2020届高考数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题第4讲不等式、线性规划练习文

第4讲 不等式、线性规划

[考情分析] 不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主．(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题．(2)不等式的相关知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，在解答题中，特别是在解析几何中利用不等式求最值、范围或在解决导数问题时利用不等式进行求解，难度偏高．

热点题型分析

热点1 不等式的性质及解法

1.利用不等式的性质比较大小要注意特殊值法的应用．

2.一元二次不等式的解法

先化为一般形式ax 2

＋bx ＋c ＞0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．

3.简单分式不等式的解法 (1)

f x

g x

>0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)； (2)f x

g x ≥0(≤0)????

??

f x

g x ≥0≤0，g x ≠0.

1.已知a >b >0，给出下列四个不等式： ①a 2

>b 2

；②2a >2

b －1

；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3

>2a 2

b .

其中一定成立的不等式为( ) A.①②③ B ．①②④ C.①③④ D ．②③④

答案 A

解析 解法一：由a >b >0可得a 2

>b 2

，所以①成立； 由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x

在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1

，所以②成立；

∵a >b >0，∴a >b ，

∴(a －b )2

－(a －b )2

＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0， ∴a －b >a －b ，所以③成立； 若a ＝3，b ＝2，则a 3

＋b 3

＝35,2a 2

b ＝36，

有a 3＋b 3<2a 2

b ，所以④不成立．故选A. 解法二：令a ＝3，b ＝2， 可以得到①a 2

>b 2

，②2a >2b －1

，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2

b 不成立，故选

A.

2.函数f (x )＝3x －x 2

的定义域为( ) A.[0,3] B.(0,3)

C.(－∞，0]∪[3，＋∞)

D.(－∞，0)∪(3，＋∞) 答案 A

解析 要使函数f (x )＝3x －x 2

有意义，则3x －x 2

≥0，即x 2

－3x ≤0?x (x －3)≤0，解得0≤x ≤3，故选A.

3.不等式2x －4

x －1≤1的解集为( )

A.{x |x <1或x ≥3} B ．{x |1≤x ≤3} C.{x |1

答案 C

解析 由2x －4x －1≤1，移项得2x －4x －1－1≤0，即x －3

x －1

≤0，

∴?????

x －3

x －1≤0，

x ≠1，

解得1

1.判断不等式是否成立，需要利用性质推理判断，也经常采用特值法进行验证或举出反例，如第1题中对于a 与a －b 或者a －b 与0的大小判断易出错，利用不等式的性质a ＞b ＞0，∴a －b ＞b －b ＝0，即a －b ＞0.

2.解一元二次不等式要注意二次项系数的正负，通常先把系数化正再求解，不等式的解集要写成集合或区间的形式．如第2题易忽略二次项系数为负，由3x －x 2

≥0得出选项C.

3.解不等式时同解变形出错，第3题易出现的问题有两个方面：一是错用不等式的性质直接把不等式化为2x －4≤x －1求解；二是同解变形过程中忽视分母不为零的限制条件，导致增解.

热点2 基本不等式及其应用

1.利用基本不等式求最大值、最小值的基本法则

(1)如果x >0，y >0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)

(2)如果x >0，y >0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值14s 2

.(简记：和定积最大)

2.利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：

(1)通过变形直接利用基本不等式解决．

(2)对条件变形，根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，通过“1”的代换、添项、分离常数等手段使之能运用基本不等式．常见的转化方法有：

①若a x ＋b y

＝1，则mx ＋ny ＝(mx ＋ny )·1＝(mx ＋ny )·? ??

??a x ＋b y ≥ma ＋nb ＋2mnab (字母均

为正数)；

②x ＋

b

x －a

＝x －a ＋

b

x －a

＋a ≥a ＋2b (x >a ，b >0)．

1.下列结论正确的是( ) A.当x >0且x ≠1，lg x ＋1

lg x

≥2 B.

1

x 2

＋1

<1(x ∈R ) C.当x >0时，x ＋

1

x ≥2

D.当0

x

无最大值 答案 C

解析 对于A ，当0

x 2

＋1

＝1，不等式不成立；对于C ，当x >0时，x ＋

1x

≥2

x ·

1

x

＝2，当且仅当x ＝1时等号成立；

对于D ，当0

2

.故选C.

2.已知0

3

解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·????

??3x ＋4－3x 22＝4

3，当且仅当3x ＝4－3x ，

即x ＝23时，取等号．所以x (4－3x )的最大值为43，取得最大值时x 的值为23

.

