九年级数学直角三角形相似的判定

直角三角形相似的判定

直角三角形相似的判定教学目标 1、使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用. 2、类比证明两个直角三角形全等的方法,继续渗透和培养学生对类比思想的认识和理解. 3、通过了解定理的证明方法培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力. 4、通过学习培养学生类比的意识,了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点. 重点难点 1、重点：直角三角形相似定理的应用. 2、难点：了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路. 教学过程一、复习引入师:我们学习了几种判定三角形相似的方法? 学生回答:5种. 师:哪5种? 教师找一名学生回答,另一名或两名学生补充完善. 师:其中判定定理1、2、3的证明思路是什么? 生:作相似证全等或作全等证相似. 师:同学们还记得什么是“勾股定理”吗? 生:记得. 师:请你叙述一下. 学生回答. 二、共同探究,获取新知 1.推理证明. 师:判定两个直角三角形是否全等时,除了用那些一般的方法外还可以用“HL”的方法,那么判定两个直角三角形相似是否也有类似的方法呢? 教师多媒体课件出示:

如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,=,判断Rt△ABC与Rt△A'B'C'是否相似,为什么? 师:已知一个直角三角形的斜边、一条直角边与另一个直角三角形的斜边、一条直角边对应成比例,你能判断这两个直角三角形是否相似吗? 学生思考、讨论后回答. 师:我们知道了哪些条件? 生甲:两个直角对应相等. 生乙:两边对应成比例. 师:你再添加什么条件就能证出这两个三角形相似呢? 生:还有剩下的一边也是对应成比例的. 师:为什么要这样添加呢? 生:因为添加了这个条件,就可以根据三边对应成比例的两个三角形相似判定这两个三角形相似了. 师:那么你怎么证明它们也是对应成比例的呢? 学生思考. 生:设==k,则AB=kA'B'.AC=kA'C'.根据勾股定理BC可以用含AB、AC的式子表示,进而可以用含A'B'的式子表示,再用勾股定理就得到BC=kB'C',所以就得到了三边对应成比例,这两个三角形相似. 师:你回答得太好了!现在请同学们写出具体的步骤,然后与课本上的对照,将不完善的地方改正. 学生证明并修改. 证明:设==k,则AB=kA'B',AC=kA'C'. ∵BC===k=kB'C', ∴===k, ∴△ABC∽△A'B'C'. 师:所以我们得到了判定两个直角三角形相似的一个定理: 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 2.例题. 教师多媒体课件出示: 【例】如图,∠ABC=∠CDB=90°,CB=a,AC=b.问当BD与a、b之间满足怎样的函数表达式时,以点A、B、C为顶点的三角形与以点C、D、B为顶点的三角形相似?

22.2第5课时直角三角形相似的判定-2020秋沪科版九年级数学上册教案

第5课时直角三角形相似的判定 ◇教学目标◇ 【知识与技能】了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用. 【过程与方法】类比证明两个直角三角形全等的方法,继续渗透和培养学生对类比思想的认识和理解.【情感、态度与价值观】培养学生类比的意识,了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点. ◇教学重难点◇ 【教学重点】直角三角形相似定理的应用. 【教学难点】了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路. ◇教学过程◇ 一、情境导入判定两个直角三角形全等时,除根据一般三角形全等判定定理外,还有“HL”方法.类似地,判定两个直角三角形相似,除了前面一般三角形的三个判定定理外,是否也有特殊方法呢? 二、合作探究探究点1两个直角三角形相似的“斜边、直角边”或“HL”定理典例1如图,正方形ABCD的边长为4,E,F分别是BC,CD上的两个动点(点E不与点B重合),∠AEF=90°,连接AE,AF,EF. (1)试找出图中一定相似的三角形,简要证明过程; (2)试找出图中不一定相似的三角形,并确定当其相似时点E所在的位置,简写推理过程; (3)试找出图中一定不相似的三角形,简要说明理由. [解析](1)△ABE∽△ECF. 理由:∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠C=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°, ∵∠AEF=90°,∴∠AEB+∠CEF=90°,∴∠BAE=∠CEF,∴△ABE∽△ECF. (2)当BE=CE=2时,△ABE∽△AEF或△AEF∽△ECF. 理由:∵△ABE∽△ECF,∴AB∶EC=AE∶EF, ∵BE=CE,∴AB∶AE=BE∶EF, ∵∠B=∠AEF=90°,∴△ABE∽△AEF, 同理:△AEF∽△ECF. ∴当BE=CE=2,即E是BC中点时,△ABE∽△AEF或△AEF∽△ECF.

