高考立体几何解答题精选附详细答案
立体几何解答题
立体几何解答题
一.解答题(共30小题)
1.(2009?宁夏)如图,四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.
(1)求证:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P﹣AC﹣D的大小;
(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE:EC的值;若不存在,试说明理由.
2.(2009?江苏)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E,F分别是A1B,A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C.求证:(1)EF∥平面ABC;
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
3.(2009?湖北)如图,四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=2a,点E是SD上的点,且DE=λa(0<λ≤2)
(Ⅰ)求证:对任意的λ∈(0,2),都有AC⊥BE
(Ⅱ)设二面角C﹣AE﹣D的大小为θ,直线BE与平面ABCD所成的角为ω,若tanθ?tanφ=1,求λ的值.
4.(2008?山东)如图,已知四棱锥P﹣ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点.
(Ⅰ)证明:AE⊥PD;
(Ⅱ)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为,求二面角E﹣AF﹣C的余弦值.
5.(2008?福建)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;
(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.
6.(2008?安徽)如图,在四棱锥O﹣ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,
OA=2,M为OA的中点.
(Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(Ⅱ)求点B到平面OCD的距离.
7.(2007?浙江)在如图所示的几何体中,EA⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,AC⊥BC,且AC=BC=BD=2AE,M是AB的中点.
(I)求证:CM⊥EM;
(II)求CM与平面CDE所成的角.
8.(2007?天津)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E 是PC的中点.
(Ⅰ)求PB和平面PAD所成的角的大小;
(Ⅱ)证明AE⊥平面PCD;
(Ⅲ)求二面角A﹣PD﹣C的大小.
9.(2007?海南)如图,在三棱锥S﹣ABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,∠BAC=90°,O为BC中点.(Ⅰ)证明:SO⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A﹣SC﹣B的余弦值.
10.(2006?福建)如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=
(I)求证:AO⊥平面BCD;
(II)求异面直线AB与CD所成角的大小;
(III)求点E到平面ACD的距离.
11.(2012?辽宁)如图,直三棱柱ABC﹣A′B′C′,∠BAC=90°,,AA′=1,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.
(Ⅰ)证明:MN∥平面A′ACC′;
(Ⅱ)求三棱锥A′﹣MNC的体积.
(椎体体积公式V=Sh,其中S为地面面积,h为高)
12.(2012?湖南)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.(Ⅰ)证明:BD⊥PC;
(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P﹣ABCD的体积.
13.(2012?广东)如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB的中点,F是CD 上的点且,PH为△PAD中AD边上的高.
(1)证明:PH⊥平面ABCD;
(2)若PH=1,,FC=1,求三棱锥E﹣BCF的体积;
(3)证明:EF⊥平面PAB.
14.(2011?浙江)如图,在三棱锥P﹣ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD 上,已知
BC=8,PO=4,AO=3,OD=2
(Ⅰ)证明:AP⊥BC;
(Ⅱ)在线段AP上是否存在点M,使得二面角A﹣MC﹣β为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.
15.(2011?天津)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD中点.
(Ⅰ)证明:PB∥平面ACM;
(Ⅱ)证明:AD⊥平面PAC;
(Ⅲ)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.
16.(2010?辽宁)已知三棱锥P﹣ABC中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S
分别为PB,BC的中点.
(Ⅰ)证明:CM⊥SN;
(Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小.
17.(2010?湖南)如图所示,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.
(Ⅰ)求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值;
(Ⅱ)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE?证明你的结论.
18.(2010?安徽)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EF∥AB,EF⊥FB,AB=2EF,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点.
(1)求证:FH∥平面EDB;
(2)求证:AC⊥平面EDB;
(3)求二面角B﹣DE﹣C的大小.
19.(2009?浙江)如图,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为PA,PB,AC的中点,AC=16,PA=PC=10.
(I)设G是OC的中点,证明:FG∥平面BOE;
(II)证明:在△ABO内存在一点M,使FM⊥平面BOE,并求点M到OA,OB的距离.
