(高清版)2019年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷
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黑龙江省牡丹江市2019年初中毕业学业考试
数学
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
B C D
2.函数y中，自变量x的取值范围是
（）
A.0
x＞B.0
x≥C.0
x＜D.0
x≤
3.下列计算正确的是（）
A.235
a b ab
=
g B.3412
a a a
=
g
C.2242
36
a b a b
-=
（）D.5322
=2
a a a a
÷+
4.抛物线2
321
y x x
=+-向上平移4个单位长度后的函数解析式为（）
A.2
325
y x x
=+-B.2
324
y x x
=+-
C.2
323
y x x
=++D.2
324
y x x
=++
5.学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这三辆车中任选
一辆搭乘，小明与小红同车的概率是（）
A.
1
9
B.
1
6
C.
1
3
D.
1
2
6.在同一直角坐标系中，函数
a
y
x
=-与1(0)
y ax a
=+≠的图像可能是（）
A B C D
7.如图，ABD
△的三个顶点在O
e上，AB是直径，点C在O
e上，且=52
ABD
∠。，则
BCD
∠等于（）
A.32?
B.38?
C.52?
D.66?
8.在平面直角坐标系中，点0
P x(,)是x轴上一动点，它与坐标原点O的距离为y，则y
关于x的函数图像大致是. （）
A
B C D
9.在ABC
△中，13,cos
AB AC B
===
∠，则BC边长为（）
A.7
B.8
C.8或17
D.7或17
10.如图，在ABC
△中，90
AB BC ABC
=∠=?
,，BM是AC边中线，点D E,分别在边
AC和BC上，DB DE EF AC
=⊥
,于点F，以下结论：
①DBM CDE
∠=∠；②
BDE BMFE
S S
△四边形
＜；
③=
CD EN BN BD
g g；④=2
AC DF.
其中正确结论的个数是
（
）-------------
在
-------------------
此
------------------
卷
------------------
上
------------------
答
------------------
题
------------------
无
------------------
效
------------
毕
业
学
校
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
姓
名
_
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_
准
考
证
号
_
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_
A .1
B .2
C .3
D .4
二、填空题（每小题3分，满分30分）
11.位于我国东海的台湾岛是我国第一大岛，面积约36 000平方千米，数36 000用科学记数法表示为 .
12.如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，=AO CO ，请添加一个条件 （只添一个即可），使四边形ABCD 是平行四边形.
13.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体最多是 个.
14.某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为 元.
15.如图，AB 是O e 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，若8,6,AB CD ==，则BE = .
16.一组数据1，4，6，x 的中位数和平均数相等，则x 的值是 . 17.抛物线22y ax bx =++经过点(2,3)-，则36b a =- .
18.一列单项式：2345,357x x x x -，
-，，…，按此规律排列，则第7个单项式为 . 19.如图，ABO △
中，,1AB OB AB OB ⊥==，把ABO △绕点O 旋转120°后，得到11A B O △，则点1A 的坐标为 .
20.矩形纸片ABCD ，9AB =，6BC =，在矩形边上有一点P ，且3DP =.将矩形纸片折叠，使点B 与点P 重合，折痕所在直线交矩形两边于点E F ,，则EF 长为 .
三、解答题（满分60分）
21.（5分）先化简：2444
11
x x x x x x --+---g
，其中的x 选一个适当的数代入求值.
22.（6分）如图，抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)(30)A B -,，.请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）点2E m （,）在抛物线上，抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，点F 是AE 中点，
连接FH ，求线段FH 的长.
注：抛物线20y ax bx c a =++≠（）的对称轴是2b
x a
=
.
23.（6分）在ABC △中，430AB AC BAC ==∠=?,，以 AC 为一边作等边ACD △，连接BD .请画出图形，并直接写出BCD △的面积.
24.（7分）为倡导“低碳出行”，环保部门对某城市居民日常出行使用交通方式的情况进行了问卷调查，将调查结果整理后，绘制了如下不完整的统计图，其中“骑自行车、电动车”所在扇形的圆心角是162?.
请根据以上信息解答下列问题： （1）本次调查共收回多少张问卷？
（2）补全条形统计图，在扇形统计图中，“其他”对应扇形的圆心角是 度； （3）若该城市有32万居民，通过计算估计该城市日常出行“骑自行车、电动车”和
“坐公交车”的共有多少人？
25.（8分）甲、乙两车从A 地出发沿同一路线驶向B 地，甲车先出发匀速驶向B 地.40
分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50千米/时，结果与甲车同时到达B 地.甲乙两车距A 地的路程y （千米）与乙车行驶时间x （小时）之间的函数图像如图所示.请结合图像信息解答下列问题：
（1）直接写出a 的值，并求甲车的速度；
（2）求图中线段EF 所表示的y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围； （3）乙车出发多少小时与甲车相距15千米？直接写出答案.
