弹沿盘的直径方向射入而嵌在盘的边缘上．子弹射入后，圆盘的角速度 ω＝______________． 1 答案： m M M 20 +ω 题号：01032018 分值：2分 难度系数等级：2 一杆长l ＝50 cm ，可绕通过其上端的水平光滑固定轴O 在竖直平面内转动，相对于O 轴的转动惯量J ＝5 kg ·m 2．原来杆静止并自然下垂．若在杆的下端水平射入质量m ＝0.01 kg 、速率为v ＝400 m/s 的子弹并嵌入杆内，则杆的角速度 为ω ＝__________________． 答案：0.4 rad/s 题号：01031019 分值：2分 难度系数等级：1 定轴转动刚体的角动量守恒的 条件是________________________________________________． 答案：刚体所受对轴的合外力矩等于零． 题号：01034020 分值：2分 难度系数等级：4 长为l 、质量为M 的匀质杆可绕通过杆一端O 的水平光滑固定轴转 动，转动惯量为231Ml ，开始时杆竖直下垂，如图所示．有一质量为m 的子弹以水平速度0v 射入杆上A 点，并嵌在杆中， OA ＝2l / 3，则子弹射入后瞬间杆的角速度ω ＝__________________________． 答案：()l m M /3460 +v 4．计算题 题号：01042001 分值：10分 难度系数等级：2 一均匀木杆，质量为m 1 = 1 kg ，长l = 0.4 m ，可绕通过它的中点且与杆身垂直的光滑水平固定轴，在竖直平面内转动．设杆静止于竖直位置时，一质量为m 2 = 10 g 的子弹在距杆中点l / 4处穿透木杆(穿透所用时间不计)，子弹初速度的大小v 0 = 200 m/s ，方向与杆和轴均垂直．穿出后子弹速度大小减为v = 50 m/s ，但方向未变，求子弹刚穿出的瞬时，杆的角速度的大小．(木杆绕通过中点的垂直轴的转动惯量J = m 1l 2 / 12) 解：在子弹通过杆的过程中，子弹与杆系统因外力矩为零，故角动量守恒． 2分 则有 m 2v 0 l / 4 = m 2v l / 4 +J ω 4分 ()() l m m J l m 1020234v v v v -=-= ω ＝11.3rad/s 4分 题号：01044002 分值：10分 难度系数等级：4 有一质量为m 1、长为l 的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为μ的水平桌面上，它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动．另有一水平运动的质量为m 2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A 相碰撞，设碰撞时间极短．已 知小滑块在碰撞前后的速度分别为1v 和2v ，如图所示．求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间.(已知棒绕O 点的转动惯量213 1 l m J = ) 解：对棒和滑块系统，在碰撞过程中，由于碰撞时间极短，所以棒所受的摩擦力 矩<<滑块的冲力矩．故可认为合外力矩为零，因而系统的角动量守恒，即 m 2v 1l ＝－m 2v 2l ＋ω2 13 1l m ① 4分 碰后棒在转动过程中所受的摩擦力矩为 gl m x x l m g M l f 10 121d μμ-=?-= ? ② 2分 由角动量定理 ω2103 10l m dt M t f -=? ③ 2分 由①、②和③解得 g m m t 12 122μv v += 2分 题号：01043003 分值：10分 难度系数等级：3 A m 1 ,l 1v 2 俯视图 一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的竖直固定光滑轴O 转动．棒的质量为m = 1.5 kg ，长度为l = 1.0 m ，对轴的转动惯量为J = 2 3 1ml ．初始时棒静止．今有 一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，如 图所示．子弹的质量为m '= 0.020 kg ，速率为v = 400 m ·s -1．试问： (1) 棒开始和子弹一起转动时角速度ω有多大？ (2) 若棒转动时受到大小为M r = 4.0 N ·m 的恒定阻力矩作用，棒能转过多大的角度θ？ 解：(1) 角动量守恒： ω?? ? ??'+='2 231l m ml l m v 2分∴ l m m m ?? ? ??'+'= 31v ω＝15.4 rad ·s -1 2分 (2) －M r ＝(23 1ml ＋2 l m ')β 2分 0－ω 2＝2βθ 2分 ∴ r M l m m 23122ωθ??? ??'+=＝15.4 rad 2分 题号：01045004 分值：10分 难度系数等级：5 一质量均匀分布的圆盘，质量为M ，半径为R ，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为μ)，圆盘可绕通过其中心O 的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘静止，一质量为m 的子弹以水平速度v 0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求 (1) 子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度． (2) 经过多少时间后，圆盘停止转动． (圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为 22 1 MR ，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩) 解：(1) 以子弹和圆盘为系统，在子弹击中圆盘过程中，对轴O 的角动量守恒． 1分 m v 0R ＝(21 MR 2＋mR 2)ω 2分 R m M m ?? ? ??+= 210 v ω 1分 (2) 设σ表示圆盘单位面积的质量，可求出圆盘所受水平面的摩擦力矩的大小 m , l O v m ' 为 ? π?= R f r r g r M 0 d 2σμ＝(2 / 3)πμσgR 3＝(2 / 3)μMgR 2分 设经过?t 时间圆盘停止转动，则按角动量定理有 －M f ?t ＝0－J ω＝－(2 1 MR 2＋mR 2)ω＝- m v 0R 2分 ∴ ()Mg m MgR R m M R m t f μμ2v 33/2v v 0 00= ==? 2分 题号：01041005 分值：10分 难度系数等级：1 一质量均匀分布的圆盘，质量为m ，半径为R ，放在一粗糙水平面上，圆盘可绕通过其 中心O 的竖直固定光滑轴转动，圆盘和粗糙水平面之间摩擦力矩的大小为M f ．开始时，圆盘的角速度为0ω，用角动量定理求经过多少时间后，圆盘停止转动。(圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为 22 1 mR ) 解： 设经过?t 时间圆盘停止转动，则按角动量定理有 －M f ?t ＝0－J ω＝－ 2 1mR 2 ω0 5分 ∴ f M R m t 22 0ω=? 5分 题号：01041006 分值：10分 难度系数等级：1 有一半径为R 的均匀球体，绕通过其一直径的光滑固定轴匀速转动，转动周期为T 0．如它的半径由R 自动收缩为 R 2 1 ，求球体收缩后的转动周期．(球体对于通过直径的轴的转动惯量为J ＝2mR 2 / 5，式中m 和R 分别为球体的质量和半径)． 解：球体的自动收缩可视为只由球的内力所引起，因而在收缩前后球体的角动量守恒． 设J 0和ω 0、J 和ω分别为收缩前后球体的转动惯量和角速度, 则有 J 0ω 0 = J ω ① 5分 由已知条件知：J 0 = 2mR 2 / 5，J = 2m (R / 2)2 / 5 代入①式得 ω = 4ω 0 3分 即收缩后球体转快了，其周期 4 4220 0T T =π= π = ωω 2分 周期减小为原来的1 / 4． 题号：01043007 分值：10分 难度系数等级：3 如图所示，长为l 的轻杆，两端各固定质量分别为m 和2m 的小球，杆可绕水平光滑固定轴O 在竖直面内转动，转轴O 距两端分别 为 31l 和3 2 l ．轻杆原来静止在竖直位置．今有一质量为m 的小球，以水平速度0v 与杆下端小球m 作对心碰撞，碰后以02 1v 的速度返回， 试求碰撞后轻杆所获得的角速度． 解：将杆与两小球视为一刚体，水平飞来小球与刚体视为一系统．由角动量守恒 得 ωJ l m l m +-=3 223200 v v （逆时针为正向） ① 5分 又 2 2)3 (2)32(l m l m J += ② 3分 将②代入①得 l 230 v =ω 2分 题号：01042008 分值：10分 难度系数等级：2 在半径为R 的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一人静止站立在距转轴为 R 2 1 处，人的质量是圆盘质量的1/10．开始时盘载人对地以角速度ω0匀速转动，现在此人沿圆盘半径走到圆盘边缘。已知圆盘对中心轴的转动惯量为 22 1 MR ．求：求此时圆盘对地的角速度． 解：(1) 设当人走到圆盘边缘时，圆盘对地的绕轴角速度为ω ，则人对与地固联的转轴的角 速度也为 ω ， 2分 人与盘视为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动量守恒． 设盘的质量为M ，则人的质量为M / 10，有： ωω??????+ =??? ???????? ??+22 02 21021211021R M MR R M MR 6分 解得： 08 7 ωω= 2分 题号：01044009 m 0v 分值：10分 难度系数等级：4 在半径为R 的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一人静止站立在距转轴为 R 2 1 处，人的质量是圆盘质量的1/10．开始时盘载人对地以角速度ω0匀速转动，现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率v 沿与盘转动相反方向作圆周运动，如图所示． 已知圆盘对中心轴的转动惯量为 22 1 MR ．求： (1) 圆盘对地的角速度． (2) 欲使圆盘对地静止，人应沿着R 2 1圆周对圆盘的速度v 的大 小及方向？ 解：(1) 设当人以速率v 沿相对圆盘转动相反的方向走动时，圆盘对地的绕轴角速度为ω，则人对与地固联的转轴的角速度为 R R v v 22 1-=-='ωωω ① 2分 人与盘视为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动量守恒． 设盘的质量为M ，则人的质量为M / 10，有： ωωω'??? ??+=?? ??????? ??+2 2022211021211021R M MR R M MR ② 3分 将①式代入②式得：R 2120v +=ωω ③ 1分 (2) 欲使盘对地静止，则式③必为零．即 ω0 +2v / (21R )＝0 2分 得： v ＝－21R ω0 / 2 1分 式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反，即与盘的初始转动方向一致． 1分 题号：01043010 分值：10分 难度系数等级：3 质量为75 kg 的人站在半径为2 m 的水平转台边缘．转台的固定转轴竖直通过台心且无 摩擦．转台绕竖直轴的转动惯量为3000 kg ·m 2 ．开始时整个系统静止．现人以相对于地面为1 m ·s -1的速率沿转台边缘行走，求：人沿转台边缘行走一周，回到他在转台上的初始位置所用的时间． 解：由人和转台系统的角动量守恒 J 1ω1 + J 2ω2 = 0 4分 其中 J 1＝300 kg ·m 2，ω1=v /r =0.5 rad / s ， J 2＝3000 kg ?m 2 ∴ ω2＝－J 1ω1/J 2＝－0.05 rad/s 2分 人相对于转台的角速度 ωr ＝ω1－ω2＝0.55 rad/s 2分 ∴ t ＝2π /r ω＝11.4 s 2分 转动动能定理、角动量守恒原理 一，转动动能定理： 1， 力矩的功 设刚体在外力F 作用下发生角位移d φ 由功的定义：相应的元功为： ?θ?θMd Frd ds F ds F dA o ==-?=?=sin )90cos( 所以力矩的功为： ??==2 1 ???Md dA A 2， 转动动能定理 设M 为作用刚体上的合外力矩。将转动定律应用于功的定义中： 2 22 121)(0ωωωω?ω?β?ωωJ J d J d dt d J d J Md A -=====???? 所以转动动能定理为： 2 22 121ωω?J J Md -=? 说明，（1）??Md 为合外力矩的功，是过程量 22 1 ωJ E K = 为刚体在t 时刻的转动动能。是时刻量。 （2）其中M 、J 、ω必须相对同一惯性系，同一转轴。 【例】：质量为m 长度为l 的匀质细棒，可绕端轴o 在铅垂铅垂面内自由摆动，求细棒自水平位置自由下摆到铅垂位置时的角速度。 解：取细棒为研究对象，视之为刚体。细棒下摆到 任意θ位置时受外力有：重力mg ，端轴支持力N (对o 不成矩) 。由功的定义： 2 cos 2)90sin(2900l mg d l mg d l mg Md o o ===-=???θθθθθ 由转动动能定理： l g ml J l mg 331210212222= ∴ ?? ? ??=-=ωωω 二，角动量守恒定律 设M 为作用于刚体的合外力矩，由定轴转动定律： dt dL dt J d dt d J J M = ===)(ωωβ 所以，刚体定轴角动量定理为 00 L L dL Mdt L L t t -==?? 