等差数列和等比数列的解题技巧分解
数列的解题技巧
编稿:林景飞审稿:张扬责编:严春梅
【命题趋向】
从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势:
1.等差(比)数列的基本知识是必考内容,这类问题既有选择题、填空题,也有解答题;难度易、中、难三类皆有.
2.数列中与之间的互化关系也是高考的一个热点.
3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到,解答试题时要注意灵活应用.
4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.
因此复习中应注意:
1.数列是一种特殊的函数,学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.
2.运用方程的思想解等差(比)数列,是常见题型,解决此类问题需要抓住基本量、(或),掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节,常通过“设而不求,整体代入”来简化运算.
3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面,如等比数列求和要注意
和两种情况等等.
4.等价转化是数学复习中常常运用的,数列也不例外.如与的转化;将一些数列转化成等差(比)数列来解决等.复习时,要及时总结归纳.
5.深刻理解等差(比)数列的定义,能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键.
6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法,养成良好的学习习惯,定能达到事半功倍的效果.
7.数列应用题将是命题的热点,这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.
【考点透视】
1.理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项.
2.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,并能运用公式解答简单的问题.
3.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,并能运用公式解
决简单的问题.
4.数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题,突出考查考生的思维能力,解决问题的能力,试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来,试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点,常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化,常需构造数列模型,将现实问题转化为数学问题来解决.
【例题解析】
考点一:正确理解和运用数列的概念与通项公式
理解数列的概念,正确应用数列的定义,能够根据数列的前几项写出数列的通项公式.
1.(2006年广东卷)在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间,某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第1堆只有1层,就一个球;第2,3,4,…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n堆第n层就放一个乒乓球,
以表示第n堆的乒乓球总数,则____________;____________(答案用n表示).
……
思路启迪:从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是1,3,6,10, …,推测出第n层的球数。
解答过程:显然.
第n堆最低层(第一层)的乒乓球数,,第n堆的乒乓球数总数相当于前n堆乒乓球的低层数之和,即
所以:
2.(2007年湖南卷理)将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图所示的0-1三角数表.从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行,…,第次全行的数都为1的是第____________行;第61行中1的个数是____________.
第1行 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
………………………………………
思路启迪:计算图形中相应1的数量的特征,然后寻找它们之间的规律。
解:第1次全行的数都为1的是第=1行,
第2次全行的数都为1的是第=3行,
第3次全行的数都为1的是第=7行,
······,
第次全行的数都为1的是第行;
第61行中1的个数是25=32.
考点二:数列的递推关系式的理解与应用
在解答给出的递推关系式的数列问题时,要对其关系式进行适当的变形,转化为常见的类型进行解题。
如叠加法:若且;我们可把各个关系式列出来进行叠加求和,可得到数列的通项.
,,,…,
∴
再看叠乘法:且,可把各个商列出来求积。
另外可以变形转化为等差数列与等比数列,利用等差数列与等比数列的性质解决问题。
3.(2007年北京卷理)数列中,,(是常数,
),
且成公比不为的等比数列.
(I)求的值;(II)求的通项公式.
思路启迪:(1)由成公比不为的等比数列列方程求;
(2)可根据递推公式写出数列的前几项,然后分析每一项与该项的序号之间的关系,归纳概括出与n之间的一般规律,从而作出猜想,写出满足前4项的该数列的一个通项公式.
解:
(I),,,
因为成等比数列,所以,解得或.
当时,,不符合题意舍去,故.
(II)当时,由于
,,,,
所以.
又,,故.
当时,上式也成立,
所以.
小结:从特殊的事例,通过分析、归纳、抽象总结出一般规律,再进行科学地证明,这是创新意识的具体体现,这种探索问题的方法,在解数列的有关问题中经常用到,应引起足够的重视.
4.数列满足,,….若,则( )
(A)(B)3(C)4(D)5
思路启迪:对递推关系变形,运用叠加法求得,特别注意的是对两边同时运用.
解答过程1:
,.
相叠加得.
,.
,,,.
解答过程2:
由得:
,
,因为,所以.
解答过程3:
由得:
从而;;…;.
叠加得:.
,
,从而.
