立体几何及解题技巧以及空间距离专题复习

α

n

A ?

P

?O

?h

A

B

C

D α β

l

知识点整理

(一)平行与垂直的判断

(1)平行：设,αβ的法向量分别为,u v ，则直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面 线线平行l ∥m ?a ∥b a kb ?=；线面平行l ∥α?a u ⊥0a u ??=； 面面平行α∥β?u ∥v .u kv ?=

(2)垂直：设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ的法向量分别为,u v ，则 线线垂直l ⊥m ?a ⊥b 0a b ??=；线面垂直l ⊥α?a ∥u a ku ?=； 面面垂直α⊥β?u ⊥v .0=??v u

(二)夹角与距离的计算 注意：以下公式可以可以在非正交基底下用，也可以在正交基底下用坐标运算 (1)夹角：设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ的法向量分别为,u v ，则

①两直线l ,m 所成的角为θ(02π

θ≤≤),cos a b a b

θ?=；

②直线l 与平面α所成的角为θ(02

π

θ≤≤),sin a u a u

θ?=

；

③二面角α─l ─β的大小为θ(0θπ≤≤),cos .u v u v

θ?=

(2)空间距离

点、直线、平面间的距离有种.点到平面的距离是重点,两异面直线间的距离是难, ① 点到平面的距离h :(定理)如图，设n 是是平面α的法向量，AP 是平面α的一条斜线，

其中A α∈则点P 到平面α的距离 ② h =

||||

AP n n ?(实质是AP 在法向量n 方向上的投影的绝对值)

③ 异面直线12,l l 间的距离d :||||

CD n d AB n ?==

(12,l l 的公垂向量为n ,C D 、分别是12,l l 上任一点).

题型一：非正交基底下的夹角、距离、长度的计算

例1．如图，已知二面角α-l -β的大小为1200

，点A ∈α，B ∈β，AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，且AC=CD=DB=1. 求：（1）A 、B 两点间的距离；

（2）求异面直线AB 和CD 的所成的角 （3）AB 与CD 的距离. 解：设,c DB ,b CD ,a AC ===则

,60,,90,,,1||||||00>=<>=>=<<===

（1）()

2a c 2c b 2b a 2c b a c b a |AB |2

222

=?+?++?+++=++=∴

，

∴ A 、B 两点间的距离为2.

（2）异面直线AB 和CD 的所成的角为600

（3）设与AB 、CD 都垂直的非零向量为c z b y a x n ++=，

由AB n ⊥得0z 3y 2x 30)c b a ()c z b y a x (=++?=++?++①； 由CD n ⊥得0y 0b )c z b y a x (=?=?++②，

令x=1，则由①、②可得z=-1，∴c a n -=，由法则四可知，AB 与CD 的距离为

()

2

1c a |

n ||AC |

n ||

d 2

=

-=

=

?=. 小结：任何非正交基底下的证明、计算都先设基底，并将条件也用基底表示，特别证明线面平行时，如AB//平面PEF 可以将AB 有基底表示，PE ，PF 也用基底表示，最后用待定系数法PF PE AB μ+λ=，将λ和μ求出。 例2。如图，在三棱锥A —BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD =3，BD =CD =1。另一个侧面ABC 是正三角形. （1）求证：AD ⊥BC ；

（2）求二面角B —AC —D 的大小；

（3）在段线AC 上是否存在一点E ,使ED 与面BCD

成30°角？若存在，确定点E 的位置；若不存 在，说明理由.

20．解法一：

（1）方法一：作AH ⊥面BCD 于H 连DH.

AB ⊥BD ?HB ⊥BD ，∵AD =3，BD =1

∴AB =2=BC =AC ∴BD ⊥DC

又BD =CD ，则BHCD 是正方形， 则DH ⊥BC.∴AD ⊥BC ，

方法二：取BC 的中点O ，连AO 、DO ， 则有AO ⊥BC ，DO ⊥BC . ∴BC ⊥面AOD ，∴BC ⊥AD

（2）作BM ⊥AC 于M ，作MN ⊥AC 交AD 于N ， 则∠BMN 就是二面角B —AC —D 的平面角. ∵AB =AC =BC =2，∴M 是AC 的中点，且MN //CD . 则BM =

.2

321,2121,26====AD BN CD MN 由余弦定理得arccos ,362cos 222=∠∴=?-+=∠BMN MN BM BN MN BM BMN 3

6

.

（3）设E 为所求的点，作EF ⊥CH 于F ，连FD ，则EF//AH ，

∴EF ⊥面BCD ，∠EDF 就是ED 与面BCD 所成的角，则∠EDF =30°， 设EF =x ，易得AH =HC =1，则CF =x ，FD =21x +.

,12,22

,331tan 2====+==

∠∴x CE x x

x FD EF EDF 则解得

故线段AC 上存在E 点，且CE =1时，ED 与面BCD 成30°角.