特别当整个过程中合外力矩为零时，刚体的角动量守恒。 即刚体定轴转动角动量守恒定律为： 常矢==L M 0 说明：（1）刚体定轴角动量守恒条件是整个过程中合外力矩为零。 （2）守恒式各量（M 、J 、ω）均需是对同一惯性系中的同一转轴。 （3）? ??==都变，但乘积不变、都不变、ωωωJ J const I L （4）角动量守恒定律也是自然界基本定律之一。不仅适用宏观领域， 也适用微观领域。 【例】质量为m 的人站在质量为M ，半径为R 的水平匀质圆盘边沿，随圆盘以角速度0Ω旋转，当他运动到半径r 处时，系统的角速度变为多少？ 解：系统转动过程中所受外力：重力Mg 、mg 、以及转轴的支持力N 均对转轴不成矩，故系统角动量守恒。 2 22 22022220222)2() 2 1()21()2 1 ()21(Ω++=+Ω+=ΩΩ+=Ω+ MR mr R M m MR mr MR mR MR mr MR mR 刚体的角动量及守恒定律 一、选择题 1、一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上，双臂水平地举二哑铃。在该人把此二哑 铃水平收缩到胸前的过程中，对于人、哑铃与转动平台组成的系统来说，正确的 是： 。 A.机械能守恒，角动量守恒； B.机械能守恒，角动量不守恒； C.机械能不守恒，角动量守恒； D.机械能不守恒，角动量不守恒； 2、 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 。 (A) 刚体不受外力矩的作用． (B) 刚体所受合外力矩为零． (C) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零． (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变． 3、一块方板，可以绕通过其一个水平边的光滑固定轴自由转动．最初板自由下垂．今 有一小团粘土，垂直板面撞击方板，并粘在板上．对粘土和方板系统，如果忽略空气阻力， 在碰撞中守恒的量是 。 (A) 动能． (B) 绕木板转轴的角动量． (C) 机械能． (D) 动量． 4、光滑的水平桌面上，有一长为2L 、质量为m 的匀质细 杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O 自由转动，其转动惯量为31mL 2，起初杆静止．桌面上有两个质量均为m 的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同 速率v 相向运动，如图所示。当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后，就与 杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为 。 (A) L 32v ． (B) L 54v ． (C) L 76v ． (D) L 98v ． (E) L 712v ． 5、如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴O 旋转，初始状态为静止悬挂．现有一个小球自左方水平打击细杆．设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统 。 (A) 只有机械能守恒． (B) 只有动量守恒． (C) 只有对转轴O 的角动量守恒． (D) 机械能、动量和角动量均守恒． 6、 质量为m 的小孩站在半径为R 的水平平台边缘上．平台可以绕通过其中心的竖直 光滑固定轴自由转动，转动惯量为J ．平台和小孩开始时均静止．当小孩突然以相对于地 面为v 的速率在台边缘沿逆时针转向走动时，则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向 分别为 。 (A) ??? ??=R J mR v 2ω，顺时针． (B) ?? ? ??=R J mR v 2ω，逆时针． (C) ??? ??+=R mR J mR v 22ω，顺时针． (D) ?? ? ??+=R mR J mR v 22ω，逆时针． 7、一水平圆盘可绕通过其中心的固定竖直轴转动，盘上站着一个人.把人和圆盘取作 系统，当此人在盘上随意走动时，若忽略轴的摩擦，此系统 。 (A) 动量守恒． (B) 机械能守恒． O v 俯视图 010-质点、刚体的角动量、角动量守恒定律 1. 选择题 1. 一质点作匀速率圆周运动时，［ ］ (A) 它的动量不变，对圆心的角动量也不变． (B) 它的动量不变，对圆心的角动量不断改变． (C) 它的动量不断改变，对圆心的角动量不变． (D) 它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变． 答案：（C ） 2. 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是［ ］ (A) 刚体不受外力矩的作用． (B) 刚体所受合外力矩为零． (C) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零． (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变． 答案：（B ） 3. 地球绕太阳作椭圆轨道运动，太阳的中心在椭圆的一个焦点上，把地球看作一个质 点，则地球的［ ］ (A) 动能守恒． (B) 动量守恒． (C) 对太阳中心的角动量守恒． (D) 对太阳中心的角动量守恒，动能守恒． 答案：（C ） 4. 均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴 转动，如图所示．今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动 到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？［ ］ (A)角动量从小到大，角加速度从大到小． (B)角动量从小到大，角加速度从小到大． (C)角动量从大到小，角加速度从大到小． (D)角动量从大到小，角加速度从小到大． 答案：（A ） 5. 人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的［ ］ (A)动量不守恒，动能守恒． (B)动量守恒，动能不守恒． (C)对地心的角动量守恒，动能不守恒． (D)对地心的角动量不守恒，动能守恒． 答案：（C ） 6. 人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为A 和B ．