概率论与数理统计基础
第1章概率论与数理统计基础
1.1概率论基础
一、随机事件与概率
1.随机事件－－简称事件
自然界中的事件可分为必然事件、不可能事件和随机事件三种：○1必然事件（U）：指在一定条件下必然发生的事件，如“1atm下水加热至100℃时沸腾”是必然事件。
○2不可能事件（V）：指在一定条件下不发生的事件，如“1atm下水加热至50℃时沸腾”是不可能事件。
○3随机事件（A、B……）：指一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件。
2.概率与频率
对每一次试验而言，随机事件是否发生是带有偶然性的。但在大量重复试验下，并把这些试验结果综合在一起，就可以看出支配这些偶然性的某种必然规律性来。实践证明，随机事件发生的可能性大小是它本身所固有的属性，不随人们的主观意愿而转移，并且这种属性可以通过大量试验来认识。
为便于研究，我们将随机事件A发生的可能性的大小用一个数值p来表示，并把这个数值p叫做事件A的概率。记作：
P（A）＝p
为了确定事件A的概率p，首先必须说明频率的概念。
设A为某试验可能出现的随机事件，在同样条件下，该试验重复做n次，事件A出现了m次（0≤m≤n），则称m为A在这n次试验中出现的频数，称m/n为A在这n次试验中出现的频率。（见书上表1-1）
频率m/n本身不是常数，它与试验次数n有关，随着试验次数n的增加，频率总是在某一常数附近摆动，而且n愈大，频率与这
个常数的偏差往往愈小，这种性质叫做频率的稳定性。这个常数是客观存在的，与所做的若干次具体试验无关，它反映了事件本身所蕴含的规律性，反映了事件出现的可能性大小。
因此，这个常数（p）就是事件A的概率。即事件A的概率就是事件A发生的频率的稳定值（p）。
P（A）＝p
抛掷硬币试验
试验者投掷次数 n 出现正面次数 m 出现正面频率 m/n
蒲丰4040 2048 0.5069
皮尔逊12000 6019 0.5016
皮尔逊24000 12012 0.5005
维尼30000 14994 0.4998
3.概率的基本性质
○1 0≤P（A）≤1 即任何事件的概率都介于0和1之间
○2 P(U)=1 即必然事件的概率为1
○3 P(V)=0 即不可能事件的概率为0
二、随机变量及其概率分布
1.随机变量的概念
有些随机事件有数量标识，如射击时命中的环数，掷一枚骰子所出现的点数等等。但也有些随机事件无数量标识，如掷一枚硬币时，试验结果为“正面朝上”或“反面朝上”，而不是数量。这会使我们感到不太方便，能否用量来代替事？这就促使我们引入随机变量的概念。事实上，很多事都和量有关。例如，掷硬币时“正面朝上”或“反面朝上”这两件事，我们可以分别记为“0”或“1”。经这样规定后，随机事件就可以用一个数来表示了。
试验结果能用一个数ξ(希腊字母，读“克西”)来表示，这个数ξ随试验结果不同而变化，我们称ξ为随机变量。
随机变量与一般实变量不同，它是随机的，即它的取值有一定的概率。掷硬币试验时，随机变量ξ的取值为0或1。
随机变量分为离散型和非离散型两类。离散型随机变量取值为有限个或无限可列个。非离散型随机变量的取值不能一一列举出来，情况比较复杂，其中最重要的，在实际中最常见的是连续型随机变量。
2.随机变量的概率分布
（1）离散型随机变量
掌握离散型随机变量的变化规律，除了要了解它的取值以外，更重要的是还要了解它取各可能值的概率是多少。
例如，要检验一批产品的质量，从中任意抽取5件，仅仅知道次品数ξ的可能取值（0，1，2，3，4，5）还不够，还应当知道“次品数为0”的概率有多大，“次品数为1”的概率有多大，……，“次品数为5”的概率有多大，只有这样才能对产品中的次品情况有一个较全面的了解。
设离散型随机变量ξ的所有可能取值为x0，x1，……，x k，……，ξ取各个可能值的概率为
P(ξ＝x k)＝p(x k) (k=0,1,2……) （1-1）则称式（1－1）为离散型随机变量ξ的概率分布或分布律（也称概率函数），若将其用表格形式表示，则为
（1-2）ξx0 x1 ……x k ……
p p(x0) p(x1 ) ……p(x k ) ……
若用图形表示，则如课本上的图1-1所示。
由概率的基本性质可知，概率分布具有以下性质： （i ） 0≤p(x k )≤1 (k=0,1,2……) （ii ）∑∞
=0)(k k x p ＝1
这两条性质可以作为检验一张表能否成为一个离散型随机变量的分布律的条件。
（2） 连续型随机变量的分布密度
离散型随机变量的概率分布的变化规律可以用分布律来描述，但是这种方法不适用于连续型随机变量，因为后者的取值无法一一列举出来，因此不能用分布律的形式来描述。对这类随机变量的概率分布规律的描述通常是以研究“随机变量在某个区间上取值的概率”来实现的。为此，我们引入概率分布密度函数的概念。
