小题分层练(一)

小题分层练

小题分层练(一) 本科闯关练(1)

1．已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}，B ＝{x |－x 2＋x ＝0}，则A ∩B ＝( ) A ．{－1，0} B ．{0，1} C ．{1}

D ．{0}

2．已知(a ＋b i)(1－2i)＝5(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a ＋b 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2

D ．3

3．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(0，1)，则|a ＋2b |＝( ) A ．2 2 B. 5 C ．2

D ．4

4．在区间[0，π]上随机地取一个数x ，则事件“sin x ≤1

2”发生的概率为( )

A.34

B.23

C.12

D.13

5．(2016·西安模拟)执行如图的程序框图，输出的C 的值为( )

A ．3

B ．5

C ．8

D ．13

6．设函数f (x )＝?

????21－

x

，x ≤1

1－log 2x ，x ＞1，则f [f (－1)]＝( )

A ．－1

B ．1

C ．－2

D ．2

7．过双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点且垂直于实轴的直线交双曲线的渐近线于A ，

B 两点，已知|AB |等于虚轴长的两倍，则该双曲线的离心率为( )

A ．2

B ．3

C.32

D ．5

8．如图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩下的几何体的三视图(注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图)，则被削掉的那部分的体积为( )

A.π＋23

B.5π－23

C.5π

3

－2 D ．2π－2

3

9．(2016·长春模拟)已知变量x ，y 满足????

?2x －y ≤0x －2y ＋3≥0x ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )

A.3

2 B ．

3 C ．2

D ．4

10．将函数f (x )＝sin ???x ＋π

6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，

所得图象的一条对称轴方程可能是( )

A ．x ＝－π

12

B ．x ＝π

12

C ．x ＝π

3

D ．x ＝2π

3

11．(2016·西安模拟)在四面体S -ABC 中，SA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝120°，SA ＝AC ＝2，AB ＝1，则该四面体的外接球的表面积为( )

A ．11π

B ．7π C.10π3

D.40π3

12．(2016·郑州模拟)已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )＜2f (x )，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是( )

A ．(－∞，－1)∪(0，1)

B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C ．(－1，0)∪(1，＋∞)

D ．(－1，0)∪(0，1)

13．100名学生某次数学测试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则测试成绩

落在[60，80)中的学生人数是________．

14．已知点M (－5，0)，N (5，0)，△MNP 的周长为36，则△MNP 的顶点P 的轨迹方程为________________．

15．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，且a 2＋b 2＝c 2＋ab ，4sin A sin B ＝3，则tan A 2＋tan B 2＋tan C

2

＝________．

16．若f (x )＝x 3－3x ＋m 有且只有一个零点，则实数m 的取值范围是________．

参考答案与解析

1． C

因为A ＝{－2，1}，B ＝{0，1}，所以A ∩B ＝{1}．

2． D

因为(a ＋b i)(1－2i)＝a ＋2b ＋(b －2a )i ＝5，故?

????a ＋2b ＝5b ＝2a ，解得a ＝1，b ＝

2，故a ＋b ＝3.

3．[导学号：96982248] B

因为a ＋2b ＝(2，1)，所以|a ＋2b |＝22＋12＝ 5.

4． D

由题知所求概率P ＝π6＋

π

6π

＝1

3.

5． B

执行程序框图可得，A ＝1，B ＝1，k ＝3；C ＝2，A ＝1，B ＝2，k ＝4；C

＝3，A ＝2，B ＝3，k ＝5；C ＝5，A ＝3，B ＝5，k ＝6.故输出的C ＝5.

6． A

f (－1)＝22＝4，所以f [f (－1)]＝f (4)＝1－lo

g 24＝－1，故选A.

7．[导学号：96982249] A

不妨设点A 在第一象限，则A ???

?c ，bc

a ，由对称性可知|AB |＝

2bc a ，又|AB |＝4b ，所以c

a

＝2，所以e ＝2，即该双曲线的离心率为2，故选A. 8． B

由三视图可知，剩下部分的几何体由半个圆锥和一个三棱锥组成，其体

积V ＝13×12×π×12×2＋13×1

2×2×1×2＝π3＋23，所以被削掉的那部分的体积为π×12×2

－??