小结:数列递推关系是近几年高考数学的热点,主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。
对连续两项递推,可转化为;
对连续三项递推的关系,如果方程有两个根
,则上递推关系式可化为或.
考点三:数列的通项与前n项和之间的关系与应用
与的关系:,数列前n项和和通项是数列中两个重要的量,在运用它们的关系式时,一定要注意条件,求通项时一定要验证是否适合。解决含与的式子问题时,通常转化为只含或者转化为只的式子.
5.(2006年辽宁卷)在等比数列中, ,前项和为,若数列
也是等比数列,则等于()
(A) (B) (C) (D)
命题目的:本题考查了等比数列的定义和求和公式,着重考查了运算能力。
过程指引:因数列为等比,则,因数列也是等比数列,则
即,所以,故选择答案C.
6.已知在正项数列中,表示前n项和,且,求.
思路启迪:转化为只含或者只含的递推关系式.
解答过程1:由已知,得当时,;
当时,,代入已知有,即
.,
又,故.
∴数列是首项为,公差的等差数列,
故.
解答过程2:由已知,得当n=1时,;
当时,因为,所以.
,
,因为,
所以,所以.
考点四:数列中与n有关的等式的理解与应用
对数列中的含n的式子,注意可以把式子中的n换为得到另外的式子。也可以把n取自然数中的具体的数1,2,3…等,得到一些等式归纳证明.
7.(2006年福建卷)已知数列满足() (Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若数列满足(),证明:
是等差数列;
思路启迪:本小题主要考查数列基本知识,考查化归的数学思想方法,考查综合解题能
力。把递推关系式变形转化。
解答过程:
(I)解:∵,∴
是以为首项,2为公比的等比数列。
∴即()
(II)证法一:∵,
∴即
∴①
②
②-①,得,即③
④
③-④,得,即
故是等差数列.
考点五:等差、等比数列的概念与性质的理解与应用
在等差、等比数列中,已知五个元素或,中的任意三个,运用方程的思想,便可求出其余两个,即“知三求二”。本着化多为少的原则,解题时需抓住首项和公差(或公比)。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如
(1)等差数列中,若,则;
等比数列中,若,则 .
(2)等差数列的前n项为,则成等差数列,且公差
为;
等比数列中()的前n项和为,则
成等比数列,且公比.
(3)在等差数列中,项数n成等差的项也成等差数列.
(4)在等差数列中,; .
在复习时,要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.
8.(2006年江西卷)已知等差数列的前n项和为,若,且A、B、C三点共线(该直线不过原点O),则=()
A.100 B. 101 C.200 D.201
命题目的:考查向量性质、等差数列的性质与前n项和。
过程指引:依题意,,故选A
9.(2007年安徽卷文、理)
某国采用养老储备金制度,公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a1,以后每
年交纳的数目均比上一年增加, 因此,历年所交纳的储备金数目, ,…是
一个公差为的等差数列. 与此同时,国家给予优惠的计息政府,不仅采用固定利率,而且计算复利. 这就是说,如果固定年利率
为(),那么, 在第年末,第一年所交纳的储备金就变为,第二年所交纳的储备金就变成,……. 以表示到第年末所累计的储备金总额.
(Ⅰ)写出与()的递推关系式;
(Ⅱ)求证,其中{}是一个等比数列,{}是一个等差数列.
命题目的:本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法,考查学生阅读资料、提取信息、建立数字模型的能力,考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.
解:
(I)我们有
(II),对反复使用上述关系式,得
=…=①
在①式两端同乘1+r,得
②
②-①,得
即
记,,则
,其中{}是等比数列,且首项为,公比为
;是等差数列,且首项为,公比为.
点评:解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,在后面求解的过程中适时应用.
考点六:等差、等比数列前n项和的理解与应用
等差、等比数列的前n项和公式要深刻理解。等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数;等比数列的前n项和公式(),因此可以改写为
是关于n的指数函数,当时,.
10.(2007年广东卷理)已知数列的前n项和,第k项满足
,则k=()
A.9 B.8 C.7 D.6
思路启迪:本小题主要考查数列通项和等差数列等基本知识,考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.
解:此数列为等差数列,,由5<2k-10<8得到k=8.
11.(2007年湖北卷文)已知数列和满
足:
且是以q为公比的等比数列.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若证明数列是等比数列;
(Ⅲ)求和:.