解法二：

（1）作AH ⊥面BCD 于H ，连BH 、CH 、DH ，则四边形BHCD 是正方形，且AH =1， 以D 为原点，以DB 为x 轴，DC 为y 轴建立空间直角坐标系如图， 则B （1，0，0），C （0，1，0），A （1，1，1）.

.

,0),1,1,1(),0,1,1(AD BC DA BC DA BC ⊥=?∴=-=则

（2）设平面ABC 的法向量为1n =),,(z y x ，

).

1,1,1(.0;0:11111-==+=⊥⊥=+-=?⊥n z x CA n CA n y x BC n BC n 可取知同理由知则由 同理，可求得平面ACD 的一个法向量为)1,0,1(2-=n . 由图可以看出，二面角B —AC —D 的大小应等于><21,n n

cos 则><21,n n =

3

6

2

3101|

|||2121=

?++=

n n n n ，即所求二面角的大小是.36arccos （3）设E （x ，y ，z ）是线段AC 上一点，则,1,0=>=y z x 平面BCD 的一个法向量为),,1,(),1,0,0(x x DE n == 要使ED 与面BCD 成30°角，由图可知n DE 与的夹角为60°，

.30,1,.12,2

2

,,212.

21

60cos 21|

|||,cos 22

角成与面时且点上存在故线段则解得则所以 BCD ED CE E AC x CE x x x x x

n DE n DE n DE ====

+===+=

>=

< 题型二、利用坐标系或几何法解决距离、角度及其证明问题

例3、如题（18）图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，2

BAD π

∠=

，

2CD AD ==，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD ，

3,7FC ED ==．求：

（Ⅰ）直线AB 到平面EFCD 的距离；

E

（Ⅱ）二面角F AD E --的平面角的正切值． 解法一:

（Ⅰ）

,AB DC DC ?平面EFCD , ∴AB 到面EFCD 的距离等于点A 到面EFCD 的距离，过点A 作

AG FD ⊥于G ，因2

BAD π

∠=

AB ∥DC ，故CD AD ⊥；又FA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理可知，

CD FD ⊥，故CD FAD ⊥面，知CD AG

⊥，所以AG 为所求直线

AB 到面EFCD 的距离

在

Rt ABC △中，FD =

==

由FA ⊥平面ABCD

，得FA ⊥AD ，从而在Rt △FAD 中，

1FA

=

=

∴5

FA AD AG FD ?=

==

。即直线AB 到平面EFCD 。 （Ⅱ）由己知，FA ⊥平面ABCD ，得FA ⊥AD ，又由2

BAD π

∠=

，知AD AB ⊥，故AD ⊥平面ABFE

∴DA AE ⊥，所以，FAE ∠

为二面角F AD E --

的平面角，记为θ.

在

Rt AED △中,AE ==,由ABCD 得,FE BA ,

从而2

AFE

π

∠=

在

Rt AEF △中,

FE =

= ,故tan

FE

FA

θ=

=所以二面角F AD E --.

解法二: （Ⅰ）如图以A 点为坐标原点,,,AB AD AF 的方向为,,x y z 的正方向建立空间直角坐标系数,则

A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设00(0,0,)

(0)F z z >可得0(2,2,)FC

z =-,由|FC

3=,解得(0,0,1)

F AB ∥DC ，

DC ?面EFCD ,所以直线AB 到面EFCD 的距离等于点A 到面EFCD 的距离。设A 点在平面EFCD 上的射

影点为111(,,)G x y z ,则111(,,)AG x y z = 因0AG DF ?=且0AG CD ?=,而(0,2,1)DF =-

(2,0,0)CD =-,此即111

2020y z x -+=??-=? 解得10x =① ,知G 点在yoz 面上,故G 点在FD 上.

GF DF ,111(,,1)GF x y z =---+故有

1112y z =-+② 联立①,②解得,24

(0,,)55

G . ∴||AG 为直线AB 到面EFCD 的距离. 而24

(0,,)55

AG = 所以25||5AG =

（Ⅱ）因四边形ABFE 为平行四边形,则可设00(,0,1)

(0)E x x <,0(2,1)ED x =-- .

由

||7ED =

=解得0x

=.即(E .故(AE =-

由(0,2,0)AD =,(0,0,1)AF =因0AD AE ?=,0AD AF ?=,故FAE ∠为二面角F AD E --的平面角，又

(2,0,0)EF =,||2EF =,||1AF =,所以||

tan 2||

EF FAE FA ∠=

=例3、如图,四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形， 侧面SBC ⊥底面ABCD.已知∠ABC ＝45°，AB ＝2，BC=22， SA ＝SB ＝3.

(1)证明：SA ⊥BC ；

(2)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小.

求异面直线DC 、SA 的距离.

