数学通报-直观几何实验几何与综合几何课程设计比较分析

几何课程设计方式的比较分析--直观几何、实验几何与综合几何课程设计的国际比较孔凡哲1史亮（东北师范大学基础教育课程研究中心 130024）（东北师范大学附中 130021）《数学通报》2006年第10期：7～11自《几何原本》[1]诞生的两千多年来，关于几何课程的研究一致持续不断，尤其是，近年来，国际教育界关于几何课程设计方式的研究有了突出进展，不同于《几何原本》的综合几何课程设计风格的新型设计方式（如，直观几何、实验几何）逐渐趋于完善。

了解这些不同风格的几何课程设计，对于研究几何课程改革大有裨益。

本文拟从课程设计的视角，试图诠释中外中小学几何课程改革的一些困惑，讨论义务教育阶段几何课程设计的特点和发展趋势。

一、直观几何、实验几何课程设计特点分析课程设计是新课程的关键环节之一。

一般地，课程设计有学术理性主义取向、认知发展取向、人本主义取向、社会重建主义取向、科技取向等多种价值取向。

作为义务教育阶段的几何课程设计，自然有多种设计方式，直观几何、实验几何与综合几何就是差异较大的课程设计风格。

简要地说，所谓直观几何，通常是指作为直观层面的几何学，而实验几何意指作为一种实验活动出现的几何学，而综合几何特指以往所指的几何学，它以论证几何为主体，综合利用几何方法，并借助一些代数公理和几何直观。

直观几何、实验几何有时也称为经验几何，它特别关注学生几何活动经验的积累，以及几何直觉的发展。

《直观几何》[2]一书就是直观几何课程设计的典型代表，而《发现几何》[3]作为美国核心课程出版社出版的一本中学几何教科书，它具有鲜明的归纳、探究、实验的特征，而《几何原本》[1]可以作为综合几何的典型代表和直接源头。

1．直观几何、实验几何的作用从人类发展史上看，几何学是研究现实世界物体的形状、大小和位置关系的学科,而后发展成为研究一般空间结构的学科。

有学者[4]将几何发展史分为四个阶段并不无道理，这四个阶段是“实验几何的形成与发展；理论几何的形成与发展；解析几何的产生与发展；现代几何的产生和发展”，而“实验几何的形成与发展经历了漫长的历史阶段…人们在观察、实践、实验的基础上积累了丰富的几何经验，形成了一些粗略的概念，反映了某些经验事实之间的联系，形成了实验几何。

我国古代、古埃及、古印度、巴比伦所研究的几何，大体上就是实验几何的内容”。

当然，这里的“实验几何”究竟是叫直观几何还是实验几何，还是兼而有之，尚可以商榷、斟酌。

对于实验几何的作用和功能，有学者认为[5]，“首先，通过对几何图形的旋转、翻折、平移、拼接或拆分等各种运动来发现一些几何事实或几何关系；其次，通过一些开放1[基金项目]全国教育科学“十五”规划重点课题《基础教育新课程新教材研制开发机制与质量监控的研究与实践》（BHA030025）。

[作者简介]孔凡哲（1965-）男，山东济宁人，东北师范大学教育科学学院教授、硕士生导师、院长助理。

主要从事课程与教学论、数学教育及命题评价研究。

E-mail:***************.cn,*******************（0431）5099962（O）性的几何问题猜想结论或探求条件，培养学生对开放性问题的灵活、主动，富有创造性的思维能力；第三，对于问题从多角度进行综合思维、尝试，寻求多解的渠道或研究几个问题的共同本质，发现规律，获得统一的结论；最后，解决处理应用问题，主要包括一些实际问题引出的几何问题，或有应用背景的几何问题和一些可以用几何方法解决的实际问题”。

这些观点的确反映了实验几何的一些作用和功能。

从课程设计的视角看，直观几何、实验几何具有论证几何（综合几何）无法取代的课程功能和教育作用，这些功能和作用集中体现为：（1）论证几何在培养人的逻辑思维能力方面起着重要作用，而实验几何则是发现几何命题和定理的有效工具，在培养人的直觉思维和创造性思维方面起着重大的作用。