定义：若随机变量ξ的分布函数F （x ）恰好是某个非负函数p （x ）在（-∞，x ）上的积分，即
F(x)＝dx x p x
?∞
-)(
则称ξ为连续型随机变量，称p （x ）为ξ的概率分布密度函数（简称为分布密度或密度函数）。称ξ的分布为连续型分布。
分布密度函数p （x ）具有以下性质： （i ） p （x ）≥0
（ii ） 1)(=?+∞
∞
-dx x p
这两条性质可以作为判断一个函数是否可以作为一个连续型随机变量的分布密度的条件。
（iii ） P （a<ξ≤b）==?dx x p b
a
)( F(b)- F(a)
显然，一旦知道了分布密度p （x ），即可求出ξ在任何实数区间（a ，b]上取值的概率，即（a<ξ≤b ）这件事的概率等于分布密度函数p （x ）从a 到b 的积分。注意，对连续型随机变量，任一点的概率均为零，因为p （x ）在任一点上的积分为零。因此，概率为零
的事件未必不发生，而概率为1的事件未必发生！
（iv ） 在p （x ）的连续点处，有F ′(x)＝p(x)。 概率分布密度函数p （x ）的图形如图1－2所示。
3. 随机变量的分布函数
若ξ是一个随机变量，x 是任意实数，函数
F （x ）＝P(ξ≤x)
称为随机变量ξ的概率分布函数，简称分布函数。
对离散型随机变量ξ，分布函数为
F （x ）＝P （ξ≤x ）＝∑≤x
x k x P k )(，(k=0,1,2,……;-∞ 如图1-3所示。 对连续型随机变量ξ，p(x)为其分布密度，则分布函数为 F （x ）＝P （ξ≤x ）＝dx x p x ?∞ -)( （－∞ 如图1-4所示。 连续型随机变量的分布函数的几何意义是，分布函数等于位于x 左方的分布密度曲线下的面积。 根据定义，随机变量的分布函数F（x）具有以下性质： （i）F(x)是一个非减函数，即若x1 （iii） F(-∞)＝) ( lim x F x-∞ →＝0, F(+∞)＝) ( lim x F x+∞ → ＝1 （iv）对任意实数a和b（a P(a<ξ≤b)＝P(ξ≤b）-P(ξ≤a）＝F(b)– F(a) 三、正态分布（Gauss 高斯分布） 1.正态分布的定义 随机变量的分布形式有多种，但最重要，最常用的是所谓的正态分布。自然界中许多随机变量的分布均服从正态分布。此外，还有许多随机变量近似服从正态分布。正态分布的数学表达式首先由高斯（Gauss）给出，所以也叫高斯分布。 设随机变量ξ的分布密度函数为 p(x 2 2 () 2 2 xμ σ σπ - - （-∞ 其中μ和σ都是常数，且σ>0，则称ξ服从参数为μ和σ2的正态分布，记作N（μ，σ2）。为方便起见，常把随机变量ξ服从参数为μ和σ2的正态分布简记为ξ～ N（μ，σ2）。 正态分布的分布函数 为 F （x ）＝ 22 ()22t x e dt μσσπ -- -∞ ? （-∞ 特别的，当μ＝0和σ＝1时称ξ服从标准正态分布，记作ξ～N(0，1)。此时，其分布密度函数用?（x ）表示，即 ?（x ）＝ 2 221x e -π (-∞ 相应地，分布函数用Φ（x ）表示，即 Φ（x ）＝ dt e t x 2 221- ∞ -? π (-∞ 正态分布是一种十分重要的分布，在实际上也是最常见的一种分布，如产品的质量指标、人的身高、体重及测量的误差等一般认为是服从正态分布的。 （面相、手相、算命等传统民间文化，实质上就是把人的一生的命运按概率分布函数进行计算和推测！可是，这些分布密度函数---经验公式的适用条件是什么？？？） 2. 正态分布密度函数的特点 （i ） p(x ）≥0； （ii ） 1)(=?+∞ ∞ -dt t p ； （iii ） p(x)的图形对称于x ＝μ； （iv ） 当x ±∞→时 p(x)0→； （v ） 在x ＝μ处，p(x ）有极大值 π σ21 。 μ和σ是正态分布的两个重要参数,决定着正态分布密度曲线的位置和形状。μ决定位置，σ决定形状。 3.正态分布的概率计算 标准正态分布函数Φ(x ）＝ dt e t x 2 221- ∞ -? π 在实际工作中广泛应用， 但它难以直接进行积分运算，通常是查表，参见书后的附表1。 若ξ～N(0，1)，对任意a dt e t b a 2 221- ? π ＝Φ(b)－Φ(a) Φ(b ）和Φ(a ）可从附表1中查得。 若ξ～N(μ，σ2)，对任意α<β，有 P （α<ξ≤β）＝()()βμαμ σσ --Φ-Φ 四、随机变量的数字特征（数学期望、方差） 我们知道，随机变量的分布函数（或分布密度、分布律）能很好地描述随机变量的统计特征，但对于一个实际的问题要找出一个随机变量的分布函数（或分布密度、分布律）不是一件很容易的事；另外，在实际上有时也并不要求出随机变量的分布函数，而只要知道随机变量的某些特征就可以了。它能部分地描述分布函数的特征。反映随机变量的分布情形的某些特征数字，我们称为随机变量的数字特征。最常用且最重要的两种数字特征是数学期望和方差。 