3.设x >－1，则函数y ＝x ＋5x ＋2

x ＋1

的最小值为________．

答案 9

解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0，∴y ＝x ＋5x ＋2x ＋1＝x 2＋7x ＋10

x ＋1＝

x ＋1

2

＋5x ＋1＋4x ＋1＝x ＋1＋4

x ＋1

＋5≥2

x ＋1·4

x ＋1

＋5＝9，当且仅当x ＋1＝

4x ＋1，即x ＝1时取“＝”(由于x >－1，故x ＝－3舍去)，∴y ＝x ＋5x ＋2x ＋1的最小值为9.

4.(2018·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．

答案 9

解析 由题意可知，S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，由角平分线性质和三角形面积公式得

1

2

ac sin120°＝12a ×1×sin60°＋12c ×1×sin60°，化简得ac ＝a ＋c ，1a ＋1

c ＝1，因此4a ＋c ＝

(4a ＋c )? ??

??1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c

≥5＋2

c a ·4a

c

＝9，当且仅当c ＝2a ＝3时取等号，则4a ＋c 的最小值为9.

1.利用均值不等式求解最值时，要注意三个条件，即“一正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三等——能取到使等号成立的值”，这三个条件缺一不可．

2.第2题易出错的地方是：不会“凑”，不能根据函数解析式的特征适当变形凑出两式之和为定值；第3题是分子展开后不能变形凑出两式之积为定值．第4题利用“1”的代换或配凑使和为定值或积为定值时，代数式的变形要注意保持等价.

热点3 简单的线性规划问题

1.解决线性规划问题的一般步骤

(1)画出可行域；(2)根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；(3)求出目标函数的最大值和最小值．

2.常见代数式的几何意义

(1)z ＝Ax ＋By 表示与直线y ＝－A B x ＋z B 在y 轴上的截距z B

成比例的数； (2)z ＝(x －a )2

＋(y －b )2

区域内动点(x ，y )与定点(a ，b )的距离的平方； (3)z ＝

y －b

x －a

表示区域内动点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率． 3.求解线性规划中含参问题的基本方法 (1)首先把不含参数的平面区域确定好；

(2)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围．

4.解线性规划应用问题的一般步骤 (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答．

题型1 已知约束条件，求目标函数的最值

1.(2019·全国卷Ⅱ)若变量x ，y 满足约束条件????

?

2x ＋3y －6≥0，x ＋y －3≤0，

y －2≤0，则z ＝3x －y 的最

大值是________．

答案 9

解析 作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y ＝3x －z 过点C 时，－z 最小，即z 最大．

由?

??

??

x ＋y －3＝0，

2x ＋3y －6＝0，解得?

??

??

x ＝3，

y ＝0，

即C 点坐标为(3,0)，故z max ＝3×3－0＝9.

2.(2019·晋城一模)若x ，y 满足约束条件????

?

x －y ＋2≥0，x ＋y －4≤0，

y ≥2，

则z ＝x 2

＋y 2

－4x －6y ＋13的最小值为________． 答案 1

2

解析 画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，

由于z ＝x 2

＋y 2

－4x －6y ＋13＝(x －2)2

＋(y －3)2

，故z 表示可行域内的点A (x ，y )与定点P (2,3)间距离的平方，即z ＝|PA |2

.

由图形可得|PA |的最小值即为点P (2，3)到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|2＋3－4|2＝2

2，

所以z min ＝d 2

＝12

.

第1、2题易错在不能准确把握目标函数z 的几何意义而不知如何变形. 题型2 已知目标函数的最值求参数

1.(2019·华南师大附中一模)已知a >0，x ，y 满足约束条件????

?

x ≥1，x ＋y ≤3，

y ≥a x －3，

若z

＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )

A.1

2 B.1

3 C ．1 D ．2

答案 A

解析 由约束条件画出可行域(如图所示三角形及其内部)．由?

??

??

x ＝1，

y ＝a x －3得B (1，

－2a )．当直线2x ＋y －z ＝0过点B 时，z ＝2x ＋y 取得最小值，所以1＝2×1－2a ，解得a ＝1

2，

故选A.

2.已知x ，y 满足约束条件????

?

x －y ≥0，x ＋y ≤2，

y ≥0，

若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )

A.3 B ．2 C ．－2 D ．－3

答案 B

解析 不等式组????

?

x －y ≥0，x ＋y ≤2，

y ≥0

在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分

所示，

若z ＝ax ＋y 的最大值为4， 则y ＝－ax ＋z 截距的最大值为4. ①若a <0，则不满足条件；

②若a >0，当－a <－1，即a >1时，x ＝2，y ＝0是最优解，此时a ＝2；当－a >－1，即01(舍)．故选

B.