??π3＋23＝5π－23. 9.

D

作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示．由图象可知当直线y ＝－

2x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距最大，此时z 最大，由?????2x －y ＝0

x －2y ＋3＝0，

解得?

????x ＝1

y ＝2，即A (1，2)，代入目标函数z ＝2x ＋y 得z ＝2×1＋2＝4，即z max ＝4.

10． D

将函数f (x )＝sin

???

?x ＋π

6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来

的2倍，得到函数y ＝sin ???

?12x ＋π

6的图象，

由12x ＋π6＝π

2＋k π，k ∈Z ，得x ＝2π3＋2k π，k ∈Z ， 所以当k ＝0时，函数图象的对称轴为x ＝2π

3.故应选D.

11．[导学号：96982250] D

因为AC ＝2，AB ＝1，∠BAC ＝120°，

所以BC ＝22＋12－2×2×1×cos 120°＝7， 设三角形ABC 的外接圆半径为r ，则 2r ＝7sin 120°，r ＝21

3.

因为SA ⊥平面ABC ，SA ＝2，

三角形OSA 为等腰三角形(O 为外接球球心)， 所以该三棱锥的外接球的半径R ＝

12

＋???

?2132

＝ 103

， 所以该三棱锥的外接球的表面积为S ＝4πR 2

＝4π×?

??

?

1032＝40π

3.

12． D 根据题意，设函数g (x )＝

f （x ）

x 2

(x ≠0)，当x ＞0时，g ′(x )＝f ′（x ）·x －2·f （x ）

x 3

＜0，说明函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又f (x )为偶函数，所以g (x )为偶函数，又f (1)＝0，所以g (1)＝0，故g (x )在(－1，0)∪(0，1)上的函数值大于零，即f (x )在(－1，0)∪(0，1)上的函数值大于零．

13. 根据频率分布直方图中各组频率之和为1，得10(2a ＋3a ＋7a ＋6a ＋2a )＝1，解

得a ＝

1200，所以测试成绩落在[60，80)中的频率是10(3a ＋7a )＝100a ＝100×1200＝1

2

，故对

应的学生人数为100×1

2

＝50.

50

14.

设P (x ，y )，易知|MN |＝10，|PM |＋|PN |＝36－|MN |＝26>10，所以顶点P 的轨迹

是以M ，N 为焦点的椭圆，但与M ，N 不共线．设椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，则2a ＝26，

c ＝5，所以a ＝13，b 2

＝a 2

－c 2

＝132

－52

＝144，所以△MNP 的顶点P 的轨迹方程为x 2169＋

y 2

144

＝1(y ≠0)．

x 2

169＋y 2144＝1(y ≠0) 15.

由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又a 2＋b 2＝c 2＋ab ，则2ab cos C ＝ab ，cos

C ＝12，sin C ＝3

2，又4sin A ·sin B ＝3，因此sin A sin B ＝sin 2C ，ab ＝c 2，a 2＋b 2－ab ＝ab ，

a ＝

b ＝

c ，A ＝B ＝C ＝60°，故tan A 2＋tan B 2＋tan C

2

＝ 3.

3

16．[导学号：96982251]

记g (x )＝x 3－3x ，则g ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)·(x －1)，当x

＜－1或x ＞1时，g ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，g ′(x )＜0.因此函数g (x )＝x 3－3x 在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在区间(－1，1)上单调递减，且g (－1)＝2，g (1)＝－2，所以当x →－∞时，g (x )→－∞；当x →＋∞时，g (x )→＋∞.在坐标平面内画出直线y ＝－m 与函数g (x )＝x 3－3x 的大致图象(图略)，结合图象可知，当且仅当－m ＜－2或－m ＞2，即m ＞2或m ＜－2时，直线y ＝－m 与函数g (x )＝x 3－3x 的图象有唯一公共点．因此，当函数f (x )有且只有一个零点时，实数m 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．

(－∞，－2)∪(2，＋∞)