初三数学-相似三角形的判定知识讲解

初三数学-相似三角形的判定

【本讲教育信息】一. 教学内容：相似三角形的判定二. 重点、难点怎样选择适当的定理判定三角形的相似是学习中的重点和难点。三. 知识回顾（一）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。相似三角形的对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）。（二）判定： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 ③有两个角对应相等的两个三角形相似。 ④三条边对应成比例的两个三角形相似。 ⑤一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。【典型例题】例1. 如图，△ABC中，∠A= 60，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，求证：△ADE∽△ABC。例2. 如图，过△ABC的顶点B和C，分别作AB、AC的垂线BD、CD，使交于点D，过C作CE⊥AD交AB于E，交AD于F 求证：△ACE∽△ABC 例3. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB 例4. 如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，且AE：AB=1：4，F为边AD上一点，问：当F在AD上的什么位置时，△AEF∽△CDF。

【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 判断下列各命题的真假（真命题打“T ”，否则打“F ”）（1）若一条直线截三角形的两边所得的三角形与原三角形相似，则这条直线平行于三角形的第三边（）（2）有一个锐角相等的两个等腰三角形必定相似（）（3）三组边分别平行的两个三角形必定相似（）（4）有一个锐角相等的两个直角三角形必定相似（）（5）一个顶角为?40的等腰三角形和一个底角为?70的等腰三角形相似（）（6）四个角对应相等的两个梯形必定相似（）（7）所有的菱形均相似（）（8）所有的正方形均相似（） 2. △ABC 中，∠ACB=?90，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，则与△ABC 相似而不全等的三角形的个数是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知△ABC ∽△'''C B A ，相似比为4，△'''C B A ∽△''''''C B A ，相似比为3，试问：△ ''''''C B A 与△ABC 是否相似？若它们相似，则相似比为多少？ 4. 如图，若∠EBC=∠ABD ，∠ECB=∠DAB 求证：△ABC ∽△DBE 。 5. 过△ABC 三条角平分线的交点I ，作AI 的垂线与AB 、AC 分别交于D 、E ，求证：△BID ∽△IEC 。 6. 如图，平行四边形ABCD 中，AD=10，DC=6，E 为AB 中点，F 有BC 上，则BF 长为多少时，使得△DCF ∽△DAE ？

初三数学《相似三角形》知识点归纳

初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n ；其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 则 …………a c e m b d f n a b m n k ++++++++=== 4、黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ，语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =

三角形相似的判定数学教案

三角形相似的判定数学教案三角形相似的判定数学教案一、教学目标 1．使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用． 2．继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解． 3．通过了解定理的证明方法，培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力． 4．通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点．类比学习，探讨发现三、重点及难点 1．教学重点：是直角三角形相似定理的应用． 2．教学难点：是了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路．四、课时安排 3课时五、教具学具准备多媒体、常用画图工具六、教学步骤［复习提问］ 1．我们学习了几种判定三角形相似的方法？（5种）