命题目的:本小题主要考查等比数列的定义,通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能,考查分析问题能力和推理能力.
解法1:
(I)证:由,有,.
(II)证:,,,
.∴是首项为5,以为公比的等比数列.
(III)由(II)得,,于是
.
当时,.
当时,
.
故
解法2:
(I)同解法1(I).
(II)证:,又,
是首项为5,以为公比的等比数列.
(III)由(II)的类似方法得,
,
,.
.下同解法1.
考点七:数列与函数的迭代问题
由函数迭代的数列问题是近几年高考综合解答题的热点题目,此类问题将函数与数列知识综合起来,考察函数的性质以及函数问题的研究方法在数列中的应用,涉及的知识点由函数性质、不等式、数列、导数、解析几何的曲线等,另外函数迭代又有极为深刻的理论背景和实际背景,它与当前国际数学主流之一的动力系统(拓扑动力系统、微分动力系统)密切相关,数学家们极为推崇,函数迭代一直出现在各类数学竞赛试题中,近几年又频频出现在高考数学试题中.
12.(2006年山东卷)已知数列中,,点在直线y=x 上,
其中n=1,2,3….
(Ⅰ)令,求证是等比数列;
(Ⅱ)求数列的通项;
(III)设、分别为数列、的前n项和,是否存在实数,使得数列
为等差数列?若存在,试求出.若不存在,则说明理由.
思路启迪:利用等比的定义证明是等比数列;对可由已知用叠加法求出求。求出与便可顺利求出第三问.
解答过程:
(I)由已知得
又,
是以为首项,以为公比的等比数列.
(II)由(I)知,
,,…,
将以上各式相加得:
(III)解法一:
存在,使数列是等差数列.
数列是等差数列的充要条件是(、是常数
即
又.
当且仅当,即时,数列为等差数列.
解法二:存在,使数列是等差数列.
由(I)、(II)知,,.
∴
.
又.
∴.
当且仅当时,数列是等差数列.
13(2007年陕西卷理)已知各项全不为零的数列的前k项和为,
且(),其中
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(II)对任意给定的正整数,数列满足
.
求.
思路启迪:注意利用解决问题.
解:
(Ⅰ)当,由及,得.
当时,由,得.因为,所以.从而
,.故.
(Ⅱ)因为,所以.
所以
故
考点八:数列综合应用与创新问题
数列与其它数学知识的综合性问题是高考的热点,全面考察数学知识的掌握和运用的情况,以及分析问题解决问题的能力和思维的灵活性、深刻性、技巧性等,涉及的数学思想方法又从一般到特殊和从特殊到一般的思想、函数与方程的思想、探索性思想等。
14.(2006年湖南卷)在()个不同数的排列中,若
时(即前面某数大于后面某数),则称与构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为,如排列21的逆序数,排列321的逆序数.
则=____________,=____________,的表达式为____________;
命题目的:考查排列、数列知识.
过程导引:由已知得,,.
15.设是定义在上的单调可导函数.已知对于任意正数,
都有,且.
(Ⅰ)求,并求的值;
(Ⅱ)令,证明数列是等差数列;
(Ⅲ)设是曲线在点处的切线的斜率(),数列的前项和为,
求证:.
思路启迪:根据已知条件求出函数的关系式,求出的递推关系式然后可求解题
中要求.
解答过程:
(Ⅰ)取,;
再取,则,即
,
∵是定义在上的单调函数
∴,解得,或(舍去).
(Ⅱ)设,则,
再令,则,即
∵是定义在上的单调函数
∴,即,解得:或,
又,则,,
由,所以是等差数列.
(3)由(2)得,,则
所以;
又当时,,
则,
故.
16.(2007年广东卷理)已知函数,是方程的两个根,
是的导数;设,(n=1,2,……)
(1)求的值;
(2)证明:对任意的正整数n,都有;
(3)记(n=1,2,……),求数列{}的前n项和.
思路启迪:(1)注意应用根与系数关系求的值;
(2)注意先求;
(3)注意利用的关系.
解:
(1)∵,是方程的两个根,
∴,.