20.(2009?江西)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2,以BD 的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M,
(1)求证:平面ABM⊥平面PCD;
(2)求直线PC与平面ABM所成的角;
(3)求点O到平面ABM的距离.
21.(2008?陕西)三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,,,AC=2,A 1C1=1,.
(Ⅰ)证明:平面A1AD⊥平面BCC1B1;
(Ⅱ)求二面角A﹣CC1﹣B的大小.
22.(2008?广东)如图所示,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形,其中BD是圆的直径,∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP~△BAD.
(1)求线段PD的长;
(2)若,求三棱锥P﹣ABC的体积.
23.(2008?北京)如图,在三棱锥P﹣ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.
(Ⅰ)求证:PC⊥AB;
(Ⅱ)求二面角B﹣AP﹣C的大小.
24.(2007?陕西)如图,在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=4,AD=2,AB=2,BC=6.
(Ⅰ)求证:BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)求二面角P﹣BD﹣D的大小.
25.(2007?福建)如图,正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1中点.
(1)求证:AB1⊥面A1BD;
(2)求二面角A﹣A1D﹣B的大小;
(3)求点C到平面A1BD的距离.
26.(2006?浙江)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且
PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.
(Ⅰ)求证:PB⊥DM;
(Ⅱ)求BD与平面ADMN所成的角.
27.(2005?浙江)如图,在三棱锥P﹣ABC中,AB⊥BC,AB=BC=PA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥底
面ABC.
(Ⅰ)求证OD∥平面PAB;
(Ⅱ)求直线OD与平面PBC所成角的大小.
28.(2005?黑龙江)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E,F分别为CD,PB的中点.
(1)求证:EF⊥面PAB;
(2)若,求AC与面AEF所成的角.
29.(2005?安徽)已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且
PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点.
(Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD;
(Ⅱ)求AC与PB所成的角;
(Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角的大小.
30.如图,底面ABC为正三角形,EA⊥面ABC,DC⊥面ABC,EA=AB=2DC=2a,设F为EB的中点.
(1)求证:DF∥平面ABC;
(2)求直线AD与平面AEB所成角的正弦值.
立体几何解答题
参考答案与试题解析
一.解答题(共30小题)
1.(2009?宁夏)如图,四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.
(1)求证:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P﹣AC﹣D的大小;
(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE:EC的值;若不存在,试说明理由.
为坐标原点,
与,计算它们的数量积,从而证明出
的一个法向量的一个法向量
)知
,根据
为坐标原点,
,则高
,,
.
,则
)知
时,
2.(2009?江苏)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E,F分别是A1B,A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C.求证:(1)EF∥平面ABC;
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
3.(2009?湖北)如图,四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=2a,点E是SD上的点,且DE=λa(0<λ≤2)
(Ⅰ)求证:对任意的λ∈(0,2),都有AC⊥BE
(Ⅱ)设二面角C﹣AE﹣D的大小为θ,直线BE与平面ABCD所成的角为ω,若tanθ?tanφ=1,求λ的值.
和的坐标,只要数量积为
中,∵AE=a
=
,得即
,解得
(,
,
∴
∴,即
,,.
,则由
,得
.
∴.
<
???
,解得
4.(2008?山东)如图,已知四棱锥P﹣ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点.
(Ⅰ)证明:AE⊥PD;
(Ⅱ)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为,求二面角E﹣AF﹣C的余弦值.
所成最大角的正切值为
,
中,
中,
.
5.(2008?福建)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;
(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.
,AP=
PB=,
所成的角的余弦值为
CD=OB=
PC=,
?.
,
OP=S
×
.
6.(2008?安徽)如图,在四棱锥O﹣ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,
OA=2,M为OA的中点.
(Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(Ⅱ)求点B到平面OCD的距离.
∵,∴.
∵
∴
所成的角为
∵
∴
的距离为
7.(2007?浙江)在如图所示的几何体中,EA⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,AC⊥BC,且AC=BC=BD=2AE,M是AB的中点.
(I)求证:CM⊥EM;
(II)求CM与平面CDE所成的角.