动量定理和动量守恒定律(大学物理)
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大物 第四章 动量定理与动量守恒定律
合外力的冲量
系统末动量 系统初动量
质点系动量定理 作用于质点系的合外力的冲量等于系 统动量的增量.
说明
(1) 内力的作用不改变系统的总动量, 但内力做功却
可以改变系统的总动能. (2) 变质量物体的运动方程:
d(mv)
dm
u
F
dt dt
大学物理学（第三版）电子教案
第四章·动量定理与动量守恒定律
例1 如图用传送带A输送煤粉, 料斗口在A上方高h=0.5m处， 煤粉自料斗口自由落在A上. 设料斗口连续卸煤的流量为 q=40kg/s, A以v = 2.0m/s的水平速度匀速向右移动. 求装煤的 过程中, 煤粉对A的作用力的大小和方向. (不计相对传送带静 止的煤粉质量.)
h A
v
大学物理学（第三版）电子教案
t
I z t0 Fzdt mvz mvz0
大学物理学（第三版）电子教案
第四章·动量定理与动量守恒定律
(3) 在碰撞或冲击问题中, 牛顿定律无法直接应用, 而动 量定理的优点在于避开了细节而只讨论过程的总体效果.
(4) 动量定理仅适用于惯性系, 且与惯性系的选择无关.
例 如图, 一重锤从高度为h =1.5m的地方由 静止下落，锤与被加工的工件的碰撞后的 末速度为零. 若打击时间分别为10-1s, 10-2s, 10-3s, 10-4s，试计算这几种情形下平均冲力 与重力的比值.
定义 系统所受合外力为零时,系统的总动量保持不变.
F (e)
Fi(e) 0
p
pi
恒矢量
说明
i
i
(1) 系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系统内
任一物体的动量是可变的, 各物体的动量必须相对于同
大学物理-第二章2-3 动量和动量定理
t
0
P F d t d p p p0
P0
3
力 F 对时间的积累，称为力 F 的冲量(implus)，即 t I F dt
所以 I p p mv mv 0 0
t0
此式表示，在运动过程中，作用于质点的合力 在一段时间内的冲量等于质点动量的增量。这个结 论称为动量定理。 F为恒力时 I = F (t - t 0 ) F 为变力，且作用时间很短时，可用平均值来代替 t t0 F d t F I = F (t - t 0 ) t t0 4
16
三、 动量守恒定律
如果
Fi 0
n i 1
即
n
则
mi vi 恒矢量
i 1
n d ( mi vi ) 0 d t i 1
在外力的矢量和为零的情况下，质点系的总动量
不随时间变化——动量守恒定律。
m v
i 1 n i
n
ix
恒量
恒量
(当 Fix 0 时) (当 Fiy 0 时) (当 Fiz 0 时)
A 跳水运动中游泳池的设计深度
24
F b S v k b S
dv 2 m = kv dt
v
2
F k v
2
m d v= kv d x
m v0 x ln k v
1 1
dv x k = d x v0 v 0 m
3
k 0.251.010 0.08kg m 20kg m
t
此式表明，合外力在某一方向的冲量等于在该方
向上质点系动量的增量。
12
大学物理 动量 动量守恒定律汇总
Fdt (m dm)v (mv dm 0) vdm vkdt
F k v 200 4 8 10
2
N
12
3-9 一小船质量M=100kg，船头到船尾长度l=3.6m。现 有一质量m=50kg的人从船尾走到船头时，船头将移动多 少距离？假定水的阻力不计。
Fi外
Fij
j
i
内力-----是质点系内各质点间的作用力； 外力------是质点系外物体对质点系内质点的力。
由牛顿第三定律，内力必定是成对出现，且每对内力 都沿两质点连线的方向。
3
i质点合力
t2
t1
( Fi外 f ji )dt mi vi 2 mi vi1
j 1
n 1
F i外 f
9
n
例2.5 一弹性球，质量m＝0.20kg，速度 v＝5m/s， 与墙碰撞后弹回.设弹回时速度大小不变，碰撞前后的 运动方向和墙的法线所夹的角都是α，设球和墙碰撞 的时间Δt＝0.05s，α＝60°，求在碰撞时间内，球和 墙的平均相互作用力. 解：以球为研究对象.设墙对 球的平均作用力为 f ，球在 碰撞前后的速度为 v1和 v 2 ， 由动量定理可得
2
t1 t2
Fx dt mv2 x mv1x
Iy Iz
t1 t2
Fy dt mv2 y mv1 y Fz dt mv2 z mv1z
2
t1
3
二 质点系的动量定理
如果研究的对象为多个质 点，则称为质点系 对质点系，受力可分为 “内力”和“外力”。
质点系
Fj外
Fji
§2.2 动量 动量守恒定律
力对时间的累积效应
大学物理,力学中的守恒定律3
r m v1
r v2
θ
M
βr
v
粒子和氧原子核系统，碰撞过程中无外力作用， 对α粒子和氧原子核系统，碰撞过程中无外力作用， 系统总动量守恒。 系统总动量守恒。
第16页 共27页 页 页
r 碰前： 氧原子核动量为0 碰前：α粒子动量为 mv1 氧原子核动量为 r r 碰后： 碰后：α粒子动量为 mv2 氧原子核动量为Mv
