第二讲方程与不等式学生版
第二讲 方程与不等式
1. 等式性质：
（1）如果a b =，那么a c ±= ；
（2）如果a b =，那么ac = ；如果a b =()0c ≠，那么a
c
= . 2.（1）使方程左右两边值相等的 ，叫做方程的解. （2）一元一次方程的一般形式为 ()0a ≠.
（3）解一元一次方程的步骤：①去 ；②去 ；③移 ；
④合并 ；⑤系数化为1.
3. 解二元一次方程组的方法：有 消元和 消元法两种.
4.（1）一元二次方程的一般形式是 .
（2）解法：①直接开平方法，②配方法，③公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式
是 ， ④因式分解法.
5. 关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式为 . ①240b ac ->，方程有两个 实数根，②240b ac -=，方程有 相等的实数根，③240b ac -<，方程 实数根.
6. 若关于x 的20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么12x x += ，
1x 2x ＝ .
7. 解分式方程的一般步骤：①去分母，方程两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
8.（1）不等式的基本性质：①若a b <，则a c + b c +；
②若a b >，0c >则ac bc (或a c b
c )； ③若a b >，0c <则ac bc (或a c b
c
).
（2）一元一次不等式的一般形式为 或ax b <；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、
、移项、 、系数化为1.
（3）由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b
<）
x a
x b
<
?
?
<
?
的解集是；
x a
x b
>
?
?
>
?
的解集是；
x a
x b
>
?
?
<
?
的解集是；
x a
x b
<
?
?
>
?
的解集是.
（4）求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案.
例1：（1）解方程组：（2）解不等式：．
（3）解分式方程：=5 （4）解方程：2x2－x－1=0
变式练习1：（1）解方程组：（2）解不等式组，并用数轴表示解集．（3）解分式方程：
54410
2
236
x x
x x
-+
=-
--
．（4）解方程：x（2x－5）=4x－10
例2：（1）某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元．商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元．(i)求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价格）
(ii)商场准备用不多于2500元的资金购进A，B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？
（2）要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天．现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成，问规定日期是多少天？
（3）16．黄商超市以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件.超市为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价第降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，超市将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元.
（1）完成下表（不化简）
（2）如果超市希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价是多少元？
变式练习2：（1）为了抓住集安国际枫叶旅游节的商机，某商店决定购进A 、B 两种旅游纪念品.若购进A 种 纪念品8件，B 种纪念品3件，需要950元；若购进A 种纪念品5件，B 种纪念品6件， 需要800元.
（1）求购进A 、B 两种纪念品每件各需多少元；
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100 件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？ （3）若销售每件A 种纪念品可获利润20元，每件B 种纪念品可获利润30元，在第（2） 问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
变式练习3：已知关于x 的方程0)1(22
2=+--k x k x 有两个实数根1x 、2x ．
（1）求k 的取值范围；
（2）若12121x x x x +=-，求k 的值．
1．若m ＜n ，则下列各式正确的是（ ） A ．2m ＞2n B.m ﹣2＞n ﹣2 C.﹣3m ＞﹣3n D ．3π＞3
n
2．若关于x 的方程29
04
x x a +-+
=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a ≥ B ．2a ≤ C ．2a ＞ D ．2a ＜ 3．下列方程中，是关于x 的一元二次方程为（ ） A ．3157x x +=+ B ．
21
10x x
+-= C ．x 2
-5=0
D ．)(为常数和b a bx ax 52
=-
4．某药品经过两次降价，每瓶零售价由180元降为100元．已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x ，根据题意列方程正确的是（ ）．
A ．180（1+x ）2=100
B ．180（1﹣x 2
）=100
C ．180（1﹣2x ）=100
D ．180（1﹣x ）2
=100
5．△ABC 的一边长为5，另两边分别是方程x 2
﹣6x+m=0的两根，则m 的取值范围是（ ）． A ．m ＞
114 B ．114＜m ≤9 C ．114≤m ≤9 D ．m ≤11
4
6．不等式组13
26x x -≤??
?
的解集为（ ）．
A ．x ＞3
B ．x≤4 C．3＜x ＜4 D ．3＜x≤4
7．若一元二次方程x 2﹣2x ﹣k=0无实数根，则二次函数y=x 2
+（k+1）x+k 的图象的顶点在（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 8．若不等式组3
x m
x ≤??
>?无解，则m 的取值范围是（ ）．
A ．m ＞3
B ．m ＜3
C ．m≥3
D ．m≤3
9．某工厂现在平均每天比原计划多生产30台机器，现在生产500台机器所需时间与圆计划生产350台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x 台机器，下面所列方程正确的是（ ）
A ．50035030x x =+
B ．500350
30x x =
- C ．50035030x x =- D ．50035030
x x =
+
10．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（ ）
A ．7队
B ．6队
C ．5队
D ．4队
11．使用墙的一边，再用13m 的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m 2
的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为xm ，可得方程（ ） A ．x （13-x ）=20 B ．x?
