初中几何辅助线做法(编辑)

初中几何辅助线做法

辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。

四边形

平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

圆

半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。

一、见中点引中位线，见中线延长一倍

在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。

二、在比例线段证明中，常作平行线。

作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。

三、对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有

1、过上底的两端点向下底作垂线

2、过上底的一个端点作一腰的平行线

3、过上底的一个端点作一对角线的平行线

4、过一腰的中点作另一腰的平行线

5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交

6、作梯形的中位线

7、延长两腰使之相交

四、在解决圆的问题中

1、两圆相交连公共弦。

2、两圆相切，过切点引公切线。

3、见直径想直角

4、遇切线问题，连结过切点的半径是常用辅助线

5、解决有关弦的问题时，常常作弦心距。

行程问题

要掌握行程中的基本关系：路程＝速度×时间。

相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。

追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。

环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。

航行问题：相对运动的合速度关系是：顺水速度＝静水中速度＋水流速度；逆水速度＝静水中速度－水流速度。

行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点。

工程问题

其基本数量关系：工作总量＝工作效率×工作时间；合做的效率＝各单独做的效率的和。当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”，分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。

溶液配制问题

其基本数量关系是：溶液质量＝溶质质量＋溶剂质量；溶质质量＝溶液中所含溶质的质量分数。这类问题常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系，分析时可采用列表的方法来帮助理解题意。

利润率问题

其数量关系是：商品的利润＝商品售价－商品的进价；商品利润率＝商品利润／商品进价×100％，注意打几折销售就是按原价的百分之几出售。

银行储蓄问题。

其数量关系是：利息＝本金×利率×存期；本息＝本金＋利息，利息税＝利息×利息税率。注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率＝月利率×12＝日利率×365。

数字问题

要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式，一个多位数是各位上数字与该位计数单位的积之和。

年龄问题其基本数量关系：大小两个年龄差不会变。

这类问题主要寻找的等量关系是：抓住年龄增长，一年一岁，人人平等。数字问题

1、一个两位数，十位上的数比个位上的数小1。十位上的数与个位上的数的和是这个两位数的，求这个两位数。

2、一个两位数，个位上的数与十位上的数的和为7，如果把十位与个位的数对调。那么所得的两位数比原两位数大9。求原来的两位数。

3、一个两位数的十位上的数比个位上的数小1，如十位上的数扩大4倍，个位上的数减2，那么所得的两位数比原数大58，求原来的两位数，

4、一个五位数，如果将第一位上的数移动到最后一位得到一个新的五位数（例如：此变换可以由4321得到3214），新的五位数比原来的数小11106，求原来的五位数。

5、某考生的准考证号码是一个四位数，它的千位数是一；如果把1移到个位上去，那么所得的新数比原数的5倍少49，这个考生的准考证号码是多少？

年龄问题：

1、姐姐4年前的年龄是妹妹的2倍，今年年龄是妹妹的1.5倍，求姐姐今年的年龄。

2、1992年,妈妈52岁,儿子25岁,哪一年妈妈的年龄是儿子的4倍.

3、爸爸和女儿两人岁数加起来是91岁,当爸爸岁数是女儿现在岁数两倍的时候,女儿岁数是爸爸现在岁数的,那么爸爸现在的年龄是多少岁,女儿现在年龄是多少岁.

4、甲、乙两人共63岁,当甲是乙现在年龄一半时,乙当时的年龄是甲现在的岁数,那么甲多少岁,乙多少岁.

5、父亲与儿子的年龄和是66岁,父亲的年龄比儿子的年龄的3倍少10岁,那么多少年前父亲的年龄是儿子的5倍.

等积问题

1、现有一条直径为12厘米的圆柱形铅柱，若要铸造12只直径为12厘米的铅球，应截取多长的铅柱（损耗不计）？（球的体积公式R2，R为球半径）

2、直径为30厘米，高为50厘米的圆柱形瓶里存满了饮料，现把饮料倒入底面直径为10厘米的圆柱形小杯中，刚好倒满20杯，求小杯子的高。

3、用60米长的篱笆，围成一个长方形的花圃，若长比宽的2倍少3米，则长方形的面积是多少？

4、将一个长、宽、高分别为15厘米、12厘米和8厘米的长方体钢块，锻造成一个底面边长为12厘米的正方形的长方体零件钢坯。试问是锻造前长方体钢块的表面积大，还是锻造后的长方体零件钢坯的表面积大？请计算回答。

