常微分方程试题及答案.doc

第十二章

常微分方程

(A)

一、是非题

1．任意微分方程都有通解。 ( X )

2．微分方程的通解中包含了它所有的解。 ( X )

3．函数 y 3sin x 4 cos x 是微分方程 y y 0 的解。 ( O ) 4．函数 y

x 2 e x 是微分方程 y

2 y

y 0 的解。 ( X )

5 ．微分方程 xy

ln x 0 的通解是 y

1 ln x

2 C ( C 为任意常数 ) 。

( O )

6． y sin y 是一阶线性微分方程。 ( X )

7． y x 3 y 3 xy 不是一阶线性微分方程。 ( O )

8． y 2y

0 的特征方程为 r 2

2r 5 0。( O )

9．

1 x y 2

xy 2 是可分离变量的微分方程。 ( O )

二、填空题

1．在横线上填上方程的名称

① y 3 ln xdx xdy 0 是可分离变量微分方程。

② xy 2

x dx

y x 2 y dy

0 是可分离变量微分方程。

③ x dy y ln y

是齐次方程。

④ xy y x 2 sin x 是一阶线性微分方程。

⑤ y y

0 是二阶常系数齐次线性微分方程。

2． y sin xy x cos x 的通解中应含

个独立常数。

3． y

2 x

的通解是 1

e 2x C 1 x C 2 。

4． y

sin 2x cos x 的通解是

sin 2x cos x C 1 x

C 2 。

5． xy

2x 2 y 2 x 3 y x 4 1

是

阶微分方程。

6．微分方程 y y y 6

0 是 2

阶微分方程。

7．y 1

所满足的微分方程是 y y 2 0 。x

8．y 2y

的通解为 y Cx 2。x

9．dx

dy 0 的通解为 x 2 y2 C 。y x

10．dy

2 y

y C x 1 2。

x 1 2，其对应的齐次方程的通解为

dx x 1

11．方程xy 1 x 2 y 0 的通解为y Cxe 2 。

12．3 阶微分方程y x3的通解为 y 1 x 6 C1 x C 2 x C 3。

120

三、选择题

1．微分方程xyy x y 3 y 4 y 0的阶数是( D ) 。

A．3B．4C．5D．2

2 ．微分方程y x 2 y x5 1 的通解中应含的独立常数的个数为(A) 。

A．3B．5C．4D．2

3．下列函数中，哪个是微分方程dy 2xdx 0的解( B ) 。

A．y 2x B ．y x2 C ．y 2x D．yx

4．微分方程y 3y 3的一个特解是( B ) 。

A．y x3 1 B． y x 2 3 C ．y x C 2 D ．y C 1 x3 5．函数 y cos x 是下列哪个微分方程的解 ( C ) 。

A．y y 0 B ．y 2y 0 C ．y n y 0 D ．y y cos x

6．y C1e x C 2 e x是方程 y y 0的(A) ，其中 C1， C 2为任意常数。

A．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ．上述都不对

7．y y 满足 y |x 0 2 的特解是( B ) 。

A．y e x 1 B． y 2e x C ．y 2 e2 D ．y 3 e x

8．微分方程y y sin x 的一个特解具有形式( C ) 。

A．y* a sin x B ． y * a cos x

C ． y *

x a sin x bcos x D

． y *

a cos x

b sin x

9．下列微分方程中， ( A )

是二阶常系数齐次线性微分方程。

A ． y 2 y 0

． y xy

3 y 2

C ． 5y 4x 0

D ． y 2y 1 0

10．微分方程 y y 0 满足初始条件 y 0 1的特解为 ( A )

。

A ． e x

B ． e x

1 C ． e x

1 D ．

2 e x

11．在下列函数中，能够是微分方程

y 0 的解的函数是 ( C )

。

A ． y 1

B ． y

x C ． y

sin x D ． y

e x

12．过点 1,3 且切线斜率为 2x 的曲线方程 y y x 应满足的关系是

A ． y 2x

B ． y 2x

C ．y 2x ，y 1 3

D ． y 2x ， y 1 3

13．下列微分方程中，可分离变量的是 ( B )

。

A ．

． dy k x a b y ( k , a , b 是常数 )

dx x

C ．

sin y

． y

xy y 2 e x

14．方程 y

0 的通解是 ( C

) 。

A ． y sin x

B ． y 4

e 2 x C ． y

e 2 x D ． y

e x

15．微分方程

0 满足 y |x 3

4 的特解是 ( A )