h
A
r v
第8页 共27页 页 页
大学物理
解：煤粉对A的作用力即单位时间内落下的煤粉给 煤粉对 的作用力即单位时间内落下的煤粉给 冲力大小等于煤粉 A的平均冲力。这个冲力大小等于煤粉单位时间内的 的平均冲力。 的平均冲力 这个冲力大小等于煤粉单位时间内的 动量改变量，方向与煤粉动量改变量的方向相反。 动量改变量，方向与煤粉动量改变量的方向相反。 如何求煤粉动量的改变量？ 如何求煤粉动量的改变量？ 设 ∆t 时间内落下的煤 粉质量为 ∆m 则有
煤粉给传送带的平均冲力为 F ′ = 149 N
Fy
与x轴的夹角为 β = 180o − 57.4o = 122.6o
第10页 共27页 页 页
火箭的运动： 火箭的运动：火箭依靠排出其内部燃烧室中 产生的气体来获得向前的推力。 产生的气体来获得向前的推力。设火箭发射时 的质量为m 速率为v 的质量为 0，速率为 0，燃料烧尽时的质量为 m′，气体相对于火箭排出的速率为 e。不计空 ′ 气体相对于火箭排出的速率为v 气阻力，求火箭所能达到的最大速率。 气阻力，求火箭所能达到的最大速率。 解：火箭和燃气组成一个质点系。 火箭和燃气组成一个质点系。 t时刻： 系统总质量为 m 时刻： r r 系统总动量为 p 1 = m v 时刻： t + dt 时刻： 火箭质量为 m + dm (dm < 0) 排出的燃气质量为 − dm
大学物理第四章
解：利用功能原理：
A=DE
q
kF
m
Fl0tgq
=
1 2
k (l0 setq
- l0 )2
1 2
mv2
F
m
解得：
v=
2 m
Fl0tgq
-
1 m
k (l0 setq
-
l0
)2
[例13] 作业、p-55 功和能 自-20
一质量为m的球，从质量为M的圆弧
形槽中由A位置静止滑下，设圆弧形槽的半
径为R，(如图)。所有摩擦都略，试求：
+12 MV2
l
L
解得：
vr=
2(m +M) gR M
V= m
2gR M(m +M)
(2)小球到最低点B处时，槽滑行的距离。
∵ SFx = 0 ∴ DPx = 0
mvx = MVx
Am
m vxdt = M Vxdt
R
ml=ML
MB
l+L=R
L
=
mR m+M
lL
(3)小球在最低点B处时，槽对球的作用力；
1、动量： P
P = mv 2、第二定律：
F
=
dP dt
= ma
3、冲量： I
I
=
F t 2
t1
dt
4、动量原理
I = DP
5、力矩 M M = r × F
6、动量矩 L
L = r × P = r × mv
7、角动量原理:
t 2 t1
M dt
=
ω ω
2 1
J
dω
= Jω 2
大学物理-动量定理和动量守恒定律
t0 i 1 i 1
注意
内力不改变质点系的动量
初始速度
v g 0 v b0 0
m b 2m g
则 则
推开后速度 v g 2 v b
且方向相反
推开前后系统动量不变
p p0
p0 0 p 0
动量定理常应用于碰撞问题 t Fdt mv mv0 t 0 F t t0 t t0 注意
F 21
F2
m2
t
t0
( F1 F 2 ) d t ( m 1 v 1 m 2 v 2 ) ( m 1 v 10 m 2 v 20 )
质点系动量定理 作用于系统的合外力的冲量等于 系统动量的增量. n n t I p p0 F外 d t m i v i m i v i 0
Fx t mv x mv0 x mv cos (mv cos )
x
mv0
2mv cos Fy t mv y mv0 y
mv
y mv sin α mv sin 0 2mv cos F Fx 14.1 N 方向沿 x 轴反向 t
在 p 一定时
mv
mv0
F
mv
F
Fm
F
t 越小，则 F 越大 .
例如人从高处跳下、飞 机与鸟相撞、打桩等碰 撞事件中，作用时间很 短，冲力很大 .
o
t
t1
日常生活中，经常利用动量定理处理一些具体问题 例
贵重或易碎物品的包装，采用海绵、纸屑、绒布等 体育运动中，人从高处落到沙坑里或海绵垫上 等等。。。
t0
注意
内力不改变质点系的动量
初始速度
v g 0 v b0 0
m b 2m g
则 则
推开后速度 v g 2 v b
且方向相反
推开前后系统动量不变
p p0
p0 0 p 0
动量定理常应用于碰撞问题 t Fdt mv mv0 t 0 F t t0 t t0 注意
F 21
F2
m2
t
t0
( F1 F 2 ) d t ( m 1 v 1 m 2 v 2 ) ( m 1 v 10 m 2 v 20 )
质点系动量定理 作用于系统的合外力的冲量等于 系统动量的增量. n n t I p p0 F外 d t m i v i m i v i 0
Fx t mv x mv0 x mv cos (mv cos )
x
mv0
2mv cos Fy t mv y mv0 y
mv
y mv sin α mv sin 0 2mv cos F Fx 14.1 N 方向沿 x 轴反向 t
在 p 一定时
mv
mv0
F
mv
F
Fm
F
t 越小，则 F 越大 .