1．数学期望（均值） （1）数学期望的概念 例：设对某食品的水分进行了n 次测量，其中有m 1次测得结果为x 1，有m 2次测得结果为x 2，……，有m k 次测得结果为x k ，则测定结果的平均值为 (1 n =ξx 1m 1+x 2m 2+……+x k m k )=n m x i k i i ∑=1 其中n=m 1+m 2+……+m k ＝∑=k i i m 1 ，m i 为x i 出现的频数， n m i 为x i 出现的频率。 因此，所求平均值为得到的诸量值以其出现的频率为权的加权平均。由于频率具有偶然性，所以我们用频率的稳定值——概率代替频率，就消除了偶然性，从本质上反映了随机变量的平均值。习惯上，我们把这个平均值称为随机变量ξ的数学期望或均值。数学期望的意思是通过大量观察，可以期望这个随机变量取这个值。下面分别讨论离散型和连续型两种随机变量的数学期望的定义及其性质。 （2）离散型随机变量的数学期望 定义：设ξ为离散型随机变量，其分布率为 如果级数i i i p x ∑=1 绝对收敛，则称级数i i i p x ∑=1 为随机变量ξ的数学期望 （或均值）并记作E （ξ），即 E （ξ）＝i i i p x ∑∞ =1 显然，对于分布已经确定的随机变量来说，随机变量的数学期望是一个常数。如果级数i i i p x ∑∞ =1发散，则称ξ的期望不存在。 数学期望是算术平均值概念的拓广，说得明确些，就是概率意义下的平均，因而也称数学期望为均值。 （3） 连续型随机变量的数学期望 定义：设连续型随机变量ξ的分布密度为p （x ），若广义积分 ?+∞ ∞ -dx x xp )(绝对收敛，则 E （ξ）＝?+∞ ∞ -dx x xp )( 称为连续型随机变量ξ的数学期望。 例：设ξ～N （μ，2σ），求E （ξ） 解：E （ξ）＝?+∞ ∞ -dx x xp )( ＝22 ()2x dx μσ-+∞ - -∞ ?＝μ ∴正态分布N （μ，2σ）中的参数μ就是ξ的数学期望。 （4） 数学期望的性质 （i ） 若C 为常数，则E （C ）＝C （ii ） 若ξ为一随机变量，C 为常数，则 E （C ξ）＝C E(ξ)， E （C ＋ξ）＝E （ξ）＋C （iii ） 若ξ1和ξ2为两个同类随机变量(同为离散型或连续型随机 变量)则 E （ξ1+ξ2）＝E （ξ1）+E （ξ2） （iv ） 若ξ和η为相互独立的随机变量，则 E （ξ?η）＝E （ξ）? E （η） 2.方差 （1）方差的概念 随机变量ξ的数学期望E （ξ）反映了随机变量取值的平均水平， 但在许多实际中，只知道ξ的数学期望是不够的，还要知道ξ的取值偏离期望的程度。为此，引进方差的概念。 定义：设ξ为一随机变量，如果其数学期望E（ξ）存在，则称[ξ-E（ξ）]为随机变量的ξ的离差。离差的平方的数学期望称为随机变量ξ的方差，记作 D（ξ），即 D（ξ）＝E{[ξ-E（ξ）]2} 显然，对任意随机变量有D（ξ）≥0。[ξ-E（ξ）]2是随机变量ξ的函数，是一个新的随机变量，它的期望表示这个新的随机变量取值的平均情况。D（ξ）大，则ξ与E（ξ）的偏差也大，离散程度越大。故D（ξ）定义域很好地反映了方差是描述随机变量ξ与E（ξ）的偏离情况，也便于数学上的分析。 方差的算术平方根) D(ξ称为ξ的标准差或均方差，记作σ（ξ）＝) D(ξ.与数学期望一样，对有确定分布的随机变量来说，方差也是一个常量。 （2）离散型随机变量的方差 设离散型随机变量ξ的分布律为Array 则D（ξ）＝E{[ξ-E（ξ）]2}＝∑∞ [x k-E（ξ）]2 p（x k） k =1 （3）连续型随机变量的方差 若ξ为连续型随机变量，p（x）为分布密度，则 [x-E（ξ）]2 p（x）dx D（ξ）＝E{[ξ-E（ξ）]2}＝?+∞ ∞ - 方差D（ξ）表示ξ取值对E（ξ）的偏离程度，即ξ取值的发散程度，D（ξ）越大，表示ξ取值越发散，反之，表示ξ取值越集中在E（ξ）的附近。 例：设ξ～N（μ，2σ），求D（ξ）. 解：∵E （ξ）＝μ ∴D （ξ）＝E{[ξ-E （ξ）]2} ＝?+∞ ∞-[x-E （ξ）]2 p （x ）dx ＝22 ()2 2()x x dx μσμ-+∞ --∞ -? ＝2σ 即D （ξ）＝2σ （4）方差的性质 （i ）C=常数， D （C ）＝0 （ii ）D （C ξ）＝C 2 D （ξ） D （C+ξ）＝D （ξ） （iii ）ξ和η相互独立 D （η+ξ）＝D （η）+D （ξ） （iv ）D （ξ）＝E （ξ2）- [E （ξ）]2 1.2 统计量及其分布 一．基本概念 1、总体与样本 （1）总体与个体 在数理统计学中，我们把研究对象的全体称为总体，把构成总体的每一个个别对象称为个体。我们可以把一个总体看作某一随机变量ξ全部取值的集合。 如果一个总体ξ服从正态分布，即ξ～N（μ，2 ），则称ξ为正态总体。 （2）样本与样本容量 从总体中抽取一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量。 从总体中随机地抽取n个个体（ξ1、ξ2……ξn），则（ξ1、ξ2……ξn）为总体的一个样本。样本中个体数目n为样本容量。由于（ξ1、ξ2……ξn）是从总体中随机抽取的，所以ξ1、ξ2……ξn分别为n 个随机变量。在一次实际抽取之后，样本（ξ1、ξ2……ξn）得到一组具体的数值（x1、x2……x n），称为样本（ξ1、ξ2……ξn）值，即样本（ξ1、ξ2……ξn）的一个观察值。 （3）简单随机样本 样本通常只占总体的很小部分，因此，可以认为每次抽取一个个体之后，总体的分布并不会发生改变。这说明，样本（ξ1、ξ2……ξn）都是与总体ξ同分布的；其次，如果样本的抽取是随机进行的，并不掺杂人的主观倾向造成的偏差，那么每个个体被抽到的机会都是均等的（即ξ1、ξ2……ξn相互独立）。符合上述2个条件的抽样方法称为简单随机抽样，所获得的样本成为简单随机样本。显然简单随机样本具有2个性质： ○1代表性；○2独立性 2、统计量 当我们得到了总体ξ的一个样本（ξ1、ξ2……ξn）时，为了推得总体的一些性质，往往需要对所取得样本做一些运算，即构成样本 的某种函数，这种函数称为统计量。因为样本是随机变量，所以作为样本的函数的统计量也是一个随机变量。 在数理统计中，常用的统计量是样本均值、样本方差和极差，它们都是样本的数字特征。 若（ξ1、ξ2……ξn ）为总体ξ的一个样本，如果样本的函数f （ξ1、ξ2……ξn ）不包含其它未知参数，则称f （ξ1、ξ2……ξn ）为总体的一个统计量。又若（x 1，x 2，……x n ）为样本（ξ1、ξ2……ξn ）的一组观测值，则函数值 f （x 1、x 2……x n ）为统计量f （ξ1、ξ2……ξn ）的一个观测值。 设从总体中随机抽取一个容量为n 的样本，样本值为x 1、x 2……x n ，则称 ∑==n i i x n x 1 1 为样本均值，称 ∑=--=n i i x x n S 1 22 )(11 为样本方差（S 称为样本均方差或样本标准差），称 R ＝max （x 1、x 2……x n ）－min （x 1、x 2……x n ） 为样本极差。 样本均值是描述数据的平均状态或集中位置的，样本方差是描述数据的波动情况或离散程度的，极差则是表示数据离散程度的最简单方法。 二．统计量的分布 1.样本均值（ξ）的分布 设（ξ1、ξ2……ξn ）为来自正态总体ξ～N （μ，2σ）的一个 样本，样本均值为∑==n i i n 1 1ξξ，则可证明 ξ～N （μ，2σ/n ） 2 U n ξσ -≡ ～N （0，1） 这说明样本均值ξ的取值比总体ξ的取值更紧密地集中在总体均值μ的周围，集中的程度与样本容量n 的大小有关。 2.2χ分布 若（ξ1、ξ2……ξn ）为来自正态总体ξ～N （μ，2σ）的一个容量为n 的样本，又若2σ为已知，可以证明，由样本方差S 2构造的统计量 (n －1)S 2/2σ 是自由度为n-1的2χ变量，即(n －1)S 2/2σ服从自由度为n-1的2χ分布，记作 2χ=(n －1)S 2 /2σ～2χ（n －1） 其中∑=--=n i i n S 1 22 )(11ξξ 随机变量的分布密度 ??? ????<≥-Γ=-----)0(0) 0() 2 1(21 )(212121 1x x e x n x p x n n n 3. t 分布 设（ξ1、ξ2……ξn ）为来自正态总体ξ～ N （μ，2σ）的样本，可以证明统计量 /t S n ξ-≡ 服从自由度为n －1的t 分布，记作 /t S n ξ-≡ ～t （n －1） 随机变量t 的分布密度为 )() 11()2 1()1()2 ()(2 21+∞<<-∞-+-Γ-Γ=--x n x n n n x p n n π 自由度f ＝n －1 t 变量用于对正态总体均值的估计和检验。 定理：设（ξ1、ξ2……ξn ）为来自正态总体N （μ1，2σ）的一个样本，(η1、η2……ηn )为来自正态总体N （μ2，2σ）的一个样本，且这两个样本相互独立，则统计量 1212(2)12 ~11n n w t s n n ξη+-+ 式中 ∑==n i i n 11ξξ ∑==n i n 1 i 1ηη 2)1()1(2122 22112-+-+-= n n s n s n s w ∑=-=-=1 12121 )(11n i i n s ξξ ∑=-=-=2 12222 )(11n i i n s ηη 该定理主要用于两个正态总体的期望值有无差异的推断，或估计它们的期望值之差的场合。 