效用函数与纳什均衡

效用函数与纳什均衡李保明

(山东大学产权研究所,济南,250100)

刘家壮

(山东大学数学与系统科学院,济南,250100)

摘　要　本文引入效用函数将博弈问题描述为收入形式和效用形式两种模型,使得纳什均衡与参与人效用函数联系起来,并得到结论:(1)效用函数的变化对纯策略纳什均衡不产生影响,却改变真混合策略纳什均衡;(2)效用函数严格拟凹时,真混合策略纳什均衡是稳定的;(3)效用函数严格拟凸时,真混合策略纳什均衡不存在.

关键词　效用函数,博弈论,纳什均衡

1.引言

近二十年来,博弈论在经济学领域产生重大影响,并有从根本方法上改写经济学的趋势.博弈论在经济分析中的广泛适应性是因为它更好地描述了经济问题,并为决策者提供了一套可丢行的决策方法.其中的关键概念纳什均衡为相互影响的决策者提供了博弈可能结果的一致性预测,也是理性决策者最优决策的结果,从而为决策者指明了决策方向.但是博弈论本身的缺陷阻碍了经济理论的发展,其中之一就是纳什均衡的多重性,由纳什均衡不唯一性导致经济(或博弈)问题的一致性预测结果很多,决策者仍然面临不确定性问题.如何在众多的纳什均衡中选择更为合理的一个?目前仍然博弈论中的理论难点.泽尔腾的子博弈完美纳什均衡和颤抖的手完美均衡以及梅耶森的适度均衡都是精炼纳什均衡所作的努力.但是仍不能得到满意结果(即唯一的均衡),考尔伯格和默顿提出稳定均衡的概念(Stable equilibria ),并说明没有单一的策略组合能满足所有要求,因此均衡解应是某些策略组合的集合而不是单一的策略组合,这似乎给均衡精炼下了一个“不能达到唯的”结论,然而这对博弈论在经济学上的应用和解决经济问题产生巨大障碍.海萨尼、泽而滕(Harsanyi ,Selten ,1988)提出纳什均衡选择的收入占优和风险占优分析方法,但它引起许多争议,并与Cooper ,Dejong ,Forsythe ,和Ross (1990)等人的实验结果不相符.尽管如此,参与人的决策总是选择一个策略,而不是多个策略,在下面的讨论中,我们引入效用函数描述参与人的这种选择.

在所有的博弈描述中,它都是由参与人、参与人策略和各种策略组合下的结果(参与人支付)所组成.根据博弈问题的不同,它还有不同的信息结构.对于完全信息的博弈,上述三要素是参与人的共同知晓的共同知识(Common knowledge ).但是,应该看到在博弈论描述的经济问题中,决策者(或称参与人)是根据其效用选择其策略的,参与人知道自己的效用函数却不能保证他知道其他参与人的效用函数,也就是说实际决策所需的效用函数不是参与人共知的共同知识;那么,作为共同知识的支付只能是各种策略组合下参与人的收入.在纳什(Nash ,

第17卷第4期2000年12月 经　济　数　学MA THEMA TICS IN ECONOMICS Vo1117　No.4Dec.2000

收稿日期:2000-05-23

1950)定义中,他没有明确指明支付是收入还是效用,然而在讨论问题时又把它们混在一起.在后面的讨论中,我们可以看到两者的区分是很有意义的.现有的博弈结构没有完全揭示经济问题,还有描述参与人特征(比如对风险的态度等)的效用函数没有表达出来.这一问题导致了博弈论的重大缺陷即纳什均衡选择方面的困难.本文首先将效用函数引入博弈结构得到博弈问题新的描述形式,进而讨论不同效用函数导致纳什均衡的不同性质,尤其是混合策略纳什均衡的特征.2.博弈问题的新描述

描述经济问题的博弈论模型由参与人、策略和支付三要素组成,与原有的博弈论模型不同的是,我们根据支付是参与人的收入还是效用将博弈论描述分为博弈问题的收入形式模型和效用形式模型,收入形式模型是描述经济问题的中间模型,最终描述形式应是效用形式模型.

211　博弈问题收入形式模型

这种形式的博弈论模型和以前的描述没有区别,但为以后讨论问题方便,我们有必要严格表述一遍.

收入形式博弈模型由参与人、策略和收入组成,我们考虑有限博弈问题,它由以下因素组成:

(一)参与人集合N ={1,2,…,n},每一个参与人i ∈N 是博弈问题中的决策主体,其目的是其收入或期望收入最大化.