例如人从高处跳下、飞 机与鸟相撞、打桩等碰 撞事件中，作用时间很 短，冲力很大 .
o
t
t1
日常生活中，经常利用动量定理处理一些具体问题 例
贵重或易碎物品的包装，采用海绵、纸屑、绒布等 体育运动中，人从高处落到沙坑里或海绵垫上 等等。。。
t0
大学物理-第三章三大守恒定律
i
i
1 若质点系动量守恒，则动量在三个坐标轴上的分量都守恒。
2、在系统内质点间的碰撞，打击，爆炸过程中，内力很大，可 忽略重力、摩擦力等外力，可近似认为动量守恒。
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3、虽然有时系统总动量不守恒，但只要系统在某个方向受 的合外力为0，则系统在该方向动量守恒。
即 F x 当 F ix 0 时 p x ， m iv ix 常量
mv1
得 F (0 .3 )22 0 32 0 2 2 0 3c0o 3 s()0 14 (N )51
0 .01
根据正弦定理
sm i 2 nvsiF n t() 18 ,即力的 v 夹 方 角 1向 6 。 为 2
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例2-6质量为m=30kg的铁锤（彩电）从1m高处由静止下落，碰撞
Ixt1 t2F xd tpx2px1mx2 vmx1v Iyt1 t2F yd tpy2py1my2v my1v Izt1 t2F zd tpz2pz1mz2 vmz1v
4 . 对于碰撞、打等 击过 、程 爆， 炸物体互 之作 间用 的
称为冲力， 值其 大特 ， 点 变 t短是 化 ，峰 大 在， 某
b v2
d v
d(m v )
d p
t 2
Fm am
Fdtdp
dt dt
微分形式
dt
a
v1
I 定义 ：t1 t动2F 量 d ptp p 1 m 2d vp p 2 t 1 p 1 P 2m mv( 2v I2 t1t2v F1 d)t
（ M d)v M (d v ) d( v M d v u ) Mv
动量定理和动量守恒定律
第 7 章动量定理和动量守恒定律§7-1 动量定理和动量守恒定律物体之间或物体内部各部分之间因运动发生相对地点变化的过程称为机械运动。
它是物质的各种各种运动形式中最简单、也是最广泛的一种，比如：行星绕太阳的转动、宇宙飞船的航行、机器的运行、弹簧的伸长或压缩、水和空气等流体的流动等等，都是机械运动。
而各种复杂的运动形式如生命现象、化学反响等，固然也有地点的变化，但其实不归纳为机械运动。
机械运动有两种量度：假如存在的机械运动仍以保持机械运动的形式进行传达，那么应以动量 mv 来量度；假如机械运动转变成其余形式的运动，应以动能12mv2来量度。
即动量是以机械运动来量度机械运动，动能是以机械运动转变成必定量的其余形式的运动的能力来量度机械运动的，动量和动能是研究机械运动不行缺乏的物理量。
动量、动量定理1、动量p物体的质量 m 与其速度 v 的乘积，称为该物体的动量p ，即p mv 。
在直角坐标系中动量 p 可表示为p mv mv x i mv y j mv z k p x i p y j p z k （ 7-1-1 ）由（ 7-1-1 ）式知，动量是一个矢量，拥有刹时性。
2、动量定理若在时辰 t ，物体的动量为 p(t ) ，经过t 时间段，其动量为p(t t ) ，在t tt 时间微元段上，其动量的增量dp 为d p p(t t ) p(t)若在该时间元段t 内，物体受力 f 作用，由牛顿第二定律知有dp fdt （ 7-1-2 ）关系建立。
若在t1 t 2的时间段上，物体受力 f 作用，将每一个时间元段上动量的增量dp 加起来，即在 t1 t2 的时间段上对其乞降，则该时间段上的动量增量p 为p p 2 p1 t 2 f dt （ 7-1-3 ）t 1t 2f dt 称为力（ 7-1-2 ）式与（ 7-1-3 ）式就是动量定理的表述。
人们又常把（7-1-3 ）式的右项t 1f的冲量。
关于由多个物体所构成的系统，其总动量等于各物体动量p i的矢量和，即系统总动量p为np p ii 1系统所受的力可分为：外力、内力，外力即来自系统外的作用，内力即指系统内各物体间的互相作使劲。
大学物理-动量定理
υ
M
V
解：水平方向上车和人系统不受外力作用， 故动量守恒； υ m 设车和人相对地面速度 M 分别为V 和 υ V MV mv 0 m 即: V v ——两者运动方向相反 M
人相对于车的速度为：
υ
Mm υ' υ V υ M
to
t
④.平均冲力的计算由：
I F t
例：质量为 60kg 的撑杆跳运动员，从 5 米的横 杆跃过自由下落，运动员与地面的作用时间分别 为 1 秒和 0.1 秒，求地面对运动员的平均冲击 力。
解： 以人为研究对象，可分为两个运动过程，
1.自由下落过程—到达地面时的速率为：
v 2gh
2.与地面接触碰撞过程，受力分析，规定 向上为坐标正向。
§1.7 质点的动量定理 一、动量定理
动量
momentum momentum theorem
质点质量与速度的乘积，可以表征质点瞬时运动的量，称为动量。
p mv