26.（8分）已知四边形ABCD 是正方形，等腰直角AEF △的直角顶点E 在直线BC 上（不与点,B C 重合），FM AD ⊥，交射线AD 于点M .
（1）当点E 在边BC 上，点M 在边AD 的延长线上时，如图①，求证：=AB BE AM +；
-------------在
-------------------此------------------
卷------------------上
------------------答
------------------题
------------------
无------------------效
------------毕业学校_____________ 姓名_____________ 准考证号_____________
____________________________________________________
（提示：延长MF ，交边BC 的延长线于点H .）
（2）当点E 在边CB 的延长线上，点M 在边AD 上时，如图②；当点E 在边BC 的
延长线上，点M 在边AD 上时，如图③.请分别写出线段,,AB BE AM 之间的数量关系，不需要证明；
（3）在第（1）和（2
）题的条件下，若15BE AFM ?=∠=，则AM = . 27.（10分）夏季来临，商场准备购进甲、乙两种空调.已知甲种空调每台进价比乙种空调多500元，用40 000元购进甲种空调的数量与用30 000元购进乙种空调的数量相同.请解答下列问题：
（1）求甲、乙两种空调每台的进价；
（2）若甲种空调每台售价2 500元，乙种空调每台售价1 800元，商场欲同时购进两
种空调20台，且全部售出，请写出所获利润y （元）与甲种空调x （台）之间的函数关系式；
（3）在2的条件下，若商场计划用不超过36 000元购进空调，且甲种空调至少购进
10台，并将所获得的最大利润全部用于为某敬老院购买1 100元/台的A 型按摩器和700元/台的B 型按摩器.直接写出购买按摩器的方案.
28.（10分）如图，在平面直角坐标系中，ABC △的顶点A 在x 轴负半轴上，顶点C 在
x 轴正半轴上，顶点B 在第一象限，过点B 作BD y ⊥轴于点D ，线段,OA OC 的长
是一元二次方程212360x x +=-
的两根，45BC BAC ?=∠=. （1）求点A ，C 的坐标； （2）反比例函数k
y x
=
的图像经过点B ，求k 的值； （3）在y 轴上是否存在点P ，使以P B D ,,为顶点的三角形与以P O A ,,为顶点的三
角形相似？若存在，请写出满足条件的点P 的个数，并直接写出其中两个点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
黑龙江省牡丹江市2019年初中毕业学业考试
数学答案解析
一、选择题 1．【答案】A
【解析】A 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A 正确； B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B 错误； C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C 错误； D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D 错误． 【考点】中心对称及轴对称 2．【答案】B
【解析】根据被开方数大于等于0列式求解即可．由题意得，0x ≥．故选B ． 【考点】函数自变量的取值范围 3．【答案】D
【解析】A 、单项式乘单项式系数乘系数，同底数的幂相乘，故A 错误； B 、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B 错误； C 、积的乘方等于乘方的积，故C 错误；
D 、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D 正确. 【考点】同底数幂的除法 4．【答案】C
【解析】抛物线2321y x x =+-向上平移4个单位长度的函数解析式为
223214323y x x x x =++=++-， 5．【答案】C
【解析】用A ，B ，C 分别表示给九年级的三辆车，画树状图得：
Q 共有9种等可能的结果，小明与小红同车的有3种情况，
∴小明与小红同车的概率是：1
3
．
【考点】列表法或树状图法求概率 6．【答案】B
【解析】00a a ≠∴Q ，＞或0a ＜．
当0a ＞时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，当0a ＜时，直线经
过第一、二、四象限，双曲线经过第一、三象限．
A 、图中直线经过直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限，故A 选项错
误；
B 、图中直线经过第第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，故B 选项正确；
C 、图中直线经过第二、三、四象限，故C 选项错误；
D 、图中直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，故D 选项错误． 【考点】一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置 7．【答案】B
【解析】AB Q 是O e 的直径，90ADB ∴∠=?，
52903838ABD A ABD BCD A ∠=?∴∠=?∠=?∴∠=∠=?Q ，-,．
【考点】圆周角定理以及直角三角形的性质 8．【答案】A
【解析】0x ＜时，0y x x =-,＞时，y x =． 【考点】动点函数图象 9．【答案】D
【解析】cos 45B B ?∠∴∠=Q ， 当ABC △为钝角三角形时，
45,12AB B AD BD ?=∠=∴==Q ，
13AC =∴Q ，由勾股定理得51257CD BC BD CD =∴===，
--； 当ABC △为锐角三角形时，12517BC BD CD =+=+=. 【考点】解直角三角形的知识
10．【答案】C
【解析】（1）设EDC x ∠=，则90DEF x ∠=?-
45DBE DEB EDC C x ∴∠=∠=∠+∠=+?， 4545BD DE DBM DBE MBE x x DBM CDE =∴∠=∠∠=?+?=∴∠=∠Q ，--．，
故（1）正确；
（2）在Rt BDM △和Rt DEF △中， DBM CDE DMB DFE BD DE ∠=∠??