。

A ． 2

．

D ．

B 3x 4y

C C

．x

16．微分方程 dy

1 y 0 的通解是 y ( B ) 。

A ．

dx x

B ． Cx

C ．

C D ． x C

17．微分方程 y y 0的解为( B ) 。

A ． e x

B ． e x

C ． e x e x

D ． e x

18．下列函数中，为微分方程 xdx ydy 0的通解是 ( B ) 。

A ． x y C

B ． x 2 y 2

C ． Cx y 0

D ． Cx 2

y 0

19．微分方程 2 ydy dx 0 的通解为 ( A ) 。

A ． y 2 x C

B ． y

x C

C ． y x C

D ． y

x C

20．微分方程 cos ydy sin xdx 的通解是 ( D )

。

A ． sin x cos y C

B ． cos y sin x C

C ． cos x sin y C

． cos x sin y C

21． y e x 的通解为 y ( C )

。

A ． e x

B ． e x

C ． e x C 1 x C 2

D ． e x

C 1 x C 2

22．按照微分方程通解定义， y sin x 的通解是 ( A ) 。

A ． sin x

C 1 x C 2

B ． sin x

C 1 C 2

C ． sin x C 1 x C 2

． sin x

C 1 C 2

四、解答题

1．验证函数 y

e 3 x

2 x

( C 为任意常数 ) 是方程

e 2 x

3y 的通解，

并求出满足初始条件 y |x 0

0 的特解。

2．求微分方程 x y 2

1 dx y 1

x 2 dy 0

的通解和特解。

y |x 0 1

解： 1 y

C ， 2x 2 y 2 1

1 x 2

3．求微分方程 dy

y tan y

的通解。解： sin

dx x x

Cx 。

y x y

4．求微分方程 y x 的特解。

y |x 1

解： y 2

2x 2 ln x 2 。

5．求微分方程 y

y cos x e sin x 的通解。

解： y e sin x x C

6．求微分方程dy

y sin x 的通解。

1 dx x

解： y sin x x cos x C

7．求微分方程x 1 y 2 y x 1 2

0的特解。

y |x 0 1

2 3

解： y x 1 2

3 1x 1 2 3

8．求微分方程y 2y x 满足初始条件 x 0 ，y 1， y 3 的特解。

x2 1

解： y x 3 3x 1

9．求微分方程y 2 yy 满足初始条件x 0 ，y 1， y 2 的特解。

解： arctan y x 或 y tan x

10 ．验证二元方程x2 xy y 2 C 所确定的函数为微分方程x 2 y y 2x y 的解。

11．求微分方程e x y e x dx e x y e y dy 0 的通解。

解： e x 1 e y 1 C

12．求dy

y tan x secx ， y |x 0 0 的特解。dx

解： y

x cos x

13．验证y1 cos x ， y2 sin x 都是 y 2 y 0 的解，并写出该方程的通解。

14．求微分方程y 2y x2 的通解。

解： y Cx 2 x 2 ln x

15．求微分方程y 1 y e x 0 满足初始条件 y 1 0 的特解。

解： y e x

ex x

16．求微分方程

x 2 y x 1 3的通解。

dx 1

解： y x 1 2 x 1 2 C

17．求微分方程x dx y dy 0 满足条件 y 0 1的特解。

1 y 1 x

解： 2 y3 x3 3 y 2 x2 5

18．求微分方程y y 2 y 0 的通解。

解： y C1e x C2 e 2 x

19．求微分方程y 2 y 5 y 0 的通解。

解： y e x C1 cos 2x C 2 sin 2x

20．求微分方程y 4 y 4 y 0 的通解。

解： y C1 C 2 x e 2 x

21．试求y x 的经过点M 0,1 且在此点与直线 y x

1相切的积分曲线。

1 1 2

解： y x 3 x 1

6 2

(B)

一、是非题

1．可分离变量微分方程不都是全微分方程。( X )

2．若y1x，y2 x 都是 y P x y Q x 的特解，且 y1 x 与 y2 x 线性无关，则通解可表为 y x y1 x C y1 x y 2 x 。( O )

3．函数y e1x e 2x是微分方程 y 12 y 1 2y 0的解。( O )

4．曲线在点x, y 处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微分方程是 y x 2 C ( C是任意常数 )。( X )

5 ．微分方程y e2 x y，满足初始条件y |x 0 0 的特解为 e y 1

e2 x 1。2

( X )