dp F dt
单位：千克· 米/秒, kg· m/s
由Newton第二定律，得：
dv d (mv ) F ma m dt dt
例5.图示一圆锥摆，质量为m的小球在水平面内以角速度匀速转动。在 小球转动一周的过程中，求：
①小球动量增量的大小。 ②小球所受重力的冲量大小。 ③小球所受绳子拉力的冲量大小。
解： ①小球运动一周动量变化为0。
②
I mg mgT
2 mg
2 mg
③由①可知，小球所受重力和拉力的冲量为0，因此，拉力的冲量必然等 于小球重力冲量的负值，即：
注意
内力不改变质点系的动量
M
V
解：水平方向上车和人系统不受外力作用， 故动量守恒； υ m 设车和人相对地面速度 M 分别为V 和 υ V MV mv 0 m 即: V v ——两者运动方向相反 M
人相对于车的速度为：
υ
Mm υ' υ V υ M
to
t
④.平均冲力的计算由：
I F t
例：质量为 60kg 的撑杆跳运动员，从 5 米的横 杆跃过自由下落，运动员与地面的作用时间分别 为 1 秒和 0.1 秒，求地面对运动员的平均冲击 力。
解： 以人为研究对象，可分为两个运动过程，
1.自由下落过程—到达地面时的速率为：
v 2gh
2.与地面接触碰撞过程，受力分析，规定 向上为坐标正向。
§1.7 质点的动量定理 一、动量定理
动量
momentum momentum theorem
质点质量与速度的乘积，可以表征质点瞬时运动的量，称为动量。
p mv
dp F dt
单位：千克· 米/秒, kg· m/s
由Newton第二定律，得：
dv d (mv ) F ma m dt dt
例5.图示一圆锥摆，质量为m的小球在水平面内以角速度匀速转动。在 小球转动一周的过程中，求：
①小球动量增量的大小。 ②小球所受重力的冲量大小。 ③小球所受绳子拉力的冲量大小。
解： ①小球运动一周动量变化为0。
②
I mg mgT
2 mg
2 mg
③由①可知，小球所受重力和拉力的冲量为0，因此，拉力的冲量必然等 于小球重力冲量的负值，即：
注意
内力不改变质点系的动量
大学物理 动量和动量守恒定律
t1
t2
•动量守恒定律
n 若F外 0, 则P＝ mi v i 恒 矢 量
i 1
惯性系
若f内 F外 , 则P＝ mi vi 恒矢量
i 1 n
n
若F外x 0, 则Px＝ mi vix 恒量
i 1
大学 物理学
§2-3 功 动能 势能 机械能守恒定律
F
解：
I 垂直 y0 mv2 mv1 m 2 g (m 2 gy0 ) m gy0 (1 2 ) 2
I 水平
v0 1 mv1 m m v0 m v0 mv2 2 2
大学 物理学
三、 质点系动量定理和动量守恒定律
Fi
质点系
· · · · f j · f · ··
m1 v2 v v' 2.17103 m s 1 m1 m2
v1 3. 1710 m s
3 1
y
s v
z'
y'
s' v'
m2
m1
z
o
o'
x x'
大学 物理学
例2.12在光滑的水平面上，有一长为L，质量 为M的小车，车上站一质量为m的人，人和 车原来保持静止。当人从车的一端走到另一 端时，问人和车相对于地面各走了多远？
质点系所受合外力为零时，质点系的总动量
不随时间改变。这就是质点系的动量守恒定律。 即 F外 0 时，P 常矢量 说明：
Fi ，而不 0 2.动量守恒定律的条件是
t2
1
1.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。
是 t ( Fi )dt 0 。这是因为后者只说明始末 两态的动量相等，不能保证动量始终不变。
t2
•动量守恒定律
n 若F外 0, 则P＝ mi v i 恒 矢 量
i 1
惯性系
若f内 F外 , 则P＝ mi vi 恒矢量
i 1 n
n
若F外x 0, 则Px＝ mi vix 恒量
i 1
大学 物理学
§2-3 功 动能 势能 机械能守恒定律
F
解：
I 垂直 y0 mv2 mv1 m 2 g (m 2 gy0 ) m gy0 (1 2 ) 2
I 水平
v0 1 mv1 m m v0 m v0 mv2 2 2
大学 物理学
三、 质点系动量定理和动量守恒定律
Fi
质点系
· · · · f j · f · ··
m1 v2 v v' 2.17103 m s 1 m1 m2
v1 3. 1710 m s
3 1
y
s v
z'
y'
s' v'
m2
m1
z
o
o'
x x'
大学 物理学
例2.12在光滑的水平面上，有一长为L，质量 为M的小车，车上站一质量为m的人，人和 车原来保持静止。当人从车的一端走到另一 端时，问人和车相对于地面各走了多远？
质点系所受合外力为零时，质点系的总动量
不随时间改变。这就是质点系的动量守恒定律。 即 F外 0 时，P 常矢量 说明：
Fi ，而不 0 2.动量守恒定律的条件是
t2
1
1.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。
是 t ( Fi )dt 0 。这是因为后者只说明始末 两态的动量相等，不能保证动量始终不变。