4． F 分布 设（ξ1、ξ2……ξn ）与(η1、η2……ηn )是分别取自两个相互独立的正态总体ξ～N （μ1，21σ）和η～N （μ2，22σ）的样本，则统 计量22 222 121//σσs s 服从第一自由度f 1＝n 1－1，第二自由度f 2＝n 2－1的F 分 布，记作 22 222 121//σσs s F =～F(n 1－1，n 2-1) 其分布密度为 ???? ?????≤>+-+ΓΓ+Γ=-)0(0) 0(221)1()()2()2()2()(211222 12121),(1121x x n n x n n x n n n n n n x p n n f f f 1=n 1-1, f 2=n 2-1 特别地,若2221σσ= 则有 22 2 1s s F =～F(n 1-1,n 2-1) F 变量用于两个正态总体方差异同的检验。 1.3 参数估计 数理统计的基本任务是以样本为依据来推断总体的统计规律性。在实际工作中，我们会遇到两个方面的问题： 1.通过实践或理论上的推导，大体上掌握了总体ξ的分布类型，但其中的分布参数未知，因而需要根据样本对参数进行估计； 2.有些实际问题不要求掌握总体ξ的分布，只需知道总体ξ的数学期望和方差等数字特征。这都需要我们去探讨如何根据样本的数据对总体ξ的未知参数作出科学的估计，这就是参数估计问题。 参数估计通常有两种方法，即点估计（以样本的某一函数的某一函数值作为总体中未知参数的估计值）和区间估计（将总体的数字特征按照一定的概率确定在某一范围之内）。 一、参数的点估计 1、问题的提出： 前面讨论统计量时，提到样本均值和样本方差的概念。那么是否可用样本均值和样本方差去估计总体均值和总体方差呢？理论上可证明：当样本容量n无限增大时，样本均值和总体均值之比及样本方差和总体方差之比皆无限趋近于1。因此，可以用样本均值和样本方差去估计总体均值和总体方差。 点估计是在样本上进行的，设F(x,θ)为总体ξ的分布函数，其中x为变量，θ为参数，(ξ1、ξ2、…ξn)是来自总体的一个样本，现用样本函数θ)(ξ1、ξ2、…ξn)去估计θ，我们称θ)为参数θ的一个点估计量，而称θ为待估参数。若（x1、x2、...、x n）为一个样本值，代入估计量θ)中，就得到θ的具体数据，这个数据称为参数θ的估计值。 由于统计量是随机变量，对于不同的样本值，待估参数θ的估计值θ)也不同。我们总是希望统计量能够尽可能准确的表达参数的真值。为了这个目的，我们规定了一些评价估计值优劣的标准，来衡量包括点估计在内的估计方法的优劣。 2、估计量的评价 （1）估计的无偏性： 估计值θ)与参数真值θ可能不同，但我们有理由要求θ) 应该围绕着待估参数θ摆动，即应有E(θ) )＝θ。符合这个条件的估计量θ) 称为参数θ的无偏估计量。 例1-5 证明样本均值ξ是总体ξ数学期望E(ξ)的无偏估计量 证：E(ξ)＝E （ ∑=n i i n 1 1 ξ）＝∑=n i i E n 1)(1ξ＝)(1ξE n n ??＝E(ξ) 即样本均值ξ的数学期望E(ξ)等于总体ξ的数学期望E(ξ)，根据定义，所以ξ是总体ξ数学期望E(ξ)的无偏估计量。 例1-6 证明S 2 ＝∑=--n i i n 1 )(11ξξ2 是D(ξ)的无偏估计量； S*2 ＝∑=-n i i n 1 )(1ξξ2不是D(ξ)的无偏估计量。 证明过程见p26～27。 E(S 2)＝D （ξ），E(S*2)＝ n n 1 -D （ξ）。 所以：用S 2比用S*2估计总体方差更好些。 （2）估计的有效性 无偏性是估计量好坏的评价标准之一。但是一个总体参数的无偏估计量并不是唯一的，换言之，同一个总体参数可能有两个或者两个以上的无偏估计量。如果要比较同一参数的两个无偏估计量的好坏，自然应该在样本容量相同的条件下，看哪一个估计量摆动更小，这就是有效性的概念。 设θ)1和θ)2是同一参数θ的无偏估计量，如果D(θ)1)< D(θ) 2)，就说θ) 1比θ) 2更有效。 例1-7 比较正态总体均值E(ξ)的两个估计量ξ＝ n 1∑=n i i 1 ξ 和1ξα=的有 效性。 解：因为D(ξ)＝D （ n 1 ∑=n i i 1 ξ)= 21 n ∑=n i i D 1 (ξ)= 21n n 2 σ=n 2σ 又因D(α)=D(1ξ)=2σ 所以D(ξ) 概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________. * 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 《 概率论与数理统计》练习题一 一、判断正误，在括号内打√或× 1．n X X X ,,,21 是取自总体),(2 N 的样本，则 n i i X n X 1 1 服从)1,0(N 分布； 2．设随机向量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其边缘分布函数)(x F X 是)0,(x F ； 3．