∠=∠??=?
， BDM DEF BDM DMN DEF DMN Rt BDM Rt DEF S S S S S S ∴∴=∴=△△△△△△△≌△．--，
即S DBN S =△四边形MNEF ．
DBN BNE MNEF S S S ∴+=△△四边形BDE S BNE S +∴=△，△BMFE S 四边形，故（2）错误； （3）,BNE DBM BDN BDM BDE EDF EDF DBM ∠=∠+∠∠=∠+∠∠=∠Q ,，
BNE BDM ∴∠=∠．又45C NBE DBC NEB ∠=∠=?∴Q ，△∽△． ,CD BN CD EN BN BD BD EN
∴=∴=g g ；故（3）正确； （4）Rt BDM Rt DEF BM DF ∴=Q △≌△，，
90B M ∠=?Q ,是AC 的中点，11
BM .DF 22
AC AC ∴=∴=，故（4）正确．
【考点】全等三角形、相似三角形性质和判定，等腰直角三角形的性质 二、填空题
11．【答案】4
3.610?
【考点】科学记数法的表示方法 12．【答案】BO DO =
【解析】,AO CO BO DO ==Q ，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定 13．【答案】7 【解析】根据题意得：
，
则搭成该几何体的小正方体最多是111227++++=（个）． 【考点】由三视图判断几何体
14．【答案】100
【解析】设该商品每件的进价为x 元，则
15080%1010%x x ?=g --，
解得100x =．
即该商品每件的进价为100元． 【考点】一元一次方程的应用． 15．
【答案】4【解析】如图，连接OC ．
Q 弦CD AB ⊥于点E ，6CD =，
1
32
CE ED CD ∴===
Q 在Rt OEC △中，903,4OEC CE OC ∠=?==,，
OE ∴=
4BE OB OE ∴=-=． 【考点】垂径定理 16．【答案】1||3||9- 【解析】根据题意得，
1461442x ++++=或146442x x ++++=或14646
42
x ++++=
， 解得1x =-或3或9． 【考点】中位数与平均数
17．【答案】3
2
-
【解析】把点(2,3)-代入22y ax bx =++得：4223241a b b a -+=-=，-， 33(24)122
b a ?-=-? 3
362
b a =g .
【考点】二次函数图象上点的坐标特征 18．【答案】813x -
【解析】第7个单项式的系数为27113?=-(-)-，
x 的指数为8，所以，第7个单项式为813x -．
【考点】单项式 19．
【答案】(2,0)||(1,- 【解析】
在Rt OAB △
中，1,2,30,60AB OB OA A AOB ??=∴=∠=∴∠=Q ， 当ABO △绕点O 逆时针旋转120°后，点A 的对应点'A 落在x 轴的负半轴上，如图，
2OA OA '==，此时A '的坐标为(-2,0)；
当ABO △绕点O 顺时针旋转120°后，点A 的对应点1A 落在第三象限，如图，则
112120OA OA AOA ==∠=?,，作1OA y ⊥轴于C ，130COA ∴∠=?，
在1Rt COA △中，111
12
CA OA ==
，11(1,OC A ==∴，
综上所述，1A 的坐标为(2,0)-
或(1,．
【考点】坐标与图形变化 20．
【答案】【解析】如图1，
当点P 在CD 上时，
396PD CD AB CP EF ===∴=Q Q ,，，垂直平分PB ，
∴四边形PFBE 是正方形，EF 过点C
，EF ∴=，
如图2，
当点P 在AD 上时，过E 作EQ AB ⊥于Q ，
3,6,3,PD AD AP PB ==∴=∴=Q
EF Q 垂直平分12PB ∴∠=∠，
，
6
,,,,9
EF EQ A EQF ABP EFQ EF PB AB ∠=∠==∴∴=Q △∽△
综上所述：EF
长为
【考点】折叠的性质 三、解答题 21．【答案】原式2
(1)41
1(2)
x x x x x x --+-=
--g 2
(2)(2)11(2)
x x x x x +--=
--g 22
x x +=
- 当1x =-时，原式13
=-. 【考点】分式的化简求值
22．【答案】（1）Q 抛物线2y x bx c =++经过点1,0(3,0)A B -()，，
10
930b c b c -+=??