大学物理-第二章2-3 动量和动量定理剖析
Iz
mvz
mv0z
此式表示，冲量在某个方向的分量等于该方向上 质点动量分量的增量，冲量在任一方向的分量只能 改变自己方向的动量分量，而不能改变与它相垂直 的其他方向的动量分量。
5
学习这个定理应注意以下几点：
(1) 定理反映了外力冲量与质点动量增量的数值关系， 也表达了方向关系，即外力冲量的方向与动量增量的方 向一致，是确定变力冲量方向的基本方法。
(5)力作用结果：力作用于物体可能不对物体作功，动能 可能不变，但是必定产生冲量，动量必定改变。
(6) 冲量是力对时间的积累，其产生的效应是物体动量 的改变。
(7)功是力对空间的积累，其产生的效应是物体动能的改 变。
7
例2-14 质量为m=3.0103kg的重锤从高度为h=1.5m
处自由下落打在工件上，经t=1.0102s 时间速度变
取质量元dm = R d
θ
Oα
坐标为x=R cos
dl
x
14
则圆弧质心坐标为
xC
xdm dm
xR d R d
R2 cos d R d
R sin
3、质心运动定理
由质点系动量定理的微分形式得
n
miri
rC
i 1
m
m drC
dt
n
mi
i 1
dri dt
n
mivi =mvC
i 1
maC
n
F'ij 0
i , j 1 ji
所以
n
i 1
Fi
d dt
n
(
i 1
mi vi )
（微分形式）
两边同乘以 dt,积分得
t t0
大学物理动量定理
子弹穿过两木块所用的时间分别为t1和t2，木块对子 弹的阻力为恒力F，则子弹穿出后，木块A的速度大小
为
，木块B的速度大小为
.
解：
F t1 m1vA m2vA
vA
F m1
t1 m2
F t2 m2vB m2vA
vB
F t2 m2
vA
F t2 m2
F m1
t1 m2
2-8. 一质量为m的质点在xoy平面上运动，其位置矢量
机械能守恒：
1 2
m2 v02
1 2
(m1
m2 )v2
1 2
kxm2 ax
1 xmax 2 x0
下次课内容：
§3-1 刚体运动的描述 §3-2-1 力矩 §3-2-2 刚体绕定轴转动定律
j
t
i
v bs
a in t
sin j]
t
i
b cost Fx m 2 x
j
dt
m2[x i y j ]
Fy m2 y
A(a,0) B(0, b)
Wx
0
a Fxdx m2
0 xdx 1 ma22
a
2
Wy
b
0 Fydy m 2
bydy 1 mb2 2
0
2
质点动能定理
W
为
r
a
cos
t
i b sin t j
(SI).
式中a，b， 是正值常
数, 且a > b.
(1)求质点在A点(a，0)和B 点(0，b)的动能; (2)求质点所 受的作用力 F 以及质点从A点运动到B点 的过程中 F 的分力Fx和Fy分别做的功.
解：
动量守恒与动量定理
动量守恒与动量定理动量是一个物体的运动状态的量度，它是由物体的质量和速度决定的。
在物理学中，动量守恒是指在一个封闭系统中，当没有外力作用时，系统的总动量保持不变。
动量定理是指当有外力作用时，物体的动量变化率等于外力的大小乘以作用时间。
1. 动量守恒动量守恒定律是描述封闭系统中动量守恒的基本原理。
当一个封闭系统内没有外力作用时，系统的总动量保持不变。
例如，考虑一个封闭系统，由两个物体组成。
初始时，物体1的质量为m1，速度为v1；物体2的质量为m2，速度为v2。
根据动量的定义，物体1的动量为p1 = m1v1，物体2的动量为p2 = m2v2。
根据动量守恒定律，系统的总动量为p = p1 + p2 = m1v1 + m2v2。
当没有外力作用时，系统的总动量保持不变，即p = m1v1 + m2v2 = 常量。
动量守恒定律在物理学中有广泛的应用。
例如，在碰撞问题中，我们可以利用动量守恒定律来求解物体碰撞后的速度或方向的变化。
2. 动量定理动量定理是描述物体在外力作用下动量变化的基本原理。
动量定理表明，物体的动量变化率等于外力的大小乘以作用时间。
设物体质量为m，速度为v。
根据动量的定义，物体的动量为p = mv。
当物体受到外力F作用时，根据牛顿第二定律F = ma，可以得到物体的加速度为a = F/m。
将加速度代入动量定义式中，可得物体的动量变化率为dp/dt = m(dv/dt) = m(a) = F。
动量定理表明，物体的动量变化率等于外力的大小。
动量定理在解决物体的运动问题中非常有用。
通过计算外力对物体的作用时间，我们可以确定物体动量的变化情况。
例如，在推动物体的问题中，我们可以利用动量定理来计算所需的外力大小和作用时间。
3. 动量守恒与动量定理的关系动量守恒定律和动量定理是相互关联的。
当没有外力作用时，系统的总动量保持不变，即动量守恒成立。
当有外力作用时，根据动量定理，物体的动量会发生变化。
在一个封闭系统中，如果没有外力作用，根据动量守恒定律，系统的总动量保持不变。
动量定理和动量守恒定律(大学物理)
恢复 系数
e 0,碰撞后两球以同一速度运动，并不分开，
称为完全非弹性碰撞。 ,分离速度等于接近速度，称为完全弹性碰撞。 e 1
v2 v1 e v10 v20
0 e 1 ,机械能有损失的碰撞叫做非弹性碰撞。