用L 和E K 分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有［ ］ (A) L A >L B ，E KA >E kB ． (B) L A =L B ，E KA 第五章角动量角动量守恒定理 本章结构框图 学习指导 本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。 基本要求 1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。 2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。 3.理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。 4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。 5.理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定理， 熟练进行有关计算。 6.掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。 内容提要 1.基本概念 刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。即： I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。 质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。 表5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量 力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图5.1）： 即： 大小：（力×力臂）方向：垂直于决定的平面，其指向 由右手定则确定。 对于力矩的概念应该注意明确以下问题： ?区分力对参考点的力矩和力对定轴的力矩：力对某轴的力矩是力对轴上任意一点的力矩在该轴上的投影。例如：某力对x、y、z轴的力矩就是该力对原点 的力矩在三个坐标轴上的投影： 由上可知：力对参考点的力矩是矢量，而力对定轴的力矩是代数量。 ?明确质点系内力矩的矢量和恒为零：由于内力总是成对出现，作用力和反作用力等大、反向、在同一直线上，所以对任何参考点内力矩的矢量和恒为零。当然，对任意轴，内力矩的代数和也恒为零。 ?明确质点系的合外力矩不等于其外力矢量和的力矩：合外力矩为各外力对同一参考点的力矩的矢量和，即：。由于一般情况下，各外力的作 用点的位矢各不相同，所以不能先求合力，再求合力的力矩。但是存在特例：在求重力矩时，可以把系内各质点所受重力平移到质心C，先求出其合 力，再由得到重力的合力矩。 第四节 角动量守恒定律 一、角动量 1. 质点对定点的角动量 （1）v m r p r L ?=?= (力矩：F r M ?=) （2）说明：r 指质点相对于固定点O 的位置矢量；指质点的动量；v 指质点的速度 （3）大小：=L αsin rmv ， （4）方向：（右手法则）v r ?向 （5）单位：12-s kgm （6）量纲：12-T ML 2. 刚体对定轴的角动量 （将刚体分解为质点组）∑∑=???==????=???=ωI w r m L L w r m v r m L i i i oz i i i i i i 22 ω I L = 此式对质点也适用 3. 角动量定理： （1） 公式：dt dL dt I d dt d I I M ====)(ωωβ 或dL dt M =? （2）文字表述：刚体对某一给定转轴或点的角动量对时间的变化率等于刚体所受到的对同一转轴或点的和外力矩的大小。 （3）说明：dt M ?称冲量矩，表示力矩的时间积累效果，单位：牛·米·秒 若何外力矩M=0,则L=IW=恒量 4. 转动定律的普遍形式 dt dI dt d I dt L d M ωω +== 二、角动量守恒 1、角动量守恒的条件：质点所受相对于参考点的力矩的矢量和等于零；在有心 力作用下，质点相对于力心的角动量守恒。 2、应用： 例1：花样滑冰运动员的“旋”动作，当运动员旋转时伸臂时转动惯量较大，转速较慢；收臂时转动惯量减小，转速加快；再如：跳水运动员的“团身--展体”动作，当运动员跳水时团身，转动惯量较小，转速较快；在入水前展体，转动惯量增大，转速降低，垂直入水。 3、习题： 1．质点做直线运动时，其角动量( )（填一定或不一定）为零。 答案: 不一定 2．一质点做直线运动，在直线外任选一点O为参考点，若该质点做匀速直线运动，则它相对于点O的角动量( )常量；若该质点做匀加速直线运动，则它相对于点O的角动量( )常量，角动量的变化率( )常量。（三空均填是或不是）答案: 是; 不是; 是。 3．一质点做匀速圆周运动，在运动过程中，质点的动量( )，质点相对于圆心的角动量( )。（两空均填守恒或不守恒） 答案：不守恒；守恒。 4．一颗人造地球卫星的近地点高度为h 1 ,速率为υ 1 ，远地点高度为h 2, 已知地 球半径为R.求卫星在远地点时的速率υ 2.. 解：因为卫星所受地球引力的作用线通过地球中心，所以卫星对地球中心的角动量守恒。 根据角动量守恒定律得 r 1 mυ 1 = r 2 mυ 2 且r 1=R+ h 1 r 2 =R+ h 2 解得υ 2 =（R+ h 1 /R+ h 2 ）υ 1 质点、刚体的角动量，角动量守恒定律 1、选择题 1．人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的 (A)动量不守恒，动能守恒． (C)对地心的角动量守恒，动能不守恒． (B)动量守恒，动能不守恒． (D)对地心的角动量不守恒，动能守恒． ［ ］ 2．人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为A 和B ．用 L 和E K 分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有 (A) L A >L B ，E KA >E kB ． (B) L A =L B ，E KA 第3单元 角动量守恒定律 序号 学号 姓名 专业、班级 一 选择题 [ A ]1．已知地球的质量为m ，太阳的质量为M ，地心与日心的距离为R ，引力常数为G ，则地球绕太阳作圆周运动的角动量为 (A) GMR m (B) R GMm (C) R G Mm (D) R GMm 2 [ C ]2． 关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 (A) 只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关。 (B) 取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关。 (C) 取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置 (D) 只取决于转轴的位置、与刚体的质量和质量的空间分布无关。 [ E ]3. 如图所示，有一个小块物体，置于一个光滑的水平桌面上，有一绳其一端连结此物体，另一端穿过桌面中心的小孔，该物体原以角速度ω在距孔为R 的圆周上转动，今将 绳从小孔缓慢往下拉，则物体 动能不变，动量改变。 动量不变，动能改变。 角动量不变，动量不变。 角动量改变，动量改变。 角动量不变，动能、动量都改变。 [ A ]4．均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正 确的? (A) 角速度从小到大，角加速度从大到小 ; (B) 角速度从小到大，角加速度从小到大 ; (C) 角速度从大到小，角加速度从大到小 ; (D) 角速度从大到小，角加速度从小到大 。 [ B ]5．两个均质圆盘A 和B 密度分别为A ρ和B ρ，若A ρ>B ρ，但两圆盘质量与厚度相 同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为A J 和B J ，则 (A) A J >B J (B) B J >A J (C) A J ＝B J (D) A J 、B J 哪个大，不能确定 [ A ]6．有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上： (1) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； (2) 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； (3) 当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零； (4) 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零。 在上述说法中： (A) 只有(1)是正确的。 (B) (1)、(2)正确，(3)、(4)错误。 (C) (1)、(2)、(3)都正确，(4)错误。 (D) (1)、(2)、(3)、(4)都正确。 [ C ]7．一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，如图射来两个质量相同、速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度ω (A) 增大 (B) 不变 (C) 减小 (D) 不能确定 二 填空题 1.质量为m 的质点以速度 v 沿一直线运动，则它对直线上任一点的角动量为 ___0_ 。 2.飞轮作匀减速转动，在5s 内角速度由40πrad·s 1 -减到10πrad·s 1 -，则飞轮在这5s 内总共转过了___62.5_____圈，飞轮再经_______1.67S_____ 的时间才能停止转动。 3． 一长为l 、质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为2m 和m 的小球，杆可绕通过其中心O 且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动。 开始杆与水平方向成某一角度θ，处于静止状态，如图所示。释放后，杆绕O 轴转动，则当杆转到水平位置时，该系统所受的合外力矩的大小M = mgl 21 ，此时该系统角加速度的大小β= l g 32 。 4．可绕水平轴转动的飞轮，直径为1.0m ，一条绳子绕在飞轮的外周边缘上，如果从静 止开始作匀角加速运动且在4s 内绳被展开10m ，则飞轮的角加速度为2 /5.2s rad 。 ５．决定刚体转动惯量的因素是 ___刚体的质量____ __；__刚体的质量分布____ 《大学物理》作业 No.4 角动量守恒定律 一、选择题 1.已知地球的质量为m，太阳的质量为M，地心与日心的距离为R，引力常数为G，则地球绕太阳作圆周运动的角动量为 [ ](A) (B) (C) (D) 2.均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的? [ ](A) 角速度从小到大，角加速度从大到小 ; (B) 角速度从小到大，角加速度从小到大 ; (C) 角速度从大到小，角加速度从大到小 ; (D) 角速度从大到小，角加速度从小到大。 3. 两个均质圆盘A和B密度分别为和，若>，但两圆盘质量与厚度相同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为和，则 [ ](A) > (B) > (C) ＝ (D) 、哪个大，不能确定 4.有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上： (1) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； (2) 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零； (3) 当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零； (4) 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零。 在上述说法中： [ ](A) 只有(1)是正确的。 (B) (1)、(2)正确，(3)、(4)错误。 (C) (1)、(2)、(3)都正确，(4)错误。 (D) (1)、(2)、(3)、(4)都正确。 5.关于力矩有以下几种说法： (1) 对某个定轴而言，内力矩不会改变刚体的角动量。 (2) 作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零。 (3) 质量相等、形状和大小不同的两个物体，在相同力矩的作用下，它 们的角加速度一定相等。 在上述说法中， 《大学物理》练习题 No 7 角动量守恒定律 班级__________学号 _________ 姓名 _________ 成绩 ________ 基本要求： （1） 掌握质点和刚体在定轴转动中的角动量、角动量定理、角动量守恒定律及应用 内容提要： 1. 质点的角动量 a. 质点对点的角动量：v m r p r L ?=?= b. 对固定轴的角动量：ω J L = 2. 刚体对定轴的角动量：等于刚体对此轴的转动惯量与角速度的乘积 即：ω z z J L = 3．刚体的角动量定理: 外力矩对系统的角冲量(冲量矩)等于角动量的增量. 即：00 ωω J J L d dt M L L t t -==?? 若J 可以改变,则：000 ωω J J L d dt M L L t t -==?? 4．角动量守恒定律：当物体所受的合外力矩为零时,物体的角动量保持不变， 即00 ωωω J J J ==或 常矢量 角动量守恒定律的两种情况： a. 转动惯量保持不变的单个刚体 00,0ωωωω ===则时，当J J M b. 