解: (1)作AE BC ⊥于E 点,则

cos 2cos 452

AE BE AB ABE ==?∠=?=

又∵BC=22

∴

12BE BC =

,

即E 点是BC 的中点. 又∵SEA SB ??? ∴90SEB SEA ∠=∠=, 即SE 是BC 的中垂线. 又∵侧面SBC ⊥底面ABCD ∴SE AC ⊥面. (2) 以E 为原点,分别以向量

,,EA EB ES 的正方向为x 轴、

y 轴、z 轴的非负半轴,建立空间直角坐标系

,如图4所示. 容

易求得

SE=1,于是

,0),S(0,0,1),E(0,0,0). 设平面SAB 的法向量

(x,y,z)n =,

∵(2,0,1)SA =-,

SB=(0,2,-1)

∴2-0

2-0n SA x z

n SB y z ??==??

?==??

令z =得(1,1,2)n =. 又∵

(2,1)SD =--

设直线SD 与平面SAB 所成的角为θ,则

2sin 11SD n SD n

θ?=

=

=?

∴

22arcsin

11θ=.

题型三、探索性问题

已知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB ⊥平面BCD ，

∠ADB=60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且).10(<<==λλAD

AF AC

AE

（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？ 21．证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD ，

∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ，∴CD ⊥平面ABC.………………………………3分 又),10(<<==λλAD AF AC AE

∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ?平面BEF,

∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC …………．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ， ∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC.………………8分 ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°， ∴,660tan 2,2===

AB BD

,722=+=∴BC AB AC 由AB 2

=AE ·AC 得,7

6,7

6==∴=AC

AE AE λ

故当7

6

=

λ时，平面BEF ⊥平面ACD.………………………………………………12分 22.（2009卷理）（本小题满分12分）

如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点。

（Ⅰ）求证：AC ⊥SD ；

（Ⅱ）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P-AC-D 的大小

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E,使得BE ∥平面PAC 。若存在，求SE ：EC 的值；若不存在，试说明理由。

解法一：（Ⅰ）连BD ，设AC 交BD 于O ，由题意SO AC ⊥。在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，所以AC SBD ⊥平面,得AC SD ⊥.

(Ⅱ)设正方形边长a ，则2SD a =

。

又2

2

OD a =

，所以060SOD ∠=,

连OP ，由（Ⅰ）知AC SBD ⊥平面,所以AC OP ⊥, 且AC OD ⊥,所以POD ∠是二面角P AC D --的平面角。 由SD PAC ⊥平面,知SD OP ⊥,所以0

30POD ∠=,

即二面角P AC D --的大小为0

30。

（Ⅲ）在棱SC 上存在一点E ，使//BE PAC 平面

由（Ⅱ）可得2

4

PD a =

，故可在SP 上取一点N ,使PN PD =,过N 作PC 的平行线与SC 的交点即为E 。连BN 。在BDN 中知//BN PO ，又由于//NE PC ,故平面//BEN PAC 平面，得//BE PAC 平面,由于21SN NP =：：,故21SE EC =：：

. 解法二：（Ⅰ）；连BD ,设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，

，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如图。 设底面边长为a ，则高6

SO a =

。 于是 62(0,0,

),(,0,0)22S a D a -2(0,,0)2C a 则：2(0,,0)2OC a =26(,0,)22

SD a a =-- 0OC SD ?=

故OC SD ⊥从而AC SD ⊥

(Ⅱ)由题设知，平面PAC 的一个法向量26(

,0,)22DS a a =，平面DAC 的一个法向量6

)0,0,)2

OS a =，设所求二面角为θ，则3cos OS DS OS DS

θ?=

=

,所求二面角的大小为0

30 （Ⅲ）在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面.

由（Ⅱ）知DS 是平面PAC 的一个法向量， 且 2626

,0,),(0,,)22DS a a CS a a =

=-（ 设 ,CE tCS =则 226(,(1),)BE BC CE BC tCS a a t at =+=+=-- 而1

03

BE DC t ?=?=

即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥ 而BE 不在平面PAC ，故//BE PAC 平面故21SE EC =：：. 题型四：翻折问题

（本题满分15分）如图， 在矩形ABCD 中，点,E F 分别在线段,AB AD 上，

2

43

AE EB AF FD ===

=.沿直线EF 将 AEF 翻折成'A EF ，使平面'A EF BEF ⊥平面.

（Ⅰ）求二面角'

A FD C --的余弦值；

（Ⅱ）点,M N 分别在线段,FD BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与'A 重合，求线段FM 的长。

解析：本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。

（Ⅰ）解：取线段EF 的中点H ，连结'A H ，因为'A E ='A F 及H 是EF 的中点，所以'A H EF ⊥,

又因为平面'A EF ⊥平面BEF . 如图建立空间直角坐标系A-xyz 则'A （2，2，22），C （10，8，0）， F （4，0，0），D （10，0，0）.

故'FA →

=（-2，2，22），FD →

=（6，0，0）.