(2),
,∵,
∴由基本不等式可知(当且仅当时取等号),∴
同样,…,(n=1,2,……).(3),
而,即,,
同理,,
又,
.
等差数列和等比数列的总结与联系
等差数列和等比数列的综合及其联系 课题设计背景: 数列是反映自然规律的基本数学模型之一。而等差数列和等比数列是学生必须掌握的两种基本数学模型,研究等差数列的通项、性质以及求和公式,并用类比的方法对等比数列进行研究是课程标准的教学要求。 课题设计目标: (1)掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式; (2)掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式;体验用类比的思想方法对等差数列和等比数列进行研究的活动。
例题分析: 1、已知(), f x = 利用课本推导等差数列前n 项和的公式的方法,求和: (5)(4)(3)...(5)f f f f f -+-+-+++的值 2、已知公差不为零的等差数列{n a }中,236,,a a a 组成等比数列的连续三项,求公比q 3、已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是11441010,1,,,;d d a b a b a b ≠=== (1)求1a 和d 的值;(2)16b 是不是数列{}n a 中的项,为什么? (二)等差数列和等比数列之间的转化 结论: (1){}n a 成等差数列,则{}(0,1)n a c c c >≠成等比数列; (2)正项数列{}n a 成等比数列,则{}log (0,1)c n a c c >≠成等差数列。类比可结合上述结论将等比数列转化为等差数列,再还原成等比数列写出有关结论。 例题分析: 1、 已知数列)}({* N n a n ∈是一个以(0)q q >为公比,以11(0)a a >为首项的等比数列,求 12lg lg ...lg n a a a +++ 2、 若数列)}({* N n a n ∈是等差数列,则有数列*123......,()n n a a a a b n N n ++++= ∈ 也是等差数列;类比上述性质,相应地:若数列)}({* N n c n ∈是等比数列,且0>n c ,则 有数列*_________________,()n d n N =∈也是等比数列。 3、 设)}({* N n a n ∈是等差数列,12n a n b ?? = ? ?? ,已知123123211 ,,88 b b b b b b ++= =求数列)}({*N n a n ∈的通项公式。 (三)学法总结: (四)课后反思:
等差、等比数列知识点总结
一、任意数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系:???≥-==-)2() 1(11n S S n S a n n n 二、等差数列 1、等差数列及等差中项定义 d a a n n =--1、2 1 1-++= n n n a a a 。 2、等差数列的通项公式:d n a a n )1(1-+=、d k n a a k n )(-+= 当0≠d 时,n a 是关于n 的一次式;当0=d 时,n a 是一个常数。 3、等差数列的前n 项和公式:2)(1n n a a n S += d n n na S n 2 ) 1(1-+= 4、等差数列}{n a 中,若q p n m +=+,则q p n m a a a a +=+ 5、等差数列}{n a 的公差为d ,则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、…… 仍为等差数列。 6、B A a A d Bn An S n +==+=122,, 7、在等差数列}{n a 中,有关n S 的最值问题 利用n S (0≠d 时,n S 是关于n 的二次函数)进行配方(注意n 应取正整数) 三、等比数列 1、等比数列及等比中项定义: q a a n n =-1 、112+-=n n n a a a 2、等比数列的通项公式: 11-=n n q a a k n k n q a a -= 3、等比数列的前n 项和公式:当1=q 时,1na S n = 当1≠q 时,q q a S n n --=1)1(1 q q a a S n n --=11 4、等比数列}{n a 中,若q p n m +=+,则q p n m a a a a ?=? 5、等比数列}{n a 的公比为q ,且0≠n S ,则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、 m m S S 23-、……仍为等比数列 6、0=++=B A B Aq S n n ,则 四、求数列}{n a 的最大的方法: 1-1n n n n a a a a ≥≥+ 五、求数列}{n a 的最小项的方法: 1 -1n n n n a a a a ≤≤+ 例:已知数列}{n a 的通项公式为:32922-+-=n n a n ,求数列}{n a 的最大项。 例:已知数列}{n a 的通项公式为:n n n n a 10) 1(9+=,求数列}{n a 的最大项。
等差、等比数列知识点总结
等差、等比数列知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
一、任意数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系:???≥-==-)2() 1(11n S S n S a n n n 二、等差数列 1、等差数列及等差中项定义 d a a n n =--1、2 1 1-++= n n n a a a 。 2、等差数列的通项公式:d n a a n )1(1-+=、d k n a a k n )(-+= 当0≠d 时,n a 是关于n 的一次式;当0=d 时,n a 是一个常数。 3、等差数列的前n 项和公式:2)(1n n a a n S += d n n na S n 2 ) 1(1-+= 4、等差数列}{n a 中,若q p n m +=+,则q p n m a a a a +=+ 5、等差数列}{n a 的公差为d ,则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、……仍为等差数列。 