正如丁尔升先生所指出的[6]，实验几何更贴近人类的生活空间和日常经验，同时，可以变高速的论证技巧为不同水平的创造活动，还可以改变以往数学那种枯燥乏味的形象，变几何学习为一种趣味活动，并在这种活动中培养学生的观察能力、实验能力、创造力以及归纳、类比能力，这些一般能力的培养对提高人的素质具有十分重要的意义。

《发现几何:一种归纳的方法》[3]一书从更加具体的方面提出了类似的观点。

基于上述观点，国际数学教育界的许多人士主张重视实验几何的教学。

与其同时，许多人反对把公理系统过早地引入中学几何，从而使几何的学习成为一种形式的学习，但绝不是取消推理几何、论证几何的中学学习。

（2）直观几何、实验几何是学习推理论证几何的必要前提。

一方面，图形与空间的学习可分为知觉性的学习、操作性的学习、构图性的学习和论述性的学习。

要达到论述性的学习，首先要有充分的知觉性的学习、操作性的学习，才能得心应手。

义务教育阶段推理能力的培养必须以学生已有的几何直觉和几何活动经验为先导，但必须强调概念或观念的明确定义，以及几何量的代数运算。

因此，学习的内容是由非形式化的推理逐渐提升到形式化的推理，透过直观几何与实验几何的充分学习，对几何对象的熟悉及非形式化的推理，达到知觉性的了解、操作性的了解，进而形成几何推理。

另一方面，我们用来作为推理基础的几何性质，一部分是利用实验归纳的方法得来的，另一部分则是利用已知的几何性质进行“推论”而导出的结果。

正如俄罗斯教育家乌申斯基所说的，“儿童一般要依靠形象、色彩、声音和触觉来思考的”，无论几何的哪部分内容，都需要基于学生已有的几何活动经验和体验。

在实验几何、直观几何的教科书设计时，对于几何中的结论，教科书多数是先让学生通过画图、折纸、剪纸、度量或做试验等活动，探索、发现几何的结论，然后再对结论进行说明、解释或论证，以便为由实验几何到论证几何的过渡做好铺垫。

（3）实验几何是几何学习的一个阶段和一种认知水平，更是一种几何学习方法。

事实上，作为一种教育材料出现的实验几何课程内容，将其作为发现真理、培养思维能力和创造能力的一种有效途径，是课程设计的重要目标之一，也是几何学习的一种认知水平[5]。

正所谓实验、归纳、猜测、类比等方法可以发现真理，而论证可以确认真理。

总之，实验几何作为几何学习的一个阶段，在学生几何学习过程中起到承上启下的衔接作用，同时，实验几何是贯穿从直观几何到论证几何学习的一种有益于发现真理、提高几何思维水平的重要方法。

2．直观几何课程设计的典型代表由俄罗斯L.V.沙雷金和L.N.叶尔冈日耶娃合著的《直观几何》[2]可以作为直观几何课程设计的典型代表。

沙雷全（Igor Sharygin）教授，现任国际数学教育委员会执行委员。

《直观几何》（5—6年级用）让孩子用直观的方法（429副插图）接触大量的、生动的几何世界，其中包括折纸、摆火柴、走迷宫、镶嵌等操作活动，接触反射与对称、拓扑经验、“七桥问题”、单向曲面、六面体的展开、多边形铺设、坐标与方位、密码通讯等课题。

这种课程教材设计开阔了学生的数学视野，让学生体验了数学的魅力和情趣，理解了数学发现的生动历程，认识了数学的价值和意义，有利于学生形成良好的数学基础。

同时，沙雷金编辑的《几何》（7—9年级用）以运动集合的观点为主线，用现代的几何学思想构建体系：七年级“刚体几何学”，八年级“相似几何学”，九年级“度量几何学”；《几何》（10—11年级用）包括立体几何，解析几何，旋转体的体积，正多面体。