(二)参与人策略和策略组合,参与人i 的纯策略集合记为S i ={s 1i ,…,s k i i },所有参与人

的纯策略组成纯策略组合s =(s j i 1,…,s j n n ),其中j i =1,…,k i ,或简记为s ={s 1,…,s n },策略

组合的全体为S =Πn

i =1

S i .关于混合策略,参与人i 的混合策略是S i ={s 1i ,…,s k i i }上的概率分布即k i 维向量σi =(p 1i ,…,p k i 1),其中

p j i i Ε0,∑k i j i =1p j i i =1,其全体为M i ={(p 1i ,…,p k i i )|

∑k i j i =1p j i i =1},混合策略组合是由它们组成的m (m =k 1+k 2+…+k n )维向量σ=(σ1,

…σn ),其全体为M ={(σ1,…,σn })|σi ∈M i ,i ∈N }=Πn i =1

M i .当σi 的概率集中到一个纯策略s i 时,则它称为非真混合策略(improper mixed strategy )或称纯策略,记为σi =s i .否则,称为真混合策略(proper mixed strategy ).在混合策略中取概率为正的所有纯策略全体称为σi 的载体(carrier ),记为C (σi );若C (σi )=S i ,即在每一个纯策略的概率为正,则称σi 为完全混合策略(completely mixed strategy ).若所有的σi (i ∈N )均为纯策略,则它称为纯策略组合,并记为σ=s ;否则σ称为真混合策略组合(proper mixed 2strategy profile ).

(三)收入(Payoff ),参与人i 的收入不仅取决于自己的策略而且与其他参与人的策略有

关,它是策略组合的函数:对于纯策略组合s =(s j 11,…,s j n n ),其中j i =1,…,k i ,a i (s )=

a i (s j 11,…,s j 22,…,s j n n )是确定的实数,所有参与人的收入记为A =(a i (s ))s ∈S ,i ∈N ,并称为收

入矩阵.对于混合策略σ=(σ1,σ2,…,σn ),a i (σ)=a i (σ1,σ2,…,σn )是在{a i (s )|s ∈S }上

取值的随机变量,其数学期望为

Ea i (σ

)=∑k 1j 1=1∑k 2j 2=1…∑k n

j n =1a i (s j 11,s j 22,…,s j n n )p j 11p j 22…p j n

n 对于完全信息的博弈问题,上述三项均为共同知识,记为G =(N ,(S i )i ∈N ,(a i )i ∈N ),

—22— 经济数学 第17卷

并称之为博弈问题的收入形式模型.我们在G 上定义纳什均衡,对任一i ∈N ,记σ=(σi ,…,σn )≡(σi ,σ-i ).定义1　策略组合σ3=(σ31,…,σ3n )是收入形式的纳什均衡,如果对任一i ∈N ,

Ea i (σ31,σ3-i )ΕEa i (σi ,σ3-i ),Πσi ∈M i

(1)成立.若σ3为纯策略组合,则称其为纯策略纳什均衡,否则称之为真混合策略纳什均衡.现有的结论都适用于收入形式的博弈问题,主要有以下几个方面的内容:

(一)纳什均衡的存在性

纳什于1950年最早给出博弈问题均衡的定义和其存在性的理论,从此开始纳什均衡的存在性就成了博弈论研究的一个主要方向,并取得了大量的研究成果.

纳什均衡存在性定理1(Nash ,1950)每一个有限博弈至少存在一个纳什均衡.

Debreu ,G licksberg 和Fan 等人研究了参与人的策略无限的情况,得到如下存在性定理.纳什均衡存在性定理Ⅱ(Debreu ,1952;G licksberg ,1952;Fan ,1952)在n 人博弈问题G 中,若每一个参与人的纯策略集合S i 是欧氏空间的非空紧致凸子集,且每一个收入函数a i (s )关于s 连续、关于s i 拟凹,则存在一个纯策略纳什均衡.

G licksberg 放松拟凹性条件得到混合策略的存在性.

纳什均衡存在性定理Ⅲ　(G licksberg ,1952)在n 人博弈问题G 中,若每一个参与人的纯策略集合S i 是欧氏空间的非空紧致凸子集,且每一个收入函数a i (s )关于s 连续,则存在一个混合策略纳什均衡.