行程问题：

李宾打算骑自行车从家里出发到朱雀山旅游，出发时心里盘算，若以每小时8千米速度骑车，中午12点才能到达；如果以每小时12千米速度骑车，10点钟就能到达；但最好是不快不慢恰好是11点到达，那么，他的行驶速度是多少最好呢？

（1）相遇问题：

1.甲、乙两站间的路程为360千米，一列慢车从甲站开出，每小时行48千米，一列快车从乙站开出，每小时行72千米，已知快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶多少时间两车相遇？

2.A、B两地相距150千米。一辆汽车以每小时50千米的速度从A地出发，另一辆汽车以每小时40千米的速度从B地出发，两车同时出发，相向而行，问经过几小时，两车相距30千米？

3.甲乙两辆汽车分别从A、B两地同时开出，相向而行，途中相遇后继续行驶，在分别到达对方车站后立即返回，两车第二次相遇时距A站30km，已知甲车速度是70km每时，乙车速度是50km每时，求A、B两地的距离。

4.京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京，天津间单程直达运行时间为半小时，某次试车时，实验列车由北京道天津的行驶时间比预计多用了6分钟，

有天津返回北京的时间和预计时间相同，如果这次试车时，由天津返回北京比天津时平均每小时多行驶40km，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？

（2）追及问题：

1、甲从A地以6千米/小时的速度向B地行走，40分钟后，乙从A地以8千米/小时的速度追甲，结果在甲离B地还有5千米的地方追上了甲，求A、B两地的距离。

2、甲、乙两车都从A地开往B地，甲车每小时行40千米，乙车每小时行50千米，甲车出发半小时后，乙车出发，问乙车几小时可追上甲车？

3、在长江中有甲乙两船，现同时由A顺流而下，乙船到B地时接到通知要立即返回C 地执行任务，甲船继续航行。已知甲乙两船在静水中的速度都是7.5km/h，水流速度是

2.5km/h，A、C两地距离为10km，如果乙船由A经过B到达C共用4h.

（1）A、B两地之间的距离是多少km？

（2）乙船从B地到C地时，甲船距离B地多远？

（3）航行问题：

1、一轮船从甲码头顺流而下到达乙码头需要8小时，逆流返回需要12小时，已知水流速度是3千米/小时，求甲、乙两码头的距离。

2、一架飞机飞行在两个城市之间，顺风要2小时45分，逆风要3小时，已知风速是20千米／小时，则两城市间的距离为多少？

（4）过桥问题：

1、一列火车以每分钟1千米的速度通过一座长400米的桥，用了半分钟，则火车本身的长度为多少米？

（5）隧道问题：

1、火车用26秒的时间通过一个长256米的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以16秒的时间通过了长96米的隧道，求列车的长度。

（6）环行问题：

1、甲、乙两人在环形跑道上竞走，跑道一圈长400米，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，他们从相距40米的A、B两地同时出发，问出发几分钟后两人首次相遇？

2、甲、乙两人环湖竞走训练，环湖一周长400米，乙每分钟走80米，甲的速度是乙的速度的1/4，现他们相距100米，问几分钟后两人首次相遇？

方案问题：

1、某中学要添置某种教学仪器，方案1：到商店购买，每件需要8元；方案2：?学校自己制作，每件4元，另外需要制作工具的租用费120元，设需要仪器x件．

（1）分别求出方案1和方案2的总费用；

（2）当购制仪器多少件时，两种方案的费用相同；

（3）若学校需要仪器50件，问采用哪种方案便宜？请说明理由．

2、小颖的爸爸为了准备小颖3年后读高中的费用，准备用1万元参加教育储蓄，?已知教育储蓄一年期的利率为2.25%，三年期的利率为2.70%，现在有两种存法：

①先存一年，下一年连本带息再存一年，到期后连本带息再存一年．

②直接存一个三年期．

请你帮着计算一下，小颖的爸爸应选择哪一种储蓄方式？

3、张老师带领该校七年级“三好学生”去开展夏令营活动，甲旅行社说：“如果老师买全票一张，则学生可享受半价优惠。”乙旅行社说：“包括老师在内按全票价的6折优惠。”若全票价为240元，当学生从数为多少人时，两家旅行社的收费一样多？