2．叙述预备定理、判定定理1、2、3（也可用小纸条让学生默写）．其中判定定理1、2、3的.证明思路是什么？（①作相似，证全等；②作全等，证相似） 3．什么是“勾股定理”？什么是比例的合比性质？【讲解新课】类比判定直角三角形全等的“HL”方法，让学生试推出：直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．已知：如图，在∽中，求证：∽ 建议让学生自己写出“已知、求征”．这个定理有多种证法，它同样可以采用判定定理l、2、3那样的证明思路与方法，即“作相似、证全等”或“作全等、证相似”，教材上采用了代数证法，利用代数法证明几何命题的思想方法很重要，今后我们还会遇到．应让学生对此有所了解．定理证明过程中的“都是正数，，其中都是正数”告诉学生一定不能省略，这是因为命题“若，到”是假命题（可举例说明），而命题“若，且、均为正数，则”是真命题．例4已知：如图，，，，当BD与、之间满足怎样的关系时∽．解（略）教师在讲解例题时，应指出要使∽．应有点A与C，B与D，C与B成对应点，对应边分别是斜边和一条直角边．还可提问：（1）当BD与、满足怎样的关系时∽？（答案：）

初三数学相似三角形典型例题(含问题详解)

初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。（二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质： ±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF ===

九年级数学相似三角形知识点及习题

相似三角形考点一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）： b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++?≠+++=== :)0(等比性质涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。二、有关知识点： 1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的判定定理： (1)类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定 SAS SSS AAS （ASA ） HL 相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。 6.直角三角形相似： (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8.相似三角形的传递性如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2 三、注意 1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ X ”型。 c d a b = d b c a a c b d ==或合比性质：d d c b b a ±=± ?=?=bc ad d c b a （比例基本定理）

相似三角形的判定讲义全

相似三角形的判定一、知识点讲解判定定理1：如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。判定定理2：两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似。判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。理解：（1）当给出的条件上角为主时，应考虑“两角对应相等”；当给出的条件有边有角时，应考虑“两边对应成比例，夹角相等”；当给出的条件全是边时应考虑“三边对应成比例”。（2）在利用判定定理2时，一是两边的夹角相等，如果不是夹角则不成立。二、典例分析（一）运用判定定理判定三角形相似例1 在矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于点F 。（1）求证：△ABE ∽△DFA ；（2）若AB=6，AD=12,AE=10,求DF 的长。变式练习： 1、如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似的三角形一共有（） A 、1对 B 、2对 C 、3对 D 、4对 2、具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是（） A 、有一个角是40°两个等腰三角形 B 、两个等腰直角三角形 C 、有一个角为100°的两个等腰三角形 D 、两个等边三角形例2 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD ，AB=6,BC=4,AC=5,CD=217 ,求AD 的长。

变式练习： 1、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件中不能判定△ABC ∽△AED 的是（） A 、∠AED=∠ B B 、∠ADE=∠ C C 、AB AC AE A D = D 、AC AE AB AD = 2、已知，P 是正方形ABCD 的边BC 上的点，且BP=3PC ，M 是CD 的中点，求证： △ADM ∽△MCP 。例3 如图，小正方形的边长为1，则下列选项中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（）变式练习： 1、在△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，AB=3cm ，BC=6cm ，CA=5cm ，A ＇B ＇=3cm ，B ＇C ＇=2.5cm ，A ＇C ＇=1.5cm ，则下列说法中，错误的是（） A 、△ABC 与△A ＇ B ＇ C ＇相似 B 、AB 与A ＇B ＇是对应边 C 、相似比为2：1 D 、AB 与A ＇C ＇是对应边 2、网格图中每个方格都是边长为1的小正方形，若A 、B 、C 、D 、E 、F 都是格点，试证明：△ABC ∽△DEF 。