132x -=20 C ．x （13-12x ）=20 D ．x?1322
x
-=20 12．“如果二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2
+bx+c=0有两个不相等的
实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m 、n （m ＜n ）是关于x 的方程1-（x-a ）（x-b ）=0的两根，且a ＜b ，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ） A.m ＜a ＜b ＜n B.a ＜m ＜n ＜b C.a ＜m ＜b ＜n D.m ＜a ＜n ＜b
13．李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工需步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的速度是250米/分钟，步行的速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．若他骑车和步行的时间分别为x 分钟和y 分钟，则列出的方程组是（ ）
A ．14
250802900x y x y ?+=???+=? B ．158********x y x y +=+=??? C ．152********x y x y +=+=??? D ．14
802502900
x y x y ?+=???+=?
14．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x 千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）
A ．
253520x x =- B ．2535
20x x =
- C ．253520x x =+ D ．253520x x
=
+ 15．已知实数m 是关于x 的方程x 2
﹣3x ﹣1=0的一根，则代数式2m 2
﹣6m+2值为 ． 16．已知方程
355
x a
x x =-
--有增根，则a 的值为 ． 17．已知关于x 的方程（m-1）x 2
-2x+1=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．
18．某种型号的电脑，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为3528元/台．设平均每次的降价率为x ，根据题意列出的方程是 ．
19．已知关于x 的不等式组
的整数解共有3个，则m 的取值范围是___
20．关于x 的一元二次方程kx 2
﹣（2k ﹣2）x+（k ﹣2）=0（k≠0）． （1）求证：无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）当k 取何整数时方程有整数根．
1．若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a-b+c=0，则方程的根是（）
A．1，0 B．-1，0 C．1，-1 D．无法确定
2．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
3．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣7=0，则方程变形为（）
A．（x﹣6）2=43 B．（x+6）2=43 C．（x﹣3）2=16 D．（x+3）2=16
4．不等式组
23
3
1
3
2
2
x
x
x
-≥
?
?
?
+
?-
?
＞
的解集在数轴上表示正确的是（）
5．已知方程0
2=
+
+a
bx
x的一个根是)0
(≠
a
a，则代数式b
a+的值是（）
A、-1
B、1
C、0
D、以上答案都不是
6．分式方程
3
1
1(1)(2)
x
x x x
-=
--+
的解是（）
A.x=1
B.x=-1+5
C.x=2
D.无解
7．不等式
2
a
x
x
?
?
?
＞
＜
无解，则a的取值范围是（）
A．a＜2 B.a＞2 C.a≤2 D.a≥2
8．（3分）不等式组的解集为x＜4，则a满足的条件是（）
A．a＜4 B．a=4 C．a≤4 D．a≥4
9．某班30为同学在植树节这天共种植了130棵树苗，其中男生每人种5棵，女生每人种3棵.设男生有x人，女生有y人，根据题意，列方程组正确的是（）
A.
30
35130
x y
x y
+=
?
?
+=
?
B.
530
5130
x y
x y
+=
?
?
+=
?
C.
130
5330
x y
x y
+=
?
?
+=
?
D.
30
53130
x y
x y
+=
?
?
+=
?
10．已知x=y≠-1
2
，且xy≠0，下列各式：①x-3=y-3；②
5
5
y
x
=；③
2121
x y
y x
=
++
；④2x+2y=0，其中一定
正确的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．已知x＝1是关于x的一元二次方程2x2＋ kx－1＝0的一个根，则实数k＝．
12．若关于x、y方程组
31
33
x y k
x y
+=+
?
?
+=
?
的解为x、y，且-2＜k＜4，则x-y的取值范围是．
13．已知不等式组
1,
x
x m
>
?
?