4、校七年级组织学生秋游，如果租用若干辆45座的客车，则有15人无座位；如果租用60座的客车，则可比45座的客车少租2辆，且保证人人有座而无空位。求：

（1）七年级共有多少名学生？

（2）若45座客车的租金为每辆420元，60座客车的租金为每辆600元，那么应如何安排客车的型号和数量，使得租金最少？是多少元？

5、某运输公司计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共36吨到外地销售，规定每辆车必须满载，每车只能装同一种水果，每种水果至少有一车。下表所示为汽车的载重量及利润：

每辆车载物重量（吨）每吨水国可获利润（百元）

甲 2 5

乙 1 7

丙 1.5 4

问：（1）有几种运输方案？分别如何安排？（2）哪一种方案利润最大？最大利润为多少？工程问题：

1、有一个水池，用两个水管注水。如果单开甲管，2小时30分注满水池，如果单开乙管，5小时注满水池.

（1）如果甲、乙两管先同时注水20分钟，然后由乙单独注水。问还需要多少时间才能把水池注满？

（2）假设在水池下面安装了排水管丙管，单开丙管3小时可以把一满池水放完。如果三管同时开放，多少小时才能把一空池注满水？

2、一件工作，甲单独做24小时完成，乙单独做16小时完成。现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做。剩下的部分需要几小时完成？

日历中的方程

1、三个连续奇数的和是387，求这三个奇数。

2、在日历上任意画一个含有9个数字的方框（3╳3），然后把方框中的9个数字加起来，结果等于90，试求出这9个数字正中间的那个数。

3、一个三位数，三个数位上的数的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上数的3倍，求这三个数。

4、已知三个连续奇数的和比它们相同的两个偶数的和多15，求三个连续奇数。

5、三个连续偶数的和是18，求它们的积。

6、有两个数，第一个数比第二个数的还小4，第二个数恰好等于第一个数的4倍，求这两个数。

7、现在弟弟的年龄恰是哥哥年龄的，而九年前弟弟的年龄是哥哥年龄的，问哥哥现在的年龄是多少？

8、将55分成四个数，如果第一个数加1，第二个数减去1，第三个数乘以2，第四个数除以3，所得的数都相同，求这四个数分别是多少？

9、1998年某人的岁数正好等于他出生年份的数字之和，问这个人2003年是多少岁？

10、小华参加日语培训，为期8天，这8天的和为100，问小华几号结束培训？

11、小明今年的生日的前一天，当天和后一天的日期之和是78，小明今年几号过生日？

12、王老师要参加三天培训，这三天恰好在日历的一竖排上且三个数字相连，并且这三个日子的数字之和是36，你知道王老师都要在几号参加培训吗？

13、小明和小红作游戏，小明拿出一张日历说；“我用笔圈出了2╳2的一个正方形，它们数字的和是76，你知道我圈出的是哪几个数字吗？”你能帮小红解决吗？

14、三个连续偶数的和是36，求它们的积。

15、一个两位数，个位数字是十位数字的4倍，如果把个位数字与十位数字对调，那么得到的新数比原数大54，求原来的两位数。

16、三个连续奇数的和是75，求这三个数。

17、一个两位数，十位数字是a,个位数字是b,把这个两位数的十位数字与个位数字对调，所得的数减去原数，差为72，求这个两位数。

18、用一个正方形在某个月的日历上圈出2╳2个数的和为64，这4天分别是几号？

19、如果用一个正方形在某个月的日历上圈出3╳3个数的和为126，则这9天分别是几号？

20、若今天是星期一，请问2004天之后是星期几？

21、有甲、乙两位同学，甲对乙说：“如果把你的笔给我一枝，那么我的笔是你的笔的2倍。”乙对甲说：“如果把你的笔给我一枝，那么我的笔和你的一样多。”问你们各有多少枝笔？

22、有一个两位数，十位数字比个位数字的2倍多1，将两个数字对调后，所得的数比原数小36，求原数。

23、一个数的七分之一与5的差等于最小的正整数，这个数是多少？

24、一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位与个位上的数字之和是这个两位数的五分之一，求这个两位数。

25、某中学初一学生小刚今年13岁，属羊，非常巧合的是，小刚的爷爷也是属羊的，而且两个人的年龄的和是86，你能算出小刚爷爷的年龄吗？

26、三个连续偶数的和比其中最大的一个数大10，这三个连续偶数是什么？它们的和是多少？

我变胖了

1、用直径为4厘米的圆钢，铸造三个直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要截取多长的圆钢？

2、有一块棱长为4厘米的正方体铜块，要将它熔化后铸成长2厘米、宽4厘米的长方体铜块，铸成后的铜块的高是多少厘米（不计损耗）？

3、某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的圆柱形瓶内装水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离。