设n →

=（x,y,z ）为平面'

A FD 的一个法向量，

-2x+2y+22z=0 所以

6x=0. 取2z =

，则(0,2,2)n =-。

又平面BEF 的一个法向量(0,0,1)m =，故3

cos ,3

n m n m n m ??=

=。 所以二面角的余弦值为

3

（Ⅱ）解：设,FM x =则(4,0,0)M x +，

因为翻折后，C 与A 重合，所以'CM A M =，

故，222222

(6)80=2222x x -++--++（）（），得21

4

x =

， 经检验，此时点N 在线段BC 上，所以214

FM =。 方法二：

（Ⅰ）解：取线段EF 的中点H ,AF 的中点G ,连结',',A G A H GH 。 因为'A E ='A F 及H 是EF 的中点，

所以'A H EF ⊥

又因为平面'A EF ⊥平面BEF ， 所以'A H ⊥平面BEF , 又AF ?平面BEF , 故'A H ⊥AF ，

又因为G 、H 是AF 、EF 的中点， 易知GH ∥AB ， 所以GH ⊥AF ， 于是AF ⊥面'A GH ，

所以'A GH ∠为二面角'A DH C --的平面角， 在'Rt A GH 中，'A H =22GH =2，'A G =23所以3cos 'A GH ∠=

. 故二面角'A DF C --的余弦值为33

。 （Ⅱ）解：设FM x =,

因为翻折后，C 与'A 重合，

所以'CM A M =，

而22222

8(6)CM DC DM x =+=+-，

222222'''A M A H MH A H MG GH =+=++2(22)=

得214

x =

， 经检验，此时点N 在线段BC 上， 所以214

FM =

。 1、如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=

1

2

AD (I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (II) 证明平面AMD ⊥平面CDE ；

（III ）求二面角A-CD-E 的余弦值。 方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE ，所以∠CED （或其补角）为异面直线BF 与

DE 所成的角。设P 为AD 的中点，连结EP ，PC 。因为FE //=AP ，所以FA //=EP ，同理AB //=

PC 。又FA ⊥平面ABCD ，所以EP ⊥平面ABCD 。而PC ，AD 都在平面ABCD,故EP

⊥PC ，EP ⊥AD 。由AB ⊥AD ，可得PC ⊥AD 设FA=a ，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=a 2，故∠CED=60°。所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°

（II ）证明：因为.CE MP MP .CE DM CE M ⊥⊥=，则连结的中点，所以

为且DE DC .CDE AMD CDE CE .AMD CE M DM MP 平面，所以平面平面而平面，故又⊥?⊥= （

III

）

因为，所以因为，的中点，连结为解：设.CD EQ DE CE .EQ PQ CD Q ⊥= .E CD A EQP CD PQ PD PC 的平面角为二面角，故，所以--∠⊥=

由（I ）可得，.2

2

26EQ a PQ a PQ EP ==

⊥，， ，

中，于是在3

3

cos EPQ Rt ==

∠?EQ PQ EQP 方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，

点A 为坐标原点。设，1=AB 依题意得()，，，001B ()，，，011C ()，，，020D ()，，，110E ()，，，100F .21121M ???

?

?，，

（I ）()，，，解：101B F -=()，

，，110DE -= .2

1

221

00DE

BF DE cos =?++=

=

，于是BF

所以异面直线B F 与DE 所成的角的大小为0

60.

（II ）证明：，，，由??

? ??=21121AM ()，，，101CE -=()0AM CE 020AD =?=，可得，，， .AMD CE A AD AM .AD CE AM CE .0AD CE 平面，故又，因此，⊥=⊥⊥=?

.CDE AMD CDE CE 平面，所以平面平面而⊥?

（III ）?????=?=?=.

0D 0)(CDE E u CE u z y x u ，

，则，，的法向量为解：设平面

.111(1.00），，，可得令，

于是==?

??=+-=+-u x z y z x

又由题设，平面ACD 的一个法向量为).100(，，

=v .33

1

3100cos =?++=?=

v u v u v u ，所以， 2、在四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝1。

（1）求证：平面CBD ⊥平面ABD ；

（2）是否存在这样的四面体，使二面角C —AD —B 的平面角为30°？如果存在，求出CD 的长；如果不存在，请找出一个角θ，使得存在这样的四面体，使二面角C —AD —B 的平面角为θ。 解：（1）∵AB ⊥BC ，AB ⊥BD

∴⊥平面，又面AB BCD AB ABD ?

∴面ABD ⊥面CBD

（2）设CD ＝x ，在面CBD 作CE ⊥BD 于E 由（1）知平面ABD ⊥面BCD ，且BD 为交线 ∴CE ⊥平面ABD

作EF ⊥AD 于F ，连结CF ，则CF ⊥AD

∴∠CFE 为“二面角”C —AD —B 的平面角，且∠CFE ＝30° 又在Rt △BCD 中，CE ·BD ＝CB ·CD

∴CE x x x x =

?+=

+11

122

又∵CD ⊥BC ，又BC 为AC 在面BCD 上射影 ∴CD ⊥AC

则在Rt △ACD 中，CF ·AD ＝AC ·CD

∴CF x x =

+222

在中，∠·Rt CEF CFE CE

CF

x x x x x x ?sin ==

++=++=

2

22

2

122

221

12

解出，无实数解。x 2

3=-

故不存在这样的四面体，使二面角C —AD —B 的平面角为30°

又∠·，sin CFE x x x =

++=

++∈?? ??

