2019-2020学年江苏省沭阳县高二下学期期中调研测试数学试题(含答案)

江苏省沭阳县2019～2020学年度第二学期期中调研测试

高二数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，考试结束后，交回答题卡．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数1i

z i

-=（其中i 是虚数单位）的虚部是（ ）． A ．1

B ．i

C ．1-

D ．i -

2．下列求导数运算正确的是（ ）． A ．()cos sin x x '=

B ．()

33ln 3x x '=

C ．()ln ln -1x x x '=

D ．sin cos 33x x '??= ??

? 3．棣莫弗公式()cos sin cos sin n

x i x nx i nx +=+（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗

（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6

cos sin 77i ππ??+ ??

?在复平面内所对应的

点位于（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

4．函数5

()ln f x x x

=+的单调减区间为（ ）． A ．(,5)-∞ B ．(0,5)

C ．(5,)+∞

D ． (0,)+∞

5．函数1

()21f x x x

=+

-在区间(,0)-∞上（ ）． A ．有最大值，无最小值

B ．有最小值，无最大值

C ．既有最大值，又有最小值

D ．既无最大值，又无最小值

6．对于函数()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x 的值为（ ）．

A ．2e

B ．e

C ．

ln 2

2

D ．ln 2

7．已知函数()()2

f x x x c =-在1x =处有极大值，则常数c 的值为（ ）． A ．1或3

B ．3

C ．1

D ．-1

8．已知函数()ln 1x f x ae x =--，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围（ ）． A ．1

[,)e

+∞

B ．[1,)+∞

C ．[2,)+∞

D ． [,)e +∞

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分． 9．对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（ ）． A ．若0a =，则a bi +为纯虚数 B ．若32a bi i -=+，则3,2a b == C ．若0b =，则a bi +为实数

D ．纯虚数z 的共轭复数是z -

10．直线1

2

y x b =

+能作为下列（ ）函数的图像的切线． A ．1()f x x

=

B ．4()f x x =

C ．()cos f x x =

D ．()ln f x x =

11．如图是()y f x =的导函数(f x '）的图象，对于下列四个判断, 其中正确的判断是（ ）．

A ．()f x 在[2,1]-上是增函数；

B ．当4x =时，()f x 取得极小值；

C ．()f x 在[1,2]-上是增函数、在[2,4]上是减函数；

D ．当1x =时，()f x 取得极大值．

12．若函数()ln f x x ?在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质．下列函数

中所有具有M 性质的函数为（ ）． A ．1

()f x e

=

B ．()1f x x =-

C ．1()x

f x e =

D ．()x f x e =

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．计算(23)(23)i i -+= ▲ ．

14．已知函数()tan f x x =，那么4f π??

' ???

的值为 ▲ ．

15．函数()2sin f x x ax =-在0,

2π??

????

上的单调递减，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 16．已知函数3334,()32,x x a x a

f x x x a x a

?+-≥=?-+，使得0()0f x =，则实数a 的取

值范围是 ▲ ．

四、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 17．（本题满分10分）

已知m R ∈，复数()()

2

-29z m m i =+-．

（1）若z 对应的点在第一象限，求m 的取值范围； （2）若z 的共轭复数z 与复数8

+5i m

相等，求m 的值．

18．（本题满分12分）

已知函数32

(),f x x ax a R =-∈且(1)3f '=．

（1）求a 的值；

（2）求函数()f x 在区间[0,3]上的最大值．

19．（本题满分12分）

已知复数12,34z x yi z i =+=-（,x y R ∈，i 为虚数单位）． （1）若2y =且

1

2

z z 是纯虚数，求实数x 的值； （2）若复数12-=1z z ，求1z 的取值范围．

20．（本题满分12分）

已知函数2()1

x a

f x x +=+．

（1）若()f x 在()1,(1)f 处的切线斜率为1，求a 的值；

（2）若()f x 在2x =处取得极值，求a 的值及()f x 的单调区间．

21．（本题满分12分）

如图所示，直角梯形公园OABC 中，,OC OA OA BC ⊥P ，2OA km =，1OC BC km ==，公园的左下角阴影部分为以O 为圆心，半径为1km 的1

4

圆面的人工湖，现设计修建一条与圆相切的观光道路EF （点 ,E F 分别在OA 与

BC 上），D 为切点，设DOE θ∠=．

（1）试求观光道路EF 长度的最大值； （2）公园计划在道路EF 的右侧种植草坪，试求草坪ABFE 的面积最大值．

22．（本题满分12分）

已知函数()ln ,()2x

f x x ax a

g x xe x =-+=-． （1）求函数()y f x =的单调区间；

（2）当1a =时，证明：()()f x g x ≤在()0,∞+上恒成立．

2019～2020学年度第二学期期中调研测试

高二数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、C

2、B

3、B

4、B

5、A

6、B

7、B

8、A

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分． 9、AB 10、 BCD 11、 BC 12、AD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13、13 14、2、 15、[2+)∞，

16、0,1]（ 四、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．

17． 解：（1）由题意得220

90m m ->??->?