4、将一罐满水的直径为40厘米，高为60厘米的圆柱形水桶里的水全部灌于另一半径为30厘米的圆柱形水桶里，问这时水的高度是多少？

5、一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为5厘米的正方体铁块，熔化成一个圆柱体，其底面直径为20厘米，请求圆柱体的高（π取3.14）

6、用5.2米长的铁丝围成一个长方形，使得长比宽多0.6米，求围成的长方形的长和宽为多少米？

7、一个直径为1.2米高为1.5米的圆柱形水桶，已装满水，向一个底面边长为1米的正方形铁盒倒水，当铁盒装满水时，水桶中的水高度下降了多少米。

8、长方形的长和宽的比是5：3，长比宽长12厘米，求这个长方形的长和宽分别是多少。

9、小圆柱的直径是8厘米，高6厘米，大圆柱的直径是10厘米，并且它的体积是小圆柱体体积的2.5倍，则大圆柱的高是多少厘米？

10、要锻造一个半径为5厘米，高为8厘米的圆柱形毛胚，应截取半径为4厘米的圆钢多长？

11、已知黄豆发芽后的重量可以增加3.5倍，现需要100千克黄豆芽，要用黄豆多少千克？

12、一个长方形的周长为36厘米，若长减少4厘米，宽增加2厘米，长方形就变成正方形，求正方形的边长。

13、用一个底面半径为5厘米的圆柱形储油器，油液中浸有钢珠，若从中捞出546π克钢珠，问液面下降了多少厘米？（1立方厘米钢珠7.8克）

14、要锻造一个直径为70毫米，高为45毫米的圆柱形零件毛胚，要截取直径为50毫米的圆钢多少毫米？

15、某机器加工厂要锻造一个毛胚，上面是一个直径为20毫米，高为40毫米的圆柱，下面也是一个圆柱，直径为60毫米，高为20毫米，问需要直径为40毫米的圆钢多长？

16、用一根20厘米的铁丝围成一个长方形（1）使得长方形的长比宽大2.6厘米，此时，长方形的长、宽各是多少厘米？（2）使得长方形的长与宽相等，此时正方形的边长是多少厘米？

17、有一个圆柱形铁块，底面直径为20厘米，高为26厘米，把它锻造成长方体毛胚，若使长方体的长为10π厘米，宽为13厘米，求长方体的高。

打折销售

商品利润 = 商品售价 - 商品成本价

商品的利润率= = 商品打折出售规定按标价的出售。

1、商品进价为400元，标价为600元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售，最低可以打几折出售此商品？

2、某种商品进价为1600元，按标价的8折出售利润率为10%，问它的标价是多少？

3、甲种运动器械进价1200元，按标价1800元的9折出售，乙种跑步器，进价2000元，按标价3200元的8折出售，哪种商品的利润率更高些？

4、一批货物，甲把原价降低10元卖，用售价的10%作资金，乙把原价降低20元，用售价的20%作资金，若两人资金一样多，求原价。

5、某商品的售价780元，为了薄利多销，按售价的9折销售再返还30元礼券，此时仍获利10%，此商品的进价是多少元？

6、一商店把彩电按标价的九折出售，仍可获利20%，若该彩电的进价是2400元，那么彩电的标价是多少元？

7、某商品的标价为165元，若降价以9折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对于进价），那么该商品的进价是多少？

8、某商品的进价是2000元，标价为3000元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？

9、某种商品进货后，零售价定为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折降价，并让利40元销售，仍可获利10%（相对于进价），问这种商品的进价为多少元？

10、某商场售货员同时卖出两件上衣，每件都以135元售出，若按成本计算，其中一件赢利25%，另一件亏损25%，问这次售货员是赔了还是赚了？

11、市场鸡蛋按个数计价，一商贩以每个0.24元购进一批鸡蛋，但在贩运途中，不慎碰坏了12个，剩下的蛋以每个0.28元售出，结果获利11.2元，问商贩当初买进多少鸡蛋？

12、某学校准备组织教师和学生去旅游，其中教师22名，现有甲、乙两家旅行社，其定价相同，并且都有优惠条件，甲旅行社表示教师免费，学生按八折收费；乙旅行社表示教师和学生一律按七五折收费，经核算后，甲、乙实际收费相同，问共有多少学生参加旅游？