人教版九年级下册相似三角形数学教案

相似三角形教学目标：使学生掌握相似三角形的判定与性质教学重点：相似三角形的判定与性质教学过程：一知识要点： 1、相似形、成比例线段、黄金分割相似形：形状相同、大小不一定相同的图形。特例：全等形。相似形的识别：对应边成比例，对应角相等。成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即d c b a （或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。黄金分割：将一条线段分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。这种分割称为黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。例1：（1）放大镜下的图形和原来的图形相似吗？（2）哈哈镜中的形象与你本人相似吗？（3）你能举出生活中的一些相似形的例子吗/ 例2：判断下列各组长度的线段是否成比例：（1）2厘米，3厘米，4厘米，1厘米（2）1·5厘米，2·5厘米，4·5厘米，6·5厘米（3）1·1厘米，2·2厘米，3·3厘米，4·4厘米（4）1厘米， 2厘米，2厘米，4厘米。例3：某人下身长90厘米，上身长70厘米，要使整个人看上去成黄金分割，需穿多高的高跟鞋？例4：等腰三角形都相似吗？矩形都相似吗？正方形都相似吗？ 2、相似形三角形的判断： a 两角对应相等 b 两边对应成比例且夹角相等

c 三边对应成比例 3、相似形三角形的性质： a 对应角相等 b 对应边成比例 c 对应线段之比等于相似比 d 周长之比等于相似比 e 面积之比等于相似比的平方 4、相似形三角形的应用：计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度以及等份线段例题 1 ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于点E ，交DC 于点F ，试找出图中所有的相似三角形 2如图在正方形网格上有6个斜三角形：a:ABC ； b: BCD c: BDE d: BFG e: FGH f: EFK ，试找出与三角形a 相似的三角形 3、在中，AB=8厘米，BC=16厘米，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以2厘米每秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以4厘米每秒的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B PBQ ABC 相似？ B C G

九年级数学相似三角形综合练习题及答案

九年级数学相似三角形综合练习题及答案 1．填空（本题14分）（1）若a=8cm ，b=6cm ，c=4cm ，则a 、b 、c 的第四比例项d=___；a 、c 的比例中项x=__。（2）)x 1(:x x :)x 2(-=-。则x=__________。（3）在比例尺为1：10000的地图上，距离为3cm 的两地实际距离为______公里。（4）圆的周长与其直径的比为________。（5）若35b a =，则b b a -=________。（6）若a ：b ：c=1：2：3，且6 c b a =+-，则a=________，b=_______，c=________。（7）如图1， 23DE BC AE AC AD AB ===，则（1）=AE CE ________（2）若BD=10cm ，则AD=______cm 。（3）若△ADE 的周长为16cm ，则△ABC 的周长为________。（8）若点c 是线段AB 的黄金分割点，且CB AC >，=AC AB ________，= AB BC ________。 2．选择题（本题9分）（1）根据ab=cd ，共可写出以a 为第四比例项的比例式的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 （2）若线段a 、b 、c 、d 成比例，则下列各式中一定能成立的是（） A ． c b d a = B ．b d a c = C ．b a c d = D ．a b d c = （3）如图：DE//BC ，在下列比例式中，不能成立的是（） A ． EC AE DB AD = B ．EC AE BC DE = C ．AE AC AD AB = D ．AC AB EC DB =

初三数学相似三角形知识点归纳

初三数学相似三角形知识点归纳集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]

初三数学《相似三角形》知识提纲 (孟老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n ；其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作： c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质: bc ad d c b a =?= 2. 合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： n m b a =

把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= 2 1 5-≈， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ，= ，语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形：图（2）图（3）图（4）图（5） 2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A 型 X 型由DE ∥BC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD = ==或或.

