2021高考数学平面解析几何解答题专题

专题12平面解析几何解答题

历年考题细目表

题型年份考点试题位置

解答题2019 抛物线2019年新课标1理科19

解答题2018 椭圆2018年新课标1理科19

解答题2017 椭圆2017年新课标1理科20

解答题2016 圆的方程2016年新课标1理科20

解答题2015 抛物线2015年新课标1理科20

解答题2014 椭圆2014年新课标1理科20

解答题2013 圆的方程2013年新课标1理科20

解答题2012 抛物线2012年新课标1理科20

解答题2011 抛物线2011年新课标1理科20

解答题2011 圆的方程2011年新课标1理科22

解答题2010 椭圆2010年新课标1理科20

历年高考真题汇编

1．【2019年新课标1理科19】已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；

（2）若3，求|AB|．

2．【2018年新课标1理科19】设椭圆C：y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．

3．【2017年新课标1理科20】已知椭圆C：1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l 过定点．

4．【2016年新课标1理科20】设圆x2+y2+2x﹣15＝0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．

（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

5．【2015年新课标1理科20】在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：y＝kx+a（a＞0）交于M，N 两点．

（Ⅰ）当k＝0时，分別求C在点M和N处的切线方程．

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？（说明理由）

6．【2014年新课标1理科20】已知点A（0，﹣2），椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率为，F是

椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

7．【2013年新课标1理科20】已知圆M：（x+1）2+y2＝1，圆N：（x﹣1）2+y2＝9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．

8．【2012年新课标1理科20】设抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，F A为半径的圆F交l于B，D两点；

（1）若∠BFD＝90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；

（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n 距离的比值．

9．【2011年新课标1理科20】在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y＝﹣3上，M 点满足∥，?，M点的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．

10．【2011年新课标1理科22】如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn＝0的两个根．

（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；

（Ⅱ）若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．

11．【2010年新课标1理科20】设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线?与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．

（1）求E的离心率；

（2）设点P（0，﹣1）满足|P A|＝|PB|，求E的方程．

考题分析与复习建议

本专题考查的知识点为：直线方程、圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线，曲线与方程等.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等为重点较佳.

最新高考模拟试题

1．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，椭圆22222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点

??

.

（1）求椭圆1C 的标准方程；

（2）设点M 是椭圆1C 上的任意一点，射线MO 与椭圆2C 交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点，直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点，证明：NAB △面积为定值.

2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b

+=(a ＞b ＞0)经过点(0，3-)，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）当MF ＝2FN 时，求直线l 的方程；

（3）若直线l 上存在点P 满足PM·PN＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．

3．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点．

（1）若直线l 过点F 且8AB =，求直线l 的方程；

（2）已知点(2,0)E -，若直线l 不与坐标轴垂直，且AEO BEO ∠=∠，证明：直线l 过定点．

4．已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>，()2,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，点C 在第一象限，且0AC BC ?=，||2||OC OB AB BC -=+．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设P 、Q 为椭圆上不重合的两点且异于A 、B ，若PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴，问是否存在实数λ，使得PQ AB =λ？若不存在，请说明理由；若存在，求λ取得最大值时的PQ 的长．

5．已知抛物线216y x =，过抛物线焦点F 的直线l 分别交抛物线与圆22(4)16x y -+=于,,,A C D B （自上而下顺次）四点.

（1）求证：||||AC BD ?为定值；

（2）求||||AB AF ?的最小值.

6．已知O 为坐标原点，点()()2,02,0A B -，，()01AC AD CB CD λλ===<<，过点B 作AC 的平行线交AD 于点E .设点E 的轨迹为τ.

（Ⅰ）求曲线τ的方程；

（Ⅱ）已知直线l 与圆22

:1O x y +=相切于点M ，且与曲线τ相交于P ，Q 两点，PQ 的中点为N ，求三角形MON 面积的最大值.

7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 是椭圆C 的一个焦点．点(02)M ,，直线MF 的

斜率为3

． （1）求椭圆C 的方程；

（2）若过点M 的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，线段AB 的中点为N ，且AB MN ＝．求l 的方程．

8．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>过点(，右焦点F 是抛物线28y x =的焦点. （1）求椭圆C 的方程；

（2）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 分别交于M ，N 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得13516

QM QN ?=-

恒成立?若存在求出点Q 的坐标:若不存在，说明理由.

9．关于椭圆的切线由下列结论：若11(,)P x y 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上的一点，则过点P 的椭圆的切线方程为11221x x y y a b +=.已知椭圆22

:143

x y C +=. (1)利用上述结论，求过椭圆C 上的点(1,)(0)P n n >的切线方程；

(2)若M 是直线4x =上任一点，过点M 作椭圆C 的两条切线MA ，MB （A ，B 为切点），设椭圆的右焦点为F ，求证：MF AB ⊥.

10．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，离心率为12，P 为椭圆上一动点（异

于左右顶点），若12AF F △

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若直线l 过点1F 交椭圆C 于,A B 两点，问在x 轴上是否存在一点Q ，使得QA QB ?为定值？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

11．已知点()1,0F ，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ ?=?.

（1）求动点P 的轨迹C 的方程；

（2）设直线y kx b =+与轨迹C 交于两点，()11,A x y 、()22,B x y ，且12y y a -= (0a >，且a 为常数)，过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交轨迹C 于点D ，连接AD 、BD .试判断ABD ?的面积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由

12．已知点P 在抛物线()2

20C x py p =：＞上，且点P 的横坐标为2，以P 为圆心，PO 为半径的圆（O 为原点），与抛物线C 的准线交于M ，N 两点，且2MN =．

（1）求抛物线C 的方程；

（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ．过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求AF BF -的值．

13．已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义:()PF d P FQ

=. （1）当8

(1)3P --，

时，求()d P ； （2）证明:存在常数a ，使得2()d P PF a =+.

（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系.

14．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线距离为2.

（1）若点(1,1)E ，且点P 在抛物线C 上，求||||PE PF +的最小值；

（2）若过点(0,)N b 的直线l 与圆22:(2)4M x y +-=相切，且与抛物线C 有两个不同交点,A B ，求AOB ?的面积.

15．已知曲线C 上的任意一点到直线l ：x=-

12的距离与到点F （102，）的距离相等． （1）求曲线C 的方程；

（2）若过P （1，0）的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，Q （-1，0）为定点，设直线AQ 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，直线AB 的斜率为k ，证明：22212

112k k k +-为定值．