13、某股民将甲、乙两种股票卖出，甲种股票卖出1500元，获利20%，乙种股票也卖出1500元，但亏损20%，该股民在这次交易中是赢利还是亏损？赢利或亏损多少？

14、某商店从某公司批发部购100件A钟商品，80件B种商品，共花去2800元，在商店零售时，每件A种商品加价15%，每件B种商品加价10%，这样全部售出后共收入3140元，问A、B两种商品的买入价各为多少元？

15、某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售，将赔25元，而按定价的九折出售，将赚20元，这种商品的定价为多少元？

16、一套家具按成本加6成定价出售，后来在优惠条件下，按照售价的72%降低价格售出可得6336元，求这套家具的成本是多少元？这套家具售出后可赚多少元？

17、某种商品标价为226元，现打七折出售，仍可获利13%，这钟商品的进价是多少？

18、个体户小张，把某种商品按标价的九折出售，仍可获利20%，若按货物的进价为每件24元，求每件的标价是多少元？

19、某商品的进价是3000元，标价是4500元

（1）商店要求利润不低于5%的售价打折出售，最低可以打几折出售此商品？

（2）若市场销售情况不好，商店要求不赔本的销售打折出售，最低可以打几折售出此商品？

（3）如果此商品造成大量库存，商店要求在赔本不超过5%的售价打折出售，最低可以打几折售出此商品？

“希望工程”义演

1、甲、乙两班共90人，期中考试后，由甲班转入乙班4人，这时甲班人数是乙班人数的80%，问期中考试前两班各有多少人？

2、某套书分上、中、下三册，印上册用了全部印刷时间的40%，印中册用了全部印刷时间的36%，印下册用24天，印完全套书共用了多少天？

3、学校开展植树活动，甲班和乙班共植树31棵，其中甲班植树数比乙班植树数的2倍多一棵，求两班各植树多少棵？

4、红光服装厂要生产某种学生服一批，已知每3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子，才能恰好配套？共能生产多少套？

5、某车间100个工人，每人平均每天可加螺栓18个或螺母24个，要使每天加工的螺栓与螺母配套（一个螺栓配两个螺母），应如何分配加工螺栓和螺母的工人？

6、我校数学活动小组，女生的人数比男生的人数的少2人，如果女生增加3人，男生减少1人，那么女生的人数比全组人数的多3人，求原来男女生的人数。

7、甲、乙、丙三个粮仓共存粮80吨，已知甲、乙两仓存粮数之比是1：2，乙、丙两仓存粮数之比是1：2.5，求甲、乙、丙三个粮仓各存粮多少吨？

8、在全国足球甲A联赛的前11轮比赛中，某队保持连续不败（不败含取胜和打平）共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，求该队在这11场比赛中共胜了多少场？

9、甲、乙、丙三位同学向贫困地区的希望小学捐赠图书，已知他们捐赠的图书数之比为7：5：8，且共捐书200本，问三位同学各捐书多少本？

10、某校七年级举行数学竞赛，80人参加，总平均成绩63分，及格学生平均成绩为72分，不及格学生平均48分，问及格学生有多少人？

11、某校组织活动，共有100人参加，要把参加活动的人分成两组，已知第一组人数比第二组人数的2倍少8人，问这两组人数各有多少人？

12、在全国足球甲级A组的前11轮（场）比赛中，W队保持连续不败，共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平场得1分，那么该队共胜了多少场？

13、一批宿舍，若每间住1人，有10人无处住，若每间住3人，则有10间无人住，那么这批宿舍有多少间，人有多少个？

14、师生共100人去植树，教师每人栽2棵树，学生平均每2人栽1棵树，一共栽了110棵，问教师和学生各有多少人？

15、某学校组织学生春游，如果租用若干辆45座的客车，则有15个人没有座位，如果租用同数量的60座的客车，则多出1辆，其余车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为300元，问租用哪种客车更合算，租几辆车？

