考研数学二真题2011年

2011年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：下列每题给出的四个选项中。只有一个选项符合题目要求．

(1) 已知当x→0时f(x)=3sinx-sin3x与cx k是等价无穷小，则( )．

(A) k=1，c=4 (B) k=1，c=-4

(2) 已知f(x)在x=0处可导，且f(0)=0．则=( )．

(A) -2f'(0) (B) -f'(0)

(3) 函数f(x)=ln|(x-1)(x-2)(x-3)|的驻点个数为( )．

(A) 0 (B) 1

(4) 微分方程y"-λ2y=eλx+e-λx(λ＞0)的特解形式为( )．

(A) a(eλx+e-λx) (B) ax(eλx+e-λx)

(5) 设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且

f'(0)=g'(0)=0．则函数Z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是( )．

(A) f"(0)＜0，g"(0)＞0 (B) f"(0)＜0，g"(0)＜0

(6) 设．则I，J，K的大小关系是( )．

(A) I＜J＜K (B) I＜K＜J

(7) 设A为三阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B．再交换B的第2行与第3行得单位矩阵，记，则A=( )．

(A) P1P2 (B)

(8) 设A=(α1，α2，α3，α4)是四阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若(1，0，1，0)是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可为( )．

(A) α1，α3(B) α1，α2

二、填空题

(9) =______．

(10) 微分方程y'+y=e-x cosx满足条件y(0)=0的解为y=______．

(11) 曲线的弧长s=______．

(12) 设函数则=______．

(13) 设平面区域D由直线y=x，圆x2+y2=2y及y轴所组成，则二重积分

=______．

(14) 二次型f(x1，x2，x3)=，则f的正惯性指数为______．

三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

(15) 已知函数．设，试求α的取值范围．

(16) 设函数y=y(x)由参数方程确定，求y=y(x)的极值和曲线y=y(x)，的凹凸区间及拐点．

(17) 设函数Z=f(xy，yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可

导且在x=1处取得极值g(1)=1，求

(18) 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线y=x相切于原点，

记α为曲线l在点(x，y)外切线的倾角，若．求y(x)的表达式．

(19) ①证明：对任意的正整数n，都有成立．

② 设(n=1，2，…)，证明数列{a n)收敛．

(20) 一容器的内侧是由图中曲线y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由

x2+y2=2y(y≥)与x2+y2=1(y≤)连接而成．

(Ⅰ) 求容器的容积；

(Ⅱ) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位：m．重力加速度为gm/s2，水的密度为103kg/m3)．

(21) 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，

．

其中D={(x，y)}0≤x≤1，0≤y≤1)，计算二重积分

(22) 设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T，不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表示

(Ⅰ) 求a的值；

(Ⅱ) 将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表示．

(23) 设A为三阶实矩阵，A的秩为2，且

(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；

(Ⅱ) 求矩阵A．

2011年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题解析

一、选择题

(1)[考点] 无穷量的比较

[答案解析] 因为

，所以

f(x)=4x3+o(x3)～4x3，于是c=4，k=3，故选(C)．

(2)[考点] 导数的定义

[答案解析]

，故选(B)．

(3)[考点] 确定f'(x)的零点个数

[答案解析] 求出f'(x)：

由判别式122-4×3×11=12＞0，3x2-12x+11有两个零点(不是x=1，

x=2，x=3)，因此f(x)有两个驻点．故选(C)．

(4)[考点] 微分方程的求解

[答案解析] 原方程对应的齐次方程的特征方程y2-λ2=0，解得y1=λ y2=-λ，则

y"-λ2y=eλx的特解y1=xeλx C1

y"-λ2y=eλx的特解y2=xe-λx C2

故原方程的特解 y=x(C1eλx+C2e-λx) 故选(C)．

(5)[考点] 利用导数求函数的极值

[答案解析] z=f(x)g(y)