（√）设 ＜＜x x |， 20|＜x x A ， 31|＜x x B ，则B A 表示 10|＜＜x x ； 4．若事件A 与B 互斥，则A 与B 一定相互独立； 5．对于任意两个事件B A 、，必有 B A B A ； 6．设A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； 7．（√）B A 、为两个事件，则A B A AB ； 8．（√）已知随机变量X 与Y 相互独立，4)(, 8)( Y D X D ，则4)( Y X D ； 9．（√）设总体)1,(~ N X ， 1X ,2X ,3X 是来自于总体的样本，则3216 3 6161?X X X 是 的无偏估计量； 10．（√）回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关关系。 二、填空题 1．设C B A 、、是3个随机事件，则事件“A 和B 都发生而C 不发生”用C B A 、、表示为C AB 2．设随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则 EX DX p 1: 3． ,, , 0,1)(其他b x a a b x f 是 均匀 分布的密度函数； 4．若事件C B A 、、相互独立，且25.0)( A P ，5.0)( B P ，4.0)( C P ，则)(C B A P =分布函数； 5．设随机变量X 的概率分布为 则 a )()(Y D X D ； 6．设随机变量X 的概率分布为 概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望 《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计. 第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。 1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。 第一章 概率论的基本概念 习题一 随机试验、随机事件 一、判断题 1.()A B B A =?- （ ） 2.C B A C B A =? （ ） 3.()φ=B A AB （ ） 4.若C B C A ?=?，则B A = （ ） 5.若B A ?，则AB A = （ ） 6.若A C AB ?=,φ,则φ=BC （ ） 7.袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则 （1）事件“含有红球”为必然事件； （ ） （2）事件“不含白球”为不可能事件； （ ） （3）事件“含有白球”为随机事件； （ ） 8.互斥事件必为互逆事件 （ ） 二、填空题 1. 一次掷两颗骰子， （1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为 ； （2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为 。 2.化简事件()()() =???B A B A B A 。 3.设A,B,C 为三事件，用A,B,C 交并补关系表示下列事件： （1）A 不发生，B 与C 都发生可表示为 ； （2）A 与B 都不发生，而C 发生可表示为 ； （3）A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为 ； （4）A,B,C 都发生或不发生可表示为 ； （5）A,B,C 中至少有一个发生可表示为 ； （6）A,B,C 中至多有一个发生可表示为 ； （7）A,B,C 中恰有一个发生可表示为 ； （8）A,B,C 中至少有两个发生可表示为 ； （9）A,B,C 中至多有两个发生可表示为 ； （10）A,B,C 中恰有两个发生可表示为 ； 三、选择题 1.对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ ）。 A 、A 与D 是互不相容的 B 、A 与 C 是相容的 C 、B 与C 是相容的 D 、B 与D 是相互对应的事件 2.下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（ ） A 、A ABC =； B 、A C B A =??； C 、A BC ? ； D 、C B A ?? 