转动惯量可变的物体。 . 保持不变就增大，从而减小时，当就减小； 增大时，当ωωω J J J 一、选择题 1.刚体角动量守恒的充分必要条件是 [ ] (A) 刚体不受外力矩的作用. (B) 刚体所受合外力矩为零. (C) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零. (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变 2.有一半径为R 的水平圆转台,可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动, 转动惯量为J , 开始时转台以匀角速度ω 0转动,此时有一质量为m 的人站在转台中心,随后人沿半径向外跑去,当人到达转台边缘时, 转台的角速度为 [ ] (A) J ω 0/(J +mR 2) . (B) J ω 0/[(J +m )R 2]. (C) J ω 0/(mR 2) . (D) ω 0. 3.如图7.1所示,一静止的均匀细棒,长为L 、质量为M , 可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O 在水平面内转动, 转动惯量为ML 2/3.一质量为m 、速率为v 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射入并穿出棒的自由端,设穿过棒后子弹的速率为v /2,则此时棒的角速度应为 [ ] (A) mv/(ML ) . (B) 3mv/(2ML ). (C) 5mv/(3ML ). (D) 7mv/(4ML ). 二、填空题 1. 在XOY 平面内的三个质点,质量分别为m 1 = 1kg, m 2 = 2kg,和 m 3 = 3kg,位置坐标(以米为单位)分别为m 1 (－3,－2)、m 2 (－2,1)和m 3 (1,2),则这三个质点构成的质点组对Z 轴的转动惯量I z = . 2.质量均为70kg 的两滑冰运动员，以6.5s m /等速反向滑行，滑行路线的垂直距离为10m 。当彼此交错时，各抓住10m 长绳子的两端，然后相对旋转。则各自对中心的角动量=L ，当各自收绳到绳长为5m 时，各自速率为=v 。 3.一飞轮以角速度ω 0绕轴旋转, 飞轮对轴的转动惯量为J 1;另一静止飞轮突然被同轴地啮合到转动的飞轮上,该飞轮对轴的转动惯量为前者的二倍,啮合后整个系统的角速度ω = . 三、计算题 1. 如图7.2所示,有一飞轮,半径为r = 20cm,可绕水平轴转动,在轮上绕一根很长的轻绳,若在自由端系一质量m 1 = 20g 的物体,此物体匀速下降；若系m 2=50g 的物体,则此物体在10s 内由静止开始加速下降40cm . 绳系重物m 2后的张力？ v /2 图7.1 图7.2 图7.3 角动量定理及角动量守恒定律 一、力对点的力矩： 如图所示，定义力F 对O 点的力矩为： F r M ?= 大小为： θsin Fr M ＝ 力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋法则来判断：把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向时，拇指指向的方向就是力矩的方向。 二、力对转轴的力矩： 力对O 点的力矩在通过O 点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。 1）力与轴平行，则0=M ； 2）刚体所受的外力F 在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之 间的距离d 称为力对转轴的力臂。力的大小与力臂的乘积，称为力F 对 转轴的力矩，用M 表示。力矩的大小为： Fd M ＝ 或： θsin Fr M ＝ 其中θ是F 与r 的夹角。 3）若力F 不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个力，一 个与转轴平行的分力1F ，一个在垂直与转轴平面内的分力2F ，只有分力2F 才对刚体的转动状态有影响。 对于定轴转动，力矩M 的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴方向反方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向。 三、合力矩对于每个分力的力矩之和。 合力 ∑=i F F 合外力矩 ∑∑∑=?=?=?i i i M F r F r F r M ＝ 即 ∑i M M ＝ 四、质点的角动量定理及角动量守恒定律 在讨论质点运动时，我们用动量来描述机械运动的状态，并讨论了在机械运动过程中所遵循的动量守恒定律。同样，在讨论质点相对于空间某一定点的运动时，我们也可以用角动量来描述物体的运动状态。角动量是一个很重要的概念，在转动问题中，它所起的作用和(线)动量所起的作用相类似。 在研究力对质点作用时，考虑力对时间的累积作用引出动量定理，从而得到动量守恒定律；考虑力对空间的累积作用时，引出动能定理，从而得到机械能守恒定律和能量守恒定律。至于力矩对时间的累积作用，可得出角动量定理和角动量守恒定律；而力矩对空间的累积作用，则可得出刚体的转动动能定理，这是下一节的内容。本节主要讨论的是绕定轴转动的刚体的角动量定理和角动量守恒定律，在这之前先讨论质点对给定点的角动量定理和角动量守恒定律。 下面将从力矩对时间的累积作用，引入的角动量的概念，讨论质点和刚体的角动量和角动量守恒定律。 1．质点的角动量（Angular Momentum ）——描述转动特征的物理量 1）概念 一质量为m 的质点，以速度v 运动，相对于坐标原点O 的位置矢量 第五节-角动量角动量 守恒定理 第五章角动量角动量守恒定理 本章结构框图 学习指导 本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。 基本要求 1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。 2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。 3.理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。 4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。 5.理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定 理，熟练进行有关计算。 6.掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。 内容提要 1.基本概念 刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。