二、填空题

1．y1 cos x 与 y2 sin x 是方程 y y 0 的两个解，则该方程的通解为y C1 cos x C 2 sin x 。

2．微分方程y 2 y 3y 0 的通解为 y C1e x C 2 e3 x。

3．微分方程y 2 y y 0 的通解为 y C1 C 2 x e x。

4．微分方程y e2 x的通解是 y 1 e2 x C1 x2 C 2 x C3。

5．微分方程y y' 的通解是 y C1e x C 2。

6．微分方程dy

2xy 的通解是y C e x 2 。dx

三、选择题

1．微分方程y 4 y 4 y 0 的两个线性无关解是( C ) 。

A．e2x与2 e2x B ．e2 x与x e2 x C ．e2 x与x e2x D ．e2 x与4 e2x

2 ．下列方程中，不是全微分方程的为( C )。

A．3x2 6xy 2 dx 6x 2 y 4y 2 dy 0 B ．e y dx x e y 2 y dy 0

C．y x 2 y dx x 2dy 0 D ． x 2 y dx xdy 0

3．下列函数中，哪个函数是微分方程s t g 的解( C ) 。

A． s gt B ．s gt 2 C ．s 1 gt2 D ．s 1 gt2

2 2

4．下列函数中，是微分方程y 7 y 12 y 0 的解 ( C ) 。

A．y x3 B ．y x2 C ．y e3 x D ．y e2 x

5．方程 1 x2 y xy 0的通解是( D ) 。

A． 2 ．y C ． 1 3 D ．y 1

x 2

Cxe 2 y C 1 x B C y x Cx

1 x

2 2

6．微分方程y ln xdx x ln ydy 满足 y |x 1 1的特解是( A ) 。

A．ln2x ln 2 y B．ln2x ln2y 1

C．ln2x ln 2 y 0 D ．ln2x ln2y 1

7．微分方程 1 x 2 dy 1 y2 dx 0 的通解是( A ) 。A．arctan x arctan y C B ．tan x tan y C

C．ln x ln y C D ． cot x cot y C

8．微分方程y sin x 的通解是 ( C ) 。

A．y sin x B ． y sin x

C．y sin x C1 x C 2 D ． y sin x C1 x C 2 9．方程xy y 3 的通解是( A ) 。

A．y C

3 B ．y

C C ．y

3 D ．y

x x x

四、解答题

1．求微分方程y 9 y 24 x 6 cos3x 2 sin 3x 的通解。

解： y C1 x cos3x C 2 2x2 x sin x3x

2．求微分方程y 7 y 6 y sin x 的通解。

解： y C1e6x C 2 e x 1 7 cos x 5sin x

3．求微分方程3x2 2xy y2 dx x 2 2xy dy 0 的通解。

解： y 2 xy x2 C

(C)

一、是非题

1．只要给出n阶线性微分方程的n个特解，就能写出其通解。 X

2．已知二阶线性齐次方程y P x y Q x y 0 的一个非零解 y ，即可求出它的通解。 ( O )

二、填空题

1．微分方程y 4 y 5 y 0 的通解是 y e2 x C1 cos x C 2 sin x 。

2．已知y 1， y x ，y x2某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方

程的通解为 y

e 2x

C 1 cos x C 2 sin x 。

3．微分方程 y 2 y

2 y

e x 的通解为 y e x C 1 cos x C 2 sin x 1 。

三、选择题

1．微分方程 y

y 1 的通解为 (

)

。

x x 2

A ．arctanx C

B ．1

arctan x C

C ．1

arctan x C D ．arctan x

2．微分方程 y

y 1的通解是 ( ) 。

A ． y C e x

B ． y

C e x

1 C ． y C e x

1 D ． y C 1 e x

xy y 3

。

3．

的解是( )

y |x 1

A ． y 3 1

1 B ． y 3 1 x C ． y 1

D ． y 1 x

4．微分方程

y tan y

的通解为 ( ) 。

x x

A ． sin

Cx B ． sin

C ． sin

Cx D ． sin

y Cx

5．已知微分方程 y

p x y

1 2 的一个特解为 y *

x 1 2 ，则此微分

方程的通解是 (

)

。

A ．

7 B ．

x 1

x 1 2

x 1

C ． C x 1

2 7

D ． x 1

x 1 2 x 1

7 2 7 2

6．微分方程 y

e x 1 的一个特解应具有形式 ( 式中 a ，b 为常数 )( )

。

A ． ae x

B ． axe x

b C ． ae x

bx D ．

axe x bx

四、解答题

1．设 y e x 是微分方程

xy p x y x 的一个解，求此微分方程满足条件

y |x ln 2 0 的特解。

解：代入 y

e x 到方程 xy

p x y x 中，得 p x

xe x

原方程为 xy xe x x y x

y e x 1 C e e x， y e x 1 y 1

∵ x ln 2 ，y 0 ∴ C e 2。

e x 1

y e x 1 e 2 。

2．已知y1xe x e2x， y2xe x e x， y3xe x e2x e x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。