[7]这种课程设计方式，其突出的特色表现在如下三个方面：（1）课程目标呈现出多维的特点在直观几何、实验几何课程设计下，几何课程目标发生显著变化，课程目标已经不仅仅停留在掌握欧式几何公理体系、获得几何论证的能力，而是发展为掌握基本几何形体的特征，培养欣赏与设计几何形体的能力，逐步形成关于设定方位、描述空间关系等方面的空间观念和几何直觉；同时，培养几何论证的能力，以及提出图形与空间的问题、分析和解决相关问题的能力，其核心在于培养几何直觉、空间观念和推理（包括合情推理2和逻辑推理）能力。

（2）呈现方式的鲜活气息在直观几何、实验几何课程设计中，严格孤傲的公理体系、单调乏味的点线面，被生动有趣的生活哲理，以及变换多姿的可视图形所取代，这改变了综合几何严谨、抽象、枯燥的呈现方式，几何达到了它从未有过的丰富程度，表现出勃勃生机。

正如N.杜勃林教授在评论《直观几何》[2]一书时所说的，《直观几何》从人类文化的视角展示了几何的古老美丽和生机，强调学习几何的价值，不仅在于训练思维和它的实际应用，更在于它所蕴涵的文化因素，揭示了几何的内在魅力，这也是几何吸引学生的实质。

（3）几何的现实性与理性思维的和谐统一在直观几何中，学习内容是相当现实有趣和富挑战性的，并通过各种不同的自然方式呈现出几何与自然社会的联系，学生可以在自己生活的周围世界中亲身感受这种联系，有效地综合利用它获得必备知识。

如，《直观几何》[2]从俄罗斯宏伟、典雅的建筑展示了圆弧的存在及对称的效应，从“雅典王泰西战胜弥洛陶罗”的古希腊神话引出了奥妙无穷的迷宫知识，教材每节前言中的数学史话传说、故事和生活事例，可以不经意地引发学生对生活几何的思考，从而引起学习它的欲望。

同时，数学游戏、谜语等问题的加盟使得《直观几何》充满了无尽的乐趣与挑战。

此外，《直观几何》内容的呈现，也注意了学生的差异性，根据学生知识背景和认知发展水平的不同，由浅入深、循序渐进地让他们主动从事观察、实验、猜测、验证、推理、交流等数学活动，以提升他们对数学的认识。

直观几何并没有放弃几何教育的主体目标，在大量的实践操作中可充分锻炼学生的逻辑思维、空间想象、演绎推理等多种数学能力。

或许有人会对直观几何产生如下的疑问：充分展示几何的直观性，从文化角度考虑几何，必然会放弃几何自身的严谨性、系统性、条理性，学生理性思维的培养将被严重削弱，几何的教育功能也就会丧失。

对待上述疑问可从《直观几何》的习题中找到答案。

事实上，习题的非形式化呈现方式不同于传统几何教材中的数学式题目，对于学生理性思维的训练也更显灵活性、趣味性[7]，易于激发学生的学习兴趣，促使他们主动探索。

（4）从课程设计的角度，对几何教的过程与学的过程重新定位。

张奠宙先生在《直观几何》中文版[2]的前言中将几何学习概括成四个步骤—直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算。

不言而喻，综合几何重视后两个步骤而严重忽视前两个步骤。

事实上，对12岁以下的绝大多数儿童来说，过早地进行纯粹的思辨论证及枯燥2有的学者(如，史宁中教授)也将合情推理称为直观推理。

的计算，不仅可能压抑了学生的发展，同时也可能扼杀了几何的生机。

在直观几何、实验几何课程设计观下，几何的学习应从学生生活经验中所熟悉的形体入手，藉由本身的知觉，经过操作与实测，以察觉、辨识几何形体的组成要素及其与几何形体之间的关系，进而能确定空间的基本概念，掌握基本性质，进行简单的推理。