放松收入函数连续的连续性条件,Dasguta 和Maskin 得到非连续博弈的纳什均衡的存在性.

纳什均衡存在性定理Ⅳ　(Dasguta ,Maskin ;1986)在n 人博弈问题中,若每一个参与人的纯策略集合S i 是有限维欧氏空间的非空紧致凸子集,每一个收入函数a i (s )关于s i 拟凹,关于s 上半连续,且具有连续最大值①,则存在一个纯策略纳什均衡.

(二)纳什均衡稳定性

根据纳什的定义,纯策略的严格纳什均衡是稳定的,即指在其他参与人采取纳什均衡的策略时,任一参与人的策略偏离均衡策略都有恢复到均衡策略的动力,但是真混合策略的均衡却是不稳定的.

(三)纳什均衡的多重性

纳什均衡概念的一个重要缺陷就是它的多重性,即许多博弈问题有多个纳什均衡,Wilson 研究了均衡的计算方法并提出著名的奇数定理.

奇数定理(Silson ,1971)几乎每一个有限博弈问题具有奇数个纳什均衡.

参与人和策略数量给定情况下,一个有限博弈问题由m Πn i =1k i 维向量(即收入矩阵)唯一确定,定理中的“几乎”是指除m Πn i =1k i 维欧氏空间中测度为零的集合外都成立.

(四)纳什均衡的精炼与选择

由于纳什均衡的多重性,剔除不合理的均衡或选择一个合理的均衡成了近年来博弈论发展的主要方向之一.这方面泽尔滕提出子博弈完美均衡(Selten ,1965)和颤抖的手完美均衡(Selten ,1975),以及克瑞普斯和威尔森的序贯均衡(Kreps ,Wilson ,1982)等概念进一步精炼了均衡概念.伯汉姆(Bernheim ,1984)和皮尔斯(Pearce ,1984)提出了剔除不合理策略的合理化过程和合理化策略.但是这些概念都有这样和那样的缺陷,不能保证其唯一性和存在性,它

—32—第4期 李保明　刘家壮:效用函数与纳什均衡 ①a i (s )具有连续最大值是指a 3i (s -i )=max s i ∈S i a i (s i ,s -i )关于s -i 连续

们不能替代纳什均衡解决多重性问题.海萨尼、泽尔滕(Harsanyi ,Selten ,1988)提出纳什均衡选择理论,然而它们却不被实验结果所证实.

212　效用形式的博弈模型

参与人作为决策主体,他们选择策略的目标是效用最大化.一般地,参与人i 的收入a i (σ

)是取值于{a i (s )|s ∈S )}上随机变量,其全体记为 A ={a i (σ

)|σ∈Μ,i ∈N },参与人在 A 中的选择可定义为偏好序“Λ”,并有如下公理:

11自反性,任意σ∈M ,则a i (σ

)Λa i (σ).21完备性,任意σ,σ′∈M ,则a i (σ)Λa i (σ′)或者a i (σ′

)Λa i (σ).31传递性,任意σ,σ′,σ″∈M ,如果a i (σ)Λa i (σ′)和a i (σ′)Λa i (σ″

)都成立,则a i (σ)Λa i (σ″

).41连续性,对任一 σ∈M ,集合{σ∈M |a i ( σ)Λa i ( σ)}和{σ∈M |a i (( σ))Λa i (σ

)}是M 上的闭集.

51独立性,对任意σ,σ′,σ″∈M ,和α∈(0,1),如果a i (σ)Λa i (σ′

),则a i (ασ+(1-α)σ″)Λa i (ασ′+(1-α)σ″

).如果偏好序“Λ”满足公理124,根据德布鲁表示定理(Representation Theorem ),存在一个

连续效用函数u i ,并记为u i (σ)≡u i (a i (σ)),使得a i (σ)Λa i (σ′

)Ζu i (a i (σ))≥u i (a i (σ′))如果“Λ”还满足公理5,则u i 是一个预期效用函数,即

u i (σ

)==∑k 1j 1=1∑k 2j 2=1…∑k n

j n =1u i (a i (s j 11,s j 22,…,s j n n ))p j 11p j 22…p j n

n 定义了参与人的效用函数u i (i ∈N )后,一个经济博弈问题描述为:E =(N ,(S i )i ∈N ,(a i )i ∈N ,(u i )i ∈N ),它称为博弈问题的效用形式模型.在E 上定义纳什均衡:

定义2　策略组合σ3=(σ31,…,σ3n )是效用形式E 的纳什均衡,如果对任一i ∈N ,有

u i (a i (σ31,σ3-i ))Εu i (a i (σi ,σ3-i )),Πσi ∈M i

(2)成立.若σ3为纯策略组合,则称其为纯策略纳什均衡,否则称之为混合策略纳什均衡.