直角三角形相似判定

例、已知：在Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′中，∠C=∠C ′=90°，''''C A AC B A AB = 求证：Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′ 相似直角三角形的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 例2、如图，∠ABC=∠CDB =90°，BC=a ，AC=b . （1）当BD 与a ，b 之间满足怎样的关系式时，△ABC ∽△CDB. （2）当BD 与a ，b 之间满足怎样的关系式时，这两个三角形相似. 例3、已知：在Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′中，∠C=∠C ′=90°，CD 、C ′D ′分别是两个三角形斜边上的高，且''''C A AC D C CD =.求证：Rt △ABC ∽Rt △A ′ B ′ C ′ 例4、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，CD 是AB 边上的高，求证：（1）BD AD CD ?=2 （2）BD AB BC ?=2，AD AB AC ?=2 （3）能否根据（2）证明勾股定理？

练习： 1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，若AD=1，BD=4，则CD= 2、如图，在△ABC中，BD、CE是高，连接DE．求证：△ADE∽△ABC． 3、正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式．

(完整版)九年级数学相似三角形综合练习题及答案

九年级数学相似三角形综合练习题及答案 1．填空（本题14分）（1）若a=8cm ，b=6cm ，c=4cm ，则a 、b 、c 的第四比例项d=___；a 、c 的比例中项x=__。（2）)x 1(:x x :)x 2(-=-。则x=__________。（3）在比例尺为1：10000的地图上，距离为3cm 的两地实际距离为______公里。（4）圆的周长与其直径的比为________。（5）若 35b a =，则b b a -=________。（6）若a ：b ：c=1：2：3，且6 c b a =+-，则a=________，b=_______，c=________。（7）如图1，23DE BC AE AC AD AB ===，则（1）=AE CE ________（2）若BD=10cm ，则AD=______cm 。（3）若△ADE 的周长为16cm ，则△ABC 的周长为________。（8）若点c 是线段AB 的黄金分割点，且CB AC >，=AC AB ________，= AB BC ________。 2．选择题（本题9分）（1）根据ab=cd ，共可写出以a 为第四比例项的比例式的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 （2）若线段a 、b 、c 、d 成比例，则下列各式中一定能成立的是（） A ． c b d a = B ．b d a c = C ．b a c d = D ．a b d c = （3）如图：DE//BC ，在下列比例式中，不能成立的是（） A ． EC AE DB AD = B ．EC AE BC DE = C ．AE AC AD AB = D ．AC AB EC DB =

初三数学_相似三角形练习题

相似三角形练习题 1．如图所示，给出下列条件： ①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③ AC AB CD BC = ；④2 AC AD AB =g ．其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2.如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（） A ． AD BC DF CE = B ．BC DF CE AD = C ．CD BC EF BE = D ．CD AD EF AF = 3. 如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为 1： 4.其中正确的有：（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 4.若△ABC ∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为１∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为（） A ．1∶4 B ．1∶2 C ．2∶1 D ．１∶2 5.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（） A ．只有1个 B ．可以有2个 C ．有2个以上但有限 D ．有无数个 6.如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形 B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形 C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形 7.如图，在55?方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图② 中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（） A ．先向下平移3格，再向右平移1格 B ．先向下平移2格，再向右平移1格 C ．先向下平移2格，再向右平移2格 D ．先向下平移3格，再向右平移2格 8.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为（） A ．12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm 9.小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B 时，要使眼睛O 、准星A 、目标B 在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A 偏离到A ′，若OA=0.2米，OB=40米，AA ′=0.0015 D B C A N M O

三角形相似定理

三角形相似定理（第3课时）一、教学目标 1．使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用． 2．继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解． 3．通过了解定理的证明方法，培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力． 4．通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点．二、教学设计类比学习，探讨发现三、重点及难点 1．教学重点：是直角三角形相似定理的应用． 2．教学难点：是了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路．四、课时安排 3课时五、教具学具准备多媒体、常用画图工具、六、教学步骤［复习提问］ 1．我们学习了几种判定三角形相似的方法？（5种） 2．叙述预备定理、判定定理1、2、3（也可用小纸条让学生默写）．其中判定定理1、2、3的证明思路是什么？（①作相似，证全等；②作全等，证相似） 3．什么是“勾股定理”？什么是比例的合比性质？【讲解新课】