<
?有解，则实数m的取值范围是．
14．某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：
该商场计划购进两种手机若干部，共需15．5万元，预计全部销售后获毛利润共2．1万元（毛利润=（售价-进价）×销售量）
（1）该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？
（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量，已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的3倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过17．25万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．
专题：基本不等式常见题型归纳(学生版)
专题：基本不等式 基本不等式求最值 利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 三个不等式关系： （1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2 ，当且仅当a ＝b 时取等号． 上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系． 其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系 【典例1】已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则 1 12 -+b a 的最小值为 . 练习：1．若实数满足，且，则的最小值为 ． 2.若实数,x y 满足1 33(0)2xy x x +=<< ，则313 x y +-的最小值为 ． 3.已知0,0,2a b c >>>，且2a b += ，则 2ac c c b ab +-+ 的最小值为 . 【典例2】已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y x ＋y 的最大值为 ． 【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 变式：1.若,a b R +∈,且满足22 a b a b +=+,则a b +的最大值为_________. 2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 3.设R y x ∈,，142 2 =++xy y x ，则y x +2的最大值为_________ 4.已知正数a ，b 满足 19 5a b +=，则ab 的最小值为 ,x y 0x y >>22log log 1x y +=22 x y x y +-
讲义-第二章《方程与不等式》
第二章方程与不等式 ★ 2.1 一元二次方程 定义：只含有1个未知数，且未知数的最高次数是 2的整式方程。 2 整式 单项式：数或字母的乘积，如 4，a, 4a , 3????2 多项式：若干个单项式的和或差 如4a+2c, a-5b ' ?? 分式：形如方的式子，且A, B 为整式，B 中有字母。 无理式：带有广且广下含有字母的式子 3.解一元二次方程ax 2 +bx+c=0（a 丰0）的常用方法: （1）配方法：二次项系数化为 1 ?移向（把常数项移到方程右边）？配方（方程的两边各加上一次项系数 一半的平方），把方程化成（x+m ） 2=n 的形式？用直接开平方的方法求解。 6. 解题时要理解“且”和“或”的关系，且是取交集，表示都得满足，或是取并集，表示都 可以满足。例如：x-3 v 0或x+4W 0的解集是？ 7. 解含有绝对值的不等式的思路： 把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式。 在解 含有绝对值的不等式时，常用数轴来表示其解集。 8. 一元二次不等式（一般形式 ax 2+bx+c > 0或ax 2+bx+c > 0, a * 0）的解法：一元二次不等 式经过配方再开方，变成含有绝对值的不等式，最后转化成一元一次不等式（组） ，从而求 出解集。 当 m > 0 时，X < m? |x| < m ,即-m < x < m X 2> m? |x| > m 即 x > m 或 x < -m ☆你能分清不等式与不等式组的解集到底取并集还是取交集吗? 1. 2. 衔接： 有理式 代数式 （2）求根公式法：？？= -??±V ??2- 4???? 2 ，— 2 注意条件厶=b-4ac >0时，方程有2个不相等的实数根，△ =b-4ac=0 时，方程有2个相等的实数根，△ 2?? =6-4ac v 0时，方程无实数根。 （3）因式分解法或直接开平方法： 适用于缺少一次项或常数项的一元二次方程。 女口： X 2=9X ， 4 x 2=5 等 4.注意 会丢根。 ★ 2.2不等式 1. （复习）任意两个实数 a,b 具有的基本性质： a-b > 0? a > b a-b=0 ? a=b 2. 比较两个实数或代数式的大小的方法：通常用做差比较法。 方法是：把要比较的两个实数 （或代数式）做差，然后进行化简，或配方，或因式分解, 直到 能判断实数或代数式的符号为止，最后根据结果的符号来判断大小。 元二次方程的实数根或者有 2个，或者没有。例如 x 2 =2x ，不能把 x 约去，否则 a-b v 0? a v b a > b? a+c > b+c (或 a-c > b-c ) 不等式的两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。 (2) a > b ， 、?? ?? c >0? ac >bc (或??>??) 不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变 ?? ?? (3) a > b , c v 0? ac v bc (或？?v ??) 不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变 4.解一元一次不等式组的解集是求他们各自解的交集！遵循的口诀是: 5.表示不等式的解集常用 2种方法: 集合表示：性质描述 区间表示：开区间，闭区间及半开半闭区间 大大取较大 小小取较小 大小 交叉中间找 大大 小小无处找
二次函数与方程、不等式综合问题