?

2

222

21

1211

1221

∴∠，CFE ∈?? ???

π

π42

故θ可以取45°～90°之间的任意角。

3、如图，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD=2a ，2AD a =点E 是

SD 上的点，且(02)DE a λλ=<≤

（Ⅰ）求证：对任意的(0,2]λ∈，都有AC BE ⊥ （Ⅱ）设二面角C —AE —D 的大小为θ

，直线BE 与平面ABCD 所成的角为?，若

tan tan 1θ?=，求λ的值

解：（Ⅰ）证法1：如图1，连接BE 、BD ，由地面ABCD 是正方形可得AC ⊥BD 。

SD ⊥平面ABCD ，∴BD 是BE 在平面ABCD 上的射影，∴AC ⊥BE （Ⅱ）解法1：如图1，由SD ⊥平面ABCD 知，∠DBE=?,

SD ⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD,∴SD ⊥CD 。

又底面ABCD 是正方形，∴ CD ⊥AD ，而SD ? AD=D ，CD ⊥平面SAD. 连接AE 、CE ，过点D 在平面SAD 作DE ⊥AE 于F ，连接CF ，则CF ⊥AE ， 故∠CDF 是二面角C-AE-D 的平面角，即∠CDF=θ。

在Rt △BDE 中，BD=2a ，DE=a

λtan 2DE BD λ

?∴=

=

在Rt △ADE 中,

22,,2AD a DE a AE a λλ==∴=+

从而

222AD DE a

DF AE λλ?=

=+

在Rt CDF ?中，22tan CD DF λθ+==

.

由tan tan 1θ??=，得2222.12222λλ

λλ+=?+=?=.

由(0,2]λ∈，解得2λ=

，即为所求.

（I ） 证法2：以D 为原点，,,DA DC DS 的方向分别作为x ，y ，z 轴的正方向建立如 图2所示的空间直角坐标系，则

D （0，0，0），A （2，0，0），B （2a ，2a ，0），C （0，2a ，0），

E （0，0a λ），

∴(2,2,0),(2,2,)AC a a BE a a a λ=-=-- ∴222200AC BE a a a λ?=-+?=，

即AC BE ⊥。

（II ） 解法2：

由（I ）得(2,0,),(0,2,),(2,2,)EA a a EC a a BE a a a λλλ=-=-=--.

设平面ACE 的法向量为n=(x ，y ，z)，则由n EA

EC ⊥⊥，n 得 0,2x z 0,

z 2n(,,2)0,2y z 0,n EA n EC λλλλ???=-=??=??

?=-=???

?即取，得。 易知平面ABCD 与平面ADE 的一个法向量分别为(0,0,2)DC a DS a ==与（0，2,0）.

2

2

sin ,cos 4

22

DC n DS BE DS BE

DC n

λ

?θλλ??∴=

=

=

=

??++.

0<θ，,02

π

?λ<

>，

222tan tan sin cos 22

4

22

π

θ?θ??θλλλ∴??+=

?=?

=

?=++.

由于(0,2]λ∈，解得2λ=，即为所求。

4、已知在四边形ABCD 中，AD //BC ，AD =AB =1，45,90BCD BAD ∠=∠=°，将△ABD 沿对角线BD 折起到如图所示PBD 的位置，使平面PBD BCD ⊥平面.

⑴求证：CD PB ⊥；⑵求二面角P BC D --的余弦值大小； ⑶求点D 到平面PBC 的距离.

解：（1）折叠前，在直角梯形ABCD 中，易知∠CBD=∠ADB=45°

又∠BCD=45°

∴∠BDC=90°，即CD ⊥BD

折叠后，在三棱锥P —BCD 中，CD ⊥BD ，且平面PBD ⊥平面BCD ，BD 为交线 ∴CD ⊥平面PBD ∴CD ⊥PB

（2）取BD 中点O ，作OE ⊥BC 于E ，连PO ，PE ∵PB=PD ∴PO ⊥BD

又平面PBD ⊥平面BCD ，BD 为交线 ∴PO ⊥平面BCD 在平面BCD 射影为OE

由三垂线定理PE ⊥BC

∴∠PEO 是二面角P —BC —D 平面角

（3）设D 到平面PBC 距离为h

或者：由（1）知PB ⊥CD 又PB ⊥PD ∴PB ⊥面

PDC

∴面PDC ⊥面PBC ，PC 为交线 过D 作DH ⊥PC ，则DH ⊥面PBC ∴DH 即为D 点到面PBC 的距离

空间距离专题复习

题型一：两条异面直线间的距离

【例1】如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离；

【规解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线.

