最大子长方体问题

算法设计与分析

课程设计

题目：最大子长方体问题

专业：网络工程

班级：

学号：

姓名：

计算机工程系

2012年11 月16 日

一、算法问题描述

一个立方体被分割成n个小立方体，每个小立方体内有一个整数。试设计一个算法，计算出所给立方体的最大子长方体。子长方体的大小由它所含所有整数之和确定。

二、算法问题形式化表示

三、期望输入与输出

输入：输入的第1行是3个正整数m,n,p，1≤m,n,p≤50。接下来m*n行每行p个正整数，表示小立方体中的数。

输出：输出的第1行中的数是计算出的最大子长方体的大小。

样例输入：

请输入立方体的长m,宽n,高p为：

3 3 3

m*n行中每行的p个正整数为：

0 -1 2

1 2 2

1 1 -2

-2 -1 -1

-3 3 -2

-2 -3 1

-2 3 3

0 1 3

2 1 -3

样例输出：

所给立方体的最大子长方体为：

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四、算法分析与步骤描述

1．算法总体过程

2．最优值实现过程中信息的保存

在算法的实现过程中，是将原长方体分解成若干子长方体，每个子长方体都要转化成矩阵，求出各个矩阵的最大子矩阵，最优值就存在于这些最大子矩阵中，如果想获得最优解就必须对各个最大子矩阵的信息进行保存；同理，将子长方体转化成矩阵，分解成若干子矩阵，每个子矩阵都要转化成段，求出各个段的最大子段，要获得最大子矩阵，就得从这些最大子段中比较求得，如果想获得最优解就必须对各个最大子段和的信息进行保存，为此，定义了下面的方法：

static int max(int i,int j)

{

if(i>=j)

return i;

else

return j;

}

3.算法的实现

最大子长方体问题的动态规划算法如下：

static int MaxSum3(int a[][][],int m,int n,int p)

{

int sum=0;

int [][]b=new int [50][50];

int k,i,j,z,x;

for(i=0;i

{

for(z=0;z

for(x=0;x

b[z][x]=0; //初使化

for( j=i;j

{

for(z=0;z

for(x=0;x

b[z][x]+=a[z][x][j];

sum=max(sum,MaxSum2(b,m,n));

}

}

return sum;

}

其中MaxSum2()为最大子矩阵问题的动态规划算法，具体实现过程如下：

static int MaxSum2(int a[][],int m,int n) //二维M*N的矩阵

{

int sum=0;

int []b=new int[50];

int k=0;

for(int i=0;i

{

for(k=0;k

b[k]=0;

for(int j=i;j

{

for(k=0;k

b[k]+=a[j][k];

sum=max(sum,MaxSum(b,n));

}

}

return sum;

}

五、问题实例及算法运算步骤

设当前子长方体是最优子长方体，用num进行标志，其在i、j和k方向上的起止位置分别为：(i1,i2)、(j1,j2)、(k1,k2)。k1、k2在算法MaxSum3中很容易确定，并已保存在three1,three2变量中；i1、i2要在MaxSum2中确定，它们的值保存在memtwo[num].one1和memtwo[num].one2中，由num1用来标志获得最优子长方体的最优子矩阵；j1、j2的值要在MaxSum1中确定，保存在memone[num1].two1和memone[num1].two2中，并在MaxSum2中赋值memtwo[num].two1 =memone[num1].two1,memtwo[num].two2=memone[num1].two2。若在MaxSum3中判断出当前子长方体是当前的最优解，则进行赋值num3=num,num3最终保存的就是最优子长方体的标志。最优值确定后，进行赋值two1= memtwo[num3].two1,two2=

memtwo[num3].two2,one1= memtwo[num3].one1,one2= memtwo[num3].one2,并通过如下算法，输出最大子长方体：

for(int i=0;i

for(int j=0;j

for(int k=0;k

a[i][j][k]=Integer.parseInt(sc.next());

System.out.println("所给立方体的最大子长方体为：");

System.out.println(MaxSum3(a,m,n,p));

六、算法运行截图

七、算法复杂度分析

由于解最大子段和问题的动态规划算法Maxsum1l的时间复杂度为O(n)，故算法Maxsum2的双重循环需要O(mn)实践，进一步算法Maxsum3的三重循环则需要O(pmn)时间。