二次函数与方程、不等式综合问题 1、在平面直角坐标系xOy 中，直线m x y +- =65经过点()n A ,2-，??? ??21,1B ，抛物线1222-+-=t tx x y 与x 轴相交于点C 、D . （1）求点A 的坐标。 （2）设点E 的坐标为??? ??0,25，若点C 、D 都在线段OE 上，求t 的取值范围。 （3）若该抛物线与线段AB 有公共点，求t 的取值范围。 2、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx ax y ++=2的开口向上，且经过点?? ? ?? 23,0A 。 （1）若此抛物线经过点?? ? ?? -21,2B ，且与x 轴相交于点E 、F 。 ①填空：b ＝ （用含a 的代数式表示）。 ②当2 EF 的值最小时，求抛物线的解析式。 （2）若2 1= a ，当10≤≤x ，抛物线上的点到x 轴的距离的最大值为3时，求 b 的值。 3、已知二次函数23)2(2)1(2++++=x t x t y ，当0=x 和2=x 时的函数值相等。 （1）求二次函数的解析式。 （2）若一次函数6+=kx y 的图像与二次函数的图像都经过点),3(m A -，求m 和k 的值。 （3）设二次函数的图像与x 轴交于点B 、C （点B 在点C 的左侧），将二次函数的图像在B 、C 点间的部分（含点B 和点C ）向左平移n （0>n ）个单位后得到的图像记为G ，同时将（2）中得到的直线6+=kx y 向上平移n 个单位，当平移后的直线与图像G 有公共点时，求n 的取值范围。 4、已知二次函数)12(221-+-=t tx x y （1>t ）的图像为抛物线1C 。 （1）求证：无论t 取何值，抛物线1C 与x 轴总有两个交点。 （2）已知抛物线1C 与x 轴交点A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），将抛物线1C 作适当的平移，得抛物线222)(:t x y C -=，平移后A 、B 的对应点分别为点),(n m D ，),2(n m E +，求n 的值。 （3）在（2）的条件下，将抛物线2C 位于直线DE 下方的部分沿直线DE 向上翻折后，连同2C 在DE 上方的部分组成一个新图形，记为图形G 。若直线b x y +- =2 1（3九年级数学第一轮复习《数与式、方程与不等式》过关测试题
数与式、方程与不定式过关测试题 一．选择题：（每小题3分，共30分） 1．2011的相反数是（ ） A ．-2011 B ．2011 C ．12011- D ．12011 2．用科学记数法表示358 000的结果是（ ） A ．358×103 B ．3.58×105 C ．0.358×106 D ．3.58×10 6 3．下列运算中，正确的是 （ ） A ．2x x x += B ．21x x -= C ．336()x x = D ．824x x x ÷= 4．若分式1 x x -有意义，则x 的取值范围是（ ）全品 中考网 A ．1x ≠ B ．1x > C ．10x x ≠≠且 D ． 1 x = 5. 2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 6．二元一次方程组2337 x y x y +=??-=?的解是（ ） A ．21x y =??=? B ．21x y =??=-? C ．1,1.x y =??=? D ．1,1.x y =-??=-? 7．已知21,x x 是方程0242 =-+x x 的两个根,则21x x +=_______;21x x =______( ) A ．4,2 B ．4,-2 C ．-4,2 D ．-4,-2 8. 用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．230y y +-= B ．2310y y -+= C ．2310y y -+= D ．2 310y y --= 9.方程(3)(1)3x x x -+=-的解是（ ） A ．0x = B ．3x = C ．3x =或1x =- D ．3x =或0x = 10．2010年12月25日，人民日报在一版重要位置刊登通讯，报道我省大力推进“四绿”工程建设，让绿色为全省人民群众带来更多实惠。“这里是满眼绿色的省份——全省森林覆盖率达63.1%，居全国第
(完整版)基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)
基本不等式 一. 基本不等式 ①公式：(0,0)2 a b a b +≥≥≥，常用a b +≥ ②升级版：22222a b a b ab ++??≥≥ ??? ,a b R ∈ 选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版 二．考试题型 【题型1】 基本不等式求最值 求最值使用原则：一正 二定 三相等 一正： 指的是注意,a b 范围为正数。 二定： 指的是ab 是定值为常数 三相等：指的是取到最值时a b = 典型例题： 例1 .求1(0)2y x x x =+<的值域 分析：x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理） 解：1()2y x x =--+- 00x x <∴->Q 1 2x x ∴-+≥=-1 2x x ∴+≤ 得到(,y ∈-∞
例2 .求12(3)3 y x x x =+>-的值域 解：123 y x x =+- （“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值） 12(3)63 x x =+-+- 330x x >∴->Q 12(3)3x x ∴ +-≥- 6y ∴≥， 即)6,y ?∈+∞? 例3.求2sin (0)sin y x x x π=+<<的值域 分析：sin x 的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当y 取到最小值时，sin x 不在范围内 解：令sin (0,1)t x t =∈， 2y t t =+ 是对钩函数，利用图像可知： 在(0,1)上是单减函数，所以23t t + >，（注：3是将1t =代入得到） (3,)y ∴∈+∞ 注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值，x 有没有在范围内， 如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。
高一数学 必修一 第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (2)-200708(解析版)