3.效用函数与纳什均衡的性质

311　效用函数

自从冯?诺依曼、摩根斯坦提出预期效用理论(Von Neumann ,Morganstein ,1944)以来,由于其公理表达简单而且规范,效用函数容量计算并且形式上较好地体现人们的风险行为类型(比如对风险的态度和程度可用效用函数的凸凹性及Arrow 2Pratt 测度来表示)等特征,不确定经济学的理论和应用研究一直是在此基本框架下进行的.现代博弈论也是在此基础上发展起来的.然而,预期效用理论中起关键作用的独立性公理假设并不总是成立,著名的Allais 悖论说明在某些情况下人们会系统地违反这一公理.目前寻找不含这一公理的效用函数正是数理经济学研究的热点课题,在这方面,Machina ,Quiggin 等人作了大量的工作.

博弈问题中的参与人与其他决策人一样受独立性公理的影响.我们研究预期和非预期效用框架下纳什均衡的性质变化.对于非预期效用,沿用Machina (1982)的方法,我们假设参与

人i 的非预期效用函数u i (a i (σ

))(1)(Frechet )可微的,(2)关于收入a i (σ)是一阶随机占优偏爱的且关于确定的收入是严格递增的.假设(2)也即,对任意的混合策略σ,σ′∈M ,若

a i (σ)一阶随机占优于a i (σ′),则u i (a i (σ))Εu i (a i (σ′));和对确定的a ,a ′Ε0,a >a ′,有

u i (a )>u i (a ′

).—42— 经济数学 第17卷

312　纳什均衡的性质

我们先引入风险价格的定义.

定义3　对于效用函数u ,称R X 为随机收入(随机变量)X 的风险价格,如果有

u (X )=u (EX -R X ).

风险价格在经济和金融学中具有重要含义,它是人们为规避资产的风险所愿意付出的代价.

随机变量a i (σ3i ,σ3-i )和a i (σi ,σ3-i )的风险价格分别为R i (σ3i ,σ3-i ),R i (σi ,σ3-i )使得

u i (a i (σ3i ,σ3-i ))=φi (Ea i (σi ,σ3-i )-R i (σ3i ,σ3-i )),Πi ∈N.

R i (σi ,σ3-i )使得

u i (a i (σ31,σ3-i ))=φi (Ea i (σi ,σ3-i )-R i (σi ,σ3-i ),Πi ∈N

其中,φi (x )=u i (x )(Πx ∈R ,Πi ∈N )是严格递增的,因此效用形式的纳什均衡等价于下面形式的不等式:

Ea i (σ31,σ3-i )-R I (σ3i ,σ3-i )ΕEa i (σi ,σ3-i )-R I (σi ,σ3-i ),Πi ∈N.

(3)不等式(3)将效用形式的纳什均衡和收入形式的纳什均衡联系起来,而且从形式上可以看到两者是不相同的,差别就在于风险价格.

定理1　如果效用函数u i (Πi ∈N )满足假设条件(2),则收入形式博弈问题G 的纯策略纳什均衡必是效用形式博弈问题E 的纯策略纳什均衡;反之亦然.

证明:假设σ3=(σ3i ,σ3-i )是收入形式博弈的纯策略纳什均衡,因此,对任意的纯策略s i ,有

a i (σ3i ,σ3-i )Εa i (s i ,σ3-i )Πi ∈N

(4)对于混合策略σi ,a i (σi ,σ3-i )是取值于{a i (s i ,σ3-i )|s i ∈S i }上的随机变量,所以,

a i (σ3i ,σ3-i )一阶随机占优于a i (σi ,σ3-i ).根据假设(2),因此有

u i (a i (σ3i ,σ3-i ))Εu i (a i (σi ,σ3-i )),Πσi ∈M i

(5)即(σ3i ,σ3-i )是效用形式的纯策略纳什均衡.