(2)在Rt △BEF 中，BF =

a 23

,BE =a 2

1, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 2

12

，即EF =a 22.

由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为

a 2

2

. 【例2】如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED .

∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB .

∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离.

∵CE =23,∴CF =FD =21,∠EFC =90°,EF =2221232

2

=??? ??-???

? ??. ∴AB 、CD 的距离是

2

2

. 【解后归纳】求两条异面直线之间的距离的基本方法：

（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.

（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.

例1题图

例2题图

（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面，可以转化为求两平行平面的距离. 题型二：两条异面直线间的距离

【例3】如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离； 过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长与CD 相交于E ，连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ， ∴O 是△BCD 的中心，∴BO =

3

2BE =332332=

?. 又AB ＝1，且∠AOB =90°,∴AO =363312

22=???

?

??-=-BO AB .∴A 到平面BCD 的距离是36. 【例4】

在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =

2

π,AB =a ,AD =3a 且sin ∠ADC =55,又PA ⊥平面ABCD ,PA =a ,

求：(1)二面角P —CD —A 的大小;(2)点A 到平面PBC 的距离.

【规解答】 (1)作AF ⊥DC 于F ,连结PF , ∵AP ⊥平面ABCD ,AF ⊥DC ,∴PF ⊥DC ,

∴∠PFA 就是二面角P —CD —A 的平面角. 在△ADF 中,∠AFD =90°,∠ADF =arcsin

55

,AD =3a ,∴AF =5

3a , 在Rt △PAF 中tan ∠PFA =

3535=

=a a AF PA ,∴∠PFA =arc tan 3

5

. (2)∵PA ⊥平面ABCD ,∴PA ⊥BC ,又BC ⊥AB ,

∴BC ⊥平面PAB ,作AH ⊥PB ,则BC ⊥AH ,∴AH ⊥平面PBC ,∵PA ⊥AB ,PA =AB =a ,

∴PB =2a ,∴AH =a 2

2. 【例5】 如图，所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，

CC 1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求点C 到平面AEC 1F 的距离.

解法1：（Ⅰ）过E 作EH//BC 交CC 1于H ，则CH=BE=1，EH//AD ，且EH=AD. ∵AF ∥EC 1，∴∠FAD=∠C 1EH. ∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1.

∴DF=C 1H=2..6222=+=

∴DF BD BF

（Ⅱ）延长C 1E 与CB 交于G ，连AG ， 则平面AEC 1F 与平面ABCD 相交于AG. 过C 作CM ⊥AG ，垂足为M ，连C 1M ，

由三垂线定理可知AG ⊥C 1M.由于AG ⊥面C 1MC ， 且AG ?面AEC 1F ，所以平面AEC 1F ⊥面C 1MC.

在Rt △C 1CM 中，作CQ ⊥MC 1，垂足为Q ，则CQ 的长即为C 到面AEC 1F 的距离.

.11

33

417

12317

123,17

121743cos 3cos 3,.

17,1,2

2

1

1

221=+

?

=

?=

∴=?

===∠=∠=+===MC CC CM CQ GAB MCG CM MCG GAB BG AB AG BG CG

BG

CC EB 知由从而可得由

解法2：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0）， A （2，0，0），C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）. ∵AEC 1F 为平行四边形，

例3题图

B A

C

D

1

A

1

B 1

C

1

A .

62,62||).

2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,

11的长为即于是得由为平行四边形由BF F z z EC F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴

（II ）设1n 为面AEC 1F 的法向量，)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然

???=+?+?-=+?+??????=?=?02020140,0,011y x y x n n 得由??

???-==∴???=+-=+.41,1,022,014y x x y 即

111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为a ，则11114cos ||||

CC n CC n α?=

=

? ∴C 到平面AEC 1F 的距离为.11

33

4333343cos ||1=?==αCC d

【例6】

正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。

（1）求点1B 到直线AC 的距离.（2）求直线1AB 到平面BD C 1的距离． 解：（1）连结BD ，D B 1，由三垂线定理可得：AC D B ⊥1， 所以D B 1就是1B 点到直线AC 的距离。 在BD B Rt 1?中,6810222211=-=-=

BC C B BB 34=BD ．

2122121=+=∴B B BD D B ．

（2）因为AC 与平面BD 1C 交于ＡＣ的中点Ｄ， 设E BC C B =?11，则1AB //DE ，所以1AB //平面BD C 1， 所以1AB 到平面BD 1C 的距离等于Ａ点到平面BD 1C 的距离，等于Ｃ点到平面BD 1C 的距离，也就等于三棱 锥1BDC C -的高，BDC C BDC C V V --=11 ，

13

1

311CC S hS BDC BDC ??=∴，131312=∴h ，即直线1AB 到平面BD 1C 的距离是131312． 【解后归纳】求空间距离注意三点：

1．常规遵循一作二证三计算的步骤； 2．多用转化的思想求线面和面面距离； 3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．