v2 v1 e v10 v20
可以证明恢复系数等于恢复过程和压缩过程的冲量之比。
F 1.9 104 N F 1.7 105 N
t 0.01s
例题、如图所示，沙子从h=0.8m高处下落到以3m/s的速率水平 向右运动的传送带上，取g=10m/s2，则传送带给予沙子的作用 力的方向为：：
（A）与水平夹角530向下；（B）与水平夹角530向上； （C）与水平夹角370向下；（D）与水平夹角370向上。
Fx t mv2 x mv1x x mv cos (mv cos ) mv2 2mv cos Fy t mv2 y mv1 y y mv sin mv sin 0 2mv cos F Fx 14.1 N t 方向与 Ox 轴正向相同． F' F
一、质点的动量定理 dp F Fdt dp 两边积分有： dt
作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量 ——质点的动量定理
F
I x Fx dt mv2 x mv1x
分量表示式
t2
I y Fy dt mv2 y mv1 y
t1
t1 t2
m1
10
b
y
10
b
m2
d
x
m1
b
y
b 1 y 10 sin 10 d
10 m
e 0,碰撞后两球以同一速度运动，并不分开，
称为完全非弹性碰撞。 ,分离速度等于接近速度，称为完全弹性碰撞。 e 1
v2 v1 e v10 v20
0 e 1 ,机械能有损失的碰撞叫做非弹性碰撞。
v2 v1 e v10 v20
可以证明恢复系数等于恢复过程和压缩过程的冲量之比。
F 1.9 104 N F 1.7 105 N
t 0.01s
例题、如图所示，沙子从h=0.8m高处下落到以3m/s的速率水平 向右运动的传送带上，取g=10m/s2，则传送带给予沙子的作用 力的方向为：：
（A）与水平夹角530向下；（B）与水平夹角530向上； （C）与水平夹角370向下；（D）与水平夹角370向上。
Fx t mv2 x mv1x x mv cos (mv cos ) mv2 2mv cos Fy t mv2 y mv1 y y mv sin mv sin 0 2mv cos F Fx 14.1 N t 方向与 Ox 轴正向相同． F' F
一、质点的动量定理 dp F Fdt dp 两边积分有： dt
作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量 ——质点的动量定理
F
I x Fx dt mv2 x mv1x
分量表示式
t2
I y Fy dt mv2 y mv1 y
t1
t1 t2
m1
10
b
y
10
b
m2
d
x
m1
b
y
b 1 y 10 sin 10 d
10 m
大学物理-第三章三大守恒定律-PPT精品文档
1
t 1
定义：动量
动量定理
p m v I p p 2 1
p 1
P m v 2 2 t2 注意： 1 . 动量是表征物体运动状 态的物理量。 ( m kg s ）
P m v 1 1
dp 2 . F m a 与 宏观低速等价，高速否 F dt
I dt p p mv mv z z z z z z F 2 1 2 1
t 1
t 1 t 2
4.
对于碰撞、打击、爆炸 等过程，物体之间的 互作用
称为冲力，其特点是峰 值大，变化大， t 短，在某
力、弹力）。一般用平 均力替代变力。
上一页 下一页
难准确确定。在该过程 中，可忽略物体所受 其它力（
缓冲外力作用。而打桩 机，锻压机则是利用 力。
上一页 下一页
例：已知小球 m 在 y 高度，水平初速 v ，与地碰撞后 大 0 0 y 1 0 高度 ，水平速率 v ，求碰撞过程中， 对小球的 0 2 2 冲量与水平冲量。 y
解：分阶段解题。 A B过程机械能守恒。
可求出碰撞前小球速度 v v i2 gy j B 0 0
v 20 i 1
mv mv . 3 ( 26 20 ) 2 x 1 x 0 F 1380 ( N ) x t 0 . 01
0
x
mv mv . 3 15 2 y 1 y 0 F 450 ( N ) y t 0 . 01
上一页 下一页
F
第 三 章 三 大 守 恒 定 律
教学基本要求
一 理解动量、冲量概念, 掌握动量定理和 动量守恒定律 .
二 掌握功的概念, 能计算变力的功, 理解 保守力作功的特点及势能的概念, 会计算万有 引力、重力和弹性力的势能 . 三 掌握动能定理 、功能原理和机械能守 恒定律, 掌握运用守恒定律分析问题的思想和方 法. 四 了解完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞 的特点 .
t 1
定义：动量
动量定理
p m v I p p 2 1
p 1
P m v 2 2 t2 注意： 1 . 动量是表征物体运动状 态的物理量。 ( m kg s ）
P m v 1 1
dp 2 . F m a 与 宏观低速等价，高速否 F dt
I dt p p mv mv z z z z z z F 2 1 2 1
t 1
t 1 t 2
4.