6、B A a A d Bn An S n +==+=122,, 7、在等差数列}{n a 中,有关n S 的最值问题 利用n S (0≠d 时,n S 是关于n 的二次函数)进行配方(注意n 应取正整数) 三、等比数列 1、等比数列及等比中项定义: q a a n n =-1 、112+-=n n n a a a 2、等比数列的通项公式: 11-=n n q a a k n k n q a a -= 3、等比数列的前n 项和公式:当1=q 时,1na S n = 当1≠q 时,q q a S n n --=1) 1(1 q q a a S n n --=11 4、等比数列}{n a 中,若q p n m +=+,则q p n m a a a a ?=? 5、等比数列}{n a 的公比为q ,且0≠n S ,则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、 m m S S 23-、……仍为等比数列 6、0=++=B A B Aq S n n ,则 四、求数列}{n a 的最大的方法: 1-1n n n n a a a a ≥≥+ 五、求数列}{n a 的最小项的方法: 1 -1n n n n a a a a ≤≤+ 例:已知数列}{n a 的通项公式为:32922-+-=n n a n ,求数列}{n a 的最大项。 例:已知数列}{n a 的通项公式为:n n n n a 10 ) 1(9+=,求数列}{n a 的最大项。
等差、等比数列公式总结
一、等差数列 1.定义:)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式:d n a )1(a 1n -+= 3.变式:d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和:2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义: ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义:常数)(a 1q a n n =+ 2.通项公式:11a -=n n q a 3.变式: m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n
前n 项和:n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式:m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质: ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项 偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差 和 积 差 商 系数 指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和 本数列的和公式求和.进行拆分,分别利用基,则可或等比数列的和的形式数列,但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和: 前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2.裂项相消法. ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列,项和,其中的前项为用于通 从而计算和的方法,适别裂开后,消去一部分把数列和式中的各项分
等差数列、等比数列知识点梳理
等差数列和等比数列知识点梳理 第一节:等差数列的公式和相关性质 1、等差数列的定义:对于一个数列,如果它的后一项减去前一项的差为一个定值,则称这个数列为等差数列,记:d a a n n =--1(d 为公差)(2≥n ,*n N ∈) 2、等差数列通项公式: 1(1)n a a n d =+-,1a 为首项,d 为公差 推导过程:叠加法 推广公式:()n m a a n m d =+- 变形推广:m n a a d m n --= 3、等差中项 (1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2 b a A +=或 b a A +=2 (2)等差中项: 数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4、等差数列的前n 项和公式: 1()2n n n a a S += 1(1) 2n n na d -=+ 211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ 前N 相和的推导:当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=。(注:12132n n n a a a a a a --+=+=+=???,)当然扩充到3项、4项……都是可以的,但要保证等号两边项数相同,下标系数之和相等。
5、等差数列的判定方法 (1) 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列. (2)等差中项:数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a (3)数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=(其中b k ,是常数)。 (4)数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,(其中A 、B 是常数)。 6、等差数列的证明方法 定义法或者等差中项发? {}n a 是等差数列. 7、等差数列相关技巧: (1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、n 、 n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。 (2)设项技巧: ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2a d a d a a d a d --++…(公差为d ); ③偶数个数成等差,可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…(注意;公差为2d ) 8、等差数列的性质: (1)当公差0d ≠时,等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数,且斜率为公差d ;前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0。
等差数列与等比数列练习和解析(高考真题)