【例4】如图，在长方体AC 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；

（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4

π. 解析：法1

（1）∵AE ⊥面AA 1DD 1，A 1D ⊥AD 1，∴A 1D ⊥D 1E

（2）设点E 到面ACD 1的距离为h ，在△ACD 1中，AC=CD 1=5，AD 1=2， 故.2121,232152211=??==-??=

??BC AE S S ACE C AD 而 1111

1131,1,.33223

D AEC

AEC AD C V S DD S h h h -??∴=?=?∴?=?∴=

1

A

（3

）过D 作DH ⊥CE 于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H ⊥CE ， ∴∠DHD 1为二面角D 1—EC —D 的平面角. 设AE=x ，则BE=2－x

11,, 1.

4

,,,

Rt D DH DHD DH Rt ADE DE Rt DHE EH x π

?∠=

∴=?=∴?=在中在中在中

.

4

,32.

32543.

54,3122π

的大小为二面角时中在中在D EC D AE x x x x x x CE CBE Rt CH DHC Rt ---=∴-=?+-=

+∴+-=?=?

法2：以D 为坐标原点，直线DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，设AE=x ，则A 1(1，0，1)，D 1(0，0，1)，E(1，x ，0)，A(1，0，0), C(0，2，0).

（1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111D DA x D DA ⊥=-=所以因为 （2）因为E 为AB 的中点，则E （1，1，0），

从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=D ，)1,0,1(1-=AD ， 设平面ACD 1的法向量为),,(c b a n =，

则?????=?=?,

0,01AD n 也即???=+-=+-002c a b a ，得???==c a b a 2， 从而)2,1,2(=n ，所以点E 到平面AD 1C 的距离为.3

1

3212|

|1=-+=

=n h （3）设平面D 1EC 的法向量),,(c b a n =， ∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD D x

由???=-+=-??????=?=?.0)2(0

2,

0,01x b a c b CE n D 令b =1, ∴c=2,a =2－x ，

∴).2,1,2(x n -=依题意.2

25

)2(22

2

4

cos

211=

+-?=

=

x π ∴321+=x （不合，舍去），322-=x . ∴AE=32-时，二面角D 1—EC —D 的大小为

4

π

. 一、基础夯实

1.把边长为a 的正△ABC 沿高线AD 折成60°的二面角，则点A 到BC 的距离是 ( )

A.a

B.

a 26 C.a 33 D.a 4

15 2.△ABC 中，AB =9，AC =15，∠BAC =120°.△ABC 所在平面外一点P 到三个顶点A 、B 、C 的距离都是14，那么点P 到平面α的距离为 ( )

A.7

B.9

C.11

D.13

3.从平面α外一点P 向α引两条斜线PA ,PB .A ,B 为斜足,它们与α所成角的差是45°,它们在α的射影长分别是2cm 和12cm ,则P 到α的距离是 ( )

A.4cm

B.3cm 或4cm

C.6cm

D.4cm 或6cm

4.空间四点A 、B 、C 、D 中，每两点所连线段的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则P 与Q 的最短距离为 ( ) A.a 2

1 B.a 2

2 C.a 2

3 D.a

5.在四面体P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直.M是面ABC一点，且点M到三个面PAB、PBC、PCA的距离分别为2、

3、6，则点M到顶点P的距离是( )

A.7

B.8

C.9

D.10

6.如图，将锐角为60°，边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线折成60°的二面角，则AC与BD的距离是

( )

A.a

4

3

B.a

4

3 C.a

2

3 D.a

4

6

7.如图，四棱锥P—ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD＝1，设点C到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，则有( )

A.1

B.d1

C.d1<1

D.d2

8.如图所示，在平面α的同侧有三点A、B、C，△ABC的重心为G.如果A、B、C、G到平面α的距离分别为a、b、c、d，那么a+b+c等于( )

A.2d

B.3d

C.4d

D.以上都不对

9.如图，菱形ABCD边长为a，∠A=60°，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点且2

=

=

=

=

DG

CG

FB

CF

HD

AH

EB

AE

，沿EH和FG把菱形的两锐角折起，使A、C重合，这时点A到平面EFGH的距离是( )

A.

2

a

B.a

2

2 C.a

2

3 D.a

6

15

二、思维激活

10.二面角α-MN-β等于60°，平面α一点A到平面β的距离AB的长为4，则点B到α的距离为.

11.在60°的二面角α—l—β中，A∈α,AC⊥l于C，B∈β，BD⊥l于D，又AC=BD=a,CD=2a，则A、B两点间距离为.

12.设平面α外两点A和B到平面α的距离分别为4cm和1cm，AB与平面α所成的角是60°，则线段AB的长是.

13.在直角坐标系中,已知A(3,2),B(-3,-2)沿y轴把直角坐标系折成平面角为α的二面角A—Oy—B后,∠AOB=90°，则cosα的值是.