第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题 您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题 您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题 您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题 模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件 表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对 于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概 率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。 三、（10分）已知，求证 四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查 到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数： 五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为 5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？ 六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是： 如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。 九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算 得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别 取和0.01，已知， ） 十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下： 一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=< 第一章《随机事件及概率》练习题 一、单项选择题 1、设事件 A 与 B 互不相容，且 P (A )＞ 0， P (B )＞ 0，则一定有（ ） （A ） P(A) 1 P(B) ； （B ）P(A|B) P(A) ； （C ） P(A| B) 1； （D ） P(A|B) 1。 2、设事件 A 与 B 相互独立，且 P (A )＞ 0， P (B )＞ 0，则（ ）一定成立 （A ） P(A|B) 1 P(A)； （ B ） （C ） P( A) 1 P(B) ； （ D ） P(A|B) 0； P(A|B) P(B)。 3、设事件 A 与 B 满足 P (A )＞ 0， P ( B )＞ 0，下面条件（ ）成立时，事件 A 与 B 一定独立 （ A ） （ C ） P( AB) P( A)P(B) ； （B ） P( A B) P( A)P(B) ； P(A|B) P(B) ； （D ） P(A|B) P(A)。 4、设事件 A 和 B 有关系 B A ，则下列等式中正确的是（ ） （ A ） （ C ） P( AB) P( A) ； （B ） P(B|A) P(B)； （D ） P(A B) P(A)； P(B A) P(B) P( A) 。 5、设 A 与 B 是两个概率不为 0 的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是（ ） （A ） A 与 B 互不相容； （B ） A 与 B 相容； （C ） P(AB) P(A)P(B)； （D ） P(A B) P(A)。 6、设 A 、B 为两个对立事件，且 P (A ) ≠0， P (B ) ≠0，则下面关系成立的是（ ） （A ） P( A B) P( A) P( B)； （B ） P( A B) P(A) P(B)； （C ） P( AB ) P( A) P( B) ； （D ） P(AB) P(A)P(B)。 7、对于任意两个事件 A 与 B ， P( A B) 等于（ ） （A ） P( A) P( B) （B ） P( A) P(B) P( AB) ； （C ） P( A) P( AB) ； （D ） P(A) P(B) P(AB) 。 二、填空题 1、若 A B ， A C ，P (A )=0.9， P(B C) 0.8，则 P( A BC ) =__________。 2、设 P (A )=0.3，P ( B )=0.4，P (A|B )=0.5，则 P (B|A )=_______ ， P( B | A B ) =_______。 、已知 P( A) 0.7 ， P(A B) 0.3 ，则 P(AB) 。 3 4、已知事件 A 、 B 满足 P( AB) P( A B) ，且 P( A) p ，则 P( B) = 。 