16、甲、乙、丙三个村庄合修一条水渠，计划需要176个劳动力，由于各村人口多少不等，只有按2：3：6的比例摊派才较合理，问甲、乙、丙三个村庄各派出多少个劳动力？

17、某工厂三个车间共有180人，第二车间人数是第一车间人数的3倍还多1人，第三车间人数是第一车间人数的一半还少1人，三个车间各有多少人？

18、甲、乙两池共存水40吨，甲池注水4吨，乙池出水8吨后，两池水恰好相等，求甲、乙两池原有多少吨水？

19、数学课外小组的女同学占全组人数的，加入4名女同学后，就占全组人数的，数学课外小组原来有多少人？

20、有一块面积为1600平方米的地分成两部分，使它们的面积比为3：5，求每一部分的面积。

21、某队有林场108公顷，牧场54公顷，现在要栽培一种一种新果树，把一部分牧场改为林场，使牧场面积只占林场面积的20%，改为林场的牧场面积是多少公顷？

能追上小明吗？

1、甲、乙两人练习100米赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙先跑1秒，那么甲经过几秒可以追上乙？

2、甲、乙两人相距285米，相向而行，甲从A地每秒走8米，乙从B地每秒走6米，如果甲先走12米，那么甲出发几秒与乙相遇？

3、甲、乙两架飞机同时从相距750千米的两个机场相向飞行，飞了半小时到达同一中途机场，如果甲飞机的速度是乙飞机的1.5倍，求乙飞机的速度。

4、甲、乙两列火车，长为144米和180米，甲车比乙车每秒钟多行4米，两列火车相向而行，从相遇到错开需要9秒钟，问两车的速度各是多少？

5、从甲地到乙地，海路比陆路近40千米，上午10点，一艘轮船从甲地驶往乙地，下午1点，一辆汽车从甲地开往乙地，它们同时到达乙地，轮船的速度是每小时24千米，汽车的速度是每小时40千米，那么从甲地到乙地海路与陆路各是多少千米？

6、一队学生去校外进行军事训练，他们以每小时5千米的速度行进，走了18分钟，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以每小时14千米的速度按原路追上去，通讯员需要多少时间可以追上学生队伍？

7、矿山爆破为了确保安全，点燃引火线后人要在爆破前转移到3000米以外的安全地带，引火线燃烧的速度是0.8厘米/秒，人离开的速度是5米/秒，问引火线至少需要多少厘米？

8、小明和小丽同时从学校出发到运动场看体育比赛，小明每分钟走80米，他走到运动场等了5分钟，比赛才开始，小丽每分钟走60米，她进入运动场时，比赛已经开始3分钟，问学校到运动场有多远？

9、一船在两码头之间航行，顺水需4小时，逆水4个半小时后还差8公里，水流每小时2公里，求两码头之间的距离？

10、A、B两地相距360千米，甲车从A地出发开往B地，每小时行驶72千米，甲车出发25分钟后，乙车从B地出发开往A地，每小时行驶48千米，两车相遇后，各自按原来的速度继续行驶，那么相遇后两车相距120千米时，甲车从出发一共用了多少时间？

11、甲、乙两站相距510千米，一列慢车从甲站开往乙站，速度为每小时45千米，慢车行驶两小时后，另有一列快车从乙站开往甲站，速度为每小时60千米，求快车开出后几小时与慢车相遇？

12、一艘轮船从甲地顺流而行9小时到达乙地，原路返回需要11小时才能到达甲地，已知水流速度为2千米/时，求轮船在静水中的速度。

顺逆流问题： 船在顺水中的速度=船在静水中的速度+水流速度

船在逆水中的速度=船在静水中的速度—水流速度

船顺水的行程=船逆水的行程

环形跑道的追及问题：

慢者的行程 + 一圈的周长= 快者的行程

九年级数学《二次函数》测试卷

一．选择题（每题3分，共30分）

1． 下列各式中，y 是x 的二次函数的是 ( )

A ． 21xy x +=

B ． 220x y +-=

C ． 22y ax -=-

D ． 2210x y -+=

2．在同一坐标系中，作22y x =+2、22y x =--1、212

y x =的图象，则它们 ( ) A ．都是关于y 轴对称 B ．顶点都在原点

C ．都是抛物线开口向上

D ．以上都不对

3、把抛物线23x y =向上平移2个单位, 在向右平移3个单位，则所得的抛物线是（ ）

A.2)3(32-+=x y

B. 2)3(32++=x y

C. 2)3(32--=x y

D. 2)3(32+-=x y

4．若二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值必为 ( )

A ． 0或2

B ． 0

C ． 2

D ． 无法确定

5．已知原点是抛物线2

(1)y m x =+的最高点，则m 的范围是 ( )