第1题易在分析动直线的位置时出错，忽略直线y ＝a (x －3)恒过定点(3,0)而不好确定可行域；第2题需明确目标函数中z 与直线y ＝－ax ＋z 截距最值相同，易忽视关于a 的正负讨论而漏解或错解.

题型3 线性规划的实际应用

(2019·黄冈联考)一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克，果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克，果汁15千克，用时1小时．现库存白糖10千克，果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元，在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________.

答案 600

解析 设生产甲、乙两种饮料分别为x 桶、y 桶，利润为z 元，

则得?????

4x ＋y ≤10，

18x ＋15y ≤66，3x ＋y ≤9，

x ≥0，y ≥0.

即?????

4x ＋y ≤10，

6x ＋5y ≤22，

3x ＋y ≤9，

x ≥0，y ≥0.

目标函数z ＝200x ＋100y

.

作出可行域(如图阴影部分所示)．当直线z ＝200x ＋100y 经过可行域上点B 时，z 取得最大值．

解方程组???

?

?

4x ＋y ＝10，6x ＋5y ＝22，

得点B 的坐标(2,2)，故z max ＝200×2＋100×2＝600.

1.线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得．

2.在解决线性规划的应用问题时要注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，

y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等.

真题自检感悟

1.(2019·全国卷Ⅰ)已知a ＝log 20.2，b ＝20.2

，c ＝0.20.3

，则( ) A.a

答案 B

解析 因为a ＝log 20.2<0，b ＝20.2

>1,0c >a .故选B. 2.(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件????

?

2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，

y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值

是( )

A.－15 B ．－9 C ．1 D ．9

答案 A

解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．

将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x ，并平移该直线，知当直线

y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，z 有最小值，且z min ＝2×(－6)－3＝－15.故选A.

3.(2017·天津高考)已知函数f (x )＝????

?

x 2

－x ＋3，x ≤1，x ＋2

x

，x ＞1.设a ∈R ，若关于x 的不等

式f (x )≥????

??x

2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( ) A.????

??－4716，2 B.????

??－4716，3916 C.[－23，2] D.?

?????－23，3916 答案 A

解析 关于x 的不等式f (x )≥????

??x 2＋a 在R 上恒成立等价于－f (x )≤a ＋x

2≤f (x )，

即－f (x )－x 2≤a ≤f (x )－x

2在R 上恒成立，

令g (x )＝－f (x )－x

2

.

当x ≤1时，g (x )＝－(x 2

－x ＋3)－x

2＝－x 2

＋x

2

－3

＝－? ????x －142－47

16

，

当x ＝14时，g (x )max ＝－4716

；

当x ＞1时，g (x )＝－? ????x ＋2x －x 2＝－? ??

??3x 2＋2x ≤－23，

当且仅当3x 2＝2x ，且x ＞1，即x ＝23

3时，“＝”成立，

故g (x )max ＝－2 3. 综上，g (x )max ＝－47

16.

令h (x )＝f (x )－x

2

，

当x ≤1时，h (x )＝x 2

－x ＋3－x 2＝x 2－3x 2

＋3

＝? ????x －342＋39

16

， 当x ＝34时，h (x )min ＝3916

；

当x ＞1时，h (x )＝x ＋2x －x 2＝x 2＋2

x

≥2，

当且仅当x 2＝2

x

，且x ＞1，即x ＝2时，“＝”成立，

故h (x )min ＝2.

综上，h (x )min ＝2.

故a 的取值范围为????

??－4716，2.故选A. 4.(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a

＋18b 的最小值为________．

答案 14

解析 由a －3b ＋6＝0可知a －3b ＝－6，且2a ＋18b ＝2a ＋2－3b

，

因为对于任意x,2x

>0恒成立， 结合均值不等式的结论可得， 2a

＋2

－3b

≥22a ×2

－3b

＝22－6

＝14

.

当且仅当?

??

??

2a

＝2－3b

，

a －3

b ＝－6，即?

??

??

a ＝－3，

b ＝1时等号成立．

综上可得2a

＋18b 的最小值为14.

专题作业

一、选择题

1.(2019·北京高考)若x ，y 满足|x |≤1－y ，且y ≥－1，则3x ＋y 的最大值为( ) A.－7 B ．1 C ．5 D ．7

答案 C

解析 由|x |≤1－y ，且y ≥－1，得????

?

x －y ＋1≥0，x ＋y －1≤0，

y ≥－1.