解： y y

3 e x， y

e2 x 2e x均是齐次方程的解且线性无关。

C1e x C 2 e2 x 2e x 是齐次方程的通解。当 C1 2 ，C 2 1 时，齐次方程的特解为 e2x

e x、 e2 x都是齐次方程的解且线性无关。

∴ C1 e x C 2e2x是齐次方程的通解。

由此特征方程之根为 -1 ，2，故特征方程r2 r 2 0 。

相应的齐次方程为 y y 2 y 0

故所求的二阶非齐方程为

y y 2 y f x

y1是非齐次方程的特解代入上式得

f x 1 2x e x

所以 y y 2 y 1 2x e x为所求的微分方程。

3．已知f 0 1

，试确定 f x ，使 e x f x ydx f x dy 0 为全微分方程，并2

求此全微分方程的通解。

解： P e x f x y， Q f x ，由Q

P 得x y

f x e x f x ，即 f x f x e x

∴ f x e dx

e x e dx

C e x

x C

∵ f 0

1 C ，∴ f x e x x

1 ，

得全微分方程： e x

e x x 1 ydx e x x 1 dy 0

2 解得 u x, y

0dx

e x

1 dy e x

y 。

故此全微分方程的通解为 e x x 1 y C 。

常微分方程第三版答案

常微分方程第三版答案 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】

习题 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dy 2 y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31 x x + y y 21+dy=31 x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c.

常微分方程习题及答案

第十二章常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是。 ③x y y dx dy x ln ?=是。 ④x x y y x sin 2+='是。 ⑤02=-'+''y y y 是。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是阶微分方程。 7．y 1 = 所满足的微分方程是。

8．x y y 2='的通解为。 9． 0=+x dy y dx 的通解为。 10．()2511 2+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为。三、选择题 1．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程3 23y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ．上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．2 2x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 9．下列微分方程中，( )是二阶常系数齐次线性微分方程。

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷一、填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是阶（线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为． 9.可用变换将伯努利方程化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件的唯一解. 11.方程的待定特解可取的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

(完整版)新驾考科目一试题答案及解析

1. 驾驶机动车遇到这种信号灯不断闪烁时怎样行驶？注意瞭望安全通过路口只有一个黄灯，并持续闪烁，警示驾驶人要注意瞭望，确认安全通过。 2. 路中心黄色虚实线是何含义？实线一侧禁止越线虚线可压，实线不可压，黄色是引起你注意，如图就是实线一侧禁止越线

3. 路中白色虚线是什么标线？可跨越同向车道中心线同向两车道之间的标线，没线怕乱开 4. 这是什么交通标志？反向弯路反向弯路：用以警告车辆驾驶人减速慢行。设置位置为两反向圆曲线起点的外面，但不应进入相邻的圆曲线内。 5. 机动车登记证书、号牌、行驶证灭失、丢失或者损毁的，机动车所有人应当向哪个部门申请补领、换领。登记地车辆管理所所有人应当向登记地车辆管理所申请补领、换领。 6. 在标志、标线齐全的高速公路上行车，应当按照什么规定的车道和车速行驶？标志或标线题目这么强调“标志、标线”，你再不选B，你让B情何以堪。 7. 机动车在高速公路上发生故障时错误的做法是什么？车上人员不能下车

车上的人员应该立即撤到安全栏外。 8. 驾驶机动车驶离高速公路时，在这个位置怎样行驶？驶入减速车道下一步肯定是驶入减速车道，在减速，再驶离高速。 9. 机动车仪表板上（如图所示）亮表示什么？没有系好安全带此为没有系好安全带。

10. 在这条公路上行驶的最高速度不能超过多少？40公里 1、没有道路中心线的道路，城市道路为每小时30公里，公路为每小时40公里; 2、同方向只有1条机动车道的道路，城市道路为每小时50公里，公路为每小时70公里。 11. 下长坡时，控制车速除了刹车制动以外还有什么有效的辅助方法？利用发动机制动发动机制动就是挂低档，让车利用低档位的惯性制动，你可以试一下，你在3挡的速度，直接挂1挡，记住不要踩刹车，直接挂档，你看效果如何，车身会震一下，速度下降的很快 12. 遇有浓雾或特大雾天能见度过低，行车困难时，应怎样做？开启危险报警闪光灯和雾灯，选择安全地点停车浓雾或特大雾天,你都看不见了，还能开车？ 13.这一组交通警察手势是什么信号？变道信号交警的面部对着哪个方向就是在指挥哪个方向的车，你们要看清交警手势，他本来是手臂平

常微分方程习题集

《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里 5、设的某一解，则它的任一解 - 。二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2

一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、 2、 3、 4、 5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. （10分）

四、求解微分方程组满足初始条件的解. （10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%) （1）（2）（3）（4）（5）（6） 2、填空题(8%) （1）．方程的所有常数解是___________. （2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________. （3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是 ________________. （4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) （1）．方程是（）.