1.(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A .a n =2n -5 B .a n =3n -10 C .S n =2n 2 -8n D .S n =12 n 2 -2n 2.(2019·长郡中学联考)已知数列{a n }满足,a n +1+2a n =0,且a 2 =2,则{a n }前10项的和等于( ) A.1-2103 B .-1-210 3 C .210-1 D .1-210 3.已知等比数列{a n }的首项为1,公比q ≠-1,且a 5+a 4=3(a 3 +a 2),则 9 a 1a 2a 3…a 9等于( ) A .-9 B .9 C .-81 D .81 4.(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( ) A .-12 B .-10 C .10 D .12 5.(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n }的公差不为零,S n 为其前n 项和,S 3=9,且a 2-1,a 3-1,a 5-1构成等比数列,则S 5=( ) A .15 B .-15 C .30 D .25 二、填空题 6.(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2=-3,S 5=-10,则a 5=________,S n 的最小值为________. 7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:“有一个人走378里路,
等差数列与等比数列的基本运算
一.课题:等差数列与等比数列的基本运算 二.教学目标:掌握等差数列和等比数列的定义,通项公式和前n 项和的公式,并能利用这些知识 解决有关问题,培养学生的化归能力. 三.教学重点:对等差数列和等比数列的判断,通项公式和前n 项和的公式的应用. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.等差数列的概念及其通项公式,等差数列前n 项和公式; 2.等比数列的概念及其通项公式,等比数列前n 项和公式; 3.等差中项和等比中项的概念. (二)主要方法: 1.涉及等差(比)数列的基本概念的问题,常用基本量1,()a d q 来处理; 2.使用等比数列前n 项和公式时,必须弄清公比q 是否可能等于1还是必不等于1,如果不能确定则需要讨论; 3.若奇数个成等差数列且和为定值时,可设中间三项为,,a d a a d -+;若偶数个成等差数列且和为定值时,可设中间两项为,a d a d -+,其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元.若干个数个成等比数列且积为定值时,设元方法与等差数列类似. 4.在求解数列问题时要注意运用函数思想,方程思想和整体消元思想,设而不求. (三)例题分析: 例1.(1)设数列{}n a 是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项为 2 . (2)已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,且139,,a a a 成等比数列,则1392410a a a a a a ++++=1316 . 例2.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个书的和是12,求这四个数. 解:设这四个数为:2 (),,,a d a d a a d a +-+,则2 ()16212a d a d a a d ?+-+=???+=? 解得:48a d =??=?或96a d =??=-?,所以所求的四个数为:4,4,12,36-;或15,9,3,1. 例3.由正数组成的等比数列{}n a ,若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍,第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍,求数列{}n a 的通项公式. 解:当1q =时,得11211na na =不成立,∴1q ≠, ∴221122331111 (1)11(1)1111n n a q a q q q q a q a q a q a q ?--=?--??+=?? 由①得110 q =,代入②得110a =, ∴21()10 n n a -=. 说明:用等比数列前n 项和公式时,一定要注意讨论公比是否为1. 例4.已知等差数列110,116,122,, ① ②
等差数列与等比数列十大例题
等差数列与等比数列十大例题 例1、已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=,{}n a 的前n 项和为n S . (Ⅰ)求n a 及n S ; (Ⅱ)令b n = 2 1 1 n a -(n ∈N *),求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,因为37a =,5726a a +=,所以有 11 27 21026a d a d +=?? +=?,解得13,2a d ==, 所以321)=2n+1n a n =+-(;n S =n(n-1) 3n+22 ?=2n +2n 。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知2n+1n a =,所以b n = 2 1 1n a -=21=2n+1)1-(114n(n+1)?=111(-)4n n+1 ?, 所以n T = 111111(1-+++-)4223n n+1?- =11(1-)=4n+1?n 4(n+1) , 即数列{}n b 的前n 项和n T = n 4(n+1) 。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 例2、 设n S 为数列{}n a 的前n 项和,2n S kn n =+,* n N ∈,其中k 是常数. (I ) 求1a 及n a ; (II )若对于任意的* m N ∈,m a ,2m a ,4m a 成等比数列,求k 的值. 解(Ⅰ)当1,111+===k S a n , 12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n (*) 经验,,1=n (*)式成立, 12+-=∴k kn a n (Ⅱ)m m m a a a 42,, 成等比数列,m m m a a a 42 2.=∴, 即)18)(12()14(2 +-+-=+-k km k km k km ,整理得:0)1(=-k mk ,