5、一批产品，其中 10 件正品， 2 件次品，任意抽取 2 次，每次抽 1 件，抽出后不再放回，则第 2 次抽出 第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生； （4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B （4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++== <概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率 为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=， 《概率论与数理统计》 试卷A （考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷） （注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效） 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =， 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5 概率论与数理统计习题及答案 习题一 1.见教材习题参考答案. 2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C （1）A发生，B，C都不发生； （2）A与B发生，C （3）A，B，C都发生； （4）A，B，C （5）A，B，C都不发生； （6）A，B，C （7）A，B，C至多有2个发生； （8）A，B，C至少有2个发生. 【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC （4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC (5) ABC=A B C(6) ABC (7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC 3.. 4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）. 【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7, （1）在什么条件下P（AB （2）在什么条件下P（AB） 【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6. （2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3. 6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率. 【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) = 14+14+13-112=34 7. 52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？ 【解】 p =5332 131313131352C C C C /C 8. （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）= 517=（17 ）5 （亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故 P （A 2）=5567 =(67)5 (3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日} P （A 3）=1-P (A 1)=1-( 17 )5 9..见教材习题参考答案. 10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n 习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10 【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%, 概率论与数理统计复习题--带答案 ;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）； 9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000概率论与数理统计期末复习资料(学生)
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