科目一考试试卷和答案

1.造成交通事故后逃逸且构成犯罪的驾驶人,将吊销驾驶证且终生不得重新取得驾驶证。 A正确B.错误 2.驾驶机动车应当随身携带哪种证件？ A.工作证 B.驾驶证 C.身份证 D.职业资格证 3.未取得驾驶证的学员在道路上学习驾驶技能，下列哪种做法是正确的？ A.使用所学车型的教练车由教练员随车指导 B.使用所学车型的教练车单独驾驶学习 C.使用私家车由教练员随车指导 D.使用所学车型的教练车由非教练员的驾驶人随车指导 4.机动车驾驶人初次申领驾驶证后的实习期是多长时间？个月个月个月个月 5.以欺骗、贿赂等不正当手段取得驾驶证被依法撤销驾驶许可的，多长时间不得重新申请驾驶许可？年内B.终身年内年内 6.上路行驶的机动车未放置检验合格标志的，交通警察可依法扣留机动车。A. 正确B.错误 7.驾驶拼装机动车上路行驶的驾驶人，除按规定接受罚款外，还要受到哪种处理？ A.处10日以下拘留 B.暂扣驾驶证 C.吊销驾驶证 D.追究刑事责任 8.驾驶报废机动车上路行驶的驾驶人，除按规定罚款外，还要受到哪种处理？ A.撤销驾驶许可 B.收缴驾驶证 C.强制恢复车况 D.吊销驾驶证 9.这辆在道路上行驶的机动车有下列哪种违法行为？ A.逆向行驶 B.未按规定悬挂号牌 C.故意遮挡号牌 D.占用非机动车道 10.公安交通管理部门对驾驶人的交通违法行为除依法给予行政处罚外,实行下列哪种制度？ A.违法登记制度 B.奖励里程制度 C.累积记分制度 D.强制报废制度 11.道路交通安全违法行为累积记分的周期是多长时间？个月个月个月个月 12.公安机关交通管理部门对累积记分达到规定分值的驾驶人怎样处理？A.依法追究刑事责任B.处15日以下拘留 C.终生禁驾 D.进行法律法规教育，重新考试 13.驾驶人的驾驶证损毁后不得驾驶机动车。 A.正确 B.错误 14.前方路口这种信号灯亮表示什么意思？ A.路口警示 B.加速直行 C.加速左转 D.禁止右转 15.道路交通标线分为指示标线、警告标线、禁止标线。 A.正确 B.错误 16.驾驶机动车在这种道路上如何通行？ A.在道路两边通行 B.在道路中间通行 C.实行分道通行 D.可随意通行 17.驾驶机动车在路口遇到这种情况如何行驶？

一阶常微分方程解法总结

第一章一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果；当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有 xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解；综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果；当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。例1.2、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ；当0)1)(1(2 2 =--y x 时，也是原方程的解；综上所述，原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如 )(x y g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到

常微分方程期末考试练习题及答案

一，常微分方程的基本概念常微分方程：含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。二.可分离变量的方程 A.变量分离方程

1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*）说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导）分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2，代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知

《常微分方程》第三次作业

《常微分方程》第三次作业第3章一阶线性微分方程组 1．完成定理3.1的证明． 2．完成定理3.1′的证明 3．将下列方程式化为一阶方程组（1）0)()(=++x g x x f x &&& （2）)(d d d d 22t f kx t x c t x m =++ （3）0)()()(321=+'+''+'''y x a y x a y x a y 4．求解方程组 ?????? ?+=+=y t p x t q t y y t q x t p t x )()(d d )()(d d 其中)(),(t q t p 在[a , b ]上连续． 5．设n n ?矩阵函数)(1t A ，)(2t A 在（a , b ）上连续，试证明，若方程组 X A X )(d d 1t t = 与X A X )(d d 12t t = 有相同的基本解组，则)(1t A ≡)(2t A ． 6．求解下列方程组：（1）???????==y t y x t x 2d d d d （2）???????+=+=x y t y x y t x 54d d 45d d （3）???????+-=+=y x t y y x t x αββαd d d d 7．求解下列方程组：（1）???-=+=x y y y x x 23&& （2）??? ??+-=-+=+-=z y x z z y x y z y x x 222&&& 8．求解下列方程组：（1）???????=+=y t y y x t x 3d d 3d d （2）???? ?????=+=+=333222 11 2d d 2d d 2d d y x y y y x y y y x y （3）?????+=+=2 e 2t x y y x t && （4）???++=++=t y x y t y x x e 823532&&

常微分方程解题方法总结.doc

常微分方程解题方法总结来源：文都教育复习过半，课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来，如何将零散的知识点有机地结合起来，而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆，使知识自成体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴，他强调读书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例，本部分内容涉及可分离变量、一阶齐次、一阶非齐次、全微分方程、高阶线性微分方程等内容，在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多，遇到具体的题目不知该如何下手，这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程得到 x du dx 一阶线性微分方程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx

伯努利方程解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况：二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根，令特解 y*x2Q m (x)e x；（2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]

常微分方程作业答案

1.第1题设就是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中就是连续函数、则 A、的朗斯基行列式一定就是正的; B、的朗斯基行列式一定就是负的; C、的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零; D、的朗斯基行列式恒不为零、 A、A B、B C、C D、D 您的答案:B 题目分数:2 此题得分:2、0 2.第2题满足初始条件与方程组的解为 ( )、 A、; B、 ; C、 ; D、、

A、、 B、、 C、、 D、、您的答案:B 题目分数:2 此题得分:2、0 3.第6题下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个、 (i) , (ii) , (iii) , (iv) 、 A、1 B、2 C、3 D、4 您的答案:C 题目分数:2 此题得分:2、0 4.第8题就是某个初值问题的唯一解,其中方程就是, 则初始条件应该就是( )、 A、,

B、, C、, D、、 A、A B、B C、C D、D 您的答案:A 题目分数:2 此题得分:2、0 5.第9题可将一阶方程化为变量分离方程的变换为 A、; B、 ; C、; D、、 A、、 B、、 C、、 D、、您的答案:C 题目分数:2 此题得分:2、0 6.第15题

可将六阶方程化为二阶方程的变换就是( )、 A、; B、 ; C、 ; D、、 A、、 B、、 C、、 D、、您的答案:B 题目分数:2 此题得分:2、0 7.第16题设,及就是连续函数,与就是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题就是

A、B、 C、D、 A、、 B、、 C、、 D、、您的答案:B 题目分数:2 此题得分:2、0 8.第18题设与就是方程组的两个基解矩阵, 则 A、存在某个常数方阵C使得, 其中; B、存在某个常数方阵C使得, 其中 ; C、存在某个常数方阵C使得, 其中; D、存在某个常数方阵C使得, 其中、 A、、 B、、

常微分方程课后答案(第三版)王高雄

习题2.2 求下列方程的解。 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.

5． dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 1 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*）将x y u =带入（*）中得：3433cx x y =-是原方程的解.

秋华师《常微分方程》在线作业

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奥鹏1７春16秋华师《常微分方程》在线作业一、单选题（共20 道试题，共60 分。）１. 微分方程ｙ''+y=sinx的一个特解具有形式()。 A. y*=asinx B．y＊＝acosx C．ｙ*=x(ａsiｎｘ＋bcosx) D．y*＝acｏsx+bｓinx 正确答案: 2. y'''+ｓｉnxy＇-ｘ=cｏsx的通解中应含(）个独立常数。 A. １ B. 2 C．3 D. ４正确答案： 3．微分方程xyy''+x（y')^3-y^4-ｙ'＝0的阶数是()。 A. 3 B. 4 C. 5 Ｄ. 2 正确答案：４．微分方程ｙ'''-ｘ^2ｙ'＇-x^5＝１的通解中应含的独立常数的个数为（)。 A. 3 B. 5 C. 4 D． 2 正确答案： 5. 过点(１,3)且切线斜率为2x的曲线方程y=ｙ(x)应满足的关系是（）。 A.y'＝2x B. ｙ''＝２ｘ C. y＇＝2x,y(１)=３Ｄ. ｙ''＝2x,ｙ(1）＝3 正确答案：６.方程dy/ｄx=3y（2/３)过点(0，0）有（)． A. 无数个解 B. 只有一个解 C．只有两个解 D．只有三个解

正确答案：７. 方程y'-２y=0的通解是（)。 A. y＝sinx B. y=4e^(２ｘ) C．ｙ=Ce^(2ｘ) Ｄ．ｙ=ｅ^x 正确答案： 8. 下列函数中,是微分方程y＇'-7y'+1２ｙ＝0的解()。Ａ. y=ｘ^３ B. y=x^2 C. ｙ=e^(3x) D．y=ｅ^（2x) 正确答案： 9．按照微分方程通解定义,ｙ＇'=sinx的通解是()。 A. -sｉnｘ+C1x+C2 Ｂ. －ｓinx+C1+Ｃ2 Ｃ. siｎx+C１ｘ＋C2 D．ｓinx+C１x+C2 正确答案: 10．方程组dY/ｄx＝F(x,Y),ｘ∈R，Y∈R^n的任何一个解的图象是（）维空间中的一条积分曲线. A. n B.n+１ C．n-1 D. n－２正确答案: 1１．下列函数中，哪个是微分方程dｙ-２ｘdx=0的解（)。 A. y=2x Ｂ．y=x^2 C. ｙ=-2x D．y=－x 正确答案：１２. 微分方程cosｙdy=ｓｉnxdx的通解是()。Ａ. sinｘ+cｏsｘ=C B．ｃosｙ-ｓinx=Ｃ C. cosｘ－siny＝C D.cｏｓx+sinｙ=C 正确答案: 13. 微分方程2ydｙ-ｄx=0的通解为（)。 A. y^2-x=C B. ｙ-x＾(１/2)＝C C. y=x+C D. y＝-x+C 正确答案：