类比判定直角三角形全等的“HL”方法，让学生试推出：直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．已知：如图，在∽中，求证：∽ 建议让学生自己写出“已知、求征”．这个定理有多种证法，它同样可以采用判定定理l、2、3那样的证明思路与方法，即“作相似、证全等”或“作全等、证相似”，教材上采用了代数证法，利用代数法证明几何命题的思想方法很重要，今后我们还会遇到．应让学生对此有所了解．定理证明过程中的“都是正数，，其中都是正数”告诉学生一定不能省略，这是因为命题“若，到”是假命题（可举例说明），而命题“若，且、均为正数，则”是真命题．例4已知：如图，，，，当BD与、之间满足怎样的关系时∽．解（略）教师在讲解例题时，应指出要使∽．应有点A与C，B与D，C 与B成对应点，对应边分别是斜边和一条直角边．还可提问：（1）当BD与、满足怎样的关系时∽？（答案：

怎样判定直角三角形相似

8.5怎样判定三角形相似（第1课时）学情分析学生已经经历了一些平面图形的认识与探究活动，尤其是全等三角形性质的探究等活动，让学生初步积累了一定的合情推理的经验与能力，这是学生顺利完成本节学习内容的一个有利条件。本节课在教学设计过程中不能把学生当作是对相似形的性质一无所知的，而是应在充分尊重学生已有的生活经验的基础上展开富有成效的教学设计。教学目标： 1．使学生掌握判定定理1并会应用三角形相似解决一些简单的实际问题 2．继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解． 3．通过学习了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点．重点及难点教学重点：是判定定理l及应用教学难点：是了解判定定理1的证题方法与思路．教学过程：一、情境导入 https://www.360docs.net/doc/9510490512.html,/view/3cabe8d5195f312b3169a5bf.html 复习提问：1．什么叫相似三角形？什么叫相似比？ 2、根据相似三角形的定义，怎样判定三角形相似？二、探究新知我们知道，用相似三角形的定义可以判定两个三角形相似，但涉及的条件较多，需要有：三对对应角相等，三条对应边的比也都相等，显然用起来很不方便．那么从本节课开始我们来研究能不能用较少的几个条件就能判定三角形相似呢？我们已经知道，全等三角形是相似三角形当相似比为1时的特殊情况，判定两个三角形全等的定理和判定两个三角形相似的定理之间有内在的联系，不同处仅在于前者是后者相似比等于1的情况，教学时可先指出全等三角形与相似三角形之间的关系，然后引导学生自己用类比的方法找出新的命题，

三角形判定的定理一 https://www.360docs.net/doc/9510490512.html,/view/eacd794a852458fb770b561b.html 三、知识运用 1、课本41页例题是判定定理的直拉应用，应使学生熟练掌握． 2 、证明：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似．已知：如图，Rt △ABC 中，∠ABC=90o，BD ⊥AC 于点D 。（1）图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？（2）用语言叙述第（1）题的结论。（3）写出相似三角形对应边成比例的表达式。教师启发学生总结：（1）有一对锐角相等的两个直角三角形相似；（2）本题找对应角的方法是公共角及同角的余角相等；双垂 BD 2=AD ·CD ，AB 2=AD ·AC ，BC 2=CD ·CA ，BC ·AB=AC ·BD 等结论很重要，它们在计算、证明中应用很普遍，但需先证明两个三角形相似得到结论，再加以应用。该例题很重要，它一方面可以起到巩固、掌握判定定理1的作用；另一方面它的应用很广泛，并且可以直接用它判定直角三角形相似，另一方面它的应用很广泛，所以可以当作定理直接使用．四、达标检测 A 组：（你能行！）根据下列给出的条件，判定两个三角形是否相似。 1、在△ABC 和△'''C B A 中，∠A=35o，∠B=75o，∠'A = 35o，∠'B =75o，结论：理由： 2、在Rt △ABC 和Rt △'''C B A 中，∠C= ∠'C =90o，∠A=47o，∠'B =43o，结论： B 组：（你肯定行！）已知：如图，△AB C 中， D 是AC 上一点，∠ABD=∠ C 。求证：（1）△ABD ∽△ACB （2）AB 2=AD·AC B A C A C B