作出可行域如图阴影部分所

示．设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z .作直线l 0：y ＝－3x ，并进行平移．显然当l 0过点A (2，－

1)时，z 取最大值，z max ＝3×2－1＝5.故选C.

2.不等式x －1

2x ＋1

≤0的解集为( )

A.? ????－12，1

B.????

??－12，1 C.?

????－∞，－12∪[1，＋∞) D.? ????－∞，－12∪[1，＋∞) 答案 A

解析 x －1

2x ＋1≤0??

??

??

x －12x ＋1≤0，2x ＋1≠0，

解得?????

－1

2≤x ≤1，x ≠－1

2，

即－1

2

3.(2017·山东高考)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋1b ＜b

2

a ＜log 2(a ＋

b )

B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b

C.a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2a

D.log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2a

答案 B

解析 解法一：∵a ＞b ＞0，ab ＝1， ∴log 2(a ＋b )＞log 2(2ab )＝1.

∵a >b >0且ab ＝1，∴a 2

>ab >b 2

，则a >1,0

>2，∴0<12a <12，则b 2a <12.

∵a ＋1

b

＝a ＋a ＝2a >a ＋b >log 2(a ＋b )，

∴b 2a

b

.故选B.

解法二：∵a ＞b ＞0，ab ＝1，∴取a ＝2，b ＝1

2，

此时a ＋1b ＝4，b 2a ＝1

8

，log 2(a ＋b )＝log 25－1≈1.3，

∴b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1

b

.故选B. 4.(2019·北京师范大学附中模拟)已知a >0，b >0，并且1a ，12，1

b 成等差数列，则a ＋9b

的最小值为( )

A.16 B ．9 C ．5 D ．4

答案 A

解析 ∵1a ，12，1b 成等差数列，∴1a ＋1

b

＝1.

∴a ＋9b ＝(a ＋9b )? ??

??1a ＋1b ＝10＋a b ＋9b a

≥10＋2

a b ·9b a ＝16，当且仅当a b ＝9b a 且1a ＋1

b

＝1，即a ＝4，b ＝4

3

时等号成立．∴a ＋9b 的最小值为16，故选A.

5.已知函数f (x )＝x ＋a

x

＋2的值域为(－∞，0)∪(4，＋∞)，则a 的值是( ) A.12 B.3

2 C ．1 D ．2

答案 C

解析 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋a x

＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋a x

＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号，所以

??

?

2＋2a ＝4，2－2a ＝0，

解得a ＝1，故选C.

6.(2018·天津高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 121

3，则a ，b ，c 的大小关系为( )

A.a >b >c B ．b >a >c C.c >b >a D ．c >a >b

答案 D

解析 由题意结合对数函数的性质可知，

a ＝log 2e>1，

b ＝ln 2＝

1log 2e ∈(0,1)，c ＝log 121

3

＝log 23>log 2e ，据此可得，c >a >b .故

选D.

7.已知x ，y >0且x ＋4y ＝1，则1x ＋1

y

的最小值为( )

A.8 B ．9 C ．10 D

．11

答案 B

解析 ∵x ，y >0且x ＋4y ＝1，∴1x ＋1y

＝(x ＋4y )? ??

??1x ＋1y ＝5＋4·y x ＋x y

≥5＋2

4·y x ·

x

y

＝5＋4＝9，

当且仅当4·y x ＝x y 即?????

x ＝13

，y ＝1

6

或????

?

x ＝－1，y ＝1

2

(舍去)时等号成立．故选B.

8.(2019·华大新高考联盟模拟)若实数x ，y 满足不等式组????

?

x －2y ＋1≥0，y ≥x ，

x ≥0，

则x

2

＋y 2

的取值范围是( )

A.??????14，2

B ．[0,2] C.????

??12，2 D ．[0，2]

答案 B

解析 画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，

x 2＋y 2的几何意义是阴影内的点到原点的距离的平方，显然O 点为最小值点，而A (1,1)

为最大值点，故x 2

＋y 2

的取值范围是[0,2]．故选B.

9.若x ，y 满足约束条件????

?

x －1≥0，x －y ≤0，

x ＋y －4≤0，

则y

x

的最大值为( )

A.1

B ．－1

C ．3

D ．0

答案 C

解析 作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，y x

是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1,3)与原点连线的斜率最大，故y x

的最大值为3.故选C.

10.若直线l ：kx －y ＋1＝0上不存在满足不等式组????

?

x －y ≥0，x ＋y －2≤0，

x －4y －4≤0

的点(x ，y )，则

实数k 的取值范围为( )

A.(－∞，0]∪??????74，＋∞

B.????

??0，74

C.(－∞，0)∪? ????74，＋∞

D.? ??