，解得3m >，

所以m 的取值范围是3m >；………………………4分 （2）因为()()

2

-29z m m i =+-

所以2=2(9)z m m i -+- 因为z 与复数

8

+5i m

相等， 所以282=95

m m m ?

-???-=? ………………………8分

解得2m =-． ………………………10分

18．解：（1）'2()32f x x ax =-，由'(1)3f =，得323a -=，解得0a =………… 6分

（2）由（1）得3()f x x =，因为'

2

()30f x x =≥，所以3

()f x x =在[0,3]上单调递增，

最大值为(3)27f =……………………………………………………………………12分

19． 解：（1）

12238(64)38(64)34252525

z x i x x i x x i z i +-++-+===+-………… 3分

由12z z 是纯虚数，得

38025x -=，解得8

3

x = ………………………………6分 （2）由12-=1z z ，得|(3)(4)|1x y i -++=，所以22

(3)(4)1x y -++=,

即1z 的轨迹是以(3,4)-为圆心，半径为1的圆 ………………………………9分 可得1||[4,6]z ∈ ………………………………………………12分

20．解：（1）22

2()(1)

x x a

f x x +-'=+，因为()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为1，………2分 所以(1)1f '=，即

314

a

-=，解得1a =- ………………………………4分 （2）因为()f x 在2x =处取得极值，所以(2)0f '=，

即440a +-=，解得8a =， …………………………………6分

22

28

()(1)x x f x x +-'=+（1x ≠-），

令()0f x '=，即22

28

0(1)

x x x +-=+，解得4,2x x =-= ……………………………8分 当(,4),()0,()x f x f x '∈-∞->单调增； 当(4,2)1,

()0,()x x f x f x '∈-≠-<且单调减；

当(2,),()0,()x f x f x '∈+∞>单调增， ……………………………11分 所以()y f x =的单调增区间为(,4),(2,)-∞-+∞；减区间为(4,1),(1,2)---．………12分 21．解：（1）由题意可知[0,

]3

π

θ∈， ……………1分

在Rt DOE V 中，tan DE θ=，

在Rt DOF V 中，1sin tan(

)42cos DF π

θθθ-=-=， ……………………3分 则1sin 1

tan cos cos EF DE DF θθθθ

-=+=+=，

又因为[0,]3πθ∈，所以当3πθ=时，min 1

(cos )2

θ=，

此时，EF 最长，为2km ……………………5分 （2）在Rt DOE V 中，1cos OE θ=

，由（1）得1sin cos CF DF θ

θ

-==，

则31

()22

OABC OEFC S S S CF OE OC =-=-+?梯形梯形 3sin 2(0)22cos 3

θπθθ-=+≤≤ ………7分 则'212sin ()cos S θθθ-=，令'

()0,S θ=即2

12sin 0cos θθ-=，解得6

πθ=，………9分 当'(0,),()0,()6S S π

θθθ∈>单调递增；当'(,),()0,()63

S S ππ

θθθ∈<单调递减， 所以6

π

θ=

为函数()S θ的极大值，又函数()S θ在区间[0,

]3

π

极大值唯一，因此这个极大值也

是函数()S θ的最大值．

max 33

()62S S π==， …………………………………………………11分 所以草坪面积最大值为3

3

(2-平方千米． ……………………………………12分 22．解：（1）()11'()0ax f x a x x x

-=

-=>………………………1分 当0a ≤时，'()0f x >增区间为()0,∞+； …………………2分 当0a >时，令'()0f x >得1

0,'()0x f x a <<

<，得1x a

>…………………4分 ∴增区间为10,a ?? ???，减区间为1,a ??

+∞ ???

……………………………5分

（2）令()()()()ln 10x

F x g x f x xe x x x =-=--->

则()11'()11x x

x

x F x xe e xe x x

+=+-

-=- ……………………………7分 令()1x

h x xe =-，则()'()10,(0)0,(1)0x

h x x e h h =+><>

∴函数()h x 在()0,∞+上单调递增，且存在唯一零点()0,1c ∈，使得()0h c =

且()0,x c ∈时，()0h x <；(),x c ∈+∞时，()0h x > 即()0,x c ∈时，'()0F x <；(),x c ∈+∞时,'()0F x >

∴函数()F x 在()0,c 上单调递减，在(),c +∞上单调递增……………………………9分

()()ln 1c F x F c ce c c ∴≥=---，而()10c h c ce =-=，即1c ce =

两边取对数得ln 0c c += …………………………11分

()()0F x F c ∴≥=，故()()f x g x ≤在()0,∞+上恒成立. ………………………12分