即： I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。 质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。 表5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量 力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图5.1）： 即： 大小：（力×力臂）方向：垂直于决定的平面，其指向由右手定则确定。 质点、刚体的角动量，角动量守恒定律 1、选择题 1．人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的 (A)动量不守恒，动能守恒． (C)对地心的角动量守恒，动能不守恒． (B)动量守恒，动能不守恒． (D)对地心的角动量不守恒，动能守恒． ［ ］ 2．人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为A 和B ．用 L 和E K 分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有 (A) L A >L B ，E KA >E kB ． (B) L A =L B ，E KA 第5章 角动量守恒定律 刚体的转动 5-1 质点的动量守恒与角动量守恒的条件各是什么，质点动量与角动量能否同时守恒？試说明之。 答：质点的动量守恒的条件是： 当0F =时，p mv ==恒矢量。 质点的角动量守恒的条件是： 当0M =时，即000,F r θπ?=??=??=?? 时，L =恒矢量。 可见，当0F =时，质点动量与角动量能同时守恒。 5-2 质点在有心力场中的运动具有什么性质？ 答：质点在有心力场中运动时，0,0F M ≠=，则角动量守恒，即： 当0M =时，L =恒矢量。 又因为有心力是保守力，则机械能守恒，即： 当0ex in nc A A +=时，K P E E E =+=恒量。 5-3 人造地球卫星是沿着一个椭圆轨道运行的，地心O 是这一轨道的一个焦点。卫星经过近地点和远地点时的速率一样吗？卫星在近地点和远地点时的速率与地心到卫星的距离有什么关系？ 答：卫星经过近地点和远地点时的速率不一样，由角动量守恒定律得： a a b b r mv r mv = a b b a v r v r ∴= 可见，速率与距离成反比。 5-4 作匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量是否守恒？对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点，它的角动量是否守恒？对于哪一个定点，它的角动量守恒？ 答：作匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量不守恒；对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点，它的角动量不守恒；对于圆心定点， 它的角动量守恒。 5-5 以初速度0v 将质量为m 的小球斜上抛，抛射角为θ，小球运动过程中，相对于抛射点的角动量如何变化？小球运动到轨道最高点时，相对于抛射点的角动量为多少？ 答：取抛射点为坐标原点，取平面直角坐标系Oxy ，y 轴正方向向上，则质点的运动方程和速度表达式为： 020cos 1sin 2x v t y v t gt θθ=???=-?? ， 00cos sin x y v v v v gt θθ=??=-? 对于抛射点的角动量： ()() x y y x L r mv xi y j mv i mv j xmv k ymv k =?=+?+=- 将,,,x y x y v v 代入得： 201cos 2L mgv t k θ=- 当小球到达最高点时，时刻为：0sin v t g θ=，代入上式得： 小球相对于抛射点的角动量为：320sin cos 2mv L k g θθ=-。 5-6 为什么说刚体平动的讨论可归结为对质点运动的研究？ 答：由于刚体平动时，各点的运动状态相同，则可取刚体上任意一点运动代表刚体的运动，所以刚体的平动可用质点运动来描述。 5-7如果刚体所受的合外力为零，其合外力矩是否也一定为零？如果刚体所受合外力矩为零，其合外力是否一定为零？ 答：如果0i i F =∑，但力不共轴，则力矩不为零0i i M ≠∑。 如果0i i M =∑，但力方向相同，则力不为零0i i F ≠∑。 5-8 在某一瞬时，如果刚体受到的合外力矩不为零，其角加速度可以为零吗？其角速度可以为零吗？ 答:由刚体的转动定理：M J β= 刚体的角动量,角动量 守恒定律 刚体的角动量，角动量守恒定律 1.选择题 题号：01011001 分值：3分 难度系数等级：1 人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的 (A)动量不守恒，动能守恒． (B)动量守恒，动能不守恒． (C)对地心的角动量守恒，动能不守恒． (D)对地心的角动量不守恒，动能守恒．［］ 答案：（C） 题号：01012002 分值：3分 难度系数等级：2 人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为A和B．用L和E K分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有 (A) L A>L B，E KA>E kB． (B) L A=L B，E KA 难度系数等级：3 体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是 (A)甲先到达． (B)乙先到达． (C)同时到达． (D)谁先到达不能确定．［］ 答案：（C） 题号：01011004 分值：3分 难度系数等级：1 一质点作匀速率圆周运动时， (A) 它的动量不变，对圆心的角动量也不变． (B) 它的动量不变，对圆心的角动量不断改变． (C) 它的动量不断改变，对圆心的角动量不变． (D) 它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变．［］ 答案：（C） 题号：01013005 分值：3分 难度系数等级：3 刚体的角动量，角动量守恒定律 1.选择题 题号：01011001 分值：3分 难度系数等级：1 人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的 (A)动量不守恒，动能守恒． (B)动量守恒，动能不守恒． (C)对地心的角动量守恒，动能不守恒． (D)对地心的角动量不守恒，动能守恒．［］ 答案：（C） 题号：01012002 分值：3分 难度系数等级：2 人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为A和B．