反过来,假设(σ3i ,σ3-i )是效用形式的纯策略纳什均衡,即(3)式成立,σi 为纯策略s i ,则

R i (s i ,σ3-i )=0,同时R i (σ3i ,σ3-i )=0,因此由(3)式得到:

a i (σ3i ,σ3-i )Εa i (s i ,σ3-i )Πi ∈N

(6)

如果σi 为混合策略,σi =(p 1i ,p 2i ,…,

p k i i ),且∑k i j =1p j i =1,所以

Ea i (σi ,σ3-i )=

∑k i j =1p j i a i (s i ,σ3-i )Φa i (σ3i ,σ3-i )

也即σ3=(σ3i ,σ3-i )是收入形式的纳什均衡.证毕

此定理也说明纯策略的纳什均衡不随效用函数的变化而改变,甚至不管是预期效用函数还是非预期效用函数;也就是说,只要参与人的效用函数满足假设(2),不同参与人的博弈具有相同的纯策略纳什均衡.然而,混合策略的纳什均衡却不具有这一性质.

首先考虑预期效用形式的博弈问题,参与人预期效用函数的变化将改变看混合策略的纳什均衡.

例.考虑一个2人参加的博弈问题,其收入形式的描述为图1(a ).如果参与人的效用函数为u 1(x )=u 2(x )=x (即以收入作为效用,u ″1(x )=0说明参与人是风险中性的),则它有三个纯策略纳什均衡和四个真混合策略纳什均衡:((1,0,0),(1,0,0));((0,1,0),(0,1,0));

—

52—第4期 李保明　刘家壮:效用函数与纳什均衡

((0,0,1),(0,0,1))和((0,01625,01375),(0,01444,01555));((01774,0,01225),(01757,0,01242));((01604,01277,01118),(01660,01106,01232));((01689,01310,0),(01800,01200,0)).收入形式模型:

参与人2参与人1

策略1

策略2策略3策略11100,2100

1100,01201150,060策略20150,1100

3100,51002100,2100策略3

0120,11200150,11004100,6100图1(a )

效用形式模型:

参与人2参与人1

策略1

策略2策略3策略119100,36100

19100,319627175,11160策略29175,19100

51100,7510036100,36100策略3

3196,221569175,1910064100,84100图1(b )

若参与人的效用函数变为u 1(x )=u 2(x )=20x -x 2(u ″1(x )<0,说明参与人是风险厌恶的),效用形式描述如图1(b ),它的纯策略纳什均衡不变,真混合策略纳什均衡变为:

((0,01625,01375),(0,01404,01595));((01716,0,01283),(01706,0,01293));((01549,01322,01128)(01613,01104,01281))和((01636,01363,0),(01775,01224,0)),可见,两者是不相同的.

这一例子说明,同样的博弈问题,不同的参与人会得不同的结果,这符合实际情况.许多经济学实验中同一博弈问题得到不同的博弈结果正是这种原因.这也说明,考虑纳什均衡选择问题时,混合策略的纳什均衡是至关重要的.

由于纳什均衡的预期效用形式定义和收入形式的定义类似,所以预期效用函数对纳什均衡的性质影响不大,比如它不改变纳什均衡的存在性和混合策略纳什均衡的非稳定性.

对于非预期效用形式的博弈问题,我们考虑严格拟凹和严格拟凸的两类用函数.它们将改变混合策略纳什均衡的非稳定性和存在性.Machina 考虑了大量的违反独立性公理的实验证据,并证明了几乎所有文献中出现的违反独立性公理的情形可用拟凹或拟凸的二次偏好函数来解释,Camerer (1989),Chew 和Waller (1986),以及Conlisk (1987)等人的实验也发现违反独立性公理的有力证据,并且其中的一半与拟凹的效用函数相符,另一半与拟凸的效用函数相符.在理论工作方面,Kreps 和Porteus (1979)等人曾提出证据表明效用函数的拟凸比拟凹更合理.

考虑参与人效用函数u i (σi ,σ-i )关于他自己策略σi 的拟凹(凸)性.u i (σi ,σ-i )关于策略σi 的严格拟凹性是指:对任意的σi ,σ′i ∈M i ,σi ≠σ′i 和σ-i ∈Πj ≠i

M i 有:u i (ασi +(1-α)σ′i ,σ-i )>min (u i (σi ,σ-i ),u i (σ′i ,σ-i ))

—62— 经济数学 第17卷

成立,其中α∈(0,1).若-u i 关于σi 严格拟凹,则称u i 严格拟凸.

定理2　在博弈问题E 中,如果对任一参与人i ,其效用函数u i (σi ,σ-i )关于σi 是严格拟凹的,则博弈问题E 的真混合策略纳什均衡是稳定的.