??0，74

答案 D

解析 实数x ，y 满足????

?

x －y ≥0，x ＋y －2≤0，

x －4y －4≤0，

对应的可行域如图中阴影部分：

直线l ：kx －y ＋1＝0可化为y ＝kx ＋1，故直线l 过定点C (0,1)，由图可知，当直线l

过?????

x －y ＝0，x ＋y －2＝0

的交点A (1,1)时，k ＝0；当直线l 过???

??

x －y ＝0，

x －4y －4＝0

的交点B ? ????－4

3

，－43时，

k ＝74

.

由此可知当0

4时，直线与不等式组无交点，即直线l 上不存在满足不等式组的点．故

选D.

11.若正数a ，b 满足：1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9

b －1的最小值为( )

A.16 B ．9 C ．6 D ．1

答案 C

解析 ∵正数a ，b 满足：1a ＋1b ＝1，∴a >1且b >1.1a ＋1b ＝1可变形为a ＋b

ab

＝1，∴ab ＝a

＋b ，∴ab －a －b ＝0，∴(a －1)(b －1)＝1，∴a －1＝

1

b －1

，∵a －1>0， ∴

1a －1＋9b －1＝1a －1

＋9(a －1)≥21

a －1

·9a －1＝6，当且仅当1

a －1

＝9(a －1)，

即a ＝43时取“＝”? ??

??由于a >1，故a ＝23舍去，∴1a －1＋9b －1的最小值为6.故选C. 12.(2019·太原模拟)已知正数a ，b 满足1a ＋9b

＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2

＋4x ＋18－m

对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )

A.[3，＋∞) B ．(－∞，3] C.(－∞，6] D ．[6，＋∞)

答案 D

解析 ∵a >0，b >0，且1a ＋9

b

＝1，

∴a ＋b ＝(a ＋b )? ??

??1a ＋9b

＝10＋b a ＋9a b

≥10＋2

b a ·9a

b

＝16， 当且仅当b a ＝

9a

b

，即a ＝4，b ＝12时等号成立，所以(a ＋b )min ＝16. 若不等式a ＋b ≥－x 2

＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则－x 2

＋4x ＋18－m ≤16，即m ≥－x 2

＋4x ＋2对任意实数x 恒成立，

∵－x 2＋4x ＋2＝－(x －2)2

＋6≤6，∴m ≥6. ∴实数m 的取值范围是[6，＋∞)．故选D. 二、填空题

13.已知实数x ，y 满足????

?

y ≥1，y ≤2x －1，

x ＋y ≤m ，

如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实

数m 等于________．

答案 5

解析 绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，

联立直线方程?

??

??

y ＝2x －1，

y ＝－x ＋m ，可得交点坐标为A ?

????m ＋13

，2m －13，由目标函数的几何意

义可知目标函数在点A 处取得最小值，所以

m ＋13－

2m －1

3

＝－1，解得m ＝5.

14.(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．

答案 30

解析 一年的总运费为6×

600x ＝3600

x

(万元)．

一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为? ??

?

?3600x ＋4x 万元．

因为3600

x

＋4x ≥2

3600

x

·4x ＝240，

当且仅当3600

x

＝4x ，即x ＝30时取得等号，

所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小.

15.(2019·衡水中学检测)设满足?????

x ＋y ≤6，x －y ≤2，

x ≥0，

y ≥0

的实数x ，y 所在的平面区域为Ω，

则Ω的外接圆方程是______________．

答案 (x －1)2

＋(y －3)2

＝10

解析 作出不等式组表示的平面区域Ω，如图阴影部分所示．则区域Ω是四边形

ABCO (含内部及边界)．易知BC ⊥AB ，则外接圆的圆心为AC 的中点，又A (0,6)，C (2,0)，则

该四边形外接圆的圆心为(1,3)，半径r ＝

12|AC |＝10.故所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2

＝

10.

16．若实数x ，y 满足x 2

＋y 2

≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________． 答案 3

解析 x 2

＋y 2

≤1表示圆x 2

＋y 2

＝1及其内部，易得直线6－x －3y ＝0与圆相离，故|6－x －3y |＝6－x －3y ，当2x ＋y －2≥0时，|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |＝x －2y ＋4，如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数z ＝x －2y ＋4，则可知当x ＝35，y ＝4

5时，z min ＝3，当

2x ＋y －2≤0时，|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |＝8－3x －4y ，可行域为大的弓形内部，目标函数

z ＝8－3x －4y ，同理可知当x ＝3

5，y ＝45

时，z min ＝3，综上所述，(|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |)min

＝3.