对于碰撞、打击、爆炸 等过程，物体之间的 互作用
称为冲力，其特点是峰 值大，变化大， t 短，在某
力、弹力）。一般用平 均力替代变力。
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难准确确定。在该过程 中，可忽略物体所受 其它力（
缓冲外力作用。而打桩 机，锻压机则是利用 力。
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例：已知小球 m 在 y 高度，水平初速 v ，与地碰撞后 大 0 0 y 1 0 高度 ，水平速率 v ，求碰撞过程中， 对小球的 0 2 2 冲量与水平冲量。 y
解：分阶段解题。 A B过程机械能守恒。
可求出碰撞前小球速度 v v i2 gy j B 0 0
v 20 i 1
mv mv . 3 ( 26 20 ) 2 x 1 x 0 F 1380 ( N ) x t 0 . 01
0
x
mv mv . 3 15 2 y 1 y 0 F 450 ( N ) y t 0 . 01
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F
第 三 章 三 大 守 恒 定 律
教学基本要求
一 理解动量、冲量概念, 掌握动量定理和 动量守恒定律 .
二 掌握功的概念, 能计算变力的功, 理解 保守力作功的特点及势能的概念, 会计算万有 引力、重力和弹性力的势能 . 三 掌握动能定理 、功能原理和机械能守 恒定律, 掌握运用守恒定律分析问题的思想和方 法. 四 了解完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞 的特点 .
大学物理 牛顿运动学定律 动量 动量守恒 角动量 角动量守恒
1 2
mv02[(
r0 r
)2
−
1]
>
0
例2. 用角动量守恒定律推导行星运动的开普勒第二定律: 行星对 太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积,即行星的矢径 的面积速度为恒量。
解： 在很短的时间dt内，行星的矢径扫过的面积
dS
=
1 2
r
dr
sin α
=
1 2
r × dr
行星
α
r dS dr
面积速度
孔做圆周运动，半径为 r1 ，速率为 v1 ，当半径为 r2 时，求 小球的速率 v2
解：小球受力： f 拉 为有心力
L = r × mv
L2 = L1
r1mv1 = r2mv2
v2
=
r1 r2
v1
显然 v2 > v1
f拉
0 v1
r2
r1
利用动能定理，该力所做的功
W == ∆Ek
1 2
m= v2 − 12 mv02
p1
= p2 − p1 = mv2 − mv1
2. 动量守恒定律 （与外界没有质量交换的质点系）
∑ 当当 ∑FFixi = 0 时 时
∑ miv∑i =mimvix1v=1恒+矢m量2v2 + + mnvn = 恒矢量
当质点系所受的合外力为零时，系统的总动 量保持不变。
第7节 角动量定理 角动量守恒定律
t： t+dt ：
质量 m m + dm -dm
速度
v
v + dv
v'
动量 p1 = mv
p2
(此处dm<0)
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F 1.9 104 N F 1.7 105 N
t 0.01s
例题、如图所示，沙子从h=0.8m高处下落到以3m/s的速率水平 向右运动的传送带上，取g=10m/s2，则传送带给予沙子的作用 力的方向为：：
（A）与水平夹角530向下；（B）与水平夹角530向上； （C）与水平夹角370向下；（D）与水平夹角370向上。
dm
dp
dm0
dI Fdt dp dm dm0
例、将一空盒放在秤盘上，并将秤的读数调整到零，然后从高 出盒底h=5m处将小石子流以每秒n=100个的速率注入盒中，假 设每个小石子的质量为m=0.02kg，都从同一高度下落且落到盒 内后就停止运动，求从石子开始注入到t=10秒是秤的读数。 取g=10m/s2
t
f12 f 21
f 21
1
2
m1
m2
f12
mi mN
m6
m3
m5
m4
m1
m2
t t0
t
t0
( F1 f 21 f 31 ... f N 1 )dt m11 m110
( F2 f12 f 32 ... f N 2 )dt m2 2 m2 20
mv1
F
mv2
t 越小，则 F 越大
例1 一质量为0.05 kg、 速率为10 m· s-1的刚球，以与 钢板法线呈45º 角的方向撞击 在钢板上，并以相同的速率 和角度弹回来．设碰撞时间 为0.05 s．求在此时间内钢板 所受到的平均冲力．
x
mv1
O
mv2
y
解
由动量定理得：
m
V
x
M
MV m x
M M S m x dt Vdt SM 0 0 m m
t t
M Sm SM SM SM R m
例题、在光滑的水平桌面上，光滑小球m1的直径为d， 以初速度10运动与另一直径相同的静止小球m2发生碰 撞，两求球心之间的距离为b，恢复系数为e，求碰撞 后两小球的速度各为多少？
2 1 I 2 e 10 20 I1
v10
v20
f1
f2
v1
v2
m2
m1
碰撞前
m2
m1
碰撞时
m2
m1
碰撞后
I1 m2 ( 20 )
I1 m1 ( 10 )
1 1 I1 ( ) 10 20 m1 m2
v10
v20
f1
f2
v1
v2
例、初速度为 0 (5iˆ 4 ˆ j ) m/s、质量为 m=0.05kg的质点，受到冲量 I (2.5iˆ 2 ˆ j ) N.s的
作用，则质点的末速度为_______。
ˆ (SI)作用在质量m=2kg的物体 例题、力 F 12ti
上，使物体由静止开始运动，则该物体在3s末 的速度为__________。
t
t0
( Fi f1i f 2i ... f ji ... f N 1 )dt mii mii 0
............