人教版九年级数学下册三角形相似专题讲义

第二十七章相似 1．图形的相似预习归纳两个形状，大小的图形是相似形．例题讲解【例】两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为40°，60°，那么另一个三角形的最大角为，最小角为．基础题训练 1．下列图形中，不是相似图形的是（） 2．下列说法正确的是（） A．相似三角形一定全等B．不全等的两个三角形一定不相似 C．全等三角形不一定是相似三角形D．全等三角形一定是相似三角形 3．在比例尺为1:5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地的实际距离是（） A．1250km B．125km C．12.5km D．1.25km 4．已知△ABC与△A1B1C1相似，顶点A、B、C的对应点分别是A1、B、C1，∠A=55°，∠B=100°，则∠C1的度数是（） A．55°B．100°C．25°D．不能确定5．在下面的三个矩形中，相似的是（） A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．甲、乙和丙 1cm 2cm 2cm 4cm 3cm 4cm 丙乙甲 6．如图，梯形ABCD与梯形A`B`C`D`相似（A、B、C、D的对应点分别为A`、B`、C`、D`），则α= ，β= ，x= ，y= ，z= ． A` A

7．请在方格纸中画出与原图形相似的图形． 8．如图，DE ∥BC ．（1）求 AB AD 、AC AE 、BC DE 的值；（2）证明△ADE 与△ABC 相似． 2.523 95 4E D C B A 中档题训练 9．下列五个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似； ④两个矩形相似；⑤两个正方形相似．其中正确的结论是． 10．要做甲乙两种形状相同（相似）的三角形框架，已知三角形框架甲的三边长分别为50cm 、 60cm 、80cm ，三角形框架乙的一边长为20cm ，那么，符合条件的三角形框架乙共有（） A ． 1种 B ． 2种 C ． 3种 D ． 4种 11．如图，△ABC 与△DEF 相似，∠B 、∠E 为钝角，求未知边x 、y 的长度． y x 8 24 16 14 F E D C B A

九年级数学上册相似三角形的判定-讲义

作品编号：0115230988859532558954500001 学校：秘强市景秀镇赛班家屯小学* 教师：丽景春* 班级：凤凰队参班* 学科：数学专题：相似三角形的判定重难点易错点解析判断三角形是否相似，要注意思维的完整性．题一题面：如图所示，△ABC的高AD，BE交于点F，则图中的相似三角形共有______对．金题精讲题一题面：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，想一想， (1)求证：AC2=AD·AB；BC2=BD·BA； (2)求证：CD2=AD·AD； (3)求证：AC·BC=AB·CD．

三角形相似题二题面：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，以AD为直径的半圆与BC相切于E点．求证：AB·CD=BE·EC．圆周角定理、相似三角形满分冲刺题一题面：如下图甲所示，在矩形ABCD中，AB=2AD．如图乙所示，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM，MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD，设MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值?最大值是多少? 相似多边形、二次函数题二题面：已知D是BC边延长线上的一点，BC=3CD，DF交AC边于E点，且AE=2EC．试求AF与FB的比．

利用平行线构造相似三角形题三题面：如图13－2，点P是边长为4的正方形ABCD内一点，PB=3，BF⊥BP于点B，试在射线BF上找一点M，使得以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，作图并指出相似比k的值．图13－2 相似三角形的判定

讲义参考答案重难点易错点解析题一答案：6对．金题精讲题一答案：利用三角形相似证明．题二答案：提示：连结AE 、ED ，证△ABE ∽△ECD ．满分冲刺题一答案：25= x 时，S 的最大值为252．题二答案：12 AF FB =．题三答案：如图13－3．图13－3 ∵AB ⊥BC ，PB ⊥BF ， ∴∠ABP =∠CBF ．