用L 和E K分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有 (A) L A>L B，E KA>E kB．(B) L A=L B，E KA 一质点作匀速率圆周运动时， (A) 它的动量不变，对圆心的角动量也不变． (B) 它的动量不变，对圆心的角动量不断改变． (C) 它的动量不断改变，对圆心的角动量不变． (D) 它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变． ［ ］ 答案：（C ） 题号：01013005 分值：3分 难度系数等级：3 花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为J 0，角速度为ω0．然后她将两臂收回，使转动惯量减少为3 1 J 0．这时她转动的角速度变为 (A) 3 1ω0． (B) ()3/1 ω0． (C) 3 ω0． (D) 3 ω0． ［ ］ 答案：（D ） 题号：01014006 分值：3分 难度系数等级：4 光滑的水平桌面上，有一长为2L 、质量为m 的匀质细杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O 自由转动，其转动惯量为3 1mL 2，起初杆静止．桌面上有两个质量均为m 的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同速率v 相向运动，如图所示．当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后，就与杆粘在一 起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为 (A) L 32v ． (B) L 54v ． (C) L 76v ． (D) L 98v ． ［ ］ 答案：（C ） 题号：01012007 分值：3分 O v 俯视图 第6节 角动量定理和角动量守恒定律 一、 质点对固定点的～ 定义：质点对O 点的角动量(动量矩) L =r ?P L =?sin rP =?sin rmV ， 12-s k g m ，12-T ML 定义：力F 对O 点的力矩：M =r ? M =θsin rF F r V m V dt P d r P dt r d P r dt d dt L d ?+?=?+?=?=)( M dt M ：元冲量矩 ?21 t t dt M ：冲量矩，N m s ，1 2-T ML 如果合外力矩M =0 0=dt L d ?C P r L =?=：角动量守恒定律 例：圆锥摆球在水平面内匀速转动 分别对固定点A 和O ，讨论 小球受到的张力矩，重力矩 合力矩和角动量 对A ：T R M T ?==0， G R M G ?=≠0 M =T M +G M ≠0， V m R L A ? =不守恒 对O ：T r M T ?=≠0 ，G r M G ?=≠0 M =T M +G M =)(G T r +?=0 V m r L O ?=守恒 例：证明开普勒第二定律 “从恒星到行星的矢径在相同 的时间内扫过相同的面积” 证：合外力矩M =r ?F =0 角动量L =r V m ?=C r V ?=C ' ，?sin rV =C ' dt ，面积?i n 2 121r d s r d h dA == ?s i n 21dt ds r dt dA ==2/sin 2 1C rV '=?：常数 二、质点系对固定点的～ i m ：动量：i i i V m P = 角动量i i i P r L ?= 定义：质点系对O 点的角动量 ∑∑?==i i i P r L L ∑∑?+?=dt P d r P dt r d dt L d i i i i ∑∑+?+?=)(i i i i i f F r P V ∑∑?+?=i i i i f r F r 外M F r i i =?∑：合外力矩 ?f r ：合内力矩，∑?i i f r =0 如果合外力矩外M =0 0=dt L d ?∑==C L L i ：角动量守恒定律 例：两只猴子，质量相同，距地面高度相同 一只猴子向上爬，另一只猴子不爬， 请问，哪只猴子先到达滑轮？ 解：角动量守恒：21RmV RmV -=0 21V V =，同时达到滑轮 第5章 角动量 角动量守恒定律自测题答案 一、选择题 1、（D ） 2、（D ） 3、（D ） 4、（C ） 5、（B ） 6、（C ） 7、（D ） 8、（D ） 9、（A ） 10、（B ） 11、（B ） 12、(C) 13、(D) 14、（A ） 15、（C ） 16．（C ） 17、（A ） 18、（B ） 19、（B ） 20、（C ） 二、填空题 1、ML 2T -1 ； 2、s m kg /2? ； 3、不一定； 4、不一定； 5、动量； 6、角动量； 7、恒定； 8、为零； 9、mrv ； 10、角动量； 11、2； 12、m v d ； 13、不为零； 14、10； 15、6 。 三、计算题 1.有一质量为0.5g 的质点位于平面上P(3，4)点处，其速度为j i v ???43+=，并受到了一力j F ??5.1=的作用。求其对坐标原点的角动量和作用在其上的力矩。 解：质点对坐标原点的位矢为 j i r ???43+= （2分） 则其对坐标原点的角动量为 )43()43(105.03j i j i v m r L ???????+?+??=?=- （4分） 0= （1分） 作用在该质点上的力矩为 j j i F r M ??????5.1)43(?+=?= （4分） k ?5.4= （1分） 2.一质量为1.0kg 的质点，受到一力j t i t F ???)43()12(-+-=的作用，其中t 以s 为单 位，F ?以N 为单位。开始时质点静止于坐标原点，求t =2s 时质点对原点的角动量。 解：质点的加速度为 j t i t a ???)43()12(-+-= （1分） 由dt v d a ??=，得 （2分） j t t i t t dt j t i t dt a v t ??????)42 3()(])43()12[(220 -+-=-+-==?? （2分） 由dt r d v ??=，得 （2分）刚体角动量守恒定律
刚体的角动量及守恒定律
质点、刚体的角动量、角动量守恒定律
第五章 角动量角动量守恒定理
角动量守恒定律
010-质点、刚体的角动量、角动量守恒定律
《大学物理》习题册题目及答案第3单元 角动量守恒定律
角动量守恒定律
7.角动量守恒定律
角动量定理及角动量守恒定律
第五节-角动量角动量守恒定理讲解学习
010-质点、刚体的角动量、角动量守恒定律 (1)
大学物理第5章-角动量守恒定律-刚体的转动
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角动量定理和角动量守恒定律
角动量 角动量守恒定律自测题答案