在(0，0)点，A=f"(0)g(0)B=f'(0)g'(0)=0 C=f(0)g"(0)

AC-B2＞0且A＞0f"(0)＜0，g"(0)＞0故选(A)．

(6)[考点] 定积分的计算

[答案解析] sinx＜eosx＜1＜cotx 则

lnsinx＜lncosx＜0＜lncotx

故

即 I＜K＜J 故选(B)．

(7)[考点] 矩阵的初等变换

[答案解析] 显然P2AP1=E，，因为，所以

，故选(D)．

(8)[考点] 线性方程组的基础解系

[答案解析] 因为Ax=0基础解系含一个线性无关的解向量，所以r(A)=3，于是r(A*)=1，故A*x=0基础解系含3个线性无关的解向量，

又A*A=|A|E=0且r(A)=3，所以A的列向量组中含A*x=0的基础解系，因为(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的基础解系，所以α1+α3=0，

故α1，α2，α4或α2，α3，α4线性无关，显然α2，α3，α4为A*x=0的一个基础解系，故选(D)．

(9)

[考点] 极限的计算

[答案解析]

(10) e-x sinx

[考点] 一阶微分方程求解

[答案解析]

(C+sinx)，由于y(0)=0，则C=0，故y=e-x sinx．

(11)

[考点] 曲线积分的计算

[答案解析]

(12)

[考点] 反常积分计算

[答案解析]

(13)

[考点] 二重积分的计算

[答案解析]

(14) 2

[考点] 二次型

[答案解析]

特征值λ1=0，λ2=1，λ3=4，f惯性指数为2．

三、解答题

(15) [考点] 极限的逆问题

[答案解析] 当a=0时，因为，所以结论不正确；

当a＜0时，因为，所以结论也不正确；

当a＞0时，

所以a＜3，于是1＜a＜3．

(16)[考点] 利用导数求函数的凹凸区间及拐点

[答案解析]

当t=1时，因为，所以当t=-1即x=-1时，函数取极大值y=1．

当t=1时，因为，所以当t=1即

时，函数取极小值．

令得t=0，

当t＜0时，，当t＞0时

当t＜0时即时，函数为凸函数，

当t＞0即时，函数为凹函数．

(17)[考点] 二元函数求偏导

[答案解析] 由g(x)可导且在x=1处取极值g(1)=1，所以g'(1)=0．

(18)[考点] 利用导数求曲线的切线

[答案解析] ，两边对x得

，即(1+y'2)y'=y"，

于是有

令y'=P，则，于是有，变量分离得

，两边积分得

由P(0)=1

得，代入得

解出由y(0)=0．

面积分得：

(19)[考点] 数列与积分中值定理综合题

[答案解析] 证明：①f(x)=ln(1+x)在应用中值定理

其中

②

其中

易知a n+1-a n＜0，则a n+1＜a n即{a n}单调递减又

所以{a n}单调递减有界，故{a n}收敛．(20)[考点] 积分的应用

[答案解析] (Ⅰ)

(Ⅱ)

(21)[考点] 二重积分的计算

[答案解析]

于是

(22)[考点] 向量的线性相关性

[答案解析] (Ⅰ) 因为，所以r(α1，α2，α3)=3

又因为α1，α2，α3不能由β1，β2，β3线性表示，所以r(β1，β2，β3)＜3，于是|β1，β2，β3|=0，解得a=5．

(Ⅱ)

于是

(23)[考点] 矩阵的特征值、特征向量

[答案解析] (Ⅰ) 易知特征值-1对应的特征向量为特征值1对应的特征向量为，由r(A)=2知A的另一个特征值为0．因为实对称矩阵不同特征值

得特特向量正交，从而特征值0对应的特征向量为故矩阵A的特征值为1，-1，0；特征值向量依次为k1(1，0，1)T，k2(1，0，-1)T，k3(0，1，0)T，其中k1，k2，k3均是不为O的任意常数．

(Ⅱ) 由

得