数理统计试题及答案

数理统计考试试卷

一、填空题（本题15分，每题3分）

1、总体X?N（20,3）的容量分别为10,15的两独立样本均值差X -Y ~ ____________ ；

2、设X「X2,…，乂花为取自总体X ~ N（0,0.52）的一个样本，若已知7（2.01（16^32.0,则

16

P{ZX^ >8}= _________ ；

i 4

3、设总体X?N（j；「2），若」和二2均未知，n为样本容量，总体均值」的置信水平为1 -?的置信区间为（X —k,X +入），则k的值为 ___________

4、设X1,X2,...,X n为取自总体X?N（4；「2）的一个样本，对于给定的显著性水平:，已知关于CT2检验的拒绝域为7-2<晋七（n-1），则相应的备择假设H1为 ________________ ;

5、设总体X?N（7；「2），匚2已知，在显著性水平0.05下，检验假设H。：」? _ *,H 1 : ■「：：J , 拒绝域是。

1

1、N(0,—) ;

2、0.01;

2 3、怙(n— 1)卓;

2 n

2 2

4、〔■- 0 ；

5、Z ——Z0.05。

二、选择题（本题15分，每题3 分）

1、设X1，X2，X3是取自总体X的一个样本，［是未知参数，以下函数是统计量的为（

1

(A) :-(X1 X2 X3) (B) X1 X2 X3 (C) X1X2X3

a

2、设X1,X2,, X n为取自总体X?N（?；「2）的样本，X为样本均值,

1 32

(D) (X—)2

3 y

S2(X i -X)2—

n i#

则服从自由度为n -1的t分布的统计量为（

(A ) - n(^ J)(B )^^2

S

n （C）

n

」（

X

」）

CJ

（D）n」（X」）

S n

3、设X1,X2/ ,X n是来自总体的样本, D（X）=；「2存在，S2

1 n

TX(Xi-x)2,

则（

（A）S2是二2的矩估计（B）S2是二2的极大似然估计

（C）S2是二2的无偏估计和相合估计（D）S2作为二2的估计其优良性与分布有关

水平为0.95的置信区间；（ 爲5（9）=2.70，爲5（9）=19.023 ）。

4、设总体X ~ N （叫，G 2）,Y ?N （—,；採）相互独立，样本容量分别为 n 1, n 2，样本方差分别

H 0^ -5.0, H 1 : )=5.0 的结果是(

参数二0，X 1/ ,X n 是来自X 的样本，求（1）二的矩估计；（2）二的极大似然估计。

解：(1) E(X)二 _..xf (x)dx =

令询次弓，得几沪为参数'的矩估计量。

⑵似然函数为：L （xD

,0 ：：：X i ：m,（i =1,2,…，n ），

im 廿 廿 im

而L （v ）是二的单调减少函数，所以 二的极大似然估计量为 ^-max{X 1,X 2^ ,X n }。

为S ； , M ，在显著性水平:下，检验

H 0 : of _ 匚;，H 1 :;「； ：：： ；「I 的拒绝域为（

(A)-2

_F(n 2 -1,n 1 -1)

6

2

s 2

(B

) - A F 〔 g ( n 2 — 1 n 1 - 1

~2

S i (C)

—2

_F-.(n i —1,n 2 —■〔)

2 S

2 (D )

—2

兰 F t a (n 1 —1, n 2 —1)

S 1

2

S 1

设总体X ?NK 2），匚2已知,

X i ,X 2, X 是来自总体的样本观察值，已

?I 的置信水平为 0.95的置信区间为（4.71,

5.69），则取显著性水平 a =0.05时，检验假

（A ）不能确定 (B )接受H 0

(C )拒绝H ° （D ）条件不足无法检验

1、B ;

2、D;

3、C ；

4、A ；

5、B.

三、（本题14分）

设随机变量X 的概率密度为:

2 x 0 ■ . 0

f EfJ 其他，其中未知

四、（本题14分）设总体 X ?N （0,二2），且X 1,X 2 X 10是样本观察值，样本方差 s 2 =2

2

（1）求匚 的置信水平为 0.95的置信区间;

（2）已知Y 二务?2（1） ，求D X

2的置信

n

总体X 的样本， 若已知U = —、■ X i ?2（2n ），求：

日y （1） 二的置信水平为1-:?的单侧置信下限；

（2） 某种元件的寿命（单位： h ）服从上述指数分布，现从中抽得容量为 16的样本，测得

样本均值为

5010（ h ），试求元件的平均寿命的置信水平为

0.90的单侧置信下限。

(监05(31) =44.985,监10(32) =42.585)。

即日的单侧置信下限为 g = 2“X ； ( 2) g = 2

"6工5010 =3764 706 。 -^2(2 n) 一 42.585

六、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度 X ~ N （10,1），今阶

段

性抽取10个水样，测得平均浓度为

10.8 （mg/L ），标准差为1.2 （ mg/L ），问该工厂生产

是 否正常？ ( a =0.05乙。25(9) =2.2622盜025(9)=19.023,瞪75(9) = 2.700) 解:

（1 ）检验假设H 。：二2=1 , H 1：匚2工1；取统计量：

2

(n -1)s

—时；

拒绝域为：'2W 7 2。( n —1) = 72 975 (9) =2.70 或/ 2/一 ；(n — 1)=猛25=19.023 ,

1i

1

解:

(1) c 2

的置信水平为0.95的置信区间为

18

18

0.025

(9) 0.975

(9)

，即为（ 0.9462, 6.6667);

(2)

X 2 T 7

1

—D

CT

X 2 T 7

,D[ 2(1)]=

c 2 仅2、 2

由于2是匚2的单调减少函数，置信区间为

2丿▽ 即为（0.3000, 2.1137）。

五、（本题10分）设总体X 服从参数为二的指数分布,

其中二■ 0未知,

X 1,…，X n 为取自

解：（H

竿 <卷(2n)}=1

—a, P T > 严」-

a ,

经计算：

2 2

^(n _1)S

9 1.2

12.96，由于 2 =12.96. (2.700,19.023) 2,

▽0

1

故接受H 0,即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为 c 2=1。

X 10

(2 )检验假设H 0： ? =10, H 「：》式10 ；

取统计量：t= ---------- ~ t 丹(9)；

S/11O 2

10 R _ 10 拒绝域为 t 蜀0025(9)=2.2622t =

10.8

二

=2.1028<2.2622，所以接受 H 0，

1.2M/10

即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是

10(mg/L )。

综上，认为工厂生产正常。

七、(本题10分)设X 1,X 2,X 3,X 4为取自总体 X ?N(?i,42)的样本，对假设检验问题

H 。：」=5, H1 :」=5，( 1)在显著性水平0.05下求拒绝域；(2)若」=6，求上述检验所犯 的第二

类错误的概率

1。

解: (1)拒绝域为 z J 更;5

Zz 0.025 =1.96; \4/44\

2

(2)由(1)解得接受域为(1.08，8.92)，当卩=6时，接受H 0的概率为

=P{1.08 : X ：：：8.92}

8.92

一6 一门 1.08 _6 =0.921。

I 2丿I 2丿

八、(本题8分)设随机变量 X 服从自由度为(m,n)的F 分布，(1)证明：随机变量 1服从

X

自由度为(n,m)的F 分布；(2)若口可，且P{X =}=0.05，求P{X ?丄}的值。

Ct

证明：因为X ~ F(m,n),由F 分布的定义可令 x 二匕山，其中U ?2(m),V ~ 2(n)，U V /n 与V 相互独立，所以丄二YZ2?F (n,m)。

X U /m

当m =n 时，X 与1服从自由度为(n, n)的F 分布，故有P{X =} = P{X -}，

X

?

1 1 1

从而 P{X } = P{ ： ： }=1—P{:二} =1 — P{x ：

=1 —0.05 = 0.95。

a X X

数理统计试卷参考答案

、填空题（本题 15分，每题3分）

、选择题（本题 15分，每题3 分） 1、B; 2、D; 3、C; 4、A ; 5、B.

_ n 3 —

令E （f ） =X = —71，得■?=—X 为参数71

的矩估计量。

3 2

n

2x ? 2n n

⑵似然函数为：L （xD — 汕

X i ,0 ：：X i 」，（i =1,2, ,n ），

iT 廿 廿im

而L （R 是的单调减少函数，所以 的极大似然估计量为 ^=max{X 1,X 2^ ,X n }。

四、（本题14分）解:

1、 N(0,-) ;

2、0.01;

2

S

3

、n -1)-. 2 n

2 _ 2

4、 - 0 ;

5、z _ _z 0.o5。

三、（本题14分）解: (1) E(X) = (x)dx =

六、(本题14分)解: (1 )检验假设 H 0：

=1 , H 1：丰1 ； 取统计量：

2

(n -1)s 2 ；

_

J

；

拒绝域为：

: a (n — 1)=益.975(9)=2.70 或 2

"：(n —1)= ^025=19.023,

~2 ~2

经计算：

2

=5 _?S =9 1.2 =12.96，由于 2 =12.96 (2.700,19.023) 2, % 1

故接受H 0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为 c 2

=1。

(2)检验假设H 0:T0, ?、10 ；

取统计量： U X 一10?仁(9)；

S/J10

2

拒绝域为 t Zt 0 025 (9) =2.2622 ； = t =

10.8

H =2.1028<2.2622，所以接受 H ；，

1.2M/10

即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是

10(mg/L )。

综上，认为工厂生产正常。

七、(本题10分)解:(1)拒绝域为”斜罗詁25“96；

(2)由⑴解得接受域为(1.08, 8.92),当卩=6时，接受H 0的概率为

(1) ;「2的置信水平为 0.95的置信区间为

18

2

0.025

18

0.975

(9)

，即为(0.9462, 6.6667);

(2) D

X 2

3

a

1

2

D

1

2

<1

D[ 2(1)] = 22 ；

a

由于

2 2

2是二的单调减少函数，置信区间为

2 2 2 , ~2 CT CF

即为 (0.3000, 2.1137)。

五、(本题 10分)解：(1)匸P*

竽:2(2n)

2nX

>

2 1 -「,

：.(2n)

即'的单侧置信下限为签；(2

宀

2 16 5010 3764.706。

42.585