++=?
∴解得23b c =-??=-?
∴抛物线的解析式为：223y x x -=-；
（2）Q 点2E m （,）
在抛物线上，
4433,(2,3),m E BE ∴=--=∴-∴==Q 点F 是AE 中点，抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，即H 为AB 的中点，
FH ∴是三角形ABE 的中位线，
11
22
FH BE
∴===
【考点】二次函数综合
23．【答案】如图所示：
过点D作DE BC
⊥延长线于点E，
430
AB AC BAC
==∠=?
Q,，以AC为一边作等边ACD
△，
90754
BAD ABC ACB AB AD DC
∴∠=?∠=∠=?===
,,，
453045
ABD ADB DBE DCE
∴∠=∠=?∠=?∠=?
,,，
cos30
DB DE EC BE BD?
∴=====
,
则BC BE EC
=-=
则BCD
△
的面积为：
1
4.
2
?=
【考点】勾股定理以及等腰三角形的性质和锐角三角函数关系
24．【答案】（1）本次调查的学生数是：8040%200
÷=（人），即本次调查共收回200张
问卷；
（2）9
（3）32万40%45%27.2
?+=
（）万．
【解析】（1）略
（2）
251
12.5%16236045%20045%90,
808
=÷=?=
g,,
140%45%12.5% 2.5%200 2.5%5360 2.5%9.
=?=??=?
---,,
（3）略
【考点】条形统计图和扇形统计图的综合运用
25．【答案】（1） 4.5
a=，
甲车的速度
460
==60
2
7
3
+
（千米/小时）；
（2）设乙开始的速度为v千米/小时，
则4(7 4.5)(50)460
v v
+=
--，解得90
v=（千米/小时），
4360
v=，则(4360)(4.5360)
D E
,,，设直线EF的解析式为y kx b
=+，
把 4.5360(7460)
E F
(，),，代入得
4.5360
7460
k b
k b
+=
?
?
+=
?
，
解得
40
180
k
b
=
?
?
=
?
．
所以线段EF所表示的y与x的函数关系式为401804.57
y x x
=+≤≤
（）；
（3）甲车前40分钟的路程为
2
6040
3
?=千米，则(040)
C，，
设直线CF的解析式为y mx n
=+，
把(040)7460
C F
，,（，）代入得
40
7460
n
m n
=
?
?
+=
?
，解得
60
40
m
n
=
?
?
=
?
，
所以直线CF的解析式为6040
y x
=+，
易得直线OD的解析式为90(04)
y x x
=≤≤，
设甲乙两车中途相遇点为G，
由604090
x x
+=，解得
4
3
x=小时，即乙车出发
4
3
小时后，甲乙两车相遇，
当乙车在CG段时，由60409015
x x
+-=，解得
5
6
x=，介于0
4
3
～小时之间，符合题意；
当乙车在GD段时，由90604015
x x+=
-()，解得
11
6
x=，介于
4
3
4
～小时之间，符合题
意；
当乙车在DE段时，由360604015
x+=
-()，解得
61
12
x=，不介于4 4.5
～之间，不符合
题意；
当乙车在EF段时，由40180604015
x x
++=
-()，解得
25
4
x=，介于4.57
～之间，符合
题意．
所以乙车出发
5
6
小时或
11
6
小时或
25
4
小时，乙与甲车相距15千米．
【考点】一次函数的应用
26.【答案】（1）证明：如图①，延长MF ，交边BC 的延长线于点H ，
Q 四边形ABCD 是正方形，FM AD ⊥，
90,90ABE EHF ∴∠=?∠=?，四边形ABHM 为矩形， AM BH BE EH ∴==+
AEF Q △为等腰直角三角形，
90AE AF AEB FEH ∴=∠+∠=?,，
90EFH FEH AEB EFH ∠+∠=?∴∠=∠Q ，，在ABE △与EHF △中， 90ABE EHF AEB EFH
AE EF ??∠=∠=?
