讲义弧、弦、圆心角例题及答案 基础知识
内容提要
1. 圆的旋转不变性
圆是轴对称图形。也是中心对称图形。不论绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合。
圆所特有的性质——圆的旋转不变性
圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的图形重合。
2. 圆心角，弦心距的概念.
顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧AB是∠AOB所对的弧，弦AB既是圆心角∠AOB也是弧AB所对的弦.
圆心到弦的距离叫做弦心距。
3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
同样还有：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都也相等。
4. 1°的弧的概念. (投影出示图7－59)
圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
这里指的是角与弧的度数相等，而不是角与弧相等。即不能写成圆∠AOB=，这是错误的。
【典型例题】
例1. 判断题，下列说法正确吗？为什么？
（1）如图所示：因为∠AOB=∠A′OB′，所以=.
（2）在⊙O 和⊙O ′中，如果弦AB=A ′B ′，那么=。
分析：（1）、（2）都是不对的。在图中，因为不在同圆或等圆中，不能用定理。对于（2）也缺少了等圆的条件. 可让学生举反例说明。
例2. 已知：如图所示，AD=BC 。 求证：AB=CD 。
证：∵AD=BC
?
?=∴BC AD
?
????
?+=+∴=BC AC AD AC AC
AC
DC AB AB
DC =∴=∴?
?
变式练习。已知：如图所示，
=
，求证：AB=CD 。
证：∵?
??
?==AC AC BC AD
∴?
???+=+AC BC AC DA
?
?
=∴AB DC CD AB =∴
例3. 在圆O
求证：∠
证：?=AB
AOB AC AB ACB AC
AB =∠∴=∴=∠=∴
例 ?=ON OM
?
?=∴=∴=DB AC DB AC OD OC ，， 法三：由法二 ∴AC=CO=AO OD=OB=DB
∴∠AOC=∠BOD=60°
∵CD 为直径
∴∠AOC=∠COB=120° ∴∠AOC=∠COB=∠AOB ∴∠BOC=∠C=70° ∵∠BOD+∠BOC=180°
∴∠BOD=180°－70°=110°
∴OM=ON ∵OA=OC
CN AM
NCO Rt
MAO Rt
=
∴
??
?
∴
∵OM、ON过圆心
OM⊥AB，ON⊥CD
∴AB=2AM
CD=2CN
∴AB=CD
法二：由法一，OM=ON
∴AB=CD
例10. 圆O中弦AB、CD相交于E，且AB=CD 求证：DE=BE
即BC AD BC AD =∴=?
?，
在△ACD 和△CAB 中
???
??===AB DC BC AD AC AC
B
D CAB
ACD ∠=∠∴???∴
在△AED 和△CEB 中
???
??=∠=∠∠=∠BC AD 21B D
BE
DE CEB
AED =∴???∴
法二：连DB 、AD 、BC 证CBD
ADB ??? ∴∠3=∠4
（2）求AE+BF
O
E
C
D F
M
B
A
证：（1）作OM ⊥EF ∵AE ⊥CD ，BF ⊥CD ∴AE//BF
∵O 为AB 中点，∴EM=MF ∵OM ⊥CD
∴CM=MD ，∴EC=DF （2）AE+BF=2OM ∵?
CD 长是圆O 的六分之一 ∴∠COD=60° ∵OC=5
325OM =
∴
35BF AE =+∴
【习题作业】（答题时间：40分钟）
1. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 或 中有一组是相等的，那么，所对应的其余各组量都分别相等。
2. 在⊙O 中的两条弦AB 和CD ，AB>CD ，AB 和CD 的弦心距分别为OM 和ON ，则OM__________ON 。
3. 已知：如图，AB=AC ，D 为弧AB 的中点，G 为弧AC 中点，求证：DE=FG 。
4. AB 、
5.
6.
7.
8.
9. 在⊙10. 在⊙O 中，弦AB=8cm ，弦心距为cm 34，求圆心角∠AOB 。
11. 已知：如图，在⊙O中，弦AB=CD，E、F分别为AB、CD的中点。
求证：∠AEF=∠CFE。
12. 已知：如图，EF为⊙O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且∠APF=∠CPF。
求证：PA=PC。
13. 如图，在⊙O中，弦EF∥直径AB，若弧AE的度数为50°，则弧EF的度数为，弧BF的度数为，∠EOF= °，∠EFO= °。
14. AB为⊙O的直径，C、D为半圆AB上两点，且弧AC、弧CD、弧DB的度数的比为3∶2∶5，则∠AOC= °，∠COD= °，∠DOB= °。
15. 已知⊙O的半径为12cm,弦AB将圆分成的两段弧的度数之比为1∶5，求∠AOB的度数及弦AB的长。
16. 已知：如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B 和C、D。求证：∠OBA=∠OCD。
17. 已知：如图，∠AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F。求证：AE=BF=CD。
【试题答案】
1. 两条弦，两条弦心距
2. <
3. 证明：∵D 为弧AB 中点，OD 是⊙O 半径 ∴OD ⊥AB 于E 同理，OG ⊥AC 于F 又AB=AC ∴OE=OF
∴O D －OE=OG －OF 即DE=FG 。
4. 证明：过O 点作OE ⊥CD 于E ，OF ⊥AB 于F ，连结OP ，(如图) ∴AB=CD ∴OE=OF
∵OP 公用 ∴△POE ≌△POF ∴PE=PF
∵OE ⊥CD ，O F ⊥AB ，AB=CD ∴CE=BF
∴CE-PE=BF-PF 即PC=PB 。 5. × 6. √ 7. × 8. ×
9. 5 10. 60°
11. 连结OE 、OF 。∵E 、F 为AB 、CD 中点，∴∠AEO=∠CFO=90°，又∵AB=CD ，∴OE=OF ，∴∠EFO= ∠FEO ，∴∠AEF=∠CFE 。
12. 作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N 。∵∠APF=∠CPF ，∴OM=ON ，∴AB=DC 。又∵AB AM 2
1
=
，CD CN 2
1
=
，∴AM=CN ，证△ POM ≌△PON ，∴PM=PN ，∴AP=CP 13. 80°，50°，80，50 14. 54，36，90 15. 60°，12cm 16. 作OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，垂足分别为M 、N 。由PO 平分∠EPF ，得OM=ON,又BO=CO ，得Rt △BOM ≌ Rt △CON ，∴∠OBA=∠OCD 。
17. 通过角度的计算及弧等弦等，可以证得AE=AC=CD=DB=BF 。