t
t0
( FN f1N f 2 N ... f N 1N )dt mN N mN N 0
m2
dp1 dp2 F1 f 21 F2 f12 dt dt t ( F1 f 21 )dt m11 m110 t0 t ( F2 f12 )dt m2 2 m2 20
t0
F1
f 21
一、质点的动量定理 dp F Fdt dp 两边积分有： dt
作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量 ——质点的动量定理
F
I x Fx dt mv2 x mv1x
分量表示式
t2
I y Fy dt mv2 y mv1 y
t1
t1 t2
t
N N t N N 1 N dt mi vi mi vi 0 Fi dt f ij t0 t0 i 1 j 1 i 1 i 1 i 1
因为：
i 1 j 1
N
N 1
f ij 0
m1
10
b
y
10
b
m2
d
x
m1
b
y
b 1 y 10 sin 10 d
10 m
m2
2 2x
m11x m110 cos
d 2 b2 cos d
d
x
2 x 1x e 10 cos
例、一质量 m1 50kg 的人站在一条质量 为 m2 200kg ，长度 l 4m 的船的船头上。开 始时船静止，试求当人走到船尾时船移动的距 离。（假定水的阻力不计。） u
N N N Fi dt mi vi mi vi 0 t0 i 1 i 1 i 1 三、动量守恒定律 t
若 Fi 0 则有
N mi vi mi vi 0
i 1 i 1
N
一个孤立的力学系统（系统不受外力作用）或合外 力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换，但是， 系统的总动量保持不变，即：系统的总动量守恒。
m2
O
则 F ex
ex
m1 g yg
m1
y
y
由质点系动量定理得
又
F dt dp dp d( yv)
ygdt d( yv)
d yv yg dt
d yv y gdy ydy yv d yv dt y 2 yv g y d y yv d yv
恢复 系数
e 0,碰撞后两球以同一速度运动，并不分开，
称为完全非弹性碰撞。 ,分离速度等于接近速度，称为完全弹性碰撞。 e 1
v2 v1 e v10 v20
0 e 1 ,机械能有损失的碰撞叫做非弹性碰撞。
v2 v1 e v10 v20
可以证明恢复系数等于恢复过程和压缩过程的冲量之比。
注意
区分外力和内力 内力仅能改变系统内某个物体的 动量，但不能改变系统的总动量.
注意：
（1）动量定理和动量守恒定律只适用于惯性系，在非惯性系需
要考虑惯性力的影响；
（2）除了系统所受合外力等于零时，系统动量守恒，当系统所 受合外力在某一方向上为零，则在该方向上动量守恒。 （3）系统内力远大于所受外力，可近似认为系统的动量守恒。 (4) 对于质点系运用动量定理和动量守恒定理时，所有的质点 的物理量都必须是相对于同一参考系而言的。
例 一柔软链条长为l， 单位长度的质量为，链条放 在有一小孔的桌上，链条一 端由小孔稍伸下，其余部分 堆在小孔周围．由于某种扰 动,链条因自身重量开始下落.
m2
O
m1 y
y
求链条下落速度v与y之间的关系．设各处摩 擦均不计，且认为链条软得可以自由伸开．
解 以竖直悬挂的链条 和桌面上的链条为一系统， 建立坐标系
例 质量为 m 的匀质链条，全长为 L， 开始时，下端与地面的距离为 h , 当链
条自由下落在地面上时
求 链条下落在地面上的长度为 l ( l<L )时，地面
L
m
所受链条的作用力？
解 设
m ml l l L
dm
h
链条在此时的速度 v 2 g(l h)
根据动量定理
fdt 0 (vdt )v vdt 2m(l h) g 2 f v v f' dt L m F f ' ml g (3l 2h) g 地面受力 L
m2
m1
碰撞前
m2
m1
碰撞时
m2
m1
碰撞后
I 2 m2 (2 )
I 2 m1 (1 )
1 1 I 2 ( ) 2 1 m1 m2
例题、一质量为M的平顶小车静止在光滑的水平轨 道上，另有一质量为m的小物体以水平速度0滑向 车顶，设物体与车顶之间的摩擦系数为，要使小物 体不滑下车顶，小车顶的长度至少应为多少？
I z Fz dt mv2 z mv1z
t1
t2
二、质点系的动量定理
质点系内部质点之间 的相互作用力，称为内力。 内力必定是成对出现的， 每对内力都是一对作用力 和反作用力。 质点系之外的物体对 质点系内部质点所施加的 作用力，称为外力。
F1
m1
F2
f 21 f12
四、动量定理和动量守恒定理的应用：
F
m1
1
m2 2
Fdt
F
t1
F
t2
t2
t1
t 2 t1
t2 t1 p2 p1 p F t 2 t1 t
t
t1 p F t2 t1 t
注意
t2
Fdt
在 p 一定时
mv1
O
例、质量为m=300kg的重锤从高度为h=1.5m处自由下落到受锻 压的锻件上，如图所示，工件发生变形。如果作用时间（1） t=0.1s；（2）t=0.01s，求锤对工件的平均冲力。
(F mg)t 0 (m) m 2gh
m 2 gh F mg t
t 0.1s
非对心碰撞
设 v10和v20分别表示两球在碰撞前的速度，v1和 v2 分别表示两球在碰撞后的速度， m1和 m2 分别为两球