A ． 1-

B ． 1

C ． 1->m

D ． 2->m

6．关于02=--n x x 没有实数根，则n x x y --=2的图象的顶点在 （ ） A 第一象限 B 第二象限

C 第三象限

D 第四象限

7．在同一直角坐标系中，函数b ax y -=2与)0(≠+=ab b ax y 的图象大致如图 （ ）

y y y y x x x x O O O O D

8．抛物线122+-=x x y 则图象与x 轴交点为 （ ）

A ． 二个交点

B ． 一个交点

C ． 无交点

D ． 不能确定

9．)0(≠+=ab b ax y 不经过第三象限，那么bx ax y +=2的图象大致为 （ ） y y y y

O x O x O x O x

A B C D

10．对于2)3(22+-=x y 的图象下列叙述正确的是 （ ）

A 顶点作标为(－3，2)

B 对称轴为y=3

C 当3≥x 时y 随x 增大而增大

D 当3≥x 时y 随x 增大而减小

11、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，下列结论：

①0<++c b a ;② 0>+-c b a ; ③0

正确的个数是 ( ) A 4 个 B 3个

C 2 个

D 1个 12．已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过原点和第一、二、三象限，那么( )

A.a>0,b>0,c>0

B.a<0,b<0,c=0

C.a<0,b<0,c>0

D.a>0,b>0,c=0

13、二次函数y=x 2＋4x ＋a 的最大值是2，则a 的值是（ ）

A 、4

B 、5

C 、6

D 、7

二．填空题：（每题3分，共15分）

1．当_____=m 时，函数21(1)m y m x +=-是二次函数；

2． 写出一个开口向上，顶点坐标是（2，-3）的函数解析式 ；

3．函数,0(2

≠++=a c bx ax y a 、b 、c 为常数）

的对称轴是 ；顶点坐标是 ； 4．抛物线23x y =的图象向右移动两个单位，再向下移动一个单位，它的顶点坐标是 ，对称轴是 解析式是 ；

5．如果抛物线b ax y +=2和直线y x b =+都经过点P(2，6)，则a _______，b =_______，抛物线不经过第_______象限

6.若抛物线y = x 2

+(k-1)x+(k+3)经过原点，则k= . 7.如果函数y = ax 2+4x-16

的图像的顶点的横坐标为l ，则a 的值为 . y x

O

-1

8、把二次函数y=－2x 2＋4x+3化成y=a （x+h ）2+k 的形式是 其开口方向是

9、直线y=3与抛物线y =－x 2+8x －12的两个交点坐标分别是A （ ）、B （ ），若抛物线

y =－x 2+8x －12的顶点是P ，与X 轴的两个交点是C 、D 两点，则三角形PCD 的面积是

三．解答题(共105分)

16．（8分）若抛物线322--=x x y 经过点A （m ，0）和点B （-2，n ），求点A 、B 的坐标。

17．（7分）请设计一个开口向下，与x 轴交于（-1，0）、（3，0）的二次函数解析式，并指出它的对称轴。

18．（8分）已知抛物线m x x y +-=42的顶点在x 轴上，求这函数的解析式及其顶点坐标。

19．（8分）若二次函数的图象x x m y 2)1(2+-=与直线1-=x y 没有交点，求m 的取值范围。

20．（12分）已知二次函数的图象的顶点坐本标为（3，-2）且与y 轴交与（0，2

5） （1）求函数的解析式，并画于它的图象；（2）当x 为何值时，y 随x 增大而增大。

21．（10分）若直线3+=x y 与二次函数的图象322++-=x x y 与交A 、B 两点，求以A 、B 及原点O 为顶点的三角形的面积。

22．（6分）一台机器原价为60万元，如果每年的折旧率为x ，两年后这台机器的价格为y 万元，求与函数关系式，若折旧率以10%计算，那么两年后的该机器价值为多少？

23．（12分）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价一元，日销售量将减少20千克。

（1）现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

（2）若该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多。

24．（16分）某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP ，柱子顶端P 处装上喷头，由P 处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）。若已知OP ＝3米，喷出的水流的最高点A 距水平面的高度是4米，离柱子OP 的距离为1米。

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的

水流不至于落在池外。

25．（18分）二次函数62

5412+-=

x x y 的图象与x 轴从左到右两个交点依次为A 、B ，与y 轴交于点C ，

（1）求A 、B 、C 三点的坐标；

（2）如果P(x ，y)是抛物线AC 之间的动点，O 为坐标原点，试求△POA 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（3）是否存在这样的点P ，使得PO=PA ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。