C1驾照科目一模拟考试试题及答案

2015年C1驾照科目一模拟考试试题及答案 1、机动车仪表板上(如图所示)这个符号表示什么? A、一边车门开启 B、行李舱开启 C、发动机舱开启 D、燃油箱盖开启正确答案：B 本题分析 2、路面上白色虚线和三角地带标线组成的是什么标线? A、道路入口标线 B、可跨越式分道线 C、道路入口减速线 D、道路出口标线正确答案：A 本题分析

3、这个标志的含义是提醒车辆驾驶人前方是傍山险路路段。正确答案：错本题分析 4、驾驶这种机动车上路行驶的做法，是一种轻微的违法行为。正确答案：错本题分析 5、这个标志提示哪种车型禁止通行?

A、中型客车 B、小型货车 C、各种车辆 D、小型客车正确答案：D 本题分析 6、路面上的黄色标线是何含义? A、车行道变多标线 B、路面宽度渐变标线 C、接近障碍物标线 D、施工路段提示线正确答案：B 本题分析 7、机动车仪表板上(如图所示)亮表示发动机可能机油量不足。

正确答案：对本题分析 8、对发生道路交通事故需要收集证据的事故车，交通警察可以依法扣留。正确答案：对本题分析 9、路面上的黄色填充标线是何含义? A、接近移动障碍物标线 B、加宽隔离带标线 C、接近障碍物标线 D、接近狭窄路面标线正确答案：C 本题分析 10、夜间通过无交通信号灯控制的交叉路口时，不得变换远、近光灯。正确答案：错本题分析 11、驾驶人发现轮胎漏气，将车辆驶离主车道时，不要采用紧急制动，以免造成翻车或后车采取制动不及时导致追尾事故。正确答案：对本题分析 12、遇到这种情况下可以从右侧超车。正确答案：错本题分析

13、驶离高速公路可以从这个位置直接驶入匝道。正确答案：错本题分析 14、机动车在紧急制动时ABS系统会起到什么作用? A、切断动力输出 B、自动控制方向 C、减轻制动惯性 D、防止车轮抱死正确答案：D 本题分析 15、驾驶机动车遇到这种信号灯，可在对面直行车前直接向左转弯。正确答案：错本题分析

常微分方程作业答案

1．第1题设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则 A. 的朗斯基行列式一定是正的; B. 的朗斯基行列式一定是负的; C. 的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零; D. 的朗斯基行列式恒不为零. 您的答案：B 题目分数：2 此题得分： 2．第2题满足初始条件和方程组的解为 ( ). A. ; B. ; C. ; D. . A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2 此题得分： 3．第6题下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个. (i) , (ii) ,

(iii) , (iv) . 您的答案：C 题目分数：2 此题得分： 4．第8题是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ). A. , B. , C. , D. . 您的答案：A 题目分数：2 此题得分： 5．第9题可将一阶方程化为变量分离方程的变换为 A. ； B. ； C. ； D. . A..

B.. C.. D.. 您的答案：C 题目分数：2 此题得分： 6．第15题可将六阶方程化为二阶方程的变换是( ). A.; B. ; C.; D.. A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2 此题得分： 7．第16题设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是 A. B. C. D. A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2

此题得分： 8．第18题设和是方程组的两个基解矩阵, 则 A. 存在某个常数方阵C使得, 其中; B. 存在某个常数方阵C使得, 其中; C. 存在某个常数方阵C使得, 其中; D. 存在某个常数方阵C使得, 其中. A.. B.. C.. D.. 您的答案：A 题目分数：2 此题得分： 9．第20题微分方程的一个解是( ). A. , B. , C. , D. . A.. B.. C.. D.. 您的答案：D 题目分数：2 此题得分： 10．第22题设有四个常微分方程： (i) , (ii) , (iii) , (iv) .