高一数学必修一第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (2) 一、选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1.使不等式23x?1?2>0成立的x的取值范围是() A. (3 2,+∞) B. (2 3 ,+∞) C. (1 3 ,+∞) D. (?1 3 ,+∞)． 2.设集合A={x||3x+1|≤4}，B={x|log2x≤3}，则A∪B=() A. [0,1] B. (0,1] C. [?5 3,8] D. [?5 3 ,8) 3.若函数f(x)=1 2cos2x+3a(sinx?cosx)+(4a?1)x在[?π 2 ,0]上单调递增，则实数a的取值范 围为 A. [1 7,1] B. [?1,1 7 ] C. (?∞,?1 7 ]∪[1,+∞) D. [1,+∞) 4.已知函数f(x)=1 2 ax2+cosx?1(a∈R)，若函数f(x)有唯一零点，则a的取值范围为 A. (?∞,0) B. (?∞,0]∪[1,+∞) C. (?∞,?1]∪[1,+∞) D. (?∞,0)∪[1，+∞) 5.已知函数f(x)={2x+4 x ?5,x>0, ?x2?3x?3,x≤0． 若函数f(x)=?x+m恰有两个不同的零点，则实 数m的取值范围是() A. (0,+∞) B. (?∞,4√3?5) C. (?∞,?2)∪(4√3?5,+∞) D. [?3,?2)∪(4√3?5,+∞) 6.已知集合A={x|x2?x?2>0},B={x|0
高中数学《一元二次函数方程和不等式》公开课优秀教学设计
课题：一元二次函数、方程和不等式（衔接课） 一、教学设计 1.教学内容解析 在现行人民教育出版社A版高中数学教材中，“一元二次不等式的解法”这一部分内容安排在《必修5》的第三章第二节，学生高二时才学习，导致高一学生在学习《必修1》的“集合”、“函数”等内容时，有一定的障碍，达不到一定的深度，初高中数学内容衔接不连贯，对于这一部分内容，老师普遍认为应调整到《必修1》之前，或是安排在《必修1》的“集合”之后，“函数”之前比较好. 本节课的产生正是基于以上原因，但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课，也不是一节复习课，而是一节衔接课，以一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式（后面称三个“二次”）三者之间的关系及其应用为核心内容，特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡. 三个“二次”是初中三个“一次”（一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）在知识上的延伸和发展，它是函数、方程、不等式问题的基础和核心，在高中数学中，许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.如，解析几何中解决直线与二次曲线位置关系问题，导数中导函数为二次函数时的许多问题等，同时，此部分内容又是培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材，本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方面. 根据以上分析，本节课的教学重点确定为 教学重点：一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用. 2.学生学情诊断 本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生，华中师大一附中是湖北省示范高中，学生基础很好，一般而言，学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题. 但是，当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候，学生往往不能正确理解题意，不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不够完整，没有形成基本的规律. 教学难点：含参数的二次方程、不等式，如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理，为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式. 3.教学目标设置 (1)理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系； (2)能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题，感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性； (3)引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，能够在本主题的学习中，逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养. 4.教学策略分析 本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”，有其重要特点：一不能靠单纯的复习；二不宜上成新课；三，必须展示基本的套路，而又不可能一次到位；四，需要立足于函数、圆
数与式、方程与不等式测试题
数与式、方程与不等式测试题 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1.下列运算正确的是（ ） A ．a ?a 3＝a 3 B ．（2a ）3＝6a 3 C ．a 6÷a 3＝a 2 D ．（a 2）3﹣（﹣a 3）2＝0 2.若2n +2n +2n +2n =2，则n=（ ） A ． ﹣1 B ． ﹣2 C ． 0 D ． 14 3. 下列实数中的无理数是（ ） A ． √1.21 B ． √?83 C ． √?332 D ． 227 4.已知5x =3，5y =2，则52x ﹣3y =（ ） A ． 34 B ． 1 C ． 23 D ． 98 5.已知???==21y x 和? ??=-=01y x 是方程1=-by ax 的解，则a 、b 的值为 （ ） A .1,1-=-=b a B .1,1=-=b a C .1,0-==b a D .0,1=-=b a 6.不等式 14 3 不等式的解法习题 1.不等式5310x x -++≥的解集是 . 2. 751<-+-x x 的解集是 3. 不等式 0)4)(3)(1)(1(2>-++-x x x x x 的解集是 . 4. 不等式x ->21的解集为A ，不等式 216616x x x -->--的解集为B ，则A 与B 的关系是 A. A B ? B. A B ? C. A B = D. A B =ΦI 5. 