证明:　设σ3是博弈问题的一真混合策略纳什均衡,它的稳定性是:任一参与人i ,σ3=(σ3i ,σ3-i )和Πσi ∈M i ,σi ≠

σ3i ,有u i (σi ,σ3-i )

现用反证法证明之.假设存在一个r 和σ′r ∈M r ,σ′r ≠

σ3r 使得u r (σ′r ,σ3-r )=u r (σ3r ,σ3-r ).

取σ∈(0,1),构造σ″r =ασ′r +(1-α

)σ3r ∈M r ,根据u r 的严格拟凹性,有,u r (σ″r ,σ3-r )>min {u r (σ′r ,σ3-r ),u r (σ3r ,σ3-r )}=u r (σ3r ,σ3-r ).

这与σ3=(σ3r ,σ3-r )是纳什均衡相矛盾.证毕

定理3　在博弈问题E 中,(1)如果某一参与人i 的效用函数u i 是严格拟凸的,则博弈问题E 的任一纳什均衡σ3=(σ3i ,σ3-i )中,σ3i 必是纯策略;(2)如果每一参与人i 的效用函数u i (σi ,σ-i )关于σi 都是严格拟凸的,则博弈问题E 没有真混合策略的纳什均衡.

证明:先证命题(1),用反证法,假设博弈问题E 的纳什均衡(σ3i ,σ3-i )中的策略σ3i 是真混合策略,则存在r (r Ε2)个大于零的数{p i 1i ,p i 2i ,…,p i r i }使得σ3i =∑r t =1s i t i p i t i ,且∑r

t =1p i t i =1,

根据效用函数u i (σi ,σ

3-i )关于σi 的严格拟凸,则u i (σ3i ,σ3-i )

这一不等式显然与(σ3i ,σ3-i )是纳什均衡相矛盾,命题得证.

根据命题(1),命题(2)显然成立.证毕

定理3导致一个重要结论,即博弈问题的收入形式模型不存在纯策略纳什均衡时,若参与人i 的效用函数u i (σi ,σ-i )关于σi 是严格拟凸的,则效用形式的模型E 不存在纳什均衡,这大大改变了纳什均衡存在性定理Ⅰ.

4.结论

通过上面的讨论,我们看到效用函数的变化对博弈问题的纯策略纳什均衡不产生影响,却改变真混合策略纳什均衡,甚至使其不存在.所以对只有一个纯策略纳什均衡的博弈问题来讲,无论参与人多么不同,他们有一个共同的纳什均衡,这一纳什均衡容易成为他们的一致性预期,这也是这类问题博弈结果容易达到纳什均衡的原因.因此,对于具有一个纯策略纳什均衡的博弈问题,我们不必要考虑参与人的效用特征.但是,对于收入形式含有多个纯策略纳什均衡或仅含有真混合策略纳什均衡的博弈问题(其实前者亦有真混合策略纳什均衡)来讲,参与人不同,博弈问题的真混合策略纳什均衡会发生变化,甚至会消失.这也是这类问题博弈的结果往往会得到不同的纳什均衡、甚至达到非均衡的原因.因此,要确定博弈问题的结果,必须考虑参与人的效用函数.参与人的效用函数的不同的会改变博弈问题的混合纳什均衡,进而影响博弈结果.所以研究纳什均衡的选择问题必须考虑参与人的偏好即效用函数.

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72—第4期 李保明　刘家壮:效用函数与纳什均衡

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[14]　Von Neumann ,J.and Morgenstern ,O.,Games and Economic Behavior Princeton University Press ,1944.UTIL ITY FUNCTION AN D NASH EQUIL IBRIUM

Li Baoming

(Institute of property ,S handong U niversity ,Jinan ,280100)

Liu Jiazhuang

(College of M athem atics ,S handong U niversity ,Jinan ,250100)

Abstract In this paper ,using utility functions we describe game as income and utility models ,establish relations of Nash equilibria and utility functions of players ,and obtain the conclusions :(1)changes of utility functions don πt alter the equlibria of pure strategies ,but do alter those of proper mixed stategies ;(2)when utility functions of players are quasiconcave ,the equlibria of proper mixed stategies are stable ;(3)when utility functions of players are quasiconvex ,the equilibria of proper mixed stategies do not exist.

K eyw ords Utility function ,game ,Nash equilibrium —82— 经济数学 第17卷