三、能力提高

14.在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求点E到

平

面PBC的距离．

15.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB为直角，侧面AB1与侧面AC1所成的二面角为60°，

第6题图

第7题图

第8题图

第9题图

第15题图

M 为AA 1上的点.∠A 1MC 1=30°，∠BMC 1=90°，AB =a . (1)求BM 与侧面AC 1所成角的正切值. (2)求顶点A 到面BMC 1的距离.

16.已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直.∠ABC =90°,BC =2,AC =23,且

AA 1⊥A 1C ,AA 1=A 1C .

（1）求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小;

（2）求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小; （3）求顶点C 到侧面A 1ABB 1的距离.

17.如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 与BC 的中点，EF 与BD 交于H .

(1)求二面角B 1—EF —B 的大小.

(2)试在棱B 1B 上找一点M ，使D 1M ⊥面EFB 1，并证明你的结论. (3)求点D 1到面EFB 1的距离.

空间的距离习题解答

1.D 折后BC =2a ,∴点A 到BC 的距离为41542

2a a a =??

?

??-.

2.A BC =21120cos 159215922=???-+. ∴△ABC 外接圆半径R =

37120sin 221

=?

,

∴点P 到α的距离为.7)37(1422=-

3.D 设PO ⊥α垂足为O ,|PO |=x cm ,∠OAP =β,∠OBP =γ,那么β-γ=45°,

tan β=

2x ,tan γ=12

x

,tan (β-γ)=tan 45° 展开左边并整理得:x 2

-10x +24=0,解得x 1=6,x 2=4.

4.B P 、Q 的最短距离即为异面直线AB 与CD 间的距离，当P 为AB 的中点，Q 为CD 的中点时符合题意.

5.A PM =7632222=++.

6.C 取BD 的中点O 连AO 、OC ，作OE ⊥AC 于E ，则OE 为所求，∴AO =CO =AC =2

3a . 7.D 点C 到平面PAB 的距离d 1=

2

2, 点B 到平面PAC 的距离d 2=

332

1

122

1=+

?

， ∵

12

233<<,∴d 2

312

2=+-+-

c b a c

b d .∴a +b +

c =3

d . 9.A 设BD 的中点为O ，

第17题图

∴EO =6760cos 232232

2a a a a a =???-??

?

??+??? ??，点A 到平面EFGH 的距离为23679422a a a =-. 10.2 作AC ⊥MN 于C ，连BC ，则BC ⊥MN ，

∴∠ACB =60°，又MN ⊥平面ABC ，

∴平面ABC ⊥平面α，作BD ⊥AC 于D ，则BD ⊥α， ∴BD 的长即为所求，得BD =2．

11.a 3AB =a a a a a a 360cos 2)2(222=????-++. 12.23cm 或

3

3

10cm 当点A 、B 在α同侧时，AB =3260sin 3

=?;

当点A 、B 在α异侧时，AB =3

3

1060sin 5=

? 13.9

4

如图,AB ″=26)32(22222=+=+OB OA ∵BC ⊥y 轴,B ′C ⊥y 轴,

∴∠B ′CB ″为二面角A —Oy —B 的平面角. ∠B ′CB ″=α,在△B ′CB ″中,B ′C =B ″C =3,

B ′B ″=104262=-,由余弦定理易知cos α=9

4

.

14.如图，将点E 到平面PBC 的距离转化成线面距，再转化成点面距. 连AC 、BD ，设AC 、BD 交于O ，则EO ∥平面PBC ， ∴OE 上任一点到平面PBC 的距离相等． ∵平面PBC ⊥平面ABCD ，

过O 作OG ⊥平面PBC ，则G ∈BC ，

又∠ACB=60°，AC=BC=AB=a ， ∴OC =

2

a ,OG =OC sin60°=43a .

点评：若直接过E 作平面PBC 的垂线，垂足难以确定．在解答求距离时，要注意距离之间的相互转化有的能起到意

想不到的效果．

15.(1)∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱，∴∠BAC 为二面角B 1—AA 1—C 1的平面角， ∴∠BAC =60°.

又∵∠ACB 为直角，∴BC ⊥侧面AC 1.

连MC ，则MC 是MB 在侧面AC 1上的射影. ∴∠BMC 为BM 与侧面AC 1所成的角.

且∠CMC 1=90°，∠A 1MC 1=30°，所以∠AMC =60°. 设BC =m ，则AC =m 33

，MC =3

2m ， 所以tan ∠BMC =

2

3. 即BM 与侧面AC 1所成的角的正切值为

2

3. (2)过A 作AN ⊥MC ，垂足为N ，则AN ∥面MBC 1.

∵面MBC ⊥面MBC 1，且过N 作NH ⊥MB ，垂足为H ， 则NH 是N 到面MBC 1的距离，也就是A 到面MBC 1的距离. ∵AB =a ,AC =

2

a

,且∠A =30°，

第13题图解

第14题图解