不等式x x 21-≥的解集为 A. {}x x |≥1 B. {}x x x |≤>12或 C. {}x x |12≤≤ D. {}x x |12≤< 6. 不等式111+<-x x 的解集是 A. {}3|->x x B. }2234|{< A. ]0,3(- B. R C. ),0()3,(∞+?--∞ D. )0,3(- 对于任意实数x ，不等式||||x x a ++->12恒成立，则 实数a 的取值范围是____________. 9. 不等式11<-x ax 的解集为), 2()1,(∞+?-∞则a 的取值范围是 A. 21>a B. 21 ++bx ax 的解集是??????<<-3121|x x ，则b a -的值是 A. 10- B. 14- C. 10 D. 14 11. 关于x 的不等式012<-++a ax ax 的解集为R ，则a 的 取值范围为 A. )0,(-∞ B. ),34()0,(+∞?-∞ C. ]0,(-∞ D. ),34(]0,(+∞?-∞ 12．设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。 微专题1 基本不等式的应用技巧 在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用． 一、加项变换 例1 已知关于x 的不等式x ＋1x －a ≥7在x >a 上恒成立，则实数a 的最小值为________． 答案 5 解析 ∵x >a ， ∴x －a >0， ∴x ＋1x －a ＝(x －a )＋1x －a ＋a ≥2＋a ， 当且仅当x ＝a ＋1时，等号成立， ∴2＋a ≥7，即a ≥5. 反思感悟 加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解． 二、平方后使用基本不等式 例2 若x >0，y >0，且 2x 2＋y 23＝8，则x 6＋2y 2的最大值为________． 答案 92 3 解析 (x 6＋2y 2)2＝x 2(6＋2y 2)＝3·2x 2 ????1＋y 23 ≤3·? ?? ??2x 2＋1＋y 2322＝3×????922. 当且仅当 2x 2＝1＋y 23，即x ＝32，y ＝422时，等号成立． 故x 6＋2y 2的最大值为92 3. 三、展开后求最值 例3 若a ，b 是正数，则????1＋b a ? ???1＋4a b 的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 答案 C 解析 ∵a ，b 是正数， ∴????1＋b a ????1＋4a b ＝1＋4a b ＋b a ＋4＝5＋4a b ＋b a ≥5＋24a b ·b a ＝5＋4＝9， 当且仅当b ＝2a 时取“＝”． 四、常数代换法求最值 例4 已知x ，y 是正数且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( ) A.1315 B.94 C ．2 D ．3 答案 B 解析 由x ＋y ＝1得(x ＋2)＋(y ＋1)＝4， 即14 [(x ＋2)＋(y ＋1)]＝1， ∴4x ＋2＋1y ＋1＝? ????4x ＋2＋1y ＋1·14 [(x ＋2)＋(y ＋1)] ＝14???? ??4＋1＋4(y ＋1)x ＋2＋x ＋2y ＋1 ≥14(5＋4)＝94 ， 当且仅当x ＝23，y ＝13 时“＝”成立，故选B. 反思感悟 通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的． 五、代换减元求最值 例5 若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3????0 板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 二次函数 1.能根据实际情境了解二次函数的意义； 2.会利用描点法画出二次函数的图像； 1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式； 2.能从函数图像上认识函数的性质； 3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向； 4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解； 1.能用二次函数解决简单的实际问题； 2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题； 一、二次函数与一元二次方程的联系 1. 直线与抛物线的交点 （1） y 轴与抛物线2y ax bx c =++得交点为()0c ， . （2） 与y 轴平行的直线x h =与抛物线2y ax bx c =++有且只有一个交点() 2h ah bh c ++，. （3） 抛物线与x 轴的交点:二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程 的根的判别式判定： ①有两个交点?0?>?抛物线与x 轴相交； ②有一个交点（顶点在x 轴上）?0?=?抛物线与x 轴相切； ③没有交点?0?时为例，二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系如下： 知识点睛 二次函数与方程、不等式综合 初三一轮复习数与式、方程与不定式过关测试题 一．选择题：（每小题3分，共30分） 1．2011的相反数是（ ）A ．-2011 B ．2011 C ．12011- D ．12011 2．用科学记数法表示358 000的结果是（ ）A ．358×103 B ．3.58×105 C ．0.358×106 D ．3.58×10 6 3．下列运算中，正确的是 （ ）A ．2x x x += B ．21x x -= C ．336()x x = D ．824x x x ÷= 4．若分式1x x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．1x ≠ B ．1x > C ．10x x ≠≠且 D ． 1 x = 5. 2()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 6．二元一次方程组2337 x y x y +=??-=?的解是（ ） A ．21x y =??=? B ．21 x y =??=-? C ．1,1.x y =??=? D ．1,1.x y =-??=-? 7．已知21,x x 是方程0242=-+x x 的两个根,则21x x +=_______;21x x =______( ) A ．