常微分方程习题

第一章习题 1-1求下列两个微分方程的公共解。（1）422x x y y -+=' （2）2422y y x x x y --++=' 解两方程的公共解满足条件 4224222x x y y y x x x -+=--++，即 022224=-+-y x y x ， 0))(122(22=-++y x y x ，所以2 x y =或2212 x y +-=。代入检验可知2 212 x y +-=不符合，所以两方程的公共解为2x y =。评注：此题是求解方程满足一定条件的解，即求两个微分方程的公共解。在求解时由于令其导数相等，很容易产生增解，因而要对所求结果回代原方程进行检验，舍去增解。 1-2 求微分方程02 =-'+'y y x y 的直线积分曲线。解设直线积分曲线为b ax y +=，则a y ='，代入原方程得 02≡--+b ax xa a ，即0)()(2 ≡-+-b a a a x ，所以 ???=-=-0 02b a a a ，可得0==b a 或1==b a 。因而所求直线积分曲线为0=y 或1+=x y 。评注：此题是求解方程的部分解，采用的是待定系数法。待定系数法是求解常微分方程常用的方法之一，有待定常数法和待定函数法。本题首先设出满足题设条件的含有待定常数

的解，然后代入原方程来确定待定常数，解决此类问题的关键在于正确地设出解的形式。 1-3 微分方程32224xy y y x =-'，证明其积分曲线是关于坐标原点成中心对称的曲线。证设)(x y ?=满足微分方程，只须证明)(x y --=?也满足方程即可。作变换x t -=，则证明)(t y ?-=满足方程即可，代入方程两端，并利用)(x y ?=满足此方程，得左=)())((42222t dx dt t t ??-'， )()1)((42222t t t ??--'= )()(4222t t t ??-'=)(3t t ?==右故)(t y ?-=也满足方程32224xy y y x =-'。评注：为了验证)(x y --=?也满足方程，利用积分曲线的性质，进行变量代换x t -=，将)(x y --=?变换成)(t y ?-=后，问题就很容易解决了。 1-4 物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成正比，如果物体在20分钟内由100℃冷却至60℃，那么，在多长时间内，这个物体由100℃冷却至30℃？假设空气的温度为20℃ 解设物体在空气中时刻t 的温度为)(t T T =，则依牛顿冷却定理得 )20(--=T k dt dT ，其中k 是比例常数。两边积分，得通解为kt Ce T -+=20。由于初始条件为：,100)0(=T 故得80=C ，所以kt e T -+=8020。将60,20==T t 代入上式后即得：202ln = k ，即 20202ln )2 1(80208020t t e T ?+=+=-。故当30=T 时，有20)2 1(802030t ?+=，从中解出60=t （分钟），因此，在一小时内，可使物体由100℃冷却至30℃。

科目一考试题库(1073题完整版、含标准答案)

科目一考试题库 (1073题完整版、含标准答案) 1、驾驶机动车在道路上违反道路交通安全法的行为，属于什么行为？ A、违章行为 B、违法行为 C、过失行为 D、违规行为答案：B 2、机动车驾驶人违法驾驶造成重大交通事故构成犯罪的，依法追究什么责任？ A、刑事责任 B、民事责任 C、经济责任 D、直接责任答案：A 3、机动车驾驶人造成事故后逃逸构成犯罪的，吊销驾驶证且多长时间不得重新取得驾驶证？ A、5年内 B、10年内 C、终生 D、20年内答案：C 4、驾驶机动车违反道路交通安全法律法规发生交通事故属于交通违章行为。答案：× 5、驾驶机动车在道路上违反道路通行规定应当接受相应的处罚。答案：√ 6、对未取得驾驶证驾驶机动车的，追究其法律责任。答案：√ 7、对违法驾驶发生重大交通事故且构成犯罪的，不追究其刑事责任。答案：×

8、造成交通事故后逃逸且构成犯罪的驾驶人,将吊销驾驶证且终生不得重新取得驾驶证。答案：√ 9、驾驶机动车在道路上违反交通安全法规的行为属于违法行为。答案：√ 10、驾驶机动车应当随身携带哪种证件？ A、工作证 B、驾驶证 C、身份证 D、职业资格证答案：B 11、未取得驾驶证的学员在道路上学习驾驶技能，下列哪种做法是正确的？ A、使用所学车型的教练车由教练员随车指导 B、使用所学车型的教练车单独驾驶学习 C、使用私家车由教练员随车指导 D、使用所学车型的教练车由非教练员的驾驶人随车指导答案：A 12、机动车驾驶人初次申领驾驶证后的实习期是多长时间？ A、6个月 B、12个月 C、16个月 D、18个月答案：B 13、在实习期内驾驶机动车的，应当在车身后部粘贴或者悬挂哪种标志？ A、注意新手标志 B、注意避让标志 C、统一式样的实习标志 D、注意车距标志答案：C 14、以欺骗、贿赂等不正当手段取得驾驶证被依法撤销驾驶许可的，多长时间不得重新申请驾驶许可？ A、3年内 B、终身 C、1年内

常微分方程数值解法

i.常微分方程初值问题数值解法常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2）这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3）其中n t hn =，0h >称为步长。在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法：（i.4）从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。

常微分方程基本概念习题附解答

§1.2 常微分方程基本概念习题及解答 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=| )1(|ln 1+x c 3．dx dy =y x xy y 32 1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3 1x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c

另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 211 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3