∠=∠??=?
， ABE EHF AAS AB EH ∴∴=△≌△（），，
AM BH BE EH AM BE AB ==+∴=+Q ，，即AB BE AM +=；
（2）如图②，
90,90AEB FEH AEB EAB FEH EAB ∠+∠=?∠+∠=?∴∠=∠Q ，，在ABE △与EHF △中，
ABE EHF EAB FEH AE FE ∠=∠??
∠=∠??=?
， ABE EHF AAS AB EH EB AM ∴∴==+△≌△（），；
如图9090BAE AEB AEB HEF BAE HEF ∠+∠=?∠+∠=?∴∠=∠③,，
，在ABE △与EHF △中，
ABE EHF EAB FEH AE FE ∠=∠??
∠=∠??=?
， ABE EHF AAS AB EH BE BH EH AM AB ∴∴=∴=+=+△≌△（），，； （3
）31-
【解析】（1）略 （2）略 （3）如图①，
154560120AFM AFE EFM EFH ∠=?∠=?∴∠=?∴∠=?Q ,，，，
在EHF △中，
90120FHE EFH ∠=?∠=?∴Q ,，此情况不存在；
如图②，
15456060AFM AFE EFH ABE EHF EAB EFH ∠=?∠=?∴∠=?∴∠=∠=?Q Q ,，，△≌△，，
tan 603BE AB BE ?==Q g ，
,3AB EB AM AM AB EB =+∴=-=Q
如图154545153030AFM AFE EFH AEB ∠=?∠=?∴∠=??=?∴∠=?Q ③，
,，-，，
tan301BE AB BE ?===Q g ，
,1BE AM AB AM BE AB =+∴=-Q ，
故答案为：31
【考点】等腰直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的性质及判定定理、数形
结合
27．【答案】（1）设乙种空调每台进价为x 元，则甲种空调每台进价为（500x +）元，根
据题意得：
4000030000
500x x
=
+， 去分母得：400003000015000000x x =+，解得 1 500x =，
经检验x=1 500是分式方程的解，且500 2 000x +=， 则甲、乙两种空调每台进价分别为2 000元，1 500元；
（2）根据题意得：(2 5002000) 1 8001 50020200 6 000y x x x =+=+-(-)(-)； （3）设购买甲种空调n 台，则购买乙种空调（20n -）台， 根据题意得：2 000 1 50020 3 6000n n +≤（-），且10n ≥， 解得：1012n ≤≤，
当12n =时，最大利润为8 400元，
设购买A 型按摩器a 台，购买型按摩器b 台，则1 1007008 400a b +=，有两种购买方案：
A ①型0台，
B 型12台；A ②型7台，B 型1台．
【考点】一次函数的意义、分式方程的应用、以及一元一次不等式组的应用 28．【答案】（1）解一元二次方程212360x x +=-，解得：126x x ==，
6(60),(60)OA OC A C ∴==∴，-，，.
（2）如图1，
过点B 作BE AC ⊥，垂足为E ，
45BAC AE BE ∠=?∴=Q ，，
设,BE x BC CE ===Q
,12AE CE OA OC x +=+∴+=Q ，整理得：212320x x +=-， 解得：14x =（不合题意舍去），28.x =
8862(28)BE OE B ∴===∴,-，，，把B(2,8)代入k
y x
=，得16k =．
（3）存在．如图2，
若
点
P
在
OD 上，若PDB AOP △∽△，则即
682
,,,826OA OP OP PD DB OP DP DB OP PO OA OP -====- 解得：2OP =或6,02OP P =∴（，）或06P （，）；如图3，
若点P 在OD 上方，PDB AOP △∽△，即，解得：12012OP P =∴，（，）
；如图4，
若点P 在OD 上方，PDB AOP △∽△，即
82
6PD DB OP OA OP OP
-==
、，
解得：4OP =+
或4OP =-
，(0,4P ∴+；如图5，
若点P 在y 轴负半轴，PDB AOP △∽△，
则
PD DB OA OP
=
即82
OP OP +=，解得：42OP
=+-或42--， 则P 点坐标为4)或4)
∴点P 的坐标为：0
2（，）或06（，）或
012
（
，）
或042+（，）
或4)． 【考点】一元二次方程的解法、点的坐标、点在图象上、相似三角形的判定与性质