4,2 B ．4,-2 C ．-4,2 D ．-4,-2 8. 用换元法解分式方程 13101 x x x x --+=-时，如果设1x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．230y y +-= B ．2310y y -+= C ．2310y y -+= D ．2 310y y --= 9.方程(3)(1)3x x x -+=-的解是（ ） A ．0x = B ．3x = C ．3x =或1x =- D ．3x =或0x = 10．2010年12月25日，人民日报在一版重要位置刊登通讯，报道我省大力推进“四绿”工程建设，让绿色为全省人民群众带来更多实惠。“这里是满眼绿色的省份——全省森林覆盖率达63.1%，居全国第一。” 福建省提出，今冬明春造林650万亩，到2013年森林覆盖率达65%以上，继续保持森林覆盖率居全国首位。并进一步增强人们的幸福指数。设从2010年起我省森林覆盖率年平均增长率为x ，则可列方程（ ） A ．63.1%(12)65%x += B ．63.1%(13)65%x += C ．263.1%(1)65%x += D ．3 63.1%(1)65%x += 二．填空题：（每小题4分，共20分） 11．分解因式：24x -＝ ． 12．请写出一个比大的负整数 ． 13． 已知22x =，则2 14x -的值是 ．14.方程4x+y=20的正整数解有_________组. 对数平均不等式 1.定义：设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b a b +->>-ln ln a b a b -- 为对数平均数. 2.几何解释： 反比例函数()()10f x x x =>的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||， MN CD x ||||轴， (),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???,,T 作()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+?? 处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知， 变形公式： )0.()(2ln ln >≥+-≥-b a b a b a b a 3.典例剖析 对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的． （一） ()0ln ln b a b a a b a ->>>-的应用 例1 （2014年陕西）设函数 )1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数． （1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++L 与()n f n -的大小，并加以证明． . （二） ()0ln ln b a b a b a ->>-的应用 例 2 设数列{} n a 的通项n a =，其前n 项的和为n S ，证明：()ln 1n S n <+． （三） ()02ln ln a b b a b a b a +->>>-的应用 例3. 设数列{}n a 的通项111123n a n =++++L ，证明：()ln 21n a n <+． （四） ()2011ln ln b a b a b a a b ->>>-+的应用 例4. （2010年湖北）已知函数()()0b f x ax c a x =++>的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-．（1）用a 表示出,b c ；（2）（略） （3）证明：()() ()1111ln 11.2321n n n n n ++++>++?+L （五） )0ln ln b a b a b a ->>>-的应用 例5. （2014福建预赛）已知1()ln(1)311f x a x x x =++ +-+． （1）（略） （2）求证：()222223411ln 21411421431414 n n n +++++>+?-?-?-?-L 对一切正整数n 均成立． 强化训练 1. （2012年天津）已知函数()()()ln 0f x x x a a =-+>的最小值为0． （1）（2）（略）（3）证明：()()12ln 212*.21 n i n n N i =-+<∈-∑ 2.（2013年新课标Ⅰ）已知函数()()()1ln 11x x f x x x λ+=+-+． 第二章 方程与不等式 ★2.1一元二次方程 1. 定义：只含有1 个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。 2. 整式 单项式：数或字母的乘积，如4，a ， 4a ， 23 aa 2 多项式 :若干个单项式的和或差 如4a+2c ，a-5b 分式：形如a a 的式子，且A ，B 为整式，B 中有字母。 √且√下含有字母的式子 3. 解一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的常用方法： （1）配方法：二次项系数化为1?移向（把常数项移到方程右边）?配方（方程的两边各加上一次项系数 一半的平方），把方程化成（x+m ）2=n 的形式?用直接开平方的方法求解。 （2）求根公式法：a =?a ±√a 2?4aa 2a 注意条件△=b 2-4ac ＞0时，方程有2个不相等的实数根，△=b 2-4ac=0时，方程有2个相等的实数根，△=b 2-4ac ＜0时，方程无实数根。 （3）因式分解法或直接开平方法：适用于缺少一次项或常数项的一元二次方程。如：x 2=9x ， 4 x 2=5等 4. 注意：一元二次方程的实数根或者有2个，或者没有。例如x 2=2x ，不能把x 约去，否则 会丢根。 ★2.2不等式 1. (复习)任意两个实数a,b 具有的基本性质：a-b ＞0?a ＞b a-b ＜0?a ＜b a-b=0?a=b 2. 比较两个实数或代数式的大小的方法：通常用做差比较法。 方法是：把要比较的两个实数（或代数式）做差，然后进行化简，或配方，或因式分解，直到能判断实数或代数式的符号为止，最后根据结果的符号来判断大小。 3.不等式的基本性质： （1）a ＞b ?a+c ＞b+c （或a-c ＞b-c ） 不等式的两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。 （2）a ＞b ，c ＞0?ac ＞bc （或a a ＞a a ） 不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变。 （3）a ＞b ，c ＜0?ac ＜bc （或a a ＜a a ） 不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。4.5. 6.解题时要理解“且”和“或”的关系，且是取交集，表示都得满足，或是取并集，表示都可以满足。例如：x-3＜0或x+4≤0的解集是？ 7.在解8.一元二次不等式（一般形式ax 2+bx+c ＞0或ax 2+bx+c ＞0，a ≠0）的解法：一元二次不等 式经过配方再开方，变成含有绝对值的不等式，最后转化成一元一次不等式（组），从而求出解集。 当m ＞0时，X 2≤m 2?|x|≤m ，即-m ≤x ≤m X 2≥m 2?|x|≥m ，即x ≥m 或x ≤-m 二次函数与一次函数、反比例函数、 一元二次方程、不等式组 课程目标： 灵活运用二次函数的性质解一元二次方程； 熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。 课程要求： 完成讲义中的练习； 完成课后配套练习。 一、二次函数与一元二次方程、不等式（组） 例1．函数（是常数）的图像与轴的交点个数为（ ） Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．1个或2个 例2.已知实数x ，y 满足x 2 ＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最大值为 . 例3.设函数y=x 2 ﹣（k+1）x ﹣4（k+5）的图象如图所示，它与x 轴交于A 、B 两点，且线段OA 与OB 的长的比为1：4，则k= _________ ． 例4. 如图10-2，是二次函数y ＝ax 2 +bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是 . 例5. 已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线2 21y x bx =++上的两点． （1）求b 的值； （2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有， 2 2y mx x m =+-m x 求出它的实数根；若没有，请说明理由； （3）将抛物线2 21y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值． 【当堂练】 1.已知二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( ) A ．a ＞0 B ．c ＜0 C ．b 2 －4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞0 2.如图所示，函数的图像与轴只有一个交 点，则交点的横坐标 ． 3.二次函数的图像与轴的交点坐标为 ． =ax2+bx+c 中，a<0，抛物线与x 轴有两个交点A （2，0）B （-1，0），则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________ 5. 抛物线与轴有 个交点，因为其判别式 0，相应二次方程的根的情况为 ． 6.关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数 与轴必然相交于 点，此时 ． 2 (2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =2 69y x x =-+-x 2 283y x x =--x 2 4b ac -= 2 3280x x -+=x 2 5mx mx m ++=25y mx mx m =++-x m =Ｏ 2014年中考数学总复习专题测试试卷（一） （数与式 方程与不等式 （试卷满分90分，考试时间 120分钟） 一、 选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分） 每一个小题都给出代号为A,B,C,D 的四个结论， 正确结论的代号写在题后的括号内.每一小题：选对得 超过一个的（不论是否写在括号内）一律得 0分。 1点A （m -4,1-2m ）在第三象限，那么 m 值是 a, b 满足方程组 a 2 b 「 3 — m ' 、2a + b = —m + 4, 3X 5^ m 2 的解x 与y 的和为0,则m 的值为 2x 3y 二 m A. B . m :: 4 C. 1 ::: m ::: 4 2 D. A. 3 B. C. D. 3.方程 2x A. - 1 1 —1 = 的解是 B . 2 或一1 C.- 2 或 3 D. 3 4. ( 2011 山东烟台）如果 J n ■- '… A. a < - 5 .(本小题 B. a < - 5 分)(2011 C. a > - 山东荷泽）实数 D. a> - a 在数轴上的位置如图所示，则 V " 「、'、； L 化简后为 5 a 1.0 A. 7 B. - 7 C. 2a - 15 D.无法确定 A. B . m -1 C . 0 D. 1 A.- 2 & （本小题5 量的四分之 一， B . 0 C. 2 D. 分）（2011浙江）中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均 所以我们为中国节水，为世界节水.若每人每天浪费水 0.32L ,那么 （ D. 3.2 X 104L 万人每天浪费的水，用科学记数法表示为 A. 3.2 X 107L B. 3.2 X 106L C. 3.2 X 105L 9.在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图.如 100 ) 其中只有一个是正确的，把 4分，不选、 选错或选出的代号 6.已知 则a - b 的值为 7.若方程组 研究性学习资料 不等式解法、 - 3 - 题型1：解含绝对值的不等式 1.解不等式：①|2x+51 |≥21 ；②|4x-3|<21 2.设全集U=｛x||x -2|>1｝，A ＝{x||x +1|≤1}，则C U A 等于 （ ） A 、｛x|x <-2或x >0｝ B 、｛x|x <1或x ＞3｝ C 、{x|x <-2或0＜x ＜1或x >3} D 、｛x|1不等式的解法(学生、答案)
高中数学必修1 第二章 方程与不等式微专题1
二次函数与方程、不等式综合.讲义
九年级数学第一轮复习《数与式方程与不等式》过关测试题
对数平均不等式学生
讲义-第二章《方程与不等式》
【讲义】二次函数与一次函数、一元二